必修2二面角与法向量

必修二——二面角与法向量

一．二面角

1．二面角的定义：从一条直线l 出发的两个半平面α、β所组成的图形，叫二面角。记作l αβ--

α、β叫二面角的面。

l 叫二面角的棱。

2．二面角的平面角定义：在l αβ--的棱l 上取一点O ，过O 在α、β内分别作垂线O A 、O B 。

A O

B ∠就是二面角l αβ--的平面角。

3．性质：A O B ∠=l αβ--

二．法向量

1．定义：向量n 所在直线垂直于平面α，则有n α⊥ ，n 叫做平面

α的法向量。

2．法向量的取法：

①尽可能通过已知条件建立空间直角坐标系； ②找平面中已知的点或相交的直线建立向量；

③设一向量(,,)n n n n x y z 与上一步向量分别乘积=0，求出,,n n n x y z 的关系；

④根据,,n n n x y z 的关系取一组数。

三．求二面角（六种方法）

1．定义法；

2．三垂线法；

3．垂面法；αβ、αγ、βγ的交线分别为a 、b 、c 。αγ⊥，βγ⊥，则

a αβ--=,

b

c <>

4．面积比法；cos S l S αβ--=射影

5．法向量法；

6．垂线法；

练习题

1．已知正方体1111ABC D A B C D -的棱长为1，求：

①1A D C 的法向量

②计算11B BCC 的二面角

2．如图，三菱锥V A B C -中，2VA VB AC BC ====，23AB =， 1V C =，

①求二面角V AB C --。

②求三菱锥V A B C -的体积。

3．如图，在三菱锥V A B C -中，90VAB VAC ABC ∠=∠=∠=︒

判断V B A 与V B C 的关系，并说明理由。