二阶非齐次线性微分方程的解法

目 录待定系数法 常数变异法 幂级数法 特征根法 升阶法 降阶法关键词：微分方程，特解，通解，二阶齐次线性微分方程常系数微分方程 待定系数法解决常系数齐次线性微分方程[]21220, (1)d x dxL x a a x dt dt≡++=12,.a a 这里是常数 特征方程212()0F a a λλλ=++=(1.1)(1)特征根是单根的情形设12,,,n λλλL 是特征方程的 (1.1)的2个彼此不相等的根，则相应的方程 (1)有如下2个解：12,t t e e λλ (1.2)如果(1,2)i i λ=均为实数，则 (1.2)是方程 (1)的2个线性无关的实值解，而方程(1)的通解可表示为 1212t tx c e c e λλ=+如果方程有复根，则因方程的系数是实系数，复根将成对共轭出现。

设iλαβ=+是一特征根，则i λαβ=-也是特征根，因而与这对共轭复根对应，方程 (1)有两个复值解(i)t (cos t sin ),t e e i t αβαββ+=+ (i)t (cos t sin ).t e e i t αβαββ-=-它们的实部和虚部也是方程的解。

这样一来，对应于特征方程的一对共轭复根i λαβ=±，我们可求得方程 (1)的两个实值解cos ,sin .t t e t e t ααββ（2）特征根有重跟的情形若10λ=特征方程的k 重零根，对应于方程 (1)的k 个线性无关的解211,t,t ,k t -L 。

若这个k 重零根10,λ≠设特征根为12,,,,m λλλL 其重数为1212,,,k (k 2)m m k k k k ++=L L 。

方程(1)的解为11112222111,t ,t ;,t ,t ;;,t ,t ;m m m m t t k t t t k t t t k t e e e e e e e e e λλλλλλλλλ---L L L L对于特征方程有复重根的情况，譬如假设i λαβ=+是k 重特征根，则i λαβ=-:也是k 重特征根，可以得到方程 (1)的2k 个实值解2121cos ,cos ,cos ,,cos ,sin ,sin ,sin ,,sin .t t t k t t t t k t e t te t t e t t e t e t te t t e t t e t ααααααααββββββββ--L L例1 求方程220d xx dt -=的通解。

解 特征方程210λ-=的根为121,1λλ==-有两个实根，均是单根，故方程的通解为12,t t x c e c e -=+这里12,c c 是任意常数。

例2 求解方程 220d xx dt +=的通解。

解 特征方程210λ+=的根为12,i i λλ==-有两个复根，均是单根，故方程的通解为12sin cos ,x c t c t =+这里12,c c 是任意常数。

某些变系数线性齐次微分方程的解法 （一）化为常系数1.在自变量变换下，可化为常系数的方程 一类典型的方程是欧拉方程221220d y dy x a x a y dx dx ++= (2)12(0),.a y a 这里为常数，它的特点是的k 阶导数（k=0,1,2,规定y =y ）的系数是x 的k 次方乘以常数我们想找一个变换，使方程(2)的线性及齐次性保持不变，且把变系数化为常系数。

根据方程x 本身的特点，我们选取自变量的变换(t)x ϕ=，并取(t)e tϕ=，即变换e (t ln )t x x == (2.1)就可以达到上述目的（这里设0x >，当0x <时，取tx e -=-，以后为确定起见，认为0x >）。

事实上，因为t dy dy dt dy e dx dt dx dt -==22222()()t t d y d dy dt d y dy e e dx dt dt dx dx dt --==-代入方程(2)，则原方程变为2122(1)d y dya a y o dt dt +-+=(2.2)方程(2.2)常系数二阶线性微分方程，由 上可求得方程的通解。

再变换(2.1)，代回原来的变量，就得到原方程(2)的通解。

例 求方程222540d y dyx x y dx dx ++=的通解解 此方程为欧拉方程，令e t x =，则由(2.2)知，原方程化为2244d y dyy o dt dt ++= (2.3)其特征方程为2440λλ++=特征根为122λλ==-，故方程(2.3)的通解为212(c c t)e t y -=+换回原自变量x ，则原方程的通解为212(c c ln )y x x -=+2.在未知函数的线性齐次变换下，可化为常系数的方程 现在考虑二阶变异系数线性方程2122()()0d y dyP x P x y dx dx ++= (2.4)的系数函数12(),()P x P x 满足什么条件时，可经适当的线性齐次变换()z y a x =(2.5)化为常系数方程。

这里()a x 是待定函数。

为此，把(2.5)代入方程(2.4)，可得到'''''''112()z [2P ()()][()P ()()P ()()]0a x a x x a x z a x x a x x a x z +++++=(2.6)欲使(2.6)为常系数线性齐次方程，必须选取()a x 使得'''z z 、及z 的系数均为常数。

特别地，令'z 的系数为零，即'12()0a P x a += 可求得11()d 2()e P x x a x -⎰=再代入(2.6)，整理之，得到''2'21111[P ()()()]042z x P x P x z +--= (2.7)由此可见，方程(2.4)可经线性齐次变换11()dx 2p x y e z -⎰=g (2.8)化为关于z 的不含一阶导数项的线性齐次方程(2.7)，且当z 的系数2'21111()P ()()()42I x x P x P x =--为常数时，方程(2.7)为常系数方程。

因方程(2.4)在形如(2.8)的变换下，函数()I x 的值不会改变，故称()I x 为方程(2.4)的不变式。

因此，当不变式()I x 为常数时，方程(2.4)可经变换(2.8)化为常系数线性齐次方程。

例求方程2'''21()04x y xy x y ++-=的通解 解 这里12211(),()14P x P x x x ==-，因 22211111()1()()1442I x x x x =----=故令112dx xy ez-⎰==g 就可把原方程化为常系数方程''0z z +=可求得其通解为12cos sin z c x c x=+代回原变量y ，则得原来方程的通解为12y c c =+（二）降阶的方法 处理一般高阶微分方程的基本原则是降 阶，即利用适当的变换把高阶方程的求解问题转化为较低阶方程的求解问题。

具体参考常微分方程的思想与方法，这里只讨论二阶的。

已知22(t)(t)0d x dxp q x dt dt ++=的一个特解10x ≠，试求该方程的通解解 作变换1x x ydt=⎰，则原方程可化为一阶线性微分方程 '1112(t)0,dy x x p x y dx ⎡⎤++=⎣⎦ 求解，得(t)dt1211,p y c e x -⎰=所以原方程的通解为(t)dt 121211.p x x c c e dt x -⎡⎤⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ 法二设2x 是方程的任一解，则有刘维尔公式得()12''12p t dt x x ce x x -⎰=其中常数0c ≠，亦即()''1212.p t dtx x x x ce -⎰-=以积分因子211x 乘上式两端，就可推出(t)dt2211(),p x d c e dt x x -⎰= 积分上式可得到(t)dt 121211.p x x c c e dt x -⎡⎤⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰例 求方程'''0xy xy y -+=的通解解 由观察知方程有一特解1()y x x =，令y xz =则''''''',2y z xz y z xz =+=+，代入方程，得2''2'(2)0x z x x z +-=再令'z u =，得一阶线性齐次方程2'(2)0x u x xu +-=从而可得11222,x xe e u c z c dx c x x ==+⎰取121,0,c c ==便得原方程的另一解22x e y x dxx =⎰显然，解12,y y 线性无关，故方程的通解为122xe y c x c x dxx=+⎰幂级数法考虑二阶线性微分方程22(x)(x)y 0 (1)d y dyp q dx dx ++=及初值00(x )y y =及''00(x )y y =的情况可设一般性，可设00x =，否则，我们引进新变量t x x =-，经此变换，方程的形式不变，但这时对应于0x x =的就是00t =了.因此总认为00x =.定理 若方程(1)中的系数()p x 和()q x 都能展成x 的幂级数，且收敛区间为x R<,则方程(1)有形如nn n y a x ∞==∑的特解，也以x R<为级数的收敛区间.定理 若方程(1)中的系数()p x 和()q x 都能展成x 的幂级数，且收敛区间为x R<,则方程(1)有形如nn n y a x ∞==∑的特解，也以x R<为级数的收敛区间.定理 若方程(1)中的系数()p x 和()q x 具有这样的性质，即()xp x 和2()x q x 都能展成x 的幂级数，且收敛区间为x R <,若00a ≠，则方程(1)有形如(1.1)nn n y xa xα∞==∑的特解，α是一个待定的常数.级数 (1.1)也以x R <为级数的收敛区间.例 求方程'''240y xy y --=的满足初值条件(0)0y =及'(0)1y =的解解 设2012n n y a a x a x a x =+++⋅⋅⋅++L(1.2)为方程的解.利用初值条件，可以得到010,1,a a ==因而22n n y x a x a x =++⋅⋅⋅++L'2123123n n y a x a x na x -=+++⋅⋅⋅++L ''223232(n 1)n n y a a x n a x -=++⋅⋅⋅+-+g L将''',,y y y 的表达式代入原方程，合并x 的同次幂的项，并令各项系数等于零，得到234220,1,0,,1n n a a a a a n -====-L L因而567891111,0,,0,,2!63!4!a a a a a ======L最后得212111,0,(k 1)!!k k a a k k +===-g对一切正整数k 成立.将(i 0,1,2,)i a =L 的值代回(1.2)就得到、252134222!! (1)2!!=e ,k k x x x y x x k x x x x k x +=+++++=+++++L LL L这就是方程满足所给初值条件的解.例用幂级数解法求解方程'''0y xy y ++=解 因为012()1,p (),()1p x x x p x ===，所以在00x =的邻域内有形如00nn n y a x ∞==∑的幂级数解.将'''000,,y y y 代入原方程，得22023(2)[n(n 1)(n 1)]0.n n n n a a a a x ∞--=++-+-=∑比较x 的同次幂的系数，得203120,620,a a a a +=+=2(n 1)(n 1)0 (n 4).n n n a n a --+-=≥解得012320,1,,(1)232!n n n a a a a a a n =-=-=-121(1).13(2n 1)n n a a +-=⋅⋅⋅+g g g 所以，原方程的通解为22101001(1)(),!213(2n 1)nn n n n x y a a x n ∞∞+==-=-+⋅⋅⋅+∑∑g g g即2212010(1).13(2n 1)x nn n y a ea x ∞-+=-=+⋅⋅⋅+∑g g g方程组的消元法 在某些情形下，类似于代数方程组的消元，我们可以把多个未知函数的线性方程组化为某一个未知函数的高阶微分方程来求解 例 求解线性微分方程组5,2.dxx y dt dy x y dx ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解 从第一个方程可得1(),5dyy x dx =- (1.2)把它代入第二个方程，就得到关于x 的二阶方程式2290.d xx dt +=不难求出它的一个基本解组为12cos3,sin 3,x t x t ==把1x 和2x 分别代入(1.2)式，得出y 的两个相应的解为1211(cos33sin 3),(sin 33cos3).55y t t y t t =+=- 由此得到原来微分方程组的通解为125cos35sin 3,cos33sin 3sin 33cos3x t t c c y t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 其中1c 和2c 为任意常数二阶非齐次线性微分方程待定系数法常用于解决常系数非齐次线性微分方程[]()2122,(2)d x dxL x a a x f t dt dt≡++=()12,a a f t 这里是常数，为连续函数类型一()()1011()e ,(i 0,1,m)1m m t m m i f t b t b t b t b b λλ--=+++=L L 设其中及为实常数，那么方程有形如1011(B )k m m tm m x t t B t B t B e λ--=+++:L的特解，其中k 为特征方程()=0F λ的根λ的重数(单根相当于1k =；当λ不是特征根时，取0k =),而01,,m B B B L 是待定常数，可以通过比较系数来确定.类型二()()()()()()cos t sin t ,2atf t A t B t t t m ββαβ=+⎡⎤⎣⎦设e 其中是常数,而A ,B 是带实系数的t的多项式，其中一个的次数为m,而另一个的次数不超过,那么我们有如下结论：方程有形如()()cos t sin t k atx t P t Q t ββ=+⎡⎤⎣⎦:e 的特解，其中k 为特征方程()=0F λ的根a i β+的重数，而()(),P t Q t 均为待定的带实系数的次数不高于m 的t 的多项式，可以通过比较系数来确定.求方程222331d x dxx t dt dt --=+的通解解 先求对应的齐次线性微分方程22230d x dxx dt dt --=的通解.这里特征方程2230λλ--=有两个根123,1λλ==-.因此，通解为312t tx c e c e -=+，其中12,c c 为任意常数.再求非齐次线性微分方程的一个特解.这里()31,0,f t t λ=+=又因为0λ=不是特征根，故可取特解形如x A Bt =+:,其中,A B 待定常数.为了确定A,B,将x A Bt =+:代入原方程，得到23331B A Bt t ---=+，比较系数得33,231,B B A -=--=由此得11,,3B A =-=从而1,3x t =-:因此，原方程的通解为 3121e t .3t t x c e c -=+-+:求方程的2244cos 2d x dxx t dt dt ++= 通解.解 特征方程2440λλ++=有重根122λλ==-，因此，对应的齐次线性微分方程的通解为212(c c t)e ,t x -=+其中12,c c 为任意常数.现求非齐次线性微分方程的一个特解.因为2i ±不是特征根，我们求形如cos 2t Bsin 2x A t =+:的特解，将它代入原方程并化简得到8cos 28sin 2cos 2,B t A t t -=比较同类项系数得10,,8A B ==从而1sin 2,8x t =:因此原方程的通解为2121(c c t)e sin 2.8t x t -=++ 方法二由方法一知对应的齐次线性的通解为212(c c t)e .t x -=+为求非齐次线性微分方程的一个特解，我们先求方程22244itd x dx xe dt dt ++=的特解.这是属于类型一，而2i 不是特征根，故可设特解为21cos 2t sin 2t,888it i i x e =-=-+:分出它的实部{}1Re sin 2t,8x =:于是原方程的通解为 2121(c c t)e sin 2t8t x -=++注：对于()()()()()2212212221221212 (3)(t),,, (4),,.d x dxa a x f t d x dx dt dta a x f t g f t dt dt d x dx a a x g t dt dt g t x x x x x ⎧++=⎪⎪++=+⎨⎪++=⎪⎩=+:::::可分解为并且均满足类型一或者类型二.若(3),(4)的特解分别为则原方程的特解为这是因为()2111212d x dx a a x f t dt dt++=，2221222(t)d x dx a a x g dt dt++=，()2212121212122222112212112222()()() =+ =(t),d x x d x x d x d xa a x a a x x dt dt dt dtd x d x d x d x a a x a a x dt dt dt dtf tg ++++=++++++++:::::::::::::::（）（）求'''2441t tx x x e e -+=++的通解.对应的齐次方程的特征方程为2440,λλ-+=即得特征根为12 2.λλ==(1)对应方程'''44tx x x e -+=，设其特解为,t x A e =:g 代入方程则的1,A =即方程'''44tx x x e -+=的一个特解为.tx e =:(2)对应方程'''244tx x x e -+=，设其特解为22,t x Bt e =:代入方程则的1,2B = 即方程'''244tx x x e -+=有一个特解为221.2tx t e =:(3)对应方程'''441x x x -+=，设其特解为,x C =:代入方程则的1,4C = 即方程'''244tx x x e -+=有一个特解为1.4x =:所以原方程的通解为2221211(c c t)e ,24t t t x e t e =++++这里12,c c 是任意常数.升阶的方法升阶是常微分方程很少提到的一种方法，这是因为随着阶数的升高，一般会使得求解更为繁琐，但适当运用这种方法，在有些情况下也可以受到事半功倍的效果.升阶法往往用于求常系数非齐次线性微分方程，具体分析见参考文献【9】例 用升阶法求方程'''2331x x x t --=-+的一个特解解 两边同时逐次求导，直到右边为常数，得''''''233,x x x --=-令'1x =-，则'''''0x x ==代回原方程，得2331x t --=-+，解之，有1x t =-，该表达式几位方程的一个特解.例 用升阶法求方程'''25sin 2tx x x e t -+=的一个特解 解 先求解方程'''(12i)25t y y y e +-+=， 令(12i)t (t)e y u +=，代入方程，得'''41u iu +=， 取'1144u i i ==-，进一步取14u it=-，则 (12i)t t 11(cos 2t isin 2t)4411sin 2cos 2,44t t y ite ite te t ite t +=-=-+=-其虚部函数为原方程的一个特解，即可求得原方程的一个特解为1cos 2.4t x te t =-常数变易法定理 如果12(t),(t),(t),(t)n a a a f L 是区间a tb ≤≤上的连续函数，12(t),(t),(t)n x x x L 是区间a t b ≤≤上齐次线性微分方程()()11(t)(t)0nn n x a x a x -+++=L 的基本解组，那么，非齐次线性微分方程()()11(t)(t)(t)nn n x a x a x f -+++=L的满足初值条件'(n 1)0000()0,()0,()0,t [a,b]t t t φφφ-===∈L的解有下面公式给出012112[(s),(s),,(s)](t)(t)(s)ds,[(s),(s),,(s)]tnk n k k n t W x x x x f W x x x φ=⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∑⎰L L这里12[(s),(s),,(s)]n W x x x L 是12(s),(s),,(s)n x x x L 的朗斯基行列式，12[(s),(s),,(s)]k n W x x x L 是在12[(s),(s),,(s)]n W x x x L 中的第k 列代以(0,0,,0,1)TL 后得到的行列式，而且非齐次方程的任一解(t)u 都具有形式1122(t)c (t)c (t)c (t)(t),n n u x x x φ=++++L这里12,,,nc c c L 是适当选取的常数.特别地，当2n =时'''1(t)(t)0n x a x a x +++=L 的特解为00112212121212[(s),(s)][(s),(s)](t)(t)(s)ds (t)(s)ds.[(s),(s)][(s),(s)]ttt t W x x W x x x f x f W x x W x x φ⎧⎫⎧⎫=+⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎰⎰其中21122'20()[(s),(s)](),1()x s W x x x s x s ==-12121'1()0[(s),(s)](),()1x s W x x x s x s ==因此，当2n =时，常数变易公式变为 0211212(t)()(t)(s)(t)(s)ds.[(),(s)]tt x x s x x f W x s x φ-=⎰而通解就是1122(t)(t)(t).x c x c x φ=++法二 设12(t),(t),,(t)n x x x L 是方程()()11(t)(t)0nn n x a x a x -+++=L 的基本解组，当满足以下条件时，1122(t)(t)(t)(t)(t)(t)n n x c x c x c x =+++L 是方程()()11(t)(t)(t)nn n x a x a x f -+++=L 的通解'''1122''''''1122(n 2)'(n 2)'(n 2)'1122(n 1)'(n 1)'(n 1)'1122(t)c (t)(t)c (t)(t)c (t)0(t)c (t)(t)c (t)(t)c (t)0(t)c (t)(t)c (t)(t)c (t)0(t)c (t)(t)c (t)(t)c (t)(t)n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x f ------⎧+++=⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪+++=⎩L L L M L ⎪⎪2n =特别地，当，满足条件''1122''''1122(t)c (t)(t)c (t)0(t)c (t)(t)c (t)(t)x x x x f ⎧+=⎨+=⎩ 的12(t),c (t)c ，则1122(t)(t)(t)(t)x c x c x =+为二阶非齐次线性微分方程'''12(t)(t)(t)x a x a x f ++=的通解例 试求方程''tan x x t +=的一个解解 易知对应的齐次线性微分方程''0x x +=的基本解组为12(t)cos t,(t)sin t.x x ==我们直接利用公式0211212(t)()(t)(s)(t)(s)ds.[(),(s)]tt x x s x x f W x s x φ-=⎰来求方程的一个的一个解。