概率论与数理统计第二章笔记

第二章 随机变量及其分布 §1.随机变量与分布函数

一、随机变量的概念

定义：假设Ω为试验E 的样本空间，对任意的ω∈Ω都赋予一个实数X （ω）与之对应，则实值函数X （）称为随机变量，一般用X ，Y ，Z 或者,ξη 注：1、Z （ω）由ω唯一确定

2、随机变量X 与实数x 的区别

3、对实数x ，事件{X ≤x}有一定的概率，P{X ≤x} 二、分布函数

定义：设（Ω, ,P ）为概率空间，还为定义在Ω上的随机变量，对任意x ∈R ，一元实值函数F （x ）= P{X ≤x}，称为r ，v ，X 的概率分布函数，简称分布函数 注：1、F （x ）= P{X ≤x}，x ∈R

2、分布函数是指描述随机变量分布的根本方法

3、分布函数的性质

性质1、（单调性）对任意的12X X ≤，有F （1X ）≤F （2X ） 注：P （a X b <≤）=F （b ）-F （a ）

P （a X b ≤≤）= F （b ）-F （a ）+P （X=a ）

P （a X b ≤<）= F （b ）-F （a ）+P （X=a ）-P （X=b ） P （a X b <<）= F （b ）-F （a ）-P （X=b ） P （X a ≤）= F （a ） P （a X <）=1- F （a ） 性质2、（有界性）：0≤F （x ）1≤ 性质3、()lim ()1x F F x →+∞

+∞==

()lim ()0x F F x →-∞

-∞==

性质4、(右连续性) 对任意x ∈R ，有F （x+0）=F （x ） 证明：设x A ={X ≤x+

1n

} 则123......A A A ???且n ={}n A X x +∞

=-∞

?≤

所以F(x)=P{X ≤x}=P(1

n n A ∞=?)=lim ()n n P A →+∞

=n +11

lim (x+)=lim ()n

n P X F x n

→+∞

→∞

≤+

由F(x)的单调性 F(x)=F(x+0)

例：设r.v.X 的分布函数为F(x)=A+Barctanx x ∈R 求待定系数A.B 由F(+∞)=1 F(-∞)=0 得到lim (arctan )12

x A B x A B π

→+∞

+=+

=

lim (arctan x )=a-0

2

x A B B π

→∞

+= 所以A=

12

B=

1

π

第二节 离散型r .v .及其分布

一．基本概念

定义：设X 为样本空间Ω的随机变量，若存在一个有限或可列无限集B ，使得P{X ∈B}=1则称X 为离散型r . v . 设其所有可列取值为{k X } K=1.2.3……n …则

k P =P

(X=k X ) K=1.2.3…..n …则称为X 的概率分布列

[注]：1.概率分布列是描述离散型随机变量的概率分布的方法之一

分布矩阵1212........................n n x x x p p p ??

???

3.非负性：k P >0.k=1.2….. 归一性：K k

P ∑=1

4.求离散型r . v . 分布列的步骤

Step1：列出r . v . X 的所有可能取值 Step2：计算几个取值对应的概率

例：甲乙两队进行比赛，规定谁先赢三局获胜。甲每局获胜概率0.5 X 表示比赛的局数，求X 的分布

解：随机变量X 的所有可能取值：3.4.5 则P （X=3）=2P(甲胜三局，输0局)=2?30.5

P （X=4）=2P(甲前3局赢2局且第4局获胜)=2?2430.5C P(X=5)=2P(甲前4局赢2局输2局且第5局赢)=2?2440.5C 例：设

求P(X 5≤)=P(X=0)=0.2

P(X 1.5≤)=P(X=0)+P(X=1)=0.7

F(X)=P(X ≤x)=

()K K X X

P Z X ≤=∑

=000.2

010.7121

2

x x x x

≤

[注]：5、离散型r .v . X 的分布函数 F(x)=P(X ≤x)=

()

K K X X

P Z X ≤=∑

(1) F(x)是阶梯函数

(2) 分段区间是左闭右开区间 (3) 分段点为r . v . X 的取值

(4) 在分段点的跳跃高度恰为该点概率 二．几种常用分布

1.（0—1）分布 （两点分布）

例 设事件A 在一试验中发生的概率为p （p>0） 一次试验中事件A 发生的次数

2.二项分布

例：在n 重贝努里试验中，事件A 在每次试验中发生的概率为P （0

k k n C p p --K=1.2…..n

[分析]：设i A ：事件A 在第i 次试验中发生 i=1,2，…..n {X=K}= 121............k

n k k n C A A A A A +

个情况，两两互不相容

所以 ()(1)k k n k n P X K C p p -==-

[注]：1.如果r .v .X 的分布列为()(1)k k n k n P X K C p p -==- k=0.1……n 则称r .v . X 服从参数为n .p 的二项分布，记作X~B(n , p) 2.如何判断？ （1）离散型

（2）取值为0.1.2…..n

（3）一个试验中出现两个对立的结果 （4）独立性 （5）等可能性

例、求每10个人中至少有2个人生日在一季度的概率。 解：设每10个人中生日在一季度的人数为X ～B(10, 14

)

则所求概率为P(X ≥2) = 1- P(X<2)

= 1- P(X=0)-P(X=1)

= 1- 00101910

101313

()()()()4444

C C -

3.当n=1时，X ～B （1，P ）即为0-1分布

二项分布与（0-1）分布的关系：

不妨设i X 为第i 次试验中事件A 发生的次数，i=1,2,3,……，n.

则i X ～B （1，P ），1X ，2X ，……，n X 独立，且X=1n

i i X =∑～B （1，P ）.

定理：（泊松定理）设r.v.X ～ B （n ，n P ） 【n P 与n 有关】 若lim n →+∞

n n P =λ，则lim n →+∞

(1)

k

n k

n

n n C P P --=

!

k e

k λ

λ-

【注】：1.若n 充分大，P 充分小，只要np 较适中，记np=λ>0

则(1)

!

k k

n k

n

e

C P P k λ

λ---=

2.若r.v.X 的分布列为P(X=k)=

!

k

e

k λ

λ-,k=0,1,2,……（λ>0),则称r.v.X

服从参数为λ的泊松分布，记作：X ～P(λ) 3.泊松分布可以看成二项分布的泊松近似。 4.一般当n ≥20,p ≤0.05时，用泊松近似计算。

4.超几何分布

例、设一个盒子中有N 个球，其中有M 个是黑球，从中不放回地取n 个,X 表示

取到的黑球的个数。 则X 的分布列为：P(X=k)=

k

n k

M N M

n N

C C C --, k=0,1,2,……，r,其中r=min{M,n}

则称r .v.X 服从超几何分布，记作：X ～H(n,M,N).

5.几何分布

例、设事件A 在每次试验中发生的概率为p(0

验的次数，则X 的分布列为： P （X=k ）=p(1-p)k-1 , k=1,2,3,……

则称r.v.X 服从参数为p 的几何分布，记作X ～G （p ） 【注】：设r.x.X ～G （p ）

则P{X>m+n|X>m}=

{,}

{}{}

{}

P X m X m n P X m n P X m P X m >>+>+=

>>1

1

()

()

k m n j m P X k P X j ∞

=++∞

=+==

=∑

∑

1

1

1

1

(1)(1){}

(1)

k n

k m n j j m p p p P X n

p p +∞

-=+++∞

-=+-=

=-=>-∑

∑

∴P{X>m+n|X>m}=P{X>n}

则称几何分布具有“无记忆性”。

6.负二项分布

例、设事件A 在每次试验中发生的概率为p(0

生时试验的次数，则X 的分布列为：

P(X=k)= 1111

1(1)(1)r r k r r r k r

k k C p p p C p p --------=- , k=r ,r+1,r+2,…… 则称r .v.X 服从负二项分布 【注】：1.几何分布是负二项分布r=1时的特殊情况。

2.设事件A 第一次发生时，试验次数为X 1，从A 第一次发生后算起，

第二个A 发生时试验次数为X 2。依次类推，从第r -1个A 发生后算起，第r 个A 发生时试验次数为X r ，则X i ～G （p ），i=1,2,……，r,且

X=1

r

i i X =∑～负二项分布。

第三节 连续型

一 概念

定义：设F(x)是分布函数，若存在一非负可积函数f(x)，使得对一切x R ∈,有：

dt

t f x

x F )()(?

??∞-=,则称X 为连续型r .v .f(x)为r .v .X 的概率密度函数，简

称密度函数。

注：1、f(x)≥0, x R ∈(非负性)

2、?

+∞∞

-=1)(dx x f (归一性)

3、?∞-=≤a

dt t f a x P )()( ?

+∞

=

>a

dt t f a x P )()(

?

=

≤

a

dt t f b x a P )()(

4、设x 为连续型r v,则0)(==o x x P

5、?

=≤≤=≤<=<≤=<

a

dt t f b x a P b x a P b x a P b x a P )()()()()(

?

=

∈I

dx x f I x P )()(

6、若r .v .X~??

??∈=I

x I

x x g x f ,0),()(,则{}dx x f dx x f I x P I

I

x ?

?

∈=

=

∈)()(+

?

?

?+∞

∞

-==

I

x dx x f dx x f 1)()(

7、连续型函数是不唯一的。例：???<<=else

x x f ,010,1)(1 ??

?≤≤=else

x f ,010,12

8、连续型r .v.的分布函数一定是连续函数，反之不一定成立。 9、在f(x)的连续点处，有)()('x f x F = 例：

,0

,,~()0,0

x A e x r v X f x x λ-?>=?≤?

求：（1）A （2）分布函数F(x) (3)p(x<1) 解：（1）?

+∞∞

-=1)(dx x f ，即10

=?

+∞

-x

Ae

λ，得A=λ

(2) ?

?∞

---???

??<≥-===

x

x x x x x e dt e dt t f x F 0

,00

,1)()(0

λλλ

（3） dx e

dx x f x P x

?

?

∞

--=

=<1

1

)()1(λλ=λ

--=e F 1)1(

二 几个常用的分布

1、指数分布

定义：假设r .v .X 密度函数???≤>=-0

,00

,)(x x e x f x λλ，则称r .v .X 从参数λ的

指数分布，记作X ~e(λ)

注：1、X ~e(λ)，则≤?

??≤>=-0,00

,)(x x e x f x λλ

2、指数分布具有无记忆性，即p(x>m+n/x>m)=p(x>n)

例：某设备在t 事件段发生故障的次数x(t)服从参数为λt 的泊松分布，（λ）0）

求：（1）相邻两次故障之间时间间隔T 的分布。 （2）该设备在无故障工作m 小时的情况下再无故障工作n 小时的概率。 解：（1） F(t)=P(T R t t ∈≤),

)((1)(1)()(,0,20

)()(,0,1=-=>-=≤=>=≤=≤t x P t T P t T P t F t t T P t F t o

o

=1-t e λ-

所以，???≤>-=-0

,00

,1)(~t t e t F T t λ

（2）)

()()()

,()/(m T p n m T p m T p n m T m T p m T n m T P >+>=

>+>>=

>+>

)()

()(n T p e

m F n m F n

>==+=-λ

2、均匀分布

定义：设r .v .X 密度函数为

[]??

?

??∈-=else b a x a

b x f ,0,,1

)(，则称r .v .X 服从参

数区间[]b a ,的均匀分布，记作X~U []b a ,.

[注]：1、设X~U []b a ,，[][]b a d c ,,∈，则{}a

b c d dx a

b d x

c p d

c

--=

-=

≤≤?

1

2、若X~U []b a ,，则

F(x)=01

x a

b a ??

-??

-??? x a

a x

b x b

<≤<>

例：某路口红绿灯交替显示30秒，一司机驾车经过该路口，X 表示该司机的等待时间，求X 的分布

解：不妨设前30秒为红灯，后30秒为绿灯，切该司机的到达时、刻为y~U[0,60],由F(x)=P(X ≤x) x R ∈

(1)当x<0时，F(x)=0

(2)当x=0时，F(x)=P(X=0)=P {}3060y ≤≤=1

2

(3)当x ≥30时，F(x)=1

(4)当0

0302

p y x +<-≤={}1

30302

P x y +-≤<=1

2

60

x +

01()2601

x F x ??

?∴=+

????003030x x x <≤<≥

3、正太分布

定义：若r .v .X 密度函数为

()2

2

2x μσ??-??

-?????

?

,x -∞<<+∞,则称

r .v .X 服从参数为μ和2σ的正态分布，记作：X~N(μ,2σ)

[注]：1、密度曲线 2、当μ=0，σ=1时，N(0,1)称为标准正态分布 设X~N(2,μσ)

考虑F(x)=P(X x ≤

)=()

2

2

2t x x

μσ

--

-?dt

令

t z μ

σ

-=

得2

2

x z

μ

σ

σ--

-∞

?

dz=x μσ-??Φ

?

??

定理：若r .v .X ~N(2,μσ),则F(x)= x μσ-??

Φ ?

??

推论：若r .v . X ~N(2,μσ),则

x μ

σ

-~N(0,1)

例：设r .v .X ~N(2,μσ),求P {}33X σμσ-<-< 解：P {}33X σμσ-<-<=P 33x μ

σ

-?

?-<

?

?

=()()()33231Φ-Φ-=Φ-=

20.9986510.9973?-=

第四节 r .v .函数的分布

结论：随机变量X 的函数Y=g(X)是一维r .v . 一、离散型

设离散型r .v .X 的分布列为()k k p P X x ==，k=1,2,……,n,…… Y=g(X)是一元实值函数，随机变量函数Y=g(X)是一维离散型r .v . 不妨设Y 的所有可能取值为{}j y ，j=1,2,……

则()(){}{}()k j

j j j k g x y p P Y y P g x y P X x =======∑

例：设

求：Y=2X 的分布

解：Y 的所有可能取值为：0,1,4

()()()()()()()()()()2

2

2

0000.3

11110.34420.4

P Y P X

P X P Y P X P X P X P Y P X

P X ===========-+======== ∴Y 的分布列为

方法二：

若g(i x )=g(j x )()i j ≠ 在Y 的分布列中只要写一个点g(i x )，而所对应的概率为i j P P + 例，设

r,v,X ～U[-2,2],y=10???

11x x ≤>,求

y 的分布

解：P （y=0）=P （1x >）=

14

P （y=1）=P （1x ≤）=

34

二．连续型

设r,v,X 的密度函数为()f x ,y= ()g x 是一元连续实值函数，则人r.v.函数y=

()g x 是一维连续型随机变量

例：r,v,X ～N （2,μσ），求y=ax+b （a ≠0）的分布 解：()()()Y F y P Y y P ax b y =≤=+≤ 1。若a>0

则()Y F y =P(y b x a

-≤

)= (

)X y b F a

-

由()Y F y =

(())

Y d F y dy

=

((

))

X y b d F a

dy

-=(

)X y b F a

-*'

(

)

y b a

-

=

1a

2

2

[(

)]

2y b a

μσ

---

}

2

2

2

[()]

2y b a a μσ

-+-

}

∴y=ax+b~N （22,a b a μμ+）

2。

若0a <

则()()()Y F y P Y y P ax b y =≤=+≤=P （y b x a

->

）=1-(

)X y b F a

-

1exp{2

2

2

[()]

2y b a a μσ

-+-

()Y F y =

(())

Y d F y dy =

(1(

))

X y b d F a

dy

--=-(

)X y b F a

-*'

(

)

y b a

-

exp{2

2

2

[()]

2y b a a μσ

-+-

}

∴y=ax+b ～N （22,a b a μμ+）

综上所述 ∴y=ax+b ～N （22,a b a μμ+）

定理：若X ～N （2,μσ），则y=ax+b 一定服从正态分布，其中0a ≠，y=ax+b ～N （22,a b a μμ+）

定理：设r,v,X 的密度函数()X F x ，y= ()g x 是一元连续实值函数，反函数为 X=()h y ，则r.v.函数y= ()g x 的密度函数为

()Y F y = '(())|()|0

x f h y h y ??

? y else αβ

<< (,)αβ为y= ()g x 的值域，

min{(),()}g g α=-∞+∞，max{(),()}g g β=-∞+∞（公式法）