二阶非线性微分方程的一个新的可解类型
第六章 非线性微分方程 常微分方程课件 高教社ppt 王高雄教材配套课件
稳定性定理推广
d x f (x), f (0) 0, x Rn (14) dt
• 进一步的推广有
定理5 如果对微分方程组（14）存在定正函数V(x)，其 通过方程组(14)的全导数dV(x)/dt为常负，但使 dV(x)/dt=0的x的集中除零解x=0外不包含方程(14)的整 条正半轨线，则方程组（14）的零解是渐近稳定的。
1
a1, 2
a1 a3
a0 a2
, 3
a1 a3 a5
a0 a2 a4
其中ai=0(对一切i>n)。
0 a1 , a3
a1 , n a3
a2n1
a1 a2
a2n2
0 0
ann1
an
定理3 方程(8)的一切根均具负实部充分必要条件为成立不等
式
a1 0, 2 0, 3 0, , n1 0, an 0
x0
D时，满足初值条件x(t0)=
x0的解x(t)均有
lim
t
x(t)
0
则域D0称为(渐近)稳定域或吸引域。
• 若稳定域为全空间，即 0 =+∞，则称零解x=0是全局渐近
稳定的或简称为全局稳定的。
• 当零解x=0不是稳定时，称它是不稳定的，
• 即：如果对某给定的 ，不管怎样小，总有x0满足||x0||≤ ， 使方程组(5)的由初值条件x(t0)= x0确定的解x(t) ，至少存在 某有t1>t0，有||x(t1)||= 。
其中a>0,b>0,c>0. 考虑其根均具负实部时参数c的变化范围. 解 对应方程,有
a0 1, a1 a b 1, 2 (a b 1)(b(a c) 2ab(c 1), a3 2ab(c 1)
9-第六章 非线性微分方程(1)
当 f (t , x) 在某域 G 内 兹条件. 存在唯一性定理
∂f 存在且连续，则 f (t , x) 在 G 上关于 x 满足局部李普希 ∂x
如 f (t , x) 在某域 G 内连续,且关于 x 满足局部李普希茨条
件，则方程组(1)在区间 t − t0 ≤ h 上存在唯一解 x = ϕ (t , t0 , x0 ), ϕ (t0 , t0 , x0 ) = x0 ，其中
6 -- 4
dV 可表为 dt
dV = μV + W ( x) 且当 μ = 0 时 W 为定正函数，当 μ ≠ 0 时 W 为常负函数或恒为零， dt
又在 x = 0 的任意小邻域内至少存在某个 x 使得 V ( x ) > 0 ，则方程组（1）的零解是 不稳定的. (3) 二次型 V 函数的构造 如果 n 维一阶常系数线性微分方程组
∂f 在域 G 内连续， 则方程组(1)的满足初值条件 （2） ∂x
的解 x = ϕ (t , t0 , x0 ) 作为 t , t0 , x0 的函数在它的存在范围内是连续可微的. (2) 李雅普诺夫稳定性 (a) 零解 可以通过变换 x = y − ϕ (t ) 化为方程组 对方程组
dy = g (t , y ) 的某特解 y = ϕ (t ) ， dt
6 -- 1
⎛ b h = min ⎜ a, ⎝ M
⎞ f (t , x ) . ⎟ , M = (max t , x )∈R ⎠
解的延拓与连续性定理
如 f (t , x) 在某域 G 内连续且关于 x 满足局部李普希
茨条件， 则方程组(1)的满足初值条件 （2） 的解 x = ϕ (t , t0 , x0 ) ((t0 , x0 ) ∈ G ) 可以延拓， 或者延拓到 +∞ (或 −∞ )；或者延拓到使点( (t ,ϕ (t , t0 , x0 )) )任意接近 G 的边界.而方 程组(1)的解 x = ϕ (t , t0 , x0 ) 作为 t , t0 , x0 的函数在它的存在范围内是连续的. 可微性定理 如 f (t , x) 和
二阶线性微分方程的分类
b1 a11 xx 2a12 xy a22 yy b1 x b2 y b 2 a11 xx 2a12 xy a22 yy b1 x b2 y c c, f f
如果选取合适的变换
1 (x, y),
2 ( x, y)
做变换
2 x y ) , 3
3 2
原方程化为
2u 1 u u 0. 6( )
2、微分方程一般分类
(1) 按自变量的个数，分为二元和多元方程； (2) 按未知函数及其导数是否线性(看其系数是否和未知函数有关)，分为线性微分 方程和非线性微分方程；
a11 , a12 , a22 , b1 , b2 , c, f 都是变量 x, y 在区域 上的实函数
2、两个自变量方程的化简
令 ( x, y), ( x, y)
D( , ) x y 且 在( x0 , y0 )处不为零。 D( x, y) x y
由于
2
(1.7 ')
如果(1.7’)存在一个解 ( x, y ) c ,根据隐函数存在定理, 有
x dy dx y
2
所以(1.7’)可以化为
dy dy a11 2a12 a22 0, dx dx
这样(1.7)的求解就化为下述常微分方程在 积分曲线问题:
a12 a11 xx a12 ( x y yx ) a22 y y 0
方程化为：
u u Au Bu Cu D.
例2：将弦振动方程化为标准形式。
解：方程 utt
特征方程:
a uxx 0 的特征线族是
2
二阶微分方程叠加原理
二阶微分方程叠加原理
二阶微分方程叠加原理是微分方程中的一个重要概念。
它描述了当一个二阶微分方程具有多个解时，这些解可以线性叠加得到新的解。
对于一个二阶微分方程，可以表示为形式：y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = r(x)，其中y(x)为未知函数，p(x)、q(x)和r(x)分别为已知函数。
根据叠加原理，如果y1(x)和y2(x)分别是该微分方程的两个解，那么它们的线性组合：y(x) = C1y1(x) + C2y2(x)，也是该微分方程的解。
其中C1和C2为任意常数。
这意味着，我们可以通过将某个二阶微分方程的多个解进行线性叠加，得到该微分方程的更多解。
这种原理在物理学、工程学和其他领域的建模和分析中非常有用。
使用叠加原理可以简化求解二阶微分方程的过程。
首先，我们找到该微分方程的两个独立解，然后根据初始条件和边界条件，确定常数C1和C2的值，最终得到特定的解。
需要注意的是，叠加原理只在线性微分方程中成立，非线性微分方程的解不能直接使用叠加原理进行叠加。
此外，叠加原理在实际应用中要谨慎使用，因为它基于一些假设，如线性性和叠加性。
总结而言，二阶微分方程叠加原理是一个强大的工具，用于描述二阶微分方程中多个解的叠加关系。
通过理解和应用叠加原理，我们能够更加灵活地求解和理解微分方程的解。
一阶微分方程(二) 可降阶的二阶微分方程
e 设 y u( x)e P( x令)d x 是v( xd) y uP((xx)y Q( x)的解. dx 5
设 y u( x)e P( x)d x 是 d y P( x) y Q( x) 的解.
dx
y u( x)e P(x)d x u( x)[P( x)]e P(x)d x ,
将 y, y代入原方程得
P y f (x)
解此微分方程
y ed x C
2
xe
d
x
d
x
o
xx
Ce x 2 x 2, 由 y |x0 0, 得 C 2,
所求曲线为 y 2(e x x 1).
13
例4 求方程 y2 d x (x 2xy y2)d y 0 的通解.
分析：可变形为：d
d
y x
则原方程的通解为 y ( x2 C)esin x .
8
例2求解微分方程
dy dx
3y
e2x满足条件
y x0
0的特解.
解 这是一个一阶非齐次线性方程.
它对应的齐次方程为
d d
y x
3y
0，分离变量得：dyy
3d
x,
积分得：ln y 3x lnC, 即 y Ce3x .
再用常数变易法，把 C 换成新函数 u u(x)
x
x
解 (用常数变易法)
先求
y
1 x
y
0 的解，分离变量：d y y
dx x
,
两边积分ln y ln x lnC，得通解：y C
再用常数变易法求
y
1
y
sin
x
x
的解，
x
x
设 y u( x) 是原方程的解，则 y
二阶非线性微分方程求解例题
二阶非线性微分方程求解例题例：求y ′ ′ + y = c o s 2 x + 2 s i n x 的通解例：求y''+y= cos{2x}+2sinx 的通解例：求y′′+y=cos2x+2sinx的通解解：∵β 1 ̸= β 2 解：\because \beta_1ot= \beta_2 解：∵β1=β2∴将方程式y ′ ′ + y = c o s 2 x + 2 s i n x \therefore 将方程式 y''+y= cos{2x}+2sinx ∴将方程式y′′+y=cos2x+2sinx拆成y ′ ′ + y = c o s 2 x 与y ′ ′ + y = 2 s i n x 两个二阶常系数非齐次微分方程。
拆成y''+y= cos{2x} 与 y''+y=2sinx两个二阶常系数非齐次微分方程。
拆成y′′+y=cos2x与y′′+y=2sinx两个二阶常系数非齐次微分方程。
⇒其特征方程 r 2 = 1 = 0 的根为 ± i \Rightarrow 其特征方程r^2=1=0的根为\pm i ⇒其特征方程r2=1=0的根为±i易知：y ′ ′ + y = 0 的通解为： Y = C 1 c o s x + C 2 s i n x 易知：y''+y= 0的通解为：Y=C_1cosx+C_2sinx 易知：y′′+y=0的通解为：Y=C1cosx+C2sinx1 ) 1) 1) y ′ ′ + y = c o s2 x y''+y= cos{2x} y′′+y=cos2x⇒ α = 0 ; β = 2 ; s = m a x [ m , n ] = 0 \Rightarrow \alpha=0; \beta=2; s=max[m,n]=0 ⇒α=0;β=2;s=max[m,n]=0∵ α ± β i = ± 2 i 不是特征方程的根 \because \alpha \pm \beta i=\pm2i不是特征方程的根∵α±βi=±2i不是特征方程的根∴令 : y ∗ = a 0 c o s 2 β + b 0 s i n 2 β \therefore令 :y*=a_0cos2\beta+b_0sin2\beta ∴令:y∗=a0cos2β+b0sin2βy ∗ ′ = − 2 a 0 s i n 2 β + 2 b 0 c o s 2 β y*'=-2a_0sin2\beta+2b_0cos2\beta y∗′=−2a0sin2β+2b0cos2βy ∗ ′ ′ = − 4 a 0 c o s 2 β − 4 b 0 s i n 2 β y*''=-4a_0cos2\beta-4b_0sin2\beta y∗′′=−4a0cos2β−4b0sin2β⇒将 y ∗ , y ∗ ′ , y ∗ ′ ′ 代入原方程求解得： a 0 = 1 3 ; b 0 = 0 \Rightarrow 将y*,y*',y*'' 代入原方程求解得：a_0=\frac{1}{3}; b_0=0 ⇒将y∗,y∗′,y∗′′代入原方程求解得：a0=31;b0=0∴ y ∗ = 1 3 c o s 2 x \therefore y*=\frac{1}{3}cos{2x}∴y∗=31cos2x2 ) y ′ ′ + y = 2 s i n x 2) y''+y= 2sinx 2)y′′+y=2sinx⇒ α = 0 ; β = 1 ; s = m a x [ m , n ] = 0 \Rightarrow \alpha=0; \beta=1; s=max[m,n]=0 ⇒α=0;β=1;s=max[m,n]=0∵ α ± β i = ± i 是特征方程的一对单共轭复根\because \alpha \pm \beta i=\pm i是特征方程的一对单共轭复根∵α±βi=±i是特征方程的一对单共轭复根∴令 : y ∗ = x ( a 1 c o s β + b 1 s i n β ) \therefore令 :y*=x(a_1cos\beta+b_1sin\beta) ∴令:y∗=x(a1cosβ+b1sinβ)⇒将 y ∗ , y ∗ ′ , y ∗ ′ ′ 代入原方程求解得：a 0 = − 1 ; b 0 = 0 \Rightarrow 将y*,y*',y*'' 代入原方程求解得： a_0=-1; b_0=0 ⇒将y∗,y∗′,y∗′′代入原方程求解得：a0=−1;b0=0∴ y ∗ = − x c o s x \therefore y*=-xcosx ∴y∗=−xc osx综上：y ′ ′ + y = c o s 2 x + 2 s i n x 的通解为综上：y''+y= cos{2x}+2sinx 的通解为综上：y′′+y=cos2x+2sinx的通解为y = C 1 c o s x + C 2 s i n x + 1 3 c o s 2 x + − x c o s x y= C_1cosx+C_2sinx+\frac{1}{3}cos{2x}+-xcosx y=C1cosx+C2 sinx+31cos2x+−xcosx。
一阶与二阶常系数线性微分方程及其解法
公式解法
公式法
通过求解特征方程p^2 - 4q = 0，得到通解y = C*exp(rx)，其中C和r是常数，exp(rx)是自然指数函数。
初始条件
在给定初始条件y(x0) = y0时，可以通过公式法求得特解。
初始条件与特解
初始条件的重要性
初始条件决定了微分方程的特解，对于一阶常系数线性微分方程来说，初始条件通常是指 y(x0) = y0。
一阶与二阶常系数线性微分 方程及其解法
目录
• 一阶常系数线性微分方程 • 二阶常系数线性微分方程 • 对比与联系 • 扩展与应用
01
一阶常系数线性微分方程
定义与公式
定义
一阶常系数线性微分方程是形如y' + P(x)y = Q(x)的方程，其中P(x)和Q(x) 是已知函数。
公式
一阶常系数线性微分方程的标准形式 是y' + py = q，其中p和q是常数。
初始条件与特解
初始条件
给定初始条件y(x₀) = y₀和y'(x₀) = y'₀，可以求解微分方程得到特解。
特解
满足初始条件的解称为特解。通过代入初始条件，可以得到特解的具体形式。
03
对比与联系
一阶与二阶方程的异同
一阶方程
y' = f(x)
二阶方程
y'' = f(x, y', y'')
相同点
两者都是描述函数y与自变量x之间的导数关系。
实际应用场景与案例
一阶方程应用场景
01
描述物体运动、化学反应速率等。
二阶方程应用场景
02
描述波动现象、弹簧振动等。
案例
具比例时滞的二阶非线性中立型微分方程解的定性性质
收 稿 日期 ： ０ １Ｏ ５ ２ １ ４ １ 基金项 目： 国家 自然 科 学 基 金 资 助 项 目（ ０ ７ ０ ４ ； 南 省 教 育 厅 重 点 资 助 项 目（ ９ ８ ） １ ７ １９ ）湖 ０ Ａ０ ０
作 者 简 介 ： 开 中 （９ ５）男 ， 南 武 冈 人 ， 授 ， 士 生 导 师 ， 要 研 究 方 向 ： 微 分 方 程 与 动 力 系 统 、 性 理 论 及 其 关 １ ６一 ， 湖 教 硕 主 常 凸
０ 引 言
具有 比例 时滞 的微分 方程 最先 出现在 描述 电动 机 车 弓头运 动 轨迹 的数 学模 型 中［ 。近 年来 ， 于 此类 １ ］ 对
方程 的研 究 已引起 了人 们 的广 泛关 注 并 产生 了丰 富 的研 究 成果 口 ］ 。 。据 我们 所 知 ， 管 对 于 二 阶常 时滞 中 尽
关 开 中 ， 王 龙 洪
（ 华大 学 数理 学院 ，湖南 衡 阳 南
摘 要 ：研 究 具 有 比例 时 滞 和 正 负 系数 的二 阶 非 线性 中立 型微 分 方程
４ １０） ２ ０ １
Ｅ ｔ ± ｒｔｆ ｘ ａ） ］ ＋ 户 ｆｇ （ ） 一 ｑ （ （ ） ｘ（） （） （ （ｔ ） （） （ ） （） ｚ ）
第 ３ 卷第 ３ ２ 期 ２０ １ １年 ６月
衡 阳 师 范 学 院 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ－ ｎ ｙ ｎ ｒ ｌＵｎ ｖ ｒ ｉｙ ｏ ｒ ａ ｆ Ｈｅ ｇ ａ ｇ Ｎｏ ｍａ ｉｅ ｓ ｔ
ＮＯ． ３Ｖｏ１ ２ ．３
Ｊ ｎ ２０１ ｕ ｅ． １
具 比例时滞的二阶非线性 中立型微分方程解的定性性质
Ｒ 一 （ ， Ｃ ） 我 们 建 立 了方 程 （ ） Ｏ＋ × ， ］ １ 的解 振 动 以 及 方 程 （ ） 非 振 动 解 渐 近 趋 向 于 零 的 充 分 条 件 。 ２的 为 方 便 见 ， 文 记 』 ｍｉ ｛ ， ， ｝ 总 假 设 ： 本 ０ 一 ｎａ卢 ｙ且
《微分方程 》课件
需要选择合适的代换变量。
详细描述
在使用变量代换法时，需要选择合适的代换变量，使得微 分方程能够被转化为更简单的形式。这个过程需要一定的 技巧和经验。
积分因子法
总结词
通过寻找积分因子，将微分方程转化为积分方程。
详细描述
积分因子法是通过寻找积分因子，将微分方程转化为积 分方程，从而简化求解过程。这种方法适用于具有特定 形式的一阶非线性微分方程。
总结词
通过引入新的变量代换，简化微分方程的形式。
详细描述
变量代换法是通过引入新的变量代换，将微分方程转化为 更简单的形式，从而简化求解过程。这种方法适用于具有 特定形式的高阶微分方程。
总结词
适用于高阶微分方程。
详细描述
变量代换法主要适用于高阶微分方程，通过引入新的变量 代换，可以将高阶微分方程转化为更简单的形式，从而简 化求解过程。
解法
通常需要使用迭代法、级数法或摄动法等非线性 求解方法。
3
特例
当 p(x,y,y') = 0, q(x,y,y') = a（常数）时，方程 简化为 y'' + ay = f(x)，其解法与二阶线性微分 方程类似。
二阶常系数线性微分方程
定义
形如 y'' + ay' + by = f(x) 的微分方程称为二阶常系数线性 微分方程。
《微分方程》PPT课件
目 录
• 微分方程简介 • 一阶微分方程 • 二阶微分方程 • 高阶微分方程 • 微分方程的解法 • 微分方程的应用实例
01
微分方程简介
微分方程的定义
总结词
微分方程是描述数学模型中变量之间 动态关系的方程，通过微分来描述函 数的变化率。
一类二阶非线性微分方程的Runge-Kutta法
）
ｆ＝ ３
， ， ＋
＋１
，
＋ 如＋ ＋
２ ｆ ｘ ＋ １ｈ ＝ （ ｎ
）
ｋ ＝ （ ｈ ＋ ＋ ＋ ３ ３ 厂 ｔ ， ＾３ 后） ＋
ｌ＝ （ ， Ｚ ＋ ＋ ３ ３ ｇ ｔ ＋ｈ ｕ ＋＾３ Ｚ）
３ ｆ ｘ ＋２ ＝（ｎ 了 ｋ ３ 了 ， ＋ ｈ２ ， ｋ） ，
式 ：
争，＋ Ｍ
ｚ＝ （ ＋１ ｇ
，
＋
ｌ ＋ ＋
Ⅱ ＋
ｌｈ ￡
ｌｈ ｌ）
ｌｈ ｋ
：
１ ｅｎ三阶方法 ： ．Ｈ ｕ
）川 ，
＝
，
＝） ， ＋
知（＋＋） 后｜Ｉ ｊｊ ｝｝ ：，
）
ｌｈ ｋ
。
，
如 ＝ （ｎ ｆ ｔ＋ １
，
ｌｈ ｋ
＋ ＋ ｖ． ＋
，
３数 值 例 子
下面给出一个数值例子 ： 当我们选取 ｌ ５ ＝一 ，
Ｔ ｍ ＝８， ｎ＝ 一３， ０＝ １＋
２Ｋ ｔ ． ｕ ａ三 阶方法 ： ｔ
， ＝ （ ＋ ． ， 川 ｙ＋ ． ４｝ ｉ ｉ ｝
ｋ ＝ ， Ｙ）
）
－（ ｓ－ｆ ｉ－ －－ ｎ１
如 ＋ ｌｋ ＝ 争， ｈ ＋ ， ）
问题 的数值 方法 ， 并给 出了数值 例子 。通过 与解析 解 比较 验证 本文方 法 的精 度 是很好 的 。
［ 键词 ］ Ｒ ｎｅ ｕｔ ； 关 ｕｇ —Ｋ ｔ ａ法 非线性微 分 方程 ； 数值 解 ［ 中图分类 号 ］ １５ ［ ０ ７ 文献标 识码 ］ ［ Ａ 文章编号 ］０８— ０９ ２１ ）６－ ０５— ２ １０ ８５ （０ｏ ０ ０３ ０