最新红对勾练习册一轮复习标准答案(版)资料
《红对勾》2021届高三数学第一轮复习北师大版 课时作业8 Word版含解析
课时作业8 指数与指数函数一、选择题(每小题5分，共40分) 1．下列函数中值域为正实数集的是( ) A ．y ＝－5x B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xC ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1 D ．y ＝1－2x解析：∵1－x ∈R ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的值域是正实数集，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－x的值域是正实数集．答案：B2．当x >0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<|a |<2 B ．|a |<1 C ．|a |> 2D ．|a |< 2解析：∵x >0时，f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，∴a 2－1>1，∴a 2>2，∴|a |> 2. 答案：C3．给出下列结论： ①当a <0时，(a 2) 32＝a 3；②na n ＝|a |(n >1，n ∈N ＋，n 为偶数)；③函数f (x )＝(x －2) 12 －(3x －7)0的定义域是{x |x ≥2且x ≠73}；④若2x ＝16,3y ＝127，则x ＋y ＝7. 其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④解析：∵a <0时，(a 2) 32>0，a 3<0，∴①错；②明显正确；解⎩⎨⎧x －2≥03x －7≠0，得x ≥2且x ≠73，∴③正确，∵2x ＝16，∴x ＝4，∵3y＝127＝3－3，∴y ＝－3，∴x ＋y ＝4＋(－3)＝1，∴④错． 答案：B4．(2022·新余模拟)不论a 为何值时，函数y ＝(a －1)2x－a2恒过定点，则这个定点的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12C.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12 D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12 解析：y ＝(a －1)2x －a 2＝a ⎝⎛⎭⎪⎫2x －12－2x ，令2x －12＝0，得x ＝－1，则函数y ＝(a －1)2x－a2恒过定点⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12. 答案：C5．定义运算：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，如1]( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(0,1]D ．[1，＋∞)。
《红对勾》2021届高三数学第一轮复习北师大版素能提升训练 9-6 Word版含解析
双曲线几何性质的解题误区[典例] 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 [审题视角] 1.因对双曲线的几何性质不清，误以为c ＝10，错选C ； 2．因对双曲线渐近线理解不清而毁灭渐近线求解错误，错解成12＝ab ，从而错选B.[解析] 由已知可得双曲线的焦距2c ＝10，a 2＋b 2＝52＝25，排解C ，D ，又由渐近线方程为y ＝b a x ＝12x ，得12＝b a ，解得a 2＝20，b 2＝5.[答案] A解决与双曲线性质有关的问题时，还易毁灭对a ，b ，c 之间的关系式c 2＝a 2＋b 2与椭圆中a ，b ，c 之间的关系式a 2＝c 2＋b 2的混淆，从而毁灭解题错误等．1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．解析：由题意知双曲线的焦点为(－7，0)，(7，0)，即c ＝7，又由于双曲线的离心率为e ＝c a ＝274，所以a ＝2，故b 2＝3，所以双曲线的方程为x 24－y 23＝1.答案：x 24－y 23＝12．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)，则双曲线的标准方程为________．解析：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝12.① ∵A (2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9b 2＝1.②由①②联立，无解．若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为 y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12.③ ∵A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b 2＝1.④由③④联立，解得a 2＝8，b 2＝32.∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.答案：y 28－x 232＝1。
《红对勾》2021届高三数学第一轮复习北师大版 课时作业39 Word版含解析
课时作业39平面的基本性质与推论一、选择题(每小题5分，共40分)1．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一条直线上”是“这四个点在同一个平面上”的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件解析：若有三点共线于l，当第四点在l上时共面，当第四点不在l上时，l与该点确定一个平面α，这四点共面于α；若四点共面，则未必有三点共线．答案：A2．已知m、n为异面直线，m平面α，n平面β，α∩β＝l，则l()A．与m、n都相交B．与m、n中至少一条相交C．与m、n都不相交D．与m、n中的一条直线相交解析：若m、n都不与l相交，∵mα，nβ，∴m∥l、n∥l，∴m∥n∥l，这与m、n为异面直线冲突，故l与m、n中至少一条相交．答案：B3．(2021·安徽，3)下列说法中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上全部的点都在此平面内D．假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析：由空间几何中的公理可知，仅有A不是定理，其余皆为公理．答案：A4．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE与FD1所成角的余弦值等于()A.105 B.155C.45 D.23解析：取C1D1的中点G，连OG，GE，易知∠GOE就是两直线OE与FD1所成的角或所成角的补角．在△GOE中由余弦定理知cos∠GOE＝OG2＋OE2－EG22OG·OE＝5＋3－22×5×3＝155.答案：B5．以下四个命题中，正确命题的个数是()①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0 B．1C．2 D．3解析：①正确，可以用反证法证明；②从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是A，B，C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，由于此时所得的四边形四条边可以不在一个平面内．答案：B6．(2022·郑州一模，4)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有下列四个命题：①若mβ，α⊥β，则m⊥α；②若α∥β，mα，则m∥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则m⊥β.其中正确命题的序号是()A．①③B．①②C．③④D．②③解析：若mβ，α⊥β，则m⊥α或m∥α，或m与α相交，故①不正确；②③正确；若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则m⊥β或mβ或m∥β，故④不正确，故选D.答案：D7．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是()A．若a∥b，则α∥βB．若α⊥β，则a⊥bC．若a，b相交，则α，β相交D．若α，β相交，则a，b相交解析：若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面，故D为假命题．答案：D8．(2022·福建漳州月考)对于空间中的三条不同的直线，有下列三个条件：①三条直线两两平行；②三条直线共点；③有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，能作为这三条直线共面的充分条件的有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：①中，三条直线两两平行有两种状况：一是一条直线平行于其他两条平行直线构成的平面；二是三条直线共面．②中，三条直线共点最多可确定3个平面，所以当三条直线共点时，三条直线的位置关系有两种状况：一是一条直线与其他两条直线构成的平面相交；二是三条直线共面．③中，确定能推出三条直线共面．故只有③是空间中三条不同的直线共面的充分条件．故选B.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)9.。
《红对勾》2021届高三数学第一轮复习北师大版 课时作业17 Word版含解析
课时作业17 角的概念的推广、弧度制及任意角的三角函数一、选择题(每小题5分，共40分)1．(2022·诸城月考)集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：当k ＝2n 时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样．当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样．答案：C2．θ是其次象限角，则下列选项中确定为正值的是( ) A ．sin θ2 B ．cos θ2 C ．tan θ2D ．cos2θ解析：由于θ是其次象限角，所以θ2为第一或第三象限角，所以tan θ2>0，故选C.答案：C3．给出下列命题：①其次象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或其次象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是其次或第三象限的角． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由于第一象限角370°不小于其次象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是其次象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当θ＝π，cos θ＝－1<0时既不是其次象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．答案：A4．(2022·玉溪一中月考)设α是其次象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．－43解析：∵α是其次象限角，∴cos α＝15x <0，既x <0.又cos α＝15x ＝xx 2＋16，解得。
《红对勾》2021届高三数学第一轮复习北师大版 课时作业59 Word版含解析
课时作业59 随机大事的概率一、选择题(每小题5分，共40分)1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，大事“甲分得红牌”与大事“乙分得红牌”是( )A ．对立大事B ．不行能大事C ．互斥但不对立大事D ．以上答案都不对解析：由于甲和乙有可能一人得到红牌，一人得不到红牌，也有可能甲、乙两人都得不到红牌，故两大事为互斥但不对立大事．答案：C2．(2022·日照模拟)从一箱产品中随机抽取一件，设大事A ＝{抽到一等品}，大事B ＝{抽到二等品}，大事C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，则大事“抽到的不是一等品”的概率为( )A ．0.7B ．0.65C ．0.35D ．0.3解析：由对立大事可得P ＝1－P (A )＝0.35. 答案：C3．(2022·渭南模拟)盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个旧球．不放回地依次取出2个球使用，在第一次取出新球的条件下，其次次也取到新球的概率为( )A.35 B.110 C.59D.25解析：第一次结果确定，盒中仅有9个乒乓球，5个新球4个旧球，所以其次次也取到新球的概率为59.答案：C4．(2022·揭阳一模)把一枚硬币连续抛两次，记“第一次毁灭正面”为大事A ，“其次次毁灭正面”为大事B ，则P (B |A )等于( )A.12B.14C.16D.18解析：法一：P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1412＝12.法二：A 包括的基本大事为{正，正}，{正，反}，AB 包括的基本大事为{正，正}，因此P (B |A )＝12.答案：A5．(2022·宁波模拟)有两个质地均匀、大小相同的正四周体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字1,2,3,4.把两个玩具各抛掷一次，斜向上的面写有数字之和能被5整除的概率为( )A.116B.14C.38D.12解析：把“两个玩具斜向上的面的数字之和能被5整除”记为大事A ，每个玩具斜向上的面的数字之和有4种状况，两个玩具各抛掷一次，斜向上的面的数字之和共有16种状况，其中能被5整除的有4种状况，举例如下：(1,2,3)，(2,3,4)；(1,2,4)，。
《红对勾》2021届高三数学第一轮复习北师大版素能提升训练 1-1 Word版含解析
与集合运算有关的交汇问题[典例] (2022·重庆)设平面点集A ＝{(x ，y )|(y －x )(y －1x )≥0}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为( )A.34π B.35π C.47π D.π2[审题视角](1)题目并不是直接求解不等式组⎩⎨⎧(y －x )(y －1x )≥0，(x －1)2＋(y －1)2≤1所表示的平面区域的面积，而是以求集合交集的形式考查．(2)本题通过集合A ，B 考查了一元一次函数y ＝x 、反比例函数y ＝1x 的图像和圆的方程(x －1)2＋(y －1)2＝1，以及圆和函数y ＝1x 的图像的对称性、不等式所表示的平面区域等内容.[解析]不等式(y －x )(y －1x )≥0可化为⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≥0，y －1x ≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤0，y －1x ≤0.集合B表示圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上以及圆内部的点所构成的集合，A ∩B 所表示的平面区域如图所示．曲线y ＝1x ，圆(x －1)2＋(y －1)2＝1均关于直线y ＝x 对称，所以阴影部分占圆面积的一半．[答案] D(1)认真阅读，精确 提取信息，是解决此类问题的前提，如本题应首先搞清集合A 与B 的性质，即不等式表示的点集．(2)剥去集合的外表，将生疏转化为生疏是解决此类问题的关键，如本题去掉集合的外表，将问题转化为求解不等式组表示的平面区域问题．1．已知A ＝{(x ，y )|y ＝|ln x |}，B ＝{(x ，y )|x 29＋y 24＝1}，则A ∩B 的子集个数为( )A ．3B ．4C ．2D ．8解析：画出y ＝|ln x |的图像与x 29＋y 24＝1的曲线如图由图可知交点个数为2个，即A ∩B 的元素个数为2个．则A ∩B 的子集个数。
《红对勾》2021届高三数学第一轮复习北师大版素能提升训练 9-7 Word版含解析
直线与抛物线的综合问题[典例](2022·新课标全国卷)设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；(2)若A，B，F三点在同始终线m上，直线n与m平行，且n与C 只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．[审题视角](1)利用抛物线的定义和几何性质表示出△ABD的面积，进而求得P的值和圆F的方程；(2)利用A，B，F三点共线和抛物线的定义得出直线m，n的斜率，再求得两直线的截距之比即为原点到m，n距离的比值．[解析](1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，圆F的半径|FA|＝2p.由抛物线定义可知A到l的距离d＝|FA|＝2p.由于△ABD的面积为42，所以12|BD|·d＝42，即12·2p·2p＝42，解得p＝－2(舍去)或p＝2.所以F(0,1)，圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.(2)由于A，B，F三点在同始终线m上，所以AB为圆F的直径，∠ADB＝90°.由抛物线定义知，|AD|＝|FA|＝12|AB|，所以∠ABD＝30°，m的斜率为33或－33.当m的斜率为33时，由已知可设n：y＝33x＋b，代入x2＝2py得x2－233px－2pb＝0.由于n与C只有一个公共点，故Δ＝43p2＋8pb＝0.解得b＝－p6.由于m的截距b1＝p2，|b1||b|＝3，所以坐标原点到m，n距离的比值为3.当m的斜率为－33时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值也为3.综上，坐标原点到m，n距离的比值为3.解决抛物线综合问题时要重视定义在解题中的应用，机敏处理点点距和点线距之间的相互转化，并留意数形结合思想方法的应用．处理直线与抛物线的交点问题，可联立直线与抛物线的方程，消元化成一元二次方程，留意“设而不求”方法的运用．1．(2021·广东理，20)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c＞0)到直线l：x－y－2＝0的距离为322.设P为直线l上的点，过点P做抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．。
《红对勾》2021届高三数学第一轮复习北师大版 课时作业15 Word版含解析
课时作业15 导数的综合应用一、选择题(每小题5分，共40分)1．已知f (x )＝12x 2－cos x ，x ∈[－1,1]，则导函数f ′(x )是( ) A ．仅有最小值的奇函数B ．既有最大值，又有最小值的偶函数C ．仅有最大值的偶函数D ．既有最大值，又有最小值的奇函数解析：f ′(x )＝x ＋sin x ，明显f ′(x )是奇函数，令h (x )＝f ′(x )，则h (x )＝x ＋sin x ，求导得h ′(x )＝1＋cos x .当x ∈[－1,1]时，h ′(x )>0，所以h (x )在[－1,1]上单调递增，有最大值和最小值．所以f ′(x )是既有最大值又有最小值的奇函数．答案：D2．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( ) A ．0≤a <1 B ．0<a <1 C ．－1<a <1D ．0<a <12解析：∵y ′＝3x 2－3a ，令y ′＝0，可得：a ＝x 2.又∵x ∈(0,1)，∴0<a <1. 答案：B3．已知对任意实数x ，都有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0解析：由题意知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，当x >0时，f (x )，g (x )都单调递增，则当x <0时，f (x )单调递增，g (x )单调递减，即f ′(x )>0，g ′(x )<0.答案：B4．从边长为10 cm ×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为( )A ．12 cm 3B ．72 cm 3C ．144 cm 3D ．160 cm 3解析：设盒子容积为y cm 3，盒子的高为x cm ，则x ∈(0,5)． 则y ＝(10－2x )(16－2x )x ＝4x 3－52x 2＋160x ，∴y ′＝12x 2－104x ＋160.令y ′＝0，得x ＝2或203(舍去)， ∴y max ＝6×12×2＝144(cm 3)． 答案：C5．(2021·湖北，10)已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，则( )A ．f (x 1)>0，f (x 2)>－12B ．f (x 1)<0，f (x 2)<－12 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<－12D ．f (x 1)<0，f (x 2)>－12解析：f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，ln x －2ax ＋1＝0(x >0)即 ln x ＋1x ＝2a 在(0，＋∞)上有两个不同根x 1，x 2，令g (x )＝ln x ＋1x (x >0)，g ′(x )＝－ln xx 2，则0<x <1时，g ′(x )>0；x >1时，g ′(x )<0.则x ＝1时，g (x )max ＝1，x →0时，g (x )<0；x →＋∞，g (x )>0.因直线y ＝2a 与y ＝g (x )(x >0)图像有不同交点，则0<2a <1,0<a <12，又在(x 1,1)上g (x )为增函数，f (x 1)<f (1)＝－a <0；在(1，x 2)上f (x )为增函数，f (x 2)>f (1)＝－a >－12，故选D. 答案：D6．若f (x )＝ln xx ，e<a <b ，则( ) A ．f (a )>f (b ) B ．f (a )＝f (b ) C ．f (a )<f (b )D ．f (a )f (b )>1解析：f ′(x )＝1－ln xx 2，当x >e 时，f ′(x )<0，则f (x )在(e ，＋∞)上为减函数，f (a )>f (b )，故选A.答案：A7．(2021·辽宁，12)设函数f (x )满足x 2.f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e28，则x >0时，f (x )( )A ．有极大值，无微小值B ．有微小值，无极大值C ．既有极大值又有微小值D ．既无极大值也无微小值解析：令g (x )＝x 2f (x )，则g ′(x )＝e x x ，f (x )＝g (x )x 2，所以f ′(x )＝e x －2g (x )x 3.令h (x )＝e x－2g (x )，则h ′(x )＝e 2·(x －2x )，h ′(2)＝0，所以h (x )＝e x －2g (x )在(0,2)上递减，在(2，＋∞)上递增，所以h (x )>0，即e 2－2g (x )>0，因此f ′(x )>0，即f (x )在(0，＋∞)上单调递增，选D.答案：D8．(2022·新余模拟)函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为( )A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<x <1}解析：构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x ，由于g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x >e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x ·f (x )－e x 为R 上的增函数，又由于g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为g (x )>g (0)，解得x >0.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)9．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图像有相异的三个公共点，则a 的取值范围是________．解析：令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可得极大值为f (－1)＝2，微小值为f (1)＝－2，如图，观看得－2<a <2时恰有三个不同的公共点．答案：(－2,2)10．(2022·泰州调研)若函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上递增，则实数a 的取值范围。
《红对勾》高三数学第一轮复习北师大版素能提升训练11-4Word版含解析
求古典概型概率[典例] (2012·山东高考)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．[审题视角] 1.审条件，挖解题信息如第(1)问：观察条件：五张卡片，红色三张，标号1,2,3.蓝色2张，标号为1,2，从中取两张――→用列举法所有可能的结果n2．审结论，明确题方向如第二问：观察所求结论：观察所求结论求两种卡片颜色不同且标号之和小于4的概率――→利用列举的结果分析得出满足这两个条件的结果m3．建联系，找解题突破口 利用古典概型概率公式求解：P ＝mn[解析] (1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A ，B ，C ，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D ，E ，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(A ，E)，(B ，C)，(B ，D)，(B ，E)，(C ，D)，(C ，E)，(D ，E)共10种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为310.(2)记F是标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共8种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为815.求古典概型概率的一般步骤：第一步：审清题意理清题意，列出所有基本事件，计算基本事件总数第二步：建立数量关系分析所求事件，找出所求事件的个数第三步：转化为数学模型根据古典概率公式求解得出结论第四步：解决数学问题解后反思，规范解答步骤，检查计数过程是否有误1．(2013·安徽理，21)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X.(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； (2)求使P(X ＝m)取得最大值的整数m.解：(1)因事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B ：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以A 与B 相互独立．由于P(A)＝P(B)＝C k －1n －1C k n ＝k n ，故P(A )＝P(B )＝1－k n，因此学生甲收到活动通知信息的概率P ＝1－(1－k n )2＝2kn －k 2n 2.(2)当k ＝n 时，m 只能取n ，有P(X ＝m)＝P(X ＝n)＝1.当k<n 时，整数m 满足k≤m≤t，其中t 是2k 和n 中的较小者．由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件总数为(C k n )2.当X ＝m 时，同时收到李老师和张老师所发信息的学生人数恰为2k －m ，仅收到李老师或仅收到张老师所发信息的学生人数均为m －k.由乘法计数原理知：事件{X ＝m}所含基本事件数为C k n C 2k －m k C m －k n －k ＝C k n C m －k kC m －k n －k ， 此时P(X ＝m)＝C k n C 2k －m k C m －k n －k C k n 2＝C m －k kC m －kn －k C kn. 当k≤m<t 时，P(X ＝m)≤P(X ＝m ＋1)⇔C m －k k C m －k n －k ≤C m ＋1－k kC m ＋1－kn －k ⇔(m －k ＋1)2≤(n－m)(2k －m)⇔m≤2k－k ＋12n ＋2.假如k≤2k－k ＋12n ＋2<t 成立，则当(k ＋1)2能被n ＋2整除时，k≤2k－k ＋12n ＋2<2k ＋1－k ＋12n ＋2≤t，故P(X ＝m)在m ＝2k －k ＋12n ＋2和m ＝2k ＋1－k ＋12n ＋2处达最大值；当(k ＋1)2不能被n ＋2整除时，P(X ＝m)在m ＝2k －[k ＋12n ＋2]处达最大值．(注：[x]表示不超过x的最大整数)下面证明k≤2k－k ＋12n ＋2<t.因为1≤k<n.所以2k －k ＋12n ＋2－k ＝kn －k 2－1n ＋2≥k k ＋1－k 2－1n ＋2＝k －1n ＋2≥0. 而2k －k ＋12n ＋2－n ＝－n －k ＋12n ＋2<0，故2k －k ＋12n ＋2<n.显然2k －k ＋12n ＋2<2k.因此k≤2k－k ＋12n ＋2<t.。
《红对勾》2021届高三数学第一轮复习北师大版 课时作业44 Word版含解析
课时作业44 立体几何中的向量方法(二)一、选择题(每小题5分，共40分)1．(2022·天水模拟)已知二面角α－l －β的大小是π3，m ，n 是异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成的角为( )A.2π3 B.π3 C.π2D.π6解析：∵m ⊥α，n ⊥β，∴异面直线m ，n 所成的角的补角与二面角α－l －β互补． 又∵异面直线所成角的范围为(0，π2]， ∴m ，n 所成的角为π3. 答案：B2．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BB 1中点，G 是DD 1中点，F 是BC 上一点且FB ＝14BC ，则GB 与EF 所成的角为( )A ．30°B ．120°C ．60°D ．90° 解析：如图建立直角坐标系D －xyz ，设DA ＝1，由已知条件，得G (0,0，12)，B (1,1,0)，E (1,1，12)，F (34，1,0)，GB →＝(1,1，－12)，EF →＝(－14，0，－12)cos 〈GB →，EF →〉＝GB →·EF →|GB →||EF →|＝0，则GB →⊥EF →. 答案：D3．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )A.1010 B.3010 C.21510D.31010解析：建立坐标系如图，则A (1,0,0)，E (0,2,1)，B (1,2,0)，C 1(0,2,2)．BC 1→＝(－1,0,2)，AE →＝(－1,2,1)，cos 〈BC 1→，AE →〉＝BC 1→·AE →|BC 1→||AE →|＝3010. 所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为3010. 答案：B4．(2021·山东，4)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：如图，设P 0为底面ABC 的中心，连结PP 0，由题意知|PP 0|为直三棱柱的高，∠P AP 0为P A 与平面ABC 所成的角，S △ABC ＝12×(3)2·sin60°＝334.∵三棱柱的体积V ＝94，∴334·|PP 0|＝94，∴|PP 0|＝ 3.又P 0为底面ABC 的中心，则|AP 0|等于正△ABC 高的23，又易知△ABC 的高为32， ∴|AP 0|＝23×32＝1.在Rt △P AP 0中，tan ∠P AP 0＝|PP 0||AP 0|＝31＝3，∴∠P AP 0＝π3，故选B.答案：B5．(2022·陕西，5)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A.55B.53C.255D.35解析：设CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2，B (0,0,1)，C 1(0,2,0)，A (2,0,0)，B 1(0,2,1)，BC 1→＝(0,2，－1)，AB 1→＝(－2,2,1)， ∵|BC 1→|＝5，|AB 1→|＝3，BC 1→·AB 1→＝4－1＝3， ∴cos 〈BC 1→，AB 1→〉＝BC 1→·AB 1→|BC 1→||AB 1→|＝35×3＝55，故选A. 答案：A6．(2022·南昌月考)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1。