二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及例题详解
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题讲解
>>>
2b0x2b0b1=x
比较系数
得
b0
=
1 2
b1=1
故 y*= x( 1 x 1)e2x 2
提示 2b0=1 齐2次b0方b程1=y05y6y=0的通解为Y=C1e2xC2e3x
特解形式
例2 求微分方程y5y6y=xe2x的通解 解 齐次方程y5y6y=0的特征方程为r25r 6=0
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一、 f(x)=Pm(x)ex 型
设方程ypyqy=Pm(x)ex 特解形式为
y*=Q(x)ex
则得
Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) ——(＊)
(1)如果不是特征方程r2prq=0的根 则 (2)如果是特征方程r2prq=0的单根 则
则得
Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) ——(＊)
(1)如果不是特征方程r2prq=0的根 则
y*=Qm(x)ex
提示 此时2pq0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m次多项式 Qm(x)=b0xmb1xm1 bm1xbm
y*=x2Qm(x)ex
提示 此时2pq=0 2p=0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m2次多项式 Q(x)=x2Q下页
结论
二阶常系数非齐次线性微分方程
有形如
ypyqy=Pm(x)ex
y*=Qm(x)ex y*=xQm(x)ex
提示 此时2pq=0 但2p0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m1次多项式 Q(x)=xQm(x)
其中Qm(x)=b0xm b1xm1 bm1xbm
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一、 f(x)=Pm(x)ex 型
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
例2 求微分方程y′′−5y′+6y=xe2x的通解. 解 齐次方程y′′−5y′+6y=0的特征方程为r2−5r +6=0, 其根为r1=2, r2=3. 因为f(x)=Pm(x)eλx=xe2x, λ=2是特征方程的单根, 所以非齐次方程的特解应设为 y*=x(b0x+b1)e2x. 把它代入所给方程, 得 >>> −2b0x+2b0−b1=x. 比较系数, 得b0 =− 1 , b1=−1, 故 y*= x(− 1 x−1 e2x . ) 2 2 提示: −2b0=1, 2b0−b1=0. 齐次方程y′′−5y′+6y=0的通解为Y=C1e2x+C2e3x .
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一、 f(x)=Pm(x)eλx 型
设方程y′′+py′+qy=Pm(x)eλx 特解形式为y*=Q(x)eλx, 则得 Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=Pm(x). ——(＊)
提示:
y*′′+py*′+qy* =[Q(x)eλx]′′+[Q(x)eλx]′+q[Q(x)eλx] =[Q′′(x)+2λQ′(x)+λ2Q(x)]eλx+p[Q′(x)+λQ(x)]eλx+qQ(x)eλx =[Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)]eλx.
提示: 此时λ2+pλ+q≠0. 要使(＊)式成立, Q(x)应设为m次多项式: Qm(x)=b0xm+b1xm−1+ ⋅ ⋅ ⋅ +bm−1x+bm.
高数二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题详解
其根为r12 r23 因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根 所以非齐次方程的特解应设为 y*x(b0x+b1)e2x 把它代入所给方程 得
2b0x+2b0b1x
比较系数 得 b0 1 b1 1 故 y* x( 1 x 1)e 2 x 2 2
2b0x+2b0b1x
比较系数 得 b0 1 b1 1 故 y* x( 1 x 1)e 2 x 2 2
提示 2b01 2b0b10 齐次方程y5y+6y0的通解为YC1e2x+C2e3x
特解形式
例2 求微分方程y5y+6yxe2x的通解 解 齐次方程y5y+6y0的特征方程为r25r +60
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一、 f(x)Pm(x)ex 型 设方程y+py+qyP (x)e 特解形式为y*Q(x)e
m x
则得
Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊)
提示
y*+py*+qy* [Q(x)ex]+[Q(x)ex]+q[Q(x)ex] [Q(x)+2Q(x)+2Q(x)]ex+p[Q(x)+Q(x)]ex+qQ(x)ex [Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)]ex
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一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得 Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根 则 y*Qm(x)ex
第六节 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法
o
x
x
17
h sin pt x = Asin ( k t +ϕ ) + 2 2 k −p
自由振动 强迫振动
当干扰力的角频率 p ≈固有频率 k 时,
h 振 幅 2 将 大! 很 k − p2 • 当 p = k 时, 非齐次特解形式:
而 2r + a ≠ 0 , 则令 Q ( x ) = x Qm ( x ) , 即
y = xQm ( x)e
∗
rxБайду номын сангаас
5
′′ + (2r + a)Q′ + (r 2 + ar + b)Q = Pm ( x) Q
情形3 情形3
(*)
是特征方程的二重 二重根 若 r 是特征方程的二重根, 即 r 2 + ar + b = 0 ,
3x
1 3 3x + x e . 6
10
3x 的通解. 例6 求微分方程 y′′ − 6 y′ + 9 y = x e 的通解.
解
特征方程 λ2 − 6λ + 9 = 0 , 特征根 λ1, 2 = 3 ，
对应齐次方程通解 Y = (C1 + C 2 x ) e 3 x .
是二重特征根, 因为 r = 3 是二重特征根,
y′′ + ay′ + by = f (x) 对应齐次方程 y′′ + ay′ + by = 0
(1) (2)
是方程(1) 的一个特解, (1)的一个特解 定理2 定理2 设 y ∗ ( x ) 是方程 (1) 的一个特解,
3.非齐次微分方程
有根
x ( d cos x k sin x )
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例7. 第六节例1 (P323)中, 若设物体只受弹性恢复力 f 和铅直干扰力 F h sin pt 的作用 , 求物体的运动规律. 解: 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程
d x dt
2 2
k
2
x h sin p t
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Q ( x )
( p q ) Q ( x ) Pm ( x )
2
(2) 若 是特征方程的单根 , 即 为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若 是特征方程的重根 , 即
2 p 0 ,
则 Q ( x ) 是 m 次多项式, 故特解形式为 y * x Q m ( x ) e
于是求得一个特解
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例5. 解: 特征方程为 r 2 9 0 , 其根为
对应齐次方程的通解为
的通解.
为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为 代入方程:
6 b cos 3 x 6 a sin 3 x
比较系数, 得 因此特解为 y * x ( 5 cos 3 x 3 sin 3 x )
y* x
k
e
x
~ [ R m ( x ) cos x R m ( x ) sin x ]
3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
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思考与练习
1 . (填空) 设
时可设特解为
y * x ( a x b ) cos x ( cx d ) sin x
Pm ( x ) e
( i ) x
微分方程-二阶常系数非齐次线性微分方程
从而
∗ y1 = −2ixe ix = −2ix (cos x + i sin x )
= 2 x sin x + ( −2 x cos x ) i ,
Q
f ( x ) = 4 sin x = Im(4e ix )
(4e 的虚部)
ix
∗ ∴ 原方程有特解： y∗ = Im( y1 ) = −2 x cos x
λ = 1 是特征单根，k = 1
∗ ∴ 可设立特解： y2 = x ⋅ ce x ,
由解的叠加原理， 对于 y ′′ − y ′ = xe − x + e x ,
∗ ∗ ∴ 可设立特解： y∗ = y1 + y2
例2 求方程 y′′ − 3 y′ + 2 y = xe 2 x 的通解 . 解 1°特征方程 特征根
λ = 0不是特征根， k = 0
∴ 可设立(1)的特解形为
y∗ = Ax + B
( y∗ )′ = A, ( y∗ )′′ = 0
代入(1)，得
1 ∴ A= B= 2 a
a 2 ( Ax + B ) = x + 1
1 故(1)有特解： y = 2 ( x + 1) a
∗
∴ 当a > 0时， (1)的通解为： 1 y = C1 cos ax + C 2 sin ax + 2 ( x + 1). a
作变量变换
x = e t 或 t = ln x ,
将自变量换为 t ,
d y d y dt 1 d y = = , d x dt d x x dt
d2 y 1 ⎛ d2 y d y ⎞ ⎟, = 2⎜ 2 − dt ⎟ d x2 x ⎜ d t ⎠ ⎝
04-二阶常系数非齐次线性微分方程(2)PPT
二阶常系数非齐次线性方程的解(2)* y 特解二阶常系数线性微分方程=+'+''y q y p y 二阶常系数齐线性方程)(x f y q y p y =+'+''二阶常系数非齐线性方程特征方程2=++q p λλ特征根, 21λλ2211y C y C Y +=通解*y Y y +=通解)2()( x f y q y p y =+'+'')1(.0 =+'+''y q y p y的情形x x P e x f x x P e x f n xn xββααsin )()(,cos )()(==欧拉公式：.sin i cos i θθθ+=e性质4是方程若 )(i )(* 21x y x y y ±=)(i )()()(21x f x f y x q y x p y ±=+'+'')()()(1x f y x q y x p y =+'+''的一个特解.)( 1是方程的一个特解，则x y)( 2是方程的一个特解；x y )()()(2x f y x q y x p y =+'+''*Re 1y y =实部*m I 2y y =虚部cos )( x x P e y q y p y n xβα=+'+'' sin )( x x P e y q y p y n xβα=+'+'')( )i (x P ey q y p y n xβα±=+'+'')(*)i (x Q ex y n xk βα±=*Re *1y y =*Im *2y y ±=i 不是特征根，βα±0 ；取=ki 是特征根，βα±1 ；取=k解.cos 的一个特解求方程x y y =+'' 01 2，特征方程=+λ i 2,1，＝特征根±λi 的特解：首先求方程xe y y =+'' 1 0 i ，且有，故取是特征根，由于===k n α *i 0，xe x b y =代入上述方程，得2i]i 2[0i i 000，，即有-==+-b e e x b x b b xx从而，原方程有一特解为.sin 21)cos i sin (21Re x x x x x x =-=)2i ( Re *Re *i 1x e x y y -==例1.sin 的一个特解求方程x x y y =+'' , 012=+λ特征方程 ,i 2,1±＝特征根λ的特解：首先求方程xe x y y i =+''且有故取是特征根由于,1,1,i ===k n α,)(*i 10xe b x b x y +=代入上述方程，得,i 22i 4100x b b x b =++比较系数，得,1i 40=b,0i 10=+b b,41,4i 10=-=b b 解例2从而，原方程有一特解为)]cos sin ()cos sin [(41Im 22x x x x x x x x -++=xex y y i 2)414i (Im *Im *+-== 故，xxe x x e b x b x y i i 10)414i ()(*+-=+= .)cos sin (412x x x x -=.sin cos 的一个特解求方程x x x y y +=+''由上面两个例题立即可得)cos sin (41sin 21***221x x x x x x y y y -+=+= .cos 41sin 432x x x x -=解例3内容小结]sin )(~cos )([x x P x x P e y q y p y n l xωωλ+=+'+''为特征方程的k (＝0, 1 )重根, ωλi ±xk ex y λ=*则设特解为]sin )(~cos )([x x R x x R m m ωω+。
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题哎呀，这可是个难题啊！不过别着急，我们一起来解决这个问题吧。
今天，我们要学习的是如何解二阶常系数非齐次线性微分方程。
听起来好像很高深莫测的样子，其实呢，只要用点心，就能轻松搞定哦！我们来看一下这个题目的意思。
所谓二阶常系数非齐次线性微分方程，就是说这个方程有两个未知数，而且它们的系数都是常数，但是方程中包含的项并不是齐次的。
那么，我们应该怎么解这个方程呢？其实，解决这个问题的关键在于找到一个合适的方法。
我们知道，解微分方程的方法有很多种，比如分离变量法、变量替换法、特征线法等等。
而对于二阶常系数非齐次线性微分方程来说，我们可以采用一种叫做“因式分解”的方法来求解。
具体来说，我们首先要将这个方程进行因式分解。
然后，根据不同的情况，选择合适的方法进行求解。
这里呢，我给大家举两个例子，看看到底是怎么做的吧。
第一个例子：假设我们要解的方程是这样的：y'' 2y' + y = 0我们可以先将这个方程进行因式分解：(y'' 2y')(1 y) = 0这样一来，我们就得到了两个独立的一阶线性微分方程：y'' 2y' = 0y' y = 0接下来，我们就可以分别用这两个方程来求解了。
具体来说，我们可以先求出y'和y''的关系式，然后再代入第二个方程求解。
当然啦，这只是其中一种方法，还有很多其他的方法可以用来解决这个问题。
第二个例子：假设我们要解的方程是这样的：xy'' + x^2y' + xy = 0我们可以先将这个方程进行因式分解：(xy'' + x^2y')(x + 1) = 0这样一来，我们就得到了两个独立的一阶线性微分方程：xy'' + x^2y' = 0xy' + x = 0同样地，我们可以分别用这两个方程来求解了。
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微分算子法：
微分算子法是求解不同类型常系数非齐次线性 微分方程特解的有效方法，使用微分算子法求 解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解记忆 较为方便，计算难度也可降低。引入微分算子 d/dx=D，d^2/dx^2=D^2，
则有 y'=dy/dx=Dy，y''=d^2y/dx^2=D^2y
于是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)可化为(D^2+pD+q)y=f(x)， 令F(D)=D^2+pD+q，称为算子多项式， F(D)=D^2+pD+q即为F(D)y=f(x)，其特解为 y=f(x)/F(D) 。
降阶法：
y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an…… y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)! y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n! 令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由
y*= xQk (x) ex
其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特 征根、是单特征根或二重特征根，依次取0,1 或2.
将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系 数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而 得特解y*。
多项式法：
设常系数线性微分方程
y''+py'+qy =pm (x)pm ex
y=Y+y*.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 两种特殊类型
e 1.f(x)= x Pm （x）型 e 2. f(x)= x[ P(lx) cos ωx+ (xP) )nsin ωx]型
例题
解法 通解=非齐次方程特解+齐次方程通解
对二阶常系数线性非齐次微分方程形式
ay''+by'+cy=p(x) ex
的特解y*具有形式
如果已知线性微分方程对应齐次方程的一 个特解，就可以用降阶法求出其解，线性 齐次微分方程的特解也可以用降阶法求出 。
二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是
y''+py'+qy=f(x)
其中p，q是常数，f（x）是给定的非零连续函数.
通解
如果y*是方程y''+py'+qy=f(x)的一个特解，Y 是它所对应的齐次线性微分方程 y''+py'+qy =0 的通解，
那么非齐次线性微分方程y''+py'+qy=f(x)的通 解就是
其中p，q，λ是常数，pm(x)是x的m次多项 式，令y=ze^(λz) ，则方程可化为：
F″(λ)/2!z″+F′(λ)/1!z′+F(λ)z=pm(x) ，这里 F(λ)=λ^2+pλ+q为方程对应齐次方程的特征 多项式。
升阶法：
设y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，当f(x)为多项式时，设 f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an，此时，方程两 边同时对x求导n次，得