运筹学第六章图与网络分析1.

二、图的支撑树（生成树）
1．定义：G′=（V，E′）是G=（V，E）的支撑子图，且G′是树 ，则称G′是图G的一个支撑树。 2．寻找支撑树的方法 （1）避圈法 在已给出的具有 n 个顶点的图 G 中，每步选出一条边，使它与 已选边不构成圈，直到选够n-1条边为止。 11
v2 v1 v3
v4 v1
v2
V4
若链(圈)中含的边均不相同，则称之为简单链（圈）。
V1
e4
e3
e5 e6
V3
V5 V8
初等链 (v1,v2, v3,v6, v7) 初等圈 (v1,v2, v3,v4, v1)
e10
e1
V2
简单链 (v1,v2, v3, v4,v5, v3, v6, v7)
V9
e2
e7 e8
e9
简单圈 (v4, v1,v2, v3, v5, v7 , v6, v3, v4,)
1 (vi , v j ) E aij = 其它 0
V5 6 7 V1 4 2 5 V4
例2
对上图构造邻接矩阵
0 1 A = 1 1 1
1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0
8
4 3
9 V2
V3
8
§2 树
2．最小支撑树（最小树）
5
图G1=(V1, E1)和图 G2=(V2, E2)，如果V1 V2 ， E1 E2 则称G1是G2的一个子图。 若V1 ＝V2 ， E1 E2则称G1是G2的一个支撑子图。
连通图：图G中，若任何两个点之间，至少有一条链。
连通分图(分图)：若G是不连通图，它的每个连通的 部分称为G的一个连通分图。
4
链(vi1,vi2,…,vik)中，若vi1=vik,，则称之为一个圈，记 为(vi1,vi2,…,vik-1,vi1)。 若链(vi1,vi2,…,vik)中，点vi1,vi2,…,vik都是不同的，则称 之为初等链；
若圈(vi1,vi2,…,vik-1,vi1)中，点vi1,vi2,…,vik-1都是不同的， 则称之为初等圈。
6
7 V1 5
4
2 9 V2 4 3
0 V4 9 8 权矩阵A = 2 4 V3 7
9 2 4 7 0 3 4 0 3 0 8 5 4 8 0 6 0 5 6 0
7
2．邻接矩阵 对于图G=（V，E），|V|=n，构造一个矩阵A=（wij）n×n，其中 ：
一、树的概念及性质 例：已知有五个城市，要在它们之间架设电话线，要 求任何两个城市都可以互相通话（允许通过其它城市） ，并且电话线的根数最少。
v2
v3
v1
v5
v4
9
1.树的定义 ：连通且不含圈的无向图称为树。 次为1的点称为树叶，次大于1的点称为分枝点，树的边称 为树枝。
v2 v4 v2 v1 v4
若在图G中，某个边的两个端点相同，则称e 是环。 2
若两个点之间有多于一条的边，称这些边为多 重边。 简单图：一个无环，无多重边的图。 多重图：一个无环、但允许有多重边的图。 点v的次：以点v为端点边的条数，记为dG(v)或 d(v)。 奇点：次为奇数的点 偶点：次为偶数的点 孤立点：次为零的点。 悬挂点：次为1的点
v1Байду номын сангаас
v3 v5
v6
v6 v3
连通图
2.树的性质
v5
树
（1）任何树中必存在树叶（任何树中必存在次为1的点 ）
10
（2）树中任意两顶点间必有且仅有一条链
（3）在树的两个不相邻的顶点间添上一条边，就得唯一一个圈
（4）树中去掉任何一条边，图就不连通 （5）具有n个顶点的树的边数为n-1 （6）具有n个顶点，n-1条边的连通图是树
基础图：给定一个有向图D=(V,A) ，从D中去掉所 有弧上的箭头，所得到的无向图。记之为G(D)。
路（回路）：在有向图D=(V,A)中，如果其基础图 G(D)中某条链（圈）上的边方向相同时，称为路（回路）
6
二、图的矩阵表示
1．权矩阵
具有n个顶点的赋权图G=（V，E），其边（vi, vj）有 权Wij，构造矩阵A=（aij）n×n，其中， wij (vi , v j ) E aij = 称矩阵A为网络G的权矩阵。 其它 0 V5
第十章 图与网络分析
§1.图的基本概念
一、图的定义、分类及述语
图：由点和线构成。点代表所研究的对象，线代表对 象之间的关联性质。 =
点： V
{vi }
边：两点之间不带箭头的联线。 弧：两点之间带箭头的联线。
边： E={ei } 弧 ： A={a } i
无向图(图)：由点及边所构成的图。记为G=(V，E)， V，E分别是G的点集合和边集合。
3
悬挂边：悬挂点的关联边
定理1：图G=(V,E)中，所有点的次之和是边数 的两倍，即
Σd(v)=2q vV
定理2：任一图中，奇点的个数为偶数。
给定一个图G=(V,E)，一个点边的交错序列(vi1, ei1, vi2, ei2,…,vik-1,eik-1,vik)，如果满足eit=[vit,vit+1] (t=1,2,…,k1)，则称为一条联结vi1和vik的链，记为(vi1,vi2,…,vik)， 称点vi2, vi3,…,vik-1为链的中间点。
一条联结点vi，vj的边记为[vi，vj](或[vj，vi])
1
有向图：由点及弧所构成的图，记为D=(V，A)， V，A分别是D的点集合和弧集合。 一个方向是从vi指向vj的弧记为(vi，vj)
图G或D中的点数记为p(G)或p(D)，边(弧)数 记为q(G)或(q(D))，简记为p, q。 若边e=[u,v]∈E，则称u,v为e的端点，称e是点 u(及点v)的关联边。 相邻：若vi与vj与是同一条边的两个端点，称点 vi与vj相邻，若ei与ej有公共端点，则边ei与ej相邻
v4
v6
v6
v5
v3
v5
树
（2）破圈法
在图 G 上任取一个圈，从圈上任意去掉一条边，将这个圈破掉 ，重复上述过程。直到图G中没有圈为止。
12
三、最小支撑树（生成树）
1．支撑树的权 赋权图：给图G=（V，E），对G中的每一条边[vi, vj]赋予 一个权wij，这样的图称为赋权图。 支撑树的权：赋权无向连通图G=（V，E）中每条边上有 非负权。一棵支撑树上所有树枝上权的总和，称为这个支 撑树的权。