上海中考数学新定义类型题专项训练

中考阅读理解类新定义类题型专项

姓名_______________

[代数类]

1．（本题10分）设A 是含有根式的代数式，若存在另一个不恒等于零的代数式B ，使乘积AB 不含根式，则称B 为A 的共扼根式。

（1

）设A ，写出它的一个共轭根式：B = ； （2）对于（1）中的A 和B ，计算：2211

A B A B

+++

2. 将关于x 的一元二次方程02=++q px x 变形为q px x --=2，就可将2x 表示为关于x

的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”． 已知

012=--x x ，可用“降次法”求得134--x x 的值是

3. 下表是六年级学生小林的学期成绩单，由于不小心蘸上了墨水，他的数学平时成绩看不

到，小林去问了数学课代表，课代表说他也不知道小林的平时成绩，但他说：“我知道老师核算学期总成绩的方法，就是期中成绩与平时成绩各占30%，而期末成绩占40%.”小林核对了语文成绩：77%3070%4080%3080=?+?+?，完全正确，他再核对了英语成绩，同样如课代表所说，那么按上述方法核算的话，小林的数学平时成绩是 分.

[几何类]

4．我们把四边形两条对角线中点的连线段称为“奇异中位线”。现有两个全等三角形，边长分别为3cm 、4cm 、5cm 。将这两个三角形相等的边重合拼成凸四边形，如果凸四边形的“奇异中位线”的长不为0，那么“奇异中位线”的长是 cm 。

5. 当两个圆有两个公共点，且其中一个圆的圆心在另一圆的圆内时，我们称此两圆的位置

关系为“内相交”.如果⊙1O 、⊙2O 半径分别3和1，且两圆“内相交”，那么两圆的圆心距d 的取值范围是 .

6．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．在

Rt △ABC 中，∠C =90°，若Rt △ABC 是“好玩三角形”，则tanA = ．

7．如果一个三角形的一边长等于另一边长的两倍，我们把这样的三角形称为“倍边三角形”，

如果一个直角三角形是倍边三角形，那么这个直角三角形的较小的锐角的正切值为 ．

8．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，

这条中线称为“有趣中线”.已知Rt △ABC 中，∠C =90°，较短的一条直角边边长为1，如果Rt △ABC 是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”长等于 .

9．我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比值叫做梯形的纵横比，如果某一等腰梯形腰长为5，底差等于6，面积为24，则该等腰梯形的纵横比等于 ；

10.三角形的三条高或其延长线相交于一点，这点称为三角形的垂心．边长为2的等边三角形的垂心到这个三角形各顶点之间的距离之和为___________．

11．将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n 倍得△AB′ C′ ，即如图

①，∠BAB′ ＝θ，，

我们将这种变换记为[θ，n ] ．如图②，在△DEF 中，∠DFE =90°，将△DEF 绕点D 旋转，作变换[60°,n ]得△DE ′F ′，如果点E 、F 、F ′恰

好在同一直线上，那么n = ．

AB B C AC n AB BC AC ''''

===A

B

C B′

C ′

D

E E ′

F ′

F

图① 图②

12．我们假设把两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．如果 Rt △ABC 是奇异三角形，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，且b ＞a ，其中，a ＝1，那么b ＝ ．

13．我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．如果等 腰三角形的腰长为2，“内角正度值”为45°，那么该三角形的面积等于 ；

14. 如图4-1，点P 是以r 为半径的圆O 外一点，点'P 在线段OP 上，若满足2'OP OP r ?=，

则称点'P 是点P 关于圆O 的反演点．如图4-2，在Rt △ABO 中，90B ?∠=，AB =2，BO =4，

圆O 的半径为2，如果点'A 、'B 分别是点A 、B 关于圆O 的反演点，那么'A 'B 的长是 ．

15． 我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距．如图4，在Rt △ABC 和Rt △ACD

中，?=∠=∠90ACD ACB ，点D 在边BC 的延长线上，如果3==DC BC ，那么△ABC 和△ACD 的外心距是 ．

16．在平面直角坐标系中，我们把半径相等且外切、连心线与直线 x y =平行的两个圆，称之为“孪生圆”；已知圆A 的圆心为（3,2-）半径为2，那么圆A 的所有“孪生圆”的圆心坐标为

A B

C 图4

17、 设二次函数解析式为bx ax y +=2

，若某一次函数解析式为b ax y +=，则称该一次

函数为二次函数的“伴随直线”；同时称以点()b a ,为圆心，半径长为22b a +的圆为二次函数的“伴随圆”.下面给出对于二次函数nx mx y +=2

及其“伴随直线”和“伴随圆”的一些结论：

(1) 若该二次函数的“伴随直线”经过第二、三象限，则该二次函数的开口向上；

(2) 该二次函数的“伴随直线”与坐标轴围成的三角形面积为m

n 22

-；

(3) 若m 、n 满足关系2

n

m -≠，则该二次函数与其“伴随直线”一定有2个交点；

(4) 该二次函数的“伴随圆”与坐标轴所围成的三角形面积为mn 2；

(5) 该二次函数的“伴随圆”圆心到其“伴随直线”的距离为1

2

2+m m .

以上给出的5个结论中，正确结论的序号是 ；

18. 如果A 、B 分别是圆O 1、圆O 2上两个动点，当A 、B 两点之间距离最大时，那么这个最大距离被称为圆O 1、圆O 2的“远距”．已知，圆O 1的半径为1，圆O 2的半径为2，当两圆相交时，圆O 1、圆O 2的“远距”可能是（ ） （A ）3； （B ）4； （C ）5； （D ）6．

[函数类]

1．将直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形。例如，图中的一次函数图像与x 、y 轴分别交于点A 、B ，则△ABO 为此一次函数的坐标三角形。一次函数4

43

y x =-+的坐标三角形的周长是_ .

2.在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x ，y ），若规定以下两种变换： ①),(y x f =（2+x ，y ）．如)1,1(f =)1,3(；②),(y x g =),(y x --，如)2,2(g =)2,2(--. 按照以上变换有：))1,1((f g =)1,3(g =)1,3(--，那么))4,3((-g f 等于 ．

3. 若实数x 、y 满足：y x >，则称：x 比y 远离0. 如图，已知A 、B 、C 、D 、E 五点在数轴上对应的实数分别是a 、b 、c 、d 、e. 若从这五个数中随机选一个数，则这个数比其它数都远离0的概率是 .

4．如图5-1，对于平面上不大于

90?的MON ∠，我们给出如下定义：如果点P 在MON ∠的内部，作PE OM ⊥，PF ON ⊥，垂足分别为点E 、F ，那么称PE PF ＋的值为点P 相对于MON ∠的“点角距离”，记为(),d P MON ∠．如图5-2，在平面直角坐标系xOy 中，点P 在第一象限内，且点P 的横坐标比纵坐标大1，对于xOy ∠，满足(),d P xOy ∠=5，点P 的坐标是 ．

5．定义[,,]a b c 为函数2y ax bx c =++的“特征数”．如：函数232y x x =+-的“特征

数”是[1,3,2]-，函数4y x =-+的“特征数”是[0,1,4]-.如果将“特征数”是

[2,0,4]的函数图像向下平移3个单位，得到一个新函数图像，那么这个新函数的解析式

是 ．

6.请阅读下列内容:

我们在平面直角坐标系中画出抛物线12

+=x y 和双曲线x

y 2

=

，如图所示，利用两图像的交点个数和位置来确定方程x

x 2

12

=+有一个正 实数根，这种方法称为利用函数图像判断方程根的情况.请用图像法判断方程()x

x 2432

=+--的根的情况

（填写根的个数及正负）．

7.

第6题图

e -110c b a E

N

F O

P

M 图5-1

点A 、B 、C 、D 分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为223y x x =--，AB 为半圆的直径，则这个“果圆”被y 轴截得的弦CD 的长为 .

8．对于平面直角坐标系 x Oy 中的点P （a ，b ），若点P ＇的坐标为（b a ka b k

++，）（其中k 为常数，且0k ≠），则称点P ＇为点P 的“k 属派生点”．例如：P （1，4）的“2属派生

点”为P ＇（4

1+21+42

?，），即P ＇（3，6）．若点P 的“k 属派生点”P '的坐标为（3，3），请写出一个符合条件的点P 的坐标： .

9．对于函数()2

b ax y +=，我们称[a ,b ]为这个函数的特征数．如果一个函数()2

b ax y +=的

特征数为[2,-5]，那么这个函数图像与x 轴的交点坐标为 ．

10. 当2=x 时，不论k 取任何实数，函数3)2(+-=x k y 的值为3，所以直线3)2(+-=x k y

一定经过定点（2，3）；同样，直线2)3(++-=x x k y 一定经过的定点为 ．

11．如果一个二次函数的二次项系数为1，那么这个函数可以表示为2y x px q =++，我们

将[],p q 称为这个函数的特征数．例如二次函数242y x x =-+的特征数是[]4,2-．请根据以上的信息探究下面的问题：如果一个二次函数的特征数是[]2,3，将这个函数的图像先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么此时得到的图像所对应的函数的特征数为 ．

20、我们都知道，当某直线的解析式为()0≠+=m n mx y ，则该直线的斜率为m .如图2， 在平面直角坐标系xOy 中，以O 为圆心、r 为半径的圆交x 轴正半轴于点A ，直线 ()0>=k kx y 与圆O 分别交于B 、C 两点.连接AB 、AC

1k ()01≠k 、直线AC 的斜率为2k ()02≠k ，则=?21k k

13、将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”，例如圆的直径就是它的“面径”。已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长可以是____________(写出2个)

14． 我们把两个三角形的中心之间的距离叫做重心距，在同一平面内有两个边长相等的

等边三角形，如果当它们的一边重合时重心距为2，那么当它们的一对角成对顶角时重心距为________________\

14、 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是

22

44

x x y y ==-????

==-??或，试写出一个符合要求的方程组______________(只需写一个)；

16、当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 .

17、一个函数的图像关于y 轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．如果二次函数

24y x bx =+-是“偶函数”，该函数的图像与x 轴交于点A 和点B ，顶点为P ，那么△

.

18、如果将点（-b ，-a ）称为点（a ，b ）的“反称点”，那么点（a ，b ）也是点（-b ，-a ）的“反称点”，此时，称点（a ，b ）和点（-b ，-a ）是互为“反称点”。容易发现，互为“反称点”的两点有时是重合的，例如（0，0）的“反称点”还是（0，0）。请再写出一个这样的点： ．

19、如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称作为这个

平面图形的一条面积等分线．已知△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，点D 在边BC 上，且BD =2，过点D 的面积等分线交△ABC 的边于点E ，那么线段AE 的长等于 .

20、定义：直线1l 与2l 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线21,l l 的距离分别 为p 、q ，则称有序实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”。根据上述定义，“距

离坐标”是（1,2）的点的个数共有 个。

21． 我们知道，互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系．如果坐标系中两

条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．

如图1，P 是斜坐标系xOy 中的任意一点，与直角坐标系相类似，过点P 分别作两坐标轴的平行线，与x 轴、y 轴交于点M 、N ，若M 、N 在x 轴、y 轴上分别对应实数a 、b ，则有序数对（a ，b ）叫做点P 在斜坐标系xOy 中的坐标． （1）如图2，已知斜坐标系xOy 中，∠xOy=60°，试在该坐标系中作出点A （-2，2），并求点O 、A 之间的距离；

（2）如图3，在斜坐标系xOy 中，已知点B （4，0）、点C （0，3），P （x ，y ）是线段BC 上的任意一点，试求x 、y 之间一定满足的一个等量关系式；

（3）若问题（2）中的点P 在线段BC 的延长线上，其它条件都不变，试判断上述x 、y 之间的等量关系是否仍然成立，并说明理由．

22、函数

x k y =

和x k y -=)0(≠k 的图像关于y 轴对称，我们把函数x k y =和x

k y -=)0(≠k 叫做互为“镜子”函数．类似地，如果函数)(x f y =和)(x h y =的图像关于y 轴

对称，那么我们就把函数)(x f y =和)(x h y =叫做互为“镜子”函数．

（1）请写出函数43-=x y 的“镜子”函数： ，（3分） （2）函数 的“镜子”函数是322

+-=x x y ； （3分） （3）如图7，一条直线与一对“镜子”函数x y 2=

（x ＞0）和x

y 2

-=（x ＜0）的图像分别交于点C B A 、、，如果2:1:=AB CB ，点C 在函数x

y 2

-=（x ＜0）的“镜

子”函数上的对应点的横坐标是2

1

，求点