高中数学人教A版必修四课下能力提升习题：(十三) 含解析
2017-2018学年高中数学人教A版必修四课下能力提升：(十一) Word版含解析
课下能力提升(十一) [学业水平达标练]题组1 “五点法”作图1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )2．作出函数y ＝32sin ⎝⎛⎭⎫13x －π3在长度为一个周期的闭区间上的图象．题组2 三角函数的图象变换3．将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数4．为了得到y ＝cos 4x ，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有点的( ) A ．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B ．横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的14倍，横坐标不变5．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象( )A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度6．把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )7．已知函数f (x )的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x 轴向左平移π2个单位长度，这样得到的图象与y ＝12sin x 的图象相同，求f (x )的解析式．题组3 由图象确定函数的解析式8．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图，则ω＝( )A ．5B ．4C ．3D ．29．如图是y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的一部分，则它的一个解析式为( )A ．y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B ．y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4C ．y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x －π3D ．y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π310．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．[能力提升综合练]1．简谐运动y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫5x －π3的相位与初相是( )A ．5x －π3，π3B ．5x －π3，4C ．5x －π3，－π3D ．4，π32．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋23．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝⎛⎭⎫π12＝0，则ω的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．84．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 014)的值等于( )A. 2 B ．2＋2 2 C.2＋2 D.2－25．如图所示的曲线是y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的一部分，则这个函数的解析式是________．6．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．7．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)把f (x )的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？8．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫π2，2，由此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫3π2，0，若φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)试求这条曲线的函数解析式； (2)写出函数的单调区间．答 案[学业水平达标练]1. 解析：选A 当x ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎫－π3＝－32<0，故可排除B 、D ；当x ＝π6时，sin ⎝⎛⎫2×π6－π3＝sin0＝0，排除C.2. 解：列表：X ＝13x －π3π2π3π22πxπ5π2 4π 11π2 7π y ＝32sin ⎝⎛⎭⎫13x －π3 032－32描点画图(如图所示)．3.4. 解析：选B ω＝4>1，因此只需把余弦曲线上所有的点的横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变．5. 解析：选B y ＝sin ⎝⎛⎫2x ＋π6x ＋φＦy ＝sin ⎣⎡⎦⎤2（x ＋φ）＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，即2x ＋2φ＋π6＝2x －π3，解得φ＝－π4，即向右平移π4个单位长度．→x ＋φＦy ＝sin ⎣⎡⎦⎤2（x ＋φ）＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，即2x ＋2φ＋π6＝2x－π3，解得φ＝－π4，即向右平移π4个单位长度． 6. 解析：选A 变换后的三角函数为y ＝cos(x ＋1)，结合四个选项可得A 选项正确． 7. 解：反过来想，8. 解析：选B 由函数的图象可得T 2＝12·2πω＝⎝⎛⎭⎫x 0＋π4－x 0＝π4，解得ω＝4.9. 解析：选D 由图象可知，A ＝23，T ＝5π12－⎝⎛⎭⎫－7π12＝π，∴ω＝2，∴y ＝23sin(2x ＋φ)．将点⎝⎛⎭⎫－π12，23代入上式，得23＝23·sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋φ，则φ－π6＝π2，得φ＝2π3，∴y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，故选D.10. 解：由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )， 即函数f (x )的图象关于y 轴对称，∴f (x )在x ＝0时取得最值，即sin φ＝1或－1.依题设0≤φ≤π，∴φ＝π2.由f (x )的图象关于点M 对称，可知 sin ⎝⎛⎫3π4ω＋π2＝0，则3π4ω＋π2＝k π，k ∈Z ，解得ω＝4k 3－23(k ∈Z )， 又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，所以T ≥π，即2πω≥π.∴ω≤2.又ω>0，∴k ＝1时，ω＝23；k ＝2时，ω＝2.故φ＝π2，ω＝2或23.[能力提升综合练]1. 解析：选C 相位是5x －π3，当x ＝0时的相位为初相即－π3. 2. 解析：选D 由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的最大值为4，最小值为0，可知b ＝2，A ＝2.由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，得ω＝4.由直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－5π6，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2.3. 解析：选A 函数f (x )的周期T ≤4⎝⎛⎭⎫π3－π12＝π，则2πω≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2.4. 解析：选A 由图可知A ＝2，φ＝0，T ＝8， ∴2πω＝8，即ω＝π4，∴f (x )＝2sin π4x .∵周期为8，且f (1)＋f (2)＋…＋f (8)＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝2sin π4＋2sin π2＋2sin 3π4＋2sin π＋2sin 5π4＋2sin3π2＝ 2.5. 解析：由函数图象可知A ＝2，T ＝43⎝⎛⎭⎫5π6－π12＝π，即2πω＝π，故ω＝2. 又⎝⎛⎭⎫5π6，0是五点法作图的第五个点，即2×5π6＋φ＝2π，则φ＝π3.故所求函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.答案：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π36. 解析：由题意知，ω＝2，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，故f (x )的最小值为f (0)＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－32，最大值为f ⎝⎛⎭⎫π3＝3sin π2＝3，所以f (x )的取值范围是⎣⎡⎦⎤－32，3. 答案：⎣⎡⎦⎤－32，3 7. 解：(1)A ＝3，2πω＝43⎝⎛⎭⎫4π－π4＝5π，ω＝25.由f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫25x ＋φ过⎝⎛⎭⎫π4，0， 得sin ⎝⎛⎭⎫π10＋φ＝0，又|φ|<π2，故φ＝－π10，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫25x －π10.(2)由f (x ＋m )＝3sin ⎣⎡⎦⎤25（x ＋m ）－π10＝3sin ⎝⎛⎭⎫25x ＋2m 5－π10为偶函数(m >0)，知2m 5－π10＝k π＋π2，即m ＝52k π＋3π2，k ∈Z . ∵m >0，∴m min ＝3π2. 故把f (x )的图象向左至少平移3π2个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数． 8. 解：(1)依题意，A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎫3π2－π2＝4π，∵T ＝2π|ω|＝4π，ω>0，∴ω＝12.∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ. ∵曲线上的最高点为⎝⎛⎭⎫π2，2，∴sin ⎝⎛⎭⎫12×π2＋φ＝1.∴φ＋π4＝2k π＋π2.∵－π2<φ<π2，∴φ＝π4.∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4.(2)∴令2k π－π2≤12x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，∴4k π－3π2≤x ≤4k π＋π2，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤4k π－3π2，4k π＋π2(k ∈Z )．令2k π＋π2≤12x ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，∴4k π＋π2≤x ≤4k π＋5π2，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤4k π＋π2，4k π＋5π2(k ∈Z )．。
2017-2018学年高中数学人教A版必修四课下能力提升：(十一)含解析
课下能力提升(十一) [学业水平达标练]题组1 “五点法”作图1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )2．作出函数y ＝32sin ⎝⎛⎭⎫13x －π3在长度为一个周期的闭区间上的图象．题组2 三角函数的图象变换3．将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数4．为了得到y ＝cos 4x ，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有点的( ) A ．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B ．横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的14倍，横坐标不变5．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象( )A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度6．把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )7．已知函数f (x )的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x 轴向左平移π2个单位长度，这样得到的图象与y ＝12sin x 的图象相同，求f (x )的解析式．题组3 由图象确定函数的解析式8．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图，则ω＝( )A ．5B ．4C ．3D ．29．如图是y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的一部分，则它的一个解析式为( )A ．y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B ．y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4C ．y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x －π3D ．y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π310．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．[能力提升综合练]1．简谐运动y ＝4sin ⎝⎛⎫5x －π3的相位与初相是( )A ．5x －π3，π3B ．5x －π3，4C ．5x －π3，－π3D ．4，π32．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋23．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝⎛⎭⎫π12＝0，则ω的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．84．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 014)的值等于( )A. 2 B ．2＋2 2 C.2＋2 D.2－25．如图所示的曲线是y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的一部分，则这个函数的解析式是________．6．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．7．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)把f (x )的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？8．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫π2，2，由此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫3π2，0，若φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)试求这条曲线的函数解析式； (2)写出函数的单调区间．答 案[学业水平达标练]1. 解析：选A 当x ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎫－π3＝－32<0，故可排除B 、D ；当x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝sin0＝0，排除C.2. 解：列表：X ＝13x －π3π2π3π22πxπ5π2 4π 11π2 7π y ＝32sin ⎝⎛⎭⎫13x －π3 032－32描点画图(如图所示)．3.4. 解析：选B ω＝4>1，因此只需把余弦曲线上所有的点的横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变．5. 解析：选B y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6x ＋φＦy ＝sin ⎣⎡⎦⎤2（x ＋φ）＋π6＝sin ⎝⎛⎫2x －π3，即2x ＋2φ＋π6＝2x －π3，解得φ＝－π4，即向右平移π4个单位长度．→x ＋φＦy ＝sin ⎣⎡⎦⎤2（x ＋φ）＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，即2x ＋2φ＋π6＝2x －π3，解得φ＝－π4，即向右平移π4个单位长度．6. 解析：选A 变换后的三角函数为y ＝cos(x ＋1)，结合四个选项可得A 选项正确．7. 解：反过来想，8. 解析：选B 由函数的图象可得T 2＝12·2πω＝⎝⎛⎭⎫x 0＋π4－x 0＝π4，解得ω＝4.9. 解析：选D 由图象可知，A ＝23，T ＝5π12－⎝⎛⎭⎫－7π12＝π，∴ω＝2，∴y ＝23sin(2x ＋φ)．将点⎝⎛⎭⎫－π12，23代入上式，得23＝23·sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋φ，则φ－π6＝π2，得φ＝2π3，∴y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，故选D.10. 解：由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )， 即函数f (x )的图象关于y 轴对称，∴f (x )在x ＝0时取得最值，即sin φ＝1或－1.依题设0≤φ≤π，∴φ＝π2.由f (x )的图象关于点M 对称，可知 sin ⎝⎛⎭⎫3π4ω＋π2＝0，则3π4ω＋π2＝k π，k ∈Z ，解得ω＝4k 3－23(k ∈Z )， 又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，所以T ≥π，即2πω≥π.∴ω≤2.又ω>0，∴k ＝1时，ω＝23；k ＝2时，ω＝2.故φ＝π2，ω＝2或23.[能力提升综合练]1. 解析：选C 相位是5x －π3，当x ＝0时的相位为初相即－π3. 2. 解析：选D 由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的最大值为4，最小值为0，可知b ＝2，A ＝2.由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，得ω＝4.由直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－5π6，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2.3. 解析：选A 函数f (x )的周期T ≤4⎝⎛⎭⎫π3－π12＝π，则2πω≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2.4. 解析：选A 由图可知A ＝2，φ＝0，T ＝8， ∴2πω＝8，即ω＝π4，∴f (x )＝2sin π4x .∵周期为8，且f (1)＋f (2)＋…＋f (8)＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝2sin π4＋2sin π2＋2sin 3π4＋2sin π＋2sin 5π4＋2sin3π2＝ 2.5. 解析：由函数图象可知A ＝2，T ＝43⎝⎛⎫5π6－π12＝π，即2πω＝π，故ω＝2. 又⎝⎛⎭⎫5π6，0是五点法作图的第五个点，即2×5π6＋φ＝2π，则φ＝π3.故所求函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.答案：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π36. 解析：由题意知，ω＝2，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，故f (x )的最小值为f (0)＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－32，最大值为f ⎝⎛⎭⎫π3＝3sin π2＝3，所以f (x )的取值范围是⎣⎡⎦⎤－32，3. 答案：⎣⎡⎦⎤－32，3 7. 解：(1)A ＝3，2πω＝43⎝⎛⎭⎫4π－π4＝5π，ω＝25.由f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫25x ＋φ过⎝⎛⎭⎫π4，0， 得sin ⎝⎛⎭⎫π10＋φ＝0，又|φ|<π2，故φ＝－π10，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫25x －π10.(2)由f (x ＋m )＝3sin ⎣⎡⎦⎤25（x ＋m ）－π10＝3sin ⎝⎛⎭⎫25x ＋2m 5－π10为偶函数(m >0)，知2m 5－π10＝k π＋π2，即m ＝52k π＋3π2，k ∈Z . ∵m >0，∴m min ＝3π2. 故把f (x )的图象向左至少平移3π2个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数． 8. 解：(1)依题意，A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎫3π2－π2＝4π，∵T ＝2π|ω|＝4π，ω>0，∴ω＝12.∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ. ∵曲线上的最高点为⎝⎛⎭⎫π2，2，∴sin ⎝⎛⎭⎫12×π2＋φ＝1.∴φ＋π4＝2k π＋π2.∵－π2<φ<π2，∴φ＝π4.∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4.(2)∴令2k π－π2≤12x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，∴4k π－3π2≤x ≤4k π＋π2，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤4k π－3π2，4k π＋π2(k ∈Z )．令2k π＋π2≤12x ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，∴4k π＋π2≤x ≤4k π＋5π2，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤4k π＋π2，4k π＋5π2(k ∈Z )．。
高中数学人教A版必修四课下能力提升习题：(二十五) 含解析
课下能力提升(二十五) [学业水平达标练]题组1 求值问题1．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4＝( )A. 1＋a2B. 1－a2C ．－1＋a2D ．－ 1－a22．若f (x )＝2tan x －2sin 2 x 2－1sin x 2cos x 2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值是( )A ．－433B ．8C ．4 3D ．－4 33．已知cos θ＝－35，且180°<θ<270°，求tan θ2.题组2 三角函数式的化简4．化简2＋cos 2－sin 21的结果是( ) A ．－cos 1 B ．cos 1 C.3cos 1 D ．－3cos 15．化简⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＋2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α2得( )A ．2＋sin αB ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4C ．2D ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4题组3 三角恒等式的证明6．求证：sin 2x 2cos x ⎝⎛⎭⎫1＋tan x ·tan x 2＝tan x . 7．求证：2sin 4x ＋34sin 22x ＋5cos 4x －12(cos 4x ＋cos 2x )＝2(1＋cos 2x )．[能力提升综合练]1．函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈R ，则f (x )( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数，也是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数2．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2tan 13°1＋tan 213°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．a >b >c B ．a <b <c C ．a <c <b D ．b <c <a3．已知关于x 的方程x 2＋x cos A cos B －2sin 2C2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形4．若cos 2θ＋cos θ＝0，则sin 2θ＋sin θ＝________． 5．设α为第四象限角，且sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝________．6．化简：(1)2sin 8＋1＋2cos 8＋2； (2)12＋1212＋12cos 2α⎝⎛⎭⎫3π2<α<2π. 7．设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称．其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )的值域．答 案[学业水平达标练]1. 解析：选D ∵θ4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，6π4，∴sin θ4＝－1－cos θ22＝－1－a2. 2. 解析：选B f (x )＝2tan x －2sin 2 x 2－sin 2 x 2－cos 2x 212sin x＝2tan x ＋cos x 12sin x ＝2(tan x ＋1tan x )．又tan π12＝sin π61＋cosπ6＝13＋2， ∴原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋2＋3＋2＝8.3. 解：法一：∵180°<θ<270°，∴90°<θ2<135°，∴tan θ2<0，∴tan θ2＝－1－cos θ1＋cos θ＝－1－⎝⎛⎭⎫－351＋⎝⎛⎭⎫－35＝－2. 法二：∵180°<θ<270°，∴sin θ<0， ∴sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－925＝－45，∴tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝－451＋⎝⎛⎭⎫－35＝－2.4. 解析：选C 原式＝2＋1－2sin 21－sin 21＝3－3sin 21＝3（1－sin 21）＝3cos 21＝3cos 1.5. 解析：选C 原式＝1＋2sin α2cos α2＋1－cos[2(π4－α2)]＝2＋sin α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝2＋sinα－sin α＝2.6. 证明：∵左边＝2sin x ·cos x 2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin x cos x ·1－cos x sin x ＝sin x ·⎝⎛⎭⎪⎫1＋1－cos x cos x ＝sin xcos x ＝tan x ＝右边， ∴原式成立．7. 证明：左边＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2x 22＋34sin 22x ＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos 2x 22－12(cos 4x ＋cos 2x )＝2×1－2cos 2x ＋cos 22x 4＋34sin 22x ＋5×1＋2cos 2x ＋cos 22x 4－12(2cos 22x －1＋cos 2x )＝(2×14＋54＋12)＋[2×(－2cos 2x 4)＋5×2cos 2x 4－12cos 2x ]＋(2×cos 22x 4＋5×cos 22x 4－12×2cos 22x )＋34sin 22x ＝94＋cos 2x ＋34cos 22x ＋34sin 22x＝94＋cos 2x ＋34＝3＋cos 2x ＝3＋(2cos 2x －1) ＝2(1＋cos 2x )＝右边． ∴原式成立．[能力提升综合练]1. 解析：选D 由cos 2x ＝2cos 2x －1，得f (x )＝cos 2(x ＋π4)＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝12＋12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12－sin 2x 2， 所以该函数既不是奇函数，也不是偶函数．2. 解析：选C a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，∴a <c <b .3. 解析：选C 由一元二次方程根与系数的关系得－cos A cos B ＝12⎝⎛⎭⎫－2sin 2 C 2， 即cos A cos B ＝sin 2C2＝sin 2π－（A ＋B ）2＝cos 2A ＋B 2＝12[1＋cos(A ＋B )]．得cos(A －B )＝1.∴A ＝B .4. 解析：由cos 2θ＋cos θ＝0得2cos 2θ－1＋cos θ＝0， 所以cos θ＝－1或12.当cos θ＝－1时，有sin θ＝0； 当cos θ＝12时，有sin θ＝±32.于是sin 2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或3或－ 3.答案：0或±35. 解析：sin 3αsin α＝sin （2α＋α）sin α＝（1－2sin 2α）sin α＋2cos 2αsin αsin α＝2cos 2α＋1＝135，所以cos 2α＝45，又α是第四象限角，所以sin 2α＝－35，tan 2α＝－34.答案：－346. 解：(1)原式＝ 2sin 24＋cos 24＋2sin 4cos 4＋2（2cos 24－1）＋2＝2（sin 4＋cos 4）2＋4cos 24＝2|sin 4＋cos 4|＋2|cos 4|， 由于π<4<3π2，∴sin 4<0，cos 4<0，sin 4＋cos 4<0，∴原式＝－2(sin 4＋cos 4)－2cos 4＝－2sin 4－4cos 4. (2)∵3π2<α<2π，∴3π4<α2<π.原式＝ 12＋121＋cos 2α2 ＝12＋12|cos α|＝ 12＋12cos α ＝1＋cos α2＝ cos 2 α2＝－cos α2.7. 解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ .由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωπ－π6＝±1.所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈⎝⎛⎭⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56. 所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，即λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2，函数f (x )的值域为[－2－2，2－ 2 ]．。
高中人教A版数学必修4：习题课(三) Word版含解析
一、选择题1．对于非零向量ab 下列说法不正确的是( )A ．若a ＝b 则|a |＝|b |B ．若a ∥b 则a ＝b 或a ＝－bC ．若a ⊥b 则a ·b ＝0D ．a ∥b 与ab 共线是等价的答案：B解析：根据平面向量的概念和性质可知a ∥b 只能保证a 与b 的方向相同或相反但模长不确定因此B 错误．2．设向量ab 满足|a ＋b |＝10|a －b |＝6则a ·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．5答案：A解析：将已知两式左右两边分别平方得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋2a ·b ＋b 2＝10a 2－2a ·b ＋b 2＝6两式相减并除以4可得a ·b ＝1 3．设xy ∈R 向量a ＝(x 1)b ＝(1y )c ＝(2－4)且a ⊥cb ∥c 则|a ＋b |等于( )A 5B 10C ．2 5D ．10答案：B解析：∵a ⊥c ∴2x －4＝0x ＝2又b ∥c ∴2y ＋4＝0∴y ＝－2∴a ＋b ＝(x ＋11＋y )＝(3－1)． ∴|a ＋b |＝10 4．对于非零向量αβ定义一种向量积：α°β＝α·ββ·β已知非零向量ab 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2且a °bb °a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫ ⎪⎪n 2n ∈N 中则a °b ＝( ) A 52或32 B 12或32C ．1D 12答案：D解析：a °b ＝a ·b b ·b ＝|a |·|b |cos θ|b |2＝|a |cos θ|b |＝n 2n ∈N ①同理可得b °a ＝b ·a a ·a ＝|a |·|b |cos θ|a |2＝|b |cos θ|a |＝m 2m ∈N ②再由a 与b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2可得cos 2θ∈⎝⎛⎭⎫0，12①②两式相乘得cos 2θ＝mn 4mn ∈N ∴m ＝n ＝1∴a °b ＝n 2＝12选D 二、填空题7．若向量OA →＝(1－3)|OB →|＝|OA →|OA →·OB →＝0则|AB →|＝________答案：2 5解析：因为|AB →|2＝|OB →－OA →|2＝|OB →|2＋|OA →|2－2OA →·OB →＝10＋10－0＝20所以|AB →|＝20＝2 58．已知向量ab 满足|a |＝1|b |＝3a ＋b ＝(31)则向量a ＋b 与向量a －b 的夹角是________．答案：2π3解析：因为|a －b |2＋|a ＋b |2＝2|a |2＋2|b |2所以|a －b |2＝2|a |2＋2|b |2－|a ＋b |2＝2＋6－4＝4故|a －b |＝2因此cos 〈a －ba ＋b 〉＝(a －b )·(a ＋b )|a －b |·|a ＋b |＝1－34＝－12故所求夹角是2π3 9．设正三角形ABC 的面积为2边ABAC 的中点分别为DEM 为线段DE 上的动点则MB →·MC →＋BC →2的最小值为________． 答案：532 解析：设正三角形ABC 的边长为2a 因为正三角形ABC 的面积为2所以a 2＝233设MD ＝x (0≤x ≤a )则ME ＝a －xMB →·MC →＋BC →2＝(MD →＋DB →)·(ME →＋EC →)＋BC →2＝MD →·ME →＋MD →·EC →＋DB →·ME →＋DB →·EC →＋BC →2＝－x (a －x )＋xa cos120°＋(a －x )a cos120°＋a 2cos60°＋4a 2＝x 2－ax ＋4a 2当x ＝a 2时MB →·MC →＋BC →2取得最小值⎝⎛⎭⎫a 22－a ×a 2＋4a 2＝154a 2＝532三、解答题10．已知|a |＝4|b |＝8a 与b 的夹角是120°(1)求a ·b 及|a ＋b |的值；(2)当k 为何值时(a ＋2b )⊥(k a －b )?解：(1)a ·b ＝|a ||b |cos120°＝－16|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b＝4 3(2)由题意知(a ＋2b )·(k a －b )＝k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0即16k －16(2k －1)－2×64＝0解得k ＝－711．如图在△OAB 中P 为线段AB 上一点且OP →＝xOA →＋yOB →(1)若AP →＝PB →求xy 的值；(2)若AP →＝3PB →|OA →|＝4|OB →|＝2且OA →与OB →的夹角为60°求OP →·AB →的值．解：(1)若AP →＝PB →则OP →＝12OA →＋12OB → 故x ＝y ＝12(2)若AP →＝3PB →则OP →＝14OA →＋34OB → OP →·AB →＝错误!·(错误!－错误!)＝－14OA →2－12OA →·OB →＋34OB →2 ＝－14×42－12×4×2×cos60°＋34×22 ＝－3能力提升12．已知A (10)B (5－2)C (84)D (46)那么四边形ABCD 为( )A ．正方形B ．菱形C ．梯形D ．矩形答案：D解析：AB →＝(4－2)BC →＝(36)．AB →·BC →＝4×3＋(－2)×6＝0故AB →⊥BC →又DC →＝(4－2)故 AB →＝DC →又|AB →|＝20＝2 5|BC →|＝45＝3 5故|AB →|≠|BC →|所以四边形ABCD 为矩形．13．在平面直角坐标系中已知三点A (40)B (t 2)C (6t )t ∈R O 为坐标原点．(1)若△ABC 是直角三角形求t 的值；(2)若四边形ABCD 是平行四边形求|OD →|的最小值．解：(1)由题意得AB →＝(t －42)AC →＝(2t )BC →＝(6－tt －2)若∠A ＝90°则AB →·AC →＝0即2(t －4)＋2t ＝0∴t ＝2；若∠B ＝90°则AB →·BC →＝0即(t －4)(6－t )＋2(t －2)＝0∴t ＝6±22；若∠C ＝90°则AC →·BC →＝0即2(6－t )＋t (t －2)＝0无解∴满足条件的t 的值为2或6±2 2(2)若四边形ABCD 是平行四边形则AD →＝BC →设点D 的坐标为(xy )即(x －4y )＝(6－tt －2)∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10－t y ＝t －2即D (10－tt －2) ∴|OD →|＝(10－t )2＋(t －2)2＝2t 2－24t ＋104∴当t ＝6时|OD →|取得最小值4 2。
高中数学人教A版必修四课下能力提升(十五) Word版含解析
课下能力提升(十五)
[学业水平达标练]
题组向量的减法运算
．已知非零向量与同向，则－()
．必定与同向
．必定与同向
．必定与是平行向量
．与不可能是平行向量
．给出下面四个式子，其中结果为的是()
．①②．①③
．①③④．②③
题组向量减法及其几何意义
．若，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()
．[，] ．(，)
．[，] ．(，)
．如图，在正六边形中，＝()
．已知菱形边长都是，求向量的模．
题组利用已知向量表示未知向量
．如图，向量，则向量可以表示为()
．＋－．－＋
．－＋．－－
．已知一点到▱的个顶点，，的向量分别是，，，则向量等于()
．＋＋．－＋
．＋－．－－
．如图，已知是一正六边形，是它的中心，其中＝，＝，则等于．
．如图，在五边形中，若四边形是平行四边形，且＝，＝，＝，试用，，表示向
量
[能力提升综合练]
．有下列不等式或等式：
①－<＋<＋；
②－＝＋＝＋；
③－＝＋<＋；
④－<＋＝＋.
其中，一定不成立的个数是()
．．．．
．如图，，，分别是△的边，，的中点，则()
．．．．
．平面上有三点，，，设若，的长度恰好相等，则有()。
2017-2018学年高中数学人教A版必修四课下能力提升：(十一)含解析
课下能力提升(十一) [学业水平达标练]题组1 “五点法”作图1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )2．作出函数y ＝32sin ⎝⎛⎭⎫13x －π3在长度为一个周期的闭区间上的图象．题组2 三角函数的图象变换3．将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数4．为了得到y ＝cos 4x ，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有点的( ) A ．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B ．横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的14倍，横坐标不变5．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象( )A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度6．把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )7．已知函数f (x )的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x 轴向左平移π2个单位长度，这样得到的图象与y ＝12sin x 的图象相同，求f (x )的解析式．题组3 由图象确定函数的解析式8．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图，则ω＝( )A ．5B ．4C ．3D ．29．如图是y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的一部分，则它的一个解析式为( )A ．y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B ．y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4C ．y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x －π3D ．y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π310．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．[能力提升综合练]1．简谐运动y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫5x －π3的相位与初相是( )A ．5x －π3，π3B ．5x －π3，4C ．5x －π3，－π3D ．4，π32．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋23．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝⎛⎭⎫π12＝0，则ω的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．84．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 014)的值等于( )A. 2 B ．2＋2 2 C.2＋2 D.2－25．如图所示的曲线是y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的一部分，则这个函数的解析式是________．6．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．7．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)把f (x )的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？8．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫π2，2，由此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫3π2，0，若φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)试求这条曲线的函数解析式； (2)写出函数的单调区间．答 案[学业水平达标练]1. 解析：选A 当x ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32<0，故可排除B 、D ；当x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝sin 0＝0，排除C.2. 解：列表：描点画图(如图所示)．3.4. 解析：选B ω＝4>1，因此只需把余弦曲线上所有的点的横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变．5. 解析：选B y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6x ＋φＦy ＝sin ⎣⎡⎦⎤2（x ＋φ）＋π6＝sin ⎝⎛⎫2x －π3，即2x ＋2φ＋π6＝2x －π3，解得φ＝－π4，即向右平移π4个单位长度．→x ＋φＦy ＝sin ⎣⎡⎦⎤2（x ＋φ）＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，即2x ＋2φ＋π6＝2x －π3，解得φ＝－π4，即向右平移π4个单位长度．6. 解析：选A 变换后的三角函数为y ＝cos(x ＋1)，结合四个选项可得A 选项正确．7. 解：反过来想，8. 解析：选B 由函数的图象可得T 2＝12·2πω＝⎝⎛⎭⎫x 0＋π4－x 0＝π4，解得ω＝4.9. 解析：选D 由图象可知，A ＝23，T ＝5π12－⎝⎛⎭⎫－7π12＝π，∴ω＝2，∴y ＝23sin(2x ＋φ)．将点⎝⎛⎭⎫－π12，23代入上式，得23＝23·sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋φ，则φ－π6＝π2，得φ＝2π3，∴y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，故选D.10. 解：由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )， 即函数f (x )的图象关于y 轴对称，∴f (x )在x ＝0时取得最值，即sin φ＝1或－1.依题设0≤φ≤π，∴φ＝π2.由f (x )的图象关于点M 对称，可知 sin ⎝⎛⎫3π4ω＋π2＝0，则3π4ω＋π2＝k π，k ∈Z ，解得ω＝4k 3－23(k ∈Z )， 又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，所以T ≥π，即2πω≥π.∴ω≤2.又ω>0，∴k ＝1时，ω＝23；k ＝2时，ω＝2.故φ＝π2，ω＝2或23.[能力提升综合练]1. 解析：选C 相位是5x －π3，当x ＝0时的相位为初相即－π3. 2. 解析：选D 由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的最大值为4，最小值为0，可知b ＝2，A ＝2.由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，得ω＝4.由直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k∈Z ，从而φ＝k π－5π6，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2.3. 解析：选A 函数f (x )的周期T ≤4⎝⎛⎭⎫π3－π12＝π，则2πω≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2.4. 解析：选A 由图可知A ＝2，φ＝0，T ＝8， ∴2πω＝8，即ω＝π4，∴f (x )＝2sin π4x .∵周期为8，且f (1)＋f (2)＋…＋f (8)＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝2sin π4＋2sin π2＋2sin 3π4＋2sin π＋2sin5π4＋2sin 3π2＝ 2.5. 解析：由函数图象可知A ＝2，T ＝43⎝⎛⎫5π6－π12＝π，即2πω＝π，故ω＝2. 又⎝⎛⎭⎫5π6，0是五点法作图的第五个点，即2×5π6＋φ＝2π，则φ＝π3.故所求函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.答案：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π36. 解析：由题意知，ω＝2，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，故f (x )的最小值为f (0)＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－32，最大值为f ⎝⎛⎭⎫π3＝3sin π2＝3，所以f (x )的取值范围是⎣⎡⎦⎤－32，3. 答案：⎣⎡⎦⎤－32，3 7. 解：(1)A ＝3，2πω＝43⎝⎛⎭⎫4π－π4＝5π，ω＝25.由f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫25x ＋φ过⎝⎛⎭⎫π4，0， 得sin ⎝⎛⎭⎫π10＋φ＝0，又|φ|<π2，故φ＝－π10，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫25x －π10.(2)由f (x ＋m )＝3sin ⎣⎡⎦⎤25（x ＋m ）－π10＝3sin ⎝⎛⎭⎫25x ＋2m 5－π10为偶函数(m >0)，知2m 5－π10＝k π＋π2，即m ＝52k π＋3π2，k ∈Z . ∵m >0，∴m min ＝3π2. 故把f (x )的图象向左至少平移3π2个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数． 8. 解：(1)依题意，A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎫3π2－π2＝4π，∵T ＝2π|ω|＝4π，ω>0，∴ω＝12.∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ. ∵曲线上的最高点为⎝⎛⎭⎫π2，2，∴sin ⎝⎛⎭⎫12×π2＋φ＝1.∴φ＋π4＝2k π＋π2.∵－π2<φ<π2，∴φ＝π4.∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4.(2)∴令2k π－π2≤12x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，∴4k π－3π2≤x ≤4k π＋π2，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤4k π－3π2，4k π＋π2(k ∈Z )．令2k π＋π2≤12x ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，∴4k π＋π2≤x ≤4k π＋5π2，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤4k π＋π2，4k π＋5π2(k ∈Z )．。
高中数学人教A版必修四课下能力提升习题：(十九)含解析
课下能力提高 (十九 )[ 学业水平达标练]题组 1向量数目积的运算1．以下命题：(1)若 a≠ 0， a·b＝ a·c，则 b＝c；(2)(a·b) ·c＝ a·(b·c)对随意愿量a， b，c 都建立；(3)对任一直量a，有 a2＝ |a|2.此中正确的有()A．0个B．1 个C．2 个D．3 个3，则 a·b 为 () 2．已知 |b|＝ 3， a 在 b 方向上的投影是291A.2B．3C． 2 D.24444A. 9B. 3C．－3D．－9题组 2向量的模5．若非零向量 a 与 b 的夹角为2π，|b|＝ 4，(a＋ 2b) ·(a－ b)＝－ 32，则向量 a 的模为 () 3A．2 B．4 C．6 D． 126．已知向量 a， b 的夹角为 120°， |a|＝ 1， |b|＝3，则 |5a－b|＝ ________．7．已知非零向量 a，b，知足 a ⊥|a|＝ ________．b，且 a＋ 2b 与 a－ 2b 的夹角为 120°，则|b|题组 3两向量的夹角与垂直问题8．若非零向量 a， b 知足 |a|＝ |b|， (2a＋ b) ·b＝ 0，则 a 与 b 的夹角为 ()A ． 30° B． 60° C． 120° D ． 150°9．已知 |a|＝ |b|＝ 1， a 与 b 的夹角是 90°， c＝ 2a＋3b， d＝ ka－ 4b， c 与 d 垂直，则 k 的值为 ()A．－ 6 B．6 C．3 D．－ 310．设向量a，b 知足 |a|＝ 1，|b|＝ 1，且 |ka＋b|＝3|a－ kb|(k>0) ．若 a 与 b 的夹角为60°，则 k＝________．11．已知 |a|＝1， a·b＝1，( a＋ b) ·(a－ b)＝1.42(1)求 |b|的值；(2)求向量 a－b 与 a＋ b 夹角的余弦值．[ 能力提高综合练]1．已知 |a|＝3， |b|＝ 5，且 a 与 b 的夹角θ＝ 45°，则向量 a 在向量 b 上的投影为 ()32A.2B．3 C．4 D．52．设向量a， b 知足 |a＋ b|＝10， |a－ b|＝6，则 a·b＝ ()A．1 B．2 C．3D． 533A．2 3 B.2 C. 3 D. 35．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥ (α－2β)，则|2α＋β|的值是________．6．已知 a， b 是两个非零向量，同时知足|a|＝ |b|＝ |a－ b|，求 a 与 a＋ b 的夹角．7．已知 a， b 是非零向量， t 为实数，设u ＝ a＋ tb.(1)当 |u|取最小值时，务实数t 的值；(2)当 |u|取最小值时，向量 b 与 u 能否垂直？答案[ 学业水平达标练]1.分析：选 B (1)(2) 不正确， (3) 正确．32.分析：选A∵|a|cos〈a，b〉＝2，|b|＝3，39∴a·b＝ |a| |b|cos·〈 a， b〉＝ 3×2＝2.3.4.5.2π分析： 选 A 由已知得， a 2＋ a ·b － 2b 2＝－ 32，∴|a|2＋ |a|× 4× cos 3 － 2×42＝－ 32.解得 |a|＝2 或 |a|＝ 0(舍 )．6. 分析： |5a － b|＝ |5a － b|2＝（ 5a － b ） 2＝ 25a 2＋ b 2－ 10a ·b1＝25＋ 9－ 10× 1× 3× －2 ＝ 7.答案 ：77. 分析： (a ＋ 2b) ·(a － 2b)＝ a 2－ 4b 2，∵a ⊥ b ，∴|a ＋ 2b|＝ a 2＋ 4b 2， |a － 2b|＝ a 2＋ 4b 2.（ a ＋ 2b ） ·（a － 2b ）a 2－ 4b 2故 cos 120°＝ ＝a 2＋ 4b 2） 2|a ＋ 2b||a － 2b|（221a 2 4|a| 2 3＝ a 2＋ 4b 2＝－ 2，得 b 2＝3，即 |b|＝ 3 .a －4b答案：2338. 分析：选 C 由于 (2a ＋b) ·b ＝ 2a ·b ＋ b ·b ＝ 0，因此 a ·b ＝－12|b|2.设 a 与 b 的夹角为 θ，11 － 2|b|2则 cos θ＝a ·b＝2 ＝－ ，故 θ＝120°.|a||b||b|29. 分析：选 B 由 c ⊥ d 得 c ·d ＝ 0，即 (2a ＋ 3b) ·(ka －4b)＝ 0，即 2k|a|2＋ (3k － 8)a ·b － 12|b|2＝0，因此 2k ＋ (3k － 8)× 1×1× cos 90°－12＝ 0，即 k ＝6.应选 B.高中数学人教A版必修四课下能力提升习题：(十九)含解析10.分析：∵|ka＋b|＝3|a－kb|，∴k2a2＋b2＋ 2ka·b＝ 3(a2＋ k2b2－ 2ka·b)．∴k2＋ 1＋ k＝ 3(1＋k2－ k)．即 k2－ 2k＋ 1＝ 0，∴k＝ 1.答案：111.解：(1)( a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝12.∵|a|＝ 1，∴1－ |b|2＝1，∴|b|＝2.2211(2)∵|a＋ b|2＝ a2＋ 2a·b＋ b2＝ 1＋2×4＋2＝2，|a－ b|2＝ a2－ 2a·b＋ b2＝1－ 2×14＋12＝ 1，∴|a＋ b|＝2， |a－b|＝ 1.令 a＋b 与 a－ b 的夹角为θ，（ a＋ b）·（a－ b）1θ2＝2则 cos ＝＝4，|a＋ b||a－ b|2× 12即向量 a－ b 与 a＋ b 夹角的余弦值是 4.[ 能力提高综合练]1.分析：选 A 由已知 |a|＝3，|b|＝ 5，cos θ＝ cos 45°＝2，而向量 a 在向量 b 上的投22 3 2影为 |a|cos θ＝ 3×2＝2 .2.分析：选 A ∵|a＋ b|＝ 10，∴(a＋ b)2＝ 10，即 a2＋ b2＋ 2a·b＝ 10.①∵|a－b|＝6，∴(a－b)2＝6，即 a2＋ b2－ 2a·b＝ 6.②由①②可得 a·b＝ 1，应选 A. 3.4.分析：画出图形知△ ABC 为直角三角形，且∠ ABC＝ 90°，43＝0＋4×5× －5＋5× 3× －5＝－ 25.答案：－ 255.分析： | α|＝ 1， |β|＝ 2，由α⊥ (α－ 2β)，知α·(α－ 2β)＝ 0， 2α·β＝ 1，222因此 |2α＋β| ＝ 4α＋ 4α·β＋β＝ 4＋ 2＋ 4＝ 10，故 |2α＋β|＝10.答案：106.解：依据|a|＝|b|，有|a|2＝|b|2，又由|b|＝|a－b|，得|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，∴a·b＝12|a|2.而 |a＋ b|2＝ |a|2＋ 2a·b＋ |b|2＝ 3|a|2，∴|a＋ b|＝ 3|a|.设 a 与 a＋ b 的夹角为θ.1a·（a＋ b）|a|2＋2|a|23则cosθ＝|a||a＋ b|＝|a| ·3|a|＝2.∴θ＝30°.7. 解： (1)|u|2＝ |a ＋ tb|2＝ (a ＋ tb) ·(a ＋ tb) ＝ |b|2t2＋ 2(a·b)t ＋ |a|2＝ |b|2t＋a·b2＋ |a|2－|b|2（a·b）22.|b|∵b 是非零向量，∴ |b|≠0，a·b∴当 t＝－|b|2时， |u|＝ |a＋ tb|的值最小．a·b(2)∵b·(a＋ tb)＝ a·b＋ t|b|2＝ a ·b＋－|b|2·|b|2＝ a·b－ a·b＝0，∴b⊥ (a＋ tb)，即 b⊥ u.。
2017-2018学年高中数学人教A版必修四课下能力提升：(十二) Word版含解析
课下能力提升(十二) [学业水平达标练]题组1 三角函数在物理中的应用1．电流I (A)随时间t (s)变化的关系是I ＝5sin ，则当t ＝时，电流I 为( ) (100πt ＋π3)1200A ．5 B. C ．2 D ．－5522．如图是一个单摆的振动图象，根据图象回答下面问题：(1)单摆的振幅为________； (2)振动频率为________．题组2 三角函数在实际问题中的应用3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F (t )＝50＋4sin (t ≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的？( )t2A ．[0，5]B ．[5，10]C ．[10，15]D ．[15，20]4．如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (米)与时间x (秒)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )A ．ω＝，A ＝3 B ．ω＝，A ＝32π15152πC ．ω＝，A ＝5 D ．ω＝，A ＝52π15152π5．某城市一年中12个月的平均气温y 与月份x 的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12[π6（x －6）]月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温为________ ℃.6．如图，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．(1)求出种群数量y 关于时间t 的函数表达式；(其中t 以年初以来的月为计量单位) (2)估计当年3月1日动物种群数量． 题组3 建立三角函数模型解决实际问题7．设y ＝f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是该港口某一天从0时至24时的时间t 与水深y 的关系：t36912 1518 2124y 12 15.1 12.1 9.111.914.911.98.9 12.1 经长期观察，函数y ＝f (t )的图象可近似地看成函数y ＝k ＋A sin(ωt ＋φ)的图象．下列函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的是( )A ．y ＝12＋3sin t ，t ∈[0，24]π6B ．y ＝12＋3sin，t ∈[0，24](π6t ＋π)C ．y ＝12＋3sint ，t ∈[0，24] π12D ．y ＝12＋3sin，t ∈[0，24](π12t ＋π2)[能力提升综合练]1．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将12移至( )A．甲B．乙C．丙D．丁2．如图是函数y＝sin x(0≤x≤π)的图象，A(x，y)是图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B(A，B可重合)．设线段AB的长为f(x)，则函数f(x)的图象是( )22 3．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为( )。
2017-2018学年高中数学人教A版必修四课下能力提升：(十二) Word版含解析
课下能力提升(十二) [学业水平达标练]题组1 三角函数在物理中的应用1．电流I (A)随时间t (s)变化的关系是I ＝5sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π3，则当t ＝1200时，电流I 为( )A ．5 B.52C ．2D ．－52．如图是一个单摆的振动图象，根据图象回答下面问题：(1)单摆的振幅为________； (2)振动频率为________．题组2 三角函数在实际问题中的应用3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F (t )＝50＋4sin t2(t ≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的？( )A ．[0，5]B ．[5，10]C ．[10，15]D ．[15，20]4．如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (米)与时间x (秒)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )A ．ω＝2π15，A ＝3B ．ω＝152π，A ＝3C ．ω＝2π15，A ＝5D ．ω＝152π，A ＝55．某城市一年中12个月的平均气温y 与月份x 的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温为________ ℃.6．如图，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．(1)求出种群数量y 关于时间t 的函数表达式；(其中t 以年初以来的月为计量单位) (2)估计当年3月1日动物种群数量． 题组3 建立三角函数模型解决实际问题7．设y ＝f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是该港口某一天从0时至24时的时间t 与水深y 的关系：下列函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的是( )A ．y ＝12＋3sinπ6t ，t ∈[0，24] B ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋π，t ∈[0，24]C ．y ＝12＋3sin π12t ，t ∈[0，24] D ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π2，t ∈[0，24] [能力提升综合练]1．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将移至( )A．甲B．乙C．丙D．丁2．如图是函数y＝sin x(0≤x≤π)的图象，A(x，y)是图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B(A，B可重合)．设线段AB的长为f(x)，则函数f(x)的图象是()3．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(2，－2)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为()4．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP ︵的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )5．一根长a cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s (cm)和时间t (s )的函数关系式是s ＝3cos ⎝⎛⎭⎫g a t ＋π3，t ∈[)0，＋∞，则小球摆动的周期为________．6．据市场调查，某种商品一年内每件的出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．根据以上条件可确定f (x )的解析式为________．7．如图所示，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)，x ∈[0，4]的图象，且图象的最高点为S (3，23)；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离．8．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h ，低潮时水的深度为8.4 m ，高潮时为16 m ，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d (m)与时间t (h)近似满足关系式d ＝A sin(ωt ＋φ)＋h .(1)若从10月10日0：00开始计算时间，试用一个三角函数来近似描述该港口的水深d (m)和时间t (h)之间的函数关系；(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m) (3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m?答 案[学业水平达标练]1. 解析：选B 直接将t ＝1200代入计算即可．当t ＝1200时，I ＝5sin ⎝⎛⎭⎫100π×1200＋π3＝5sin5π6＝52.故选B. 2. 解析：由题中图象，可知(1)单摆的振幅是1 cm ；(2)单摆的振动频率是1.25 Hz. 答案：(1)1 cm (2)1.25 Hz3. 解析：选C 由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2，k ∈Z ，知函数F (t )的增区间为[4k π－π，4k π＋π]，k ∈Z .当k ＝1时，t ∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故选C.4. 解析：选A 周期T ＝15秒，ω＝2πT ＝2π15.由图可知，水轮最高点距离水面5米，故A ＋2＝5，即A ＝3.5. 解析：根据题意得28＝a ＋A ，18＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6（12－6）＝a －A ，解得a ＝23，A ＝5， 所以y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6（x －6）， 令x ＝10，得y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6（10－6）＝23＋5cos 2π3＝20.5. 答案：20.56. 解：(1)设种群数量y 关于t 的解析式为 y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (A >0，ω>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋b ＝700，A ＋b ＝900，解得A ＝100，b ＝800. 又周期T ＝2×(6－0)＝12， ∴ω＝2πT ＝π6，∴y ＝100sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋φ＋800.又当t ＝6时，y ＝900， ∴900＝100sin ⎝⎛⎭⎫π6×6＋φ＋800， ∴sin(π＋φ)＝1， ∴sin φ＝－1，∴取φ＝－π2， ∴y ＝100sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π2＋800.(2)当t ＝2时，y ＝100sin ⎝⎛⎭⎫π6×2－π2＋800＝750，即当年3月1日动物种群数量约是750.7. 解析：选A y ＝f (t )的关系对应的“散点图”如下：由“散点图”可知，k ＝12，A ＝3. 周期T ＝12，所以ω＝π6.又t ＝0时，y ＝12，t ＝3时，y ≈15. 所以φ＝0.因此，y ＝12＋3sinπ6t ，故选A. [能力提升综合练]1. 解析：选C 该题目考查了最值与周期间的关系：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期，故选C.2. 解析：选A 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝π－2x ；当x ∈⎝⎛⎦⎤π2，π时，f (x )＝2x －π，故选A.3. 解析：选C ∵P 0(2，－2)，∴∠P 0Ox ＝π4.按逆时针转时间t 后得∠POP 0＝t ，∠POx ＝t －π4.此时P 点纵坐标为2sin ⎝⎛⎭⎫t －π4，∴d ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫t －π4.当t ＝0时，d ＝2，排除A 、D ；当t ＝π4时，d ＝0，排除B.4. 解析：选C 令AP 所对圆心角为θ，由|OA |＝1， 则l ＝θ，sin θ2＝d2，∴d ＝2sin θ2＝2sin l2，即d ＝f (l )＝2sin l2(0≤l ≤2π)，它的图象为C.5. 解析：T ＝2πg a＝2π·ag . 答案：2π·a g6. 解析：由条件可知，B ＝7，A ＝9－7＝2. 又T ＝2×(9－3)＝12，∴ω＝2π12＝π6.∵3月份达到最高价，∴3×π6＋φ＝π2，∴φ＝0. 所以f (x )的解析式为f (x )＝2sinπ6x ＋7. 答案：f (x )＝2sinπ6x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N ) 7. 解：依题意，有A ＝23，T4＝3，即T ＝12.又T ＝2πω，∴ω＝π6.∴y ＝23sinπ6x ，x ∈[0，4]． ∴当x ＝4时，y ＝23sin 2π3＝3.∴M (4，3)． 又P (8，0)，∴MP ＝（8－4）2＋（0－3）2＝42＋32＝5(km)． 即M 、P 两点间的距离为5 km. 8. 解：(1)依题意知T ＝2πω＝12，故ω＝π6，h ＝8.4＋162＝12.2，A ＝16－12.2＝3.8， 所以d ＝3.8sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋φ＋12.2； 又因为t ＝4时，d ＝16，所以sin ⎝⎛⎭⎫4π6＋φ＝1， 所以φ＝－π6，所以d ＝3.8sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋12.2.(2)t ＝17时，d ＝3.8sin ⎝⎛⎭⎫17π6－π6＋12.2＝3.8sin2π3＋12.2≈15.5(m)． (3)令3.8sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋12.2<10.3，有sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6<－12，因此2k π＋7π6<π6t －π6<2k π＋11π6(k ∈Z )，所以2k π＋4π3<π6t <2k π＋2π，k ∈Z ，所以12k ＋8<t <12k ＋12. 令k ＝0，得t ∈(8，12)； 令k ＝1，得t ∈(20，24)． 故这一天共有8 h 水深低于10.3 m.。
2018-2019学年高中数学人教A版必修四课下能力提升：(十) Word版含解析
课下能力提升(十)[学业水平达标练]题组1 正切函数的定义域、值域问题1．函数y ＝log 12tan x 的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤π4＋k π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤2k π＋π4，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π＜x ≤k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π2＜x ≤k π＋π4，k ∈Z 2．函数y ＝tan(cos x )的值域是( )A.⎣⎡⎦⎤－π4，π4B.⎣⎡⎦⎤－22，22 C ．[－tan 1，tan 1] D ．以上均不对3．已知－π3≤x ≤π4，f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2，求f (x )的最值及相应的x 值． 题组2 正切函数的单调性及应用4．函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z 的单调性为( ) A ．在整个定义域上为增函数B ．在整个定义域上为减函数C ．在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上为增函数 D ．在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )上为增函数 5．下列各式中正确的是( )A ．tan 735°＞tan 800°B ．tan 1＞－tan 2C ．tan 5π7＜tan 4π7D ．tan 9π8＜tan π76．已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是单调减函数，则ω的取值范围是________． 7．求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的周期和单调区间．题组3 与正切函数有关的奇偶性、周期性问题8．下列函数中，同时满足：①在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是( )A ．y ＝tan xB ．y ＝cos xC ．y ＝tan x 2D ．y ＝|sin x | 9．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)图象的相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值是( )A ．0B ．1C ．－1 D.π410．函数y ＝tan x 1＋cos x的奇偶性是( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数，又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数11．下列关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的说法正确的是( ) A ．在区间⎝⎛⎫－π6，5π6上单调递增 B ．最小正周期是πC ．图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0成中心对称D ．图象关于直线x ＝π6成轴对称 [能力提升综合练]1．已知y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，0，则φ可以是( ) A ．－π6 B.π6C ．－π12 D.π122．与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是( ) A ．x ＝π2 B ．x ＝－π2C ．x ＝π4D ．x ＝π83．函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＋1的图象的一个对称中心可以是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π6，0 B.⎝⎛⎭⎫－π18，0 C.⎝⎛⎭⎫－π6，1 D.⎝⎛⎭⎫－π18，1 4．在区间⎝⎛⎭⎫－3π2，3π2内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象交点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．直线y ＝a (a 为常数)与函数y ＝tan ωx (ω＞0)的图象相邻两支的交点的距离为________．6．若直线x ＝k π2(|k |≤1)与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象不相交，则k ＝________． 7．作出函数y ＝tan x ＋|tan x |的图象，并求其定义域、值域、单调区间及最小正周期．8．已知函数f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值与最小值；(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数．答 案[学业水平达标练]1. 解析：选C 要使函数有意义，只需log 12tan x ≥0，即0＜tan x ≤1.由正切函数的图象知，k π＜x ≤k π＋π4，k ∈Z . 2. 解析：选C ∵－1≤cos x ≤1，且函数y ＝tan x 在[－1，1]上为增函数，∴tan(－1)≤tan x ≤tan 1.即－tan 1≤tan x ≤tan 1.3. 解：∵－π3≤x ≤π4， ∴－3≤tan x ≤1，f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1，当tan x ＝－1即x ＝－π4时，f (x )有最小值1， 当tan x ＝1即x ＝π4时，f (x )有最大值5. 4. 解析：选C 由正切函数的图象可知选项C 正确．5. 解析：选D 因为tan 9π8＝tan π8，且0＜π8＜π7＜π2，正切函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数，所以tan π8＜tan π7，故答案D 正确，同理根据正切函数的单调性可判断其他答案． 6. 解析：函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是单调减函数，则有ω＜0，且周期T ≥π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝π，即π|ω|≥π，故|ω|≤1，∴－1≤ω＜0.答案：[－1，0)7. 解：y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4＝－3tan ⎝⎛⎭⎫x 4－π6， ∴T ＝πω＝π14＝4π. 由k π－π2＜x 4－π6＜k π＋π2(k ∈Z )，得 4k π－4π3＜x ＜4k π＋8π3(k ∈Z )． ∵3tan ⎝⎛⎭⎫x 4－π6在⎝⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z )上单调递增， ∴函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4在⎝⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z )上单调递减． 8. 解析：选A 经验证，选项B ，D 中所给函数都是偶函数，不符合；选项C 中所给的函数的周期为2π.9. 解析：选A 由题意 知T ＝π4，由πω＝π4，得ω＝4， ∴f (x )＝tan 4x ，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝tan π＝0. 10. 解析：选A ∵1＋cos x ≠0，即cos x ≠－1，得x ≠2k π＋π，k ∈Z .又tan x 中x ≠k π＋π2，k ∈Z ， ∴函数y ＝tan x 1＋cos x的定义域关于(0，0)对称． 又f (－x )＝－tan x 1＋cos （－x ）＝－f (x )，∴f (x )为奇函数． 11. 解析：选B 令k π－π2＜x ＋π3＜k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－5π6＜x ＜k π＋π6，k ∈Z ，显然⎝⎛⎭⎫－π6，5π6不满足上述关系式，故A 错误；易知该函数的最小正周期为π，故B 正确；令x ＋π3＝k π2，解得x ＝k π2－π3，k ∈Z ，任取k 值不能得到x ＝π4，故C 错误；正切曲线没有对称轴，因此函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象也没有对称轴，故D 错误． [能力提升综合练]1. 解析：选A 将点⎝⎛⎭⎫π12，0代入y ＝tan(2x ＋φ)得tan ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝0. ∴π6＋φ＝k π(k ∈Z )． ∴φ＝－π6＋k π(k ∈Z )． 当k ＝0时，φ＝－π6.故选A. 2. 解析：选D 当x ＝π8时，2x ＋π4＝π2，而π2的正切值不存在，所以直线x ＝π8与函数的图象不相交．3. 解析：选D 令3x ＋π6＝k π2(k ∈Z )，解得x ＝k π6－π18(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝－π18，又∵f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＋1的图象是由f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6的图象向上平移1个单位得到的， ∴对称中心可以为⎝⎛⎭⎫－π18，1.故选D. 4. 解析：选C 在同一坐标系中画出正弦函数与正切函数的图象(如图所示)，可以看到在区间⎝⎛⎭⎫－3π2，3π2内二者有三个交点．5. 解析：直线y ＝a 与函数y ＝tan ωx 的图象相邻两支的交点的距离正好是一个周期．答案：πω6. 解析：直线x ＝π2＋n π，n ∈Z 与函数y ＝tan x 的图象不相交，由题意可知，2×k π2＋π4＝π2＋n π，n ∈Z ，得到k ＝n ＋14，n ∈Z ，而|k |≤1，故n ＝0或－1，所以k ＝14或k ＝－34. 答案：14或－347. 解：y ＝tan x ＋|tan x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2tan x ，tan x ≥0，0，tan x ＜0.其图象如图所示，由图象可知，其定义域是⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )；值域是[0，＋∞)；单调递增区间是⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )；最小正周期T ＝π. 8. 解：(1)当θ＝－π6时， f (x )＝x 2－233x －1＝⎝⎛⎭⎫x －332－43，x ∈[－1， 3 ]． ∴当x ＝33时，f (x )取得最小值，为－43； 当x ＝－1时，f (x )取得最大值，为233. (2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图象的对称轴为x ＝－tan θ.∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上单调，∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.又θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴θ的取值范围是⎝⎛⎦⎤－π2，－π3∪⎣⎡⎭⎫π4，π2.。
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课下能力提升(十三)
[学业水平达标练]
题组1 向量的有关概念
1．有下列物理量：
①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功．
其中，不是向量的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．给出下列四个命题：①时间、速度、距离都是向量；②向量的模是一个正实数；③
所有的单位向量都相等；④共线向量一定在同一直线上．其中正确的命题有( )
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
3．下列说法中，不正确的是( )
A．零向量没有方向
B．零向量只与零向量相等
C．零向量的模为0
D．零向量与任何向量都共线
题组2 向量的表示
4．一个人先向东行进了5千米，而后又向西行进了3千米，那么这个人总共( )
A．向东行进了8千米 B．向东行进了2千米
C．向东行进了5千米 D．向西行进了3千米
5．如图，在矩形ABCD中，可以用一条有向线段表示的向量是( )
6．在如图的方格纸中，画出下列向量．
(1)||＝3，点A在点O的正西方向；
(2)||＝32，点B在点O北偏西45°方向；
2
(3)求出||的值．
题组3 相等向量与共线向量
7．在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则如图所示的向量中，相等向量
有( )
A．一组 B．二组 C．三组 D．四组
8．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A，B，C，D，E，F，O中
的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，与向量共线的向量共
有( )
A．2个 B．3个 C．6个 D．9个
9．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，
则m＝________．
10．如图，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED、OCFB都是正方形．在图
中所示的向量中，
(1)分别写出与相等的向量；
(2)写出与共线的向量；
(3)写出与模相等的向量．
[能力提升综合练]
1．如图所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量
相等的向量是( )
3
2．设四边形ABCD中，有则这个四边形是( )
A．平行四边形 B．矩形
C．等腰梯形 D．菱形
3．如图所示，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，
BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是( )
4．给出下列命题：①若|a|＝0，则 a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，
则|a|＝|b|.其中，正确的命题有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
5．设a0，b0分别是a，b的单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)．
①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.
6．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝________．
7．有下列说法：
①若a≠b，则a一定不与b共线；
②若则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；
③在▱ABCD中，一定有
④若a＝b，b＝c，则a＝c；
⑤共线向量是在一条直线上的向量．
其中，正确的说法是________．
8．如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方络纸中有两个定点
A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝5.
4
(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值．
答 案
[学业水平达标练]
1. 解析：选C 因为速度、力和加速度既有大小，又有方向，所以它们是向量；而质
量、路程和功只有大小，没有方向，所以它们不是向量，故不是向量的个数是3.
2. 解析：选D 时间、距离不是向量；向量的模可以是0；单位向量的模相等，方向
不一定相同；平行向量也叫做共线向量，可以不在同一直线上．所以四个命题都不正确．
3. 解析：选A 零向量的方向是任意的．
4. 解析：选B 记向东方向为正，则向东行进了5千米为＋5千米，向西行进了3千
米为－3千米，则＋5＋(－3)＝＋2，表示向东行进了2千米．
5. 解析：选B 方向相同且大小相等，是相等向量，故可以用一条有向线
段表示．
6. 解：取每个方格的单位长为1，依题意，结合向量的表示可知，(1)(2)的向量如图所
示．
(3)由图知，△AOB是等腰直角三角形，所以||＝
7. 解析：选A 由向量相等的定义可知，只有一组向量相等，即
8. 解析：选D 与向量共线的向量有共
5
9个．
9. 解析：∵A，B，C不共线，∴与不共线，
又∵m与，都共线，∴m＝0.
答案：0
10.
[能力提升综合练]
1. 解析：选B 向量相等要求模相等，方向相同，因此与都是和相等的向
量．
2. 解析：选C 则DC∥AB，且DC与AB不相等，所以四边形ABCD是
梯形，又则梯形的两腰相等．
3. 解析：选D 根据相等向量的定义，分析可得：
4. 解析：选A ①忽略了0与0的区别，a＝0；②混淆了两个向量的模相等和两个实
数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量
平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等．
5. 解析：因为a0，b0是单位向量，|a0|＝1，|b0|＝1，
所以|a
0|＋|b0
|＝2.
答案：③
6. 解析：易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，
设AC与BD交于点O，则AO＝
1
2
AB＝1.
在Rt△ABO中，易得||＝3，
6
则||＝2||＝23.
答案：23
7. 解析：对于①，两个向量不相等，可能是长度不相等，方向相同或相反，所以a与
b有共线的可能，故①不正确；
对于②，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故②不正确；
对于③，在▱ABCD中，平行且方向相同，所以，故③
正确；
对于④，a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，
所以a与c方向相同且模相等，故a＝c，故④正确；
对于⑤，共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故
⑤不正确．
答案：③④
8. 解：(1)画出所有的向量，如图所示．
(2)由(1)所画的图知，
①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值12＋22＝5；
②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值42＋52＝41，
∴||的最大值为41，最小值为5.