4.3.2常用对数与自然对数
2019-2020学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.3.2对数的运算
4．3.2 对数的运算1．掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件． 2．掌握换底公式及其推论．3．能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．1．对数运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)log a (M·N)＝log a M ＋log a N ； (2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n＝nlog a M(n ∈R )．温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．例如，log 2[(－3)·(－5)]＝log 2(－3)＋log 2(－5)是错误的．2．对数换底公式若c>0，且c≠1，则log a b ＝log c blog c a(a>0，且a≠1，b>0)． 3．由换底公式推导的重要结论 (1)log an b n＝log a b. (2)log an b m＝m n log a b.(3)log a b·log b a ＝1.(4)log a b·log b c·log c d ＝log a d.1．我们知道am ＋n＝a m ·a n，那么log a (M·N)＝log a M·log a N 正确吗？举例说明．[答案] 不正确，例如log 24＝log 2(2×2)＝log 22·log 22＝1×1＝1，而log 24＝2 2．你能推出log a (MN)(M>0，N>0)的表达式吗？ [答案] 能．令a m＝M ，a n＝N ，∴MN ＝am ＋n，由对数定义知，log a M ＝m ，log a N ＝n ，log a (MN)＝m ＋n ， ∴log a (MN)＝log a M ＋log a N3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( ) (2)log a (xy)＝log a x·log a y.( ) (3)log 2(－5)2＝2log 2(－5)．( ) (4)由换底公式可得log a b ＝log (－2)blog (－2)a.( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×题型一对数运算性质的应用 【典例1】 求下列各式的值： (1)log 345－log 35； (2)log 24·log 28；(3)lg14－2lg 73＋lg7－lg18；(4)lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.[思路导引] 解题关键是弄清各式与对数运算积、商、幂中的哪种形式对应． [解] (1)log 345－log 35＝log 3455＝log 39＝log 332＝2.(2)log 24·log 28＝log 222·log 223＝2×3＝6.(3)原式＝lg2＋lg7－2(lg7－lg3)＋lg7－(lg2＋lg9) ＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－lg2－2lg3＝0. (4)原式＝2lg5＋23lg23＋lg5·lg(22×5)＋(lg2)2＝2lg5＋2lg2＋lg5·(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋2lg5·lg2＋(lg5)2＋(lg2)2 ＝2lg10＋(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2 ＝2＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．[针对训练] 1．计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8；(2)log 2748＋log 212－12log 242－1； (3)12lg 3249－43lg 8＋lg 245. [解] (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2.(2)原式＝log 2748＋log 212－log 242－log 22＝log 27×1248×42×2＝log 2122(3)解法一：原式＝12(5lg2－2lg7)－43×32lg2＋12(2lg7＋lg5)＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5 ＝12lg2＋12lg5＝12(lg2＋lg5)＝12lg10＝12. 解法二：原式＝lg 427－lg4＋lg75＝lg 42×757×4＝lg(2×5)＝lg 10＝12.题型二对数换底公式的应用【典例2】 (1)计算：①log 29·log 34； ②log 52×log 79log 513×log 734.(2)证明：①log a b·log b a ＝1(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)； ②log an b n＝log a b(a>0，且a≠1，n≠0)． [思路导引] 利用换底公式计算、证明． [解] (1)①原式＝lg9lg2·lg4lg3＝lg32·lg22lg2·lg3＝2lg3·2lg2lg2·lg3＝4.②原式＝log 52log 513·log 79log 734＝log 132·log 349＝lg 2lg 13·lg9lg 34＝12lg2·2lg3－lg3·23lg2＝－32.(2)证明：①log a b·log b a ＝lgb lga ·lgalgb＝1. ②log an b n＝lgb nlga n ＝nlgb nlga ＝lgblga＝log a b.[变式] (1)若本例(2)①改为“log a b·log b c·log c d ＝log a d”如何证明？ (2)若本例(2)②改为“log an b m＝m n log a b”如何证明？[证明] (1)log a b·log b c·log c d ＝lgb lga ·lgc lgb ·lgd lgc ＝lgdlga＝log a d. (2)log an bm＝lgb mlga n ＝mlgb nlga ＝mn log a b.应用换底公式应注意的2个方面(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用． (2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式．[针对训练]2.·()log 227等于( )A.23B.32 C ．6 D ．－6[解析][答案] D3．log 2125·log 318·log 519＝________.[解析] 原式＝lg 125lg2·lg 18lg3·lg 19lg5＝(－2lg5)·(－3lg2)·(－2lg3)lg2lg3lg5＝－12.[答案] －12 题型三对数的综合应用【典例3】 (1)一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13(结果保留1位有效数字)？(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)(2)已知log 189＝a,18b＝5，用a 、b 表示log 3645. [思路导引] 应用换底公式化简求值．[解] (1)设最初的质量是1，经过x 年，剩余量是y ，则： 经过1年，剩余量是y ＝0.75； 经过2年，剩余量是y ＝0.752；…经过x 年，剩余量是y ＝0.75x； 由题意得0.75x＝13，∴x＝log 0.7513＝lg 13lg 34＝－lg3lg3－lg4≈4.∴估计经过4年，该物质的剩余量是原来的13.(2)解法一：由18b＝5，得log 185＝b ，又log 189＝a ， 所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 1818×2×99＝log 189＋log 185log 18182－log 189＝a ＋b2－a. 解法二：设log 3645＝x ，则36x＝45，即62x＝5×9， 从而有182x＝5×9x ＋1，对这个等式的两边都取以18为底的对数，得2x ＝log 185＋(x ＋1)log 189， 又18b＝5，所以b ＝log 185. 所以2x ＝b ＋(x ＋1)a ，解得x ＝a ＋b 2－a ，即log 3645＝a ＋b2－a .解对数综合应用问题的3条策略(1)统一化：所求为对数式，条件转为对数式． (2)选底数：针对具体问题，选择恰当的底数． (3)会结合：学会换底公式与对数运算法则结合使用．[针对训练]4．若lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512等于________． [解析] log 512＝lg12lg5＝lg3＋2lg21－lg2＝b ＋2a1－a.[答案]b ＋2a1－a5．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足e v＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m 2000(e 为自然对数的底)．当燃料质量M 为火箭(除燃料外)质量m 的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)．(ln3≈1.099)[解] 由e v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m 2000及M ＝2m ，得e v ＝32000，两边取以e 为底的对数，v ＝ln32000＝2000ln3≈2000×1.099＝2198(m/s)．∴火箭的最大速度为2198 m/s.1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)( ) A ．log a x·log a y ＝log a (x ＋y) B ．(log a x)n＝nlog a x C.log a x n＝log a nx D.log a xlog a y＝log a x －log a y [解析] 根据对数的运算性质知，C 正确． [答案] C2．化简12log 612－2log 62的结果为( )A ．6 2B ．12 2C ．log 6 3 D.12[解析] 12log 612－2log 62＝log 623－log 62＝log 6232＝log 6 3.故选C.[答案] C3．已知ln2＝a ，ln3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式可表示为( ) A ．a －b B.ab C ．abD ．a ＋b[解析] log 32＝ln2ln3＝ab .[答案] B4．计算log 916·log 881的值为________．[解析] log 916·log 881＝lg24lg32·lg34lg23＝4lg22lg3·4lg33lg2＝83.[答案] 835．已知2x ＝3y ＝6z≠1，求证：1x ＋1y ＝1z .[证明] 设2x＝3y＝6z＝k(k≠1)， ∴x＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 6k ，∴1x ＝log k 2，1y ＝log k 3，1z ＝log k 6＝log k 2＋log k 3， ∴1z ＝1x ＋1y.课后作业(三十)复习巩固一、选择题 1.log 29log 23＝( ) A.12B ．2 C.32 D.92[解析] 原式＝log 29log 23＝log 232log 23＝2.[答案] B2．2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0B ．1C ．2D ．4[解析] 原式＝log 5102＋log 50.25＝log 5(102×0.25)＝log 525＝2. [答案] C3．若a>0，且a≠1，则下列说法正确的是( ) A ．若M ＝N ，则log a M ＝log a N B ．若log a M ＝log a N ，则M ＝N C ．若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N D ．若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2[解析] 在A 中，当M ＝N≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立，故A 错误；在B 中，当log a M ＝log a N 时，必有M>0，N>0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立，故B 正确；在C 中，当log a M 2＝log a N 2时，有M≠0，N≠0，且M 2＝N 2，即|M|＝|N|，但未必有M ＝N ，例如M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M≠N，故C 错误；在D 中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立，故D 错误．[答案] B4．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( ) A ．a －2 B ．3a －(1＋a)2C ．5a －2D ．－a 2＋3a －1[解析] ∵a＝log 32，∴log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2. [答案] A5．计算log 225·log 322·log 59的结果为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6[解析] 原式＝lg25lg2·lg22lg3·lg9lg5＝2lg5lg2·32lg2lg3·2lg3lg5＝6.[答案] D 二、填空题6．lg 5＋lg 20的值是________． [解析] lg 5＋lg 20＝lg 100＝lg10＝1. [答案] 17．若log a b·log 3a ＝4，则b 的值为________．[解析] log a b·log 3a ＝lgb lga ·lga lg3＝lgb lg3＝4，所以lgb ＝4lg3＝lg34，所以b ＝34＝81.[答案] 818．四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M ＝23lgE －3.2，其中E(焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹．[解析] 设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E 2、E 1， 则8－6＝23(lgE 2－lgE 1)，即lg E 2E 1＝3.∴E 2E 1＝103＝1000， 即汶川大地震所释放的能量相当于1000颗广岛原子弹． [答案] 1000 三、解答题9．求下列各式的值： (1)2log 525＋3log 264； (2)lg(3＋5＋3－5)； (3)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.[解] (1)∵2log 525＝2log 552＝4log 55＝4， 3log 264＝3log 226＝18log 22＝18， ∴2log 525＋3log 264＝4＋18＝22. (2)原式＝12lg(3＋5＋3－5)2＝12lg(3＋5＋3－5＋29－5) ＝12lg10＝12. (3)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2＝(lg5)2－(lg2)2＋2lg2 ＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2＝lg10(lg5－lg2)＋2lg2＝lg5＋lg2＝lg10＝1. 10．(1)若lgx ＋lgy ＝2lg(x －2y)，求xy 的值；(2)设3x ＝4y＝36，求2x ＋1y 的值(x>0，y>0)．[解] (1)因为lgx ＋lgy ＝2lg(x －2y)， 所以{ x>0，y>0，x －2y>0，xy ＝(x －2y )2.由xy ＝(x －2y)2，知x 2－5xy ＋4y 2＝0，所以x ＝y 或x ＝4y.又x>0，y>0且x －2y>0，所以舍去x ＝y ，故x ＝4y ，则x y＝4. (2)解法一：∵3x ＝36,4y ＝36，∴x＝log 336，y ＝log 436.∴1x ＝1log 336＝1log 3636log 363＝log 363， 1y ＝1log 436＝1log 3636log 364＝log 364. ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 36(9×4)＝1. 解法二：对等式3x ＝4y ＝36各边都取以6为底的对数，得log 63x ＝log 64y ＝log 636， 即xlog 63＝ylog 64＝2.∴2x ＝log 63，1y＝log 62. ∴2x ＋1y＝log 63＋log 62＝log 66＝1， 即2x ＋1y＝1. 综合运用11．若ab>0，给出下列四个等式：①lg(ab)＝lga ＋lgb; ②lg a b＝lga －lgb ； ③12lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＝lg a b ；④lg(ab)＝1log ab 10. 其中一定成立的等式的序号是( )A ．①②③④B ．①②C ．③④D ．③ [解析] ∵ab>0，∴a>0，b>0或a<0，b<0，∴①②中的等式不一定成立；∵ab>0，∴a b>0，12lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＝12×2lg a b ＝lg a b，∴③中等式成立；当ab ＝1时，lg(ab)＝0，但log ab 10无意义，∴④中等式不成立．故选D.[答案] D12．若2.5x ＝1000,0.25y ＝1000，则1x －1y＝( ) A.13B ．3C ．－13D ．－3[解析] ∵x＝log 2.51000，y ＝log 0.251000，∴1x ＝1log 2.51000＝log 10002.5，同理1y＝log 10000.25， ∴1x －1y ＝log 10002.5－log 10000.25＝log 100010＝lg10lg1000＝13. [答案] A13．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则log 36＝________.[解析] log 36＝lg6lg3＝lg2＋lg3lg3＝a ＋b b. [答案] a ＋b b 14．计算log 225·log 3116·log 519·ln e ＝________. [解析] 原式＝2lg5lg2×－4lg2lg3×－2lg3lg5×12＝8. [答案] 815．设a ，b 是方程2(lgx)2－lgx 4＋1＝0的两个实根，求 lg(ab)·(log a b ＋log b a)的值．[解] 原方程可化为2(lgx)2－4lgx ＋1＝0.设t ＝lgx ，则方程化为2t 2－4t ＋1＝0，∴t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝12. 又∵a，b 是方程2(lgx)2－lgx 4＋1＝0的两个实根， ∴t 1＝lga ，t 2＝lgb ，即lga ＋lgb ＝2，lga·lgb＝12. ∴lg(ab)·(log a b ＋log b a)＝(lga ＋lgb)·⎝ ⎛⎭⎪⎫lgb lga ＋lga lgb ＝(lga ＋lgb)·(lgb )2＋(lga )2lga·lgb＝(lga ＋lgb)·(lga ＋lgb )2－2lga·lgb lga·lgb＝2×22－2×1212＝12， 即lg(ab)·(log a b ＋log b a)＝12.。
高中课件 指数函数与对数函数
log a x log a y log a z
解（2）log a
x2 y
3
z
1
2
log a ( x 2 y ) log a z
1
2
1
3
log a x 2 log a y log a z
1
3
1
1
2 log a x log a y log a z
2
3
练习：书本P126第2题
m
a
mn
a
n
（2）a
（3）(a
) a
m n
mn
对数会有怎样的运算性质呢？
努力就有希望！
问题探究
探究一：
1.对数的运算性质
p
q
将指数式 M a , N a
化为对数式，
p
q
pq
结合指数的运算性质能否将 M N a a a
化为对数式？
它们之间有何关系？
努力就有希望！
问题探究
⑵ log a 1 0,
⑶对数恒等式
log a a 1
a
N
log a N
l og a a m
m
a 0, a 1, N 0, m R
努力就有希望！
复习引入
⑷常用对数：
我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。
为了简便,N的常用对数 log 10 N 简记作lgN。
⑸自然对数：
努力就有希望！
探究三：结合前面的推导，由指数式
M n ( a p ) n a np
又能得到什么样的结论？
试一试:由
M n ( a p ) n a np
对数的运算 (2)
＝25lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5＝12lg2＋12lg5＝12(lg2＋lg5)＝21lg10＝21.
(方法 2)原式＝lg472－lg4＋lg(7 5)
＝lg4
2×7 7×4
5＝lg(
2×
5)＝lg
10＝12.
(2)原式＝1＋lglg40＋.6l＋g3lg2＝lg10×lg102.6×2＝llgg1122＝1.
如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0.那么：
(1)loga(M·N)＝ logaM＋logaN
.
(2)logaMN＝ logaM－logaN
.
(3)logaMn＝
nlogaM
(n∈R)．
[答一答] 1．若 M，N 同号，则式子 loga(M·N)＝logaM＋logaN 成立吗？
提示：不一定，当 M>0，N>0 时成立，当 M<0，N<0 时不成立．
必修第一册
4.3.2 对数的运算
【学习目标】
[目标] 1.理解对数的运算性质；2.能用换底公式将一般对数转 化成自然对数或常用对数；3.了解对数在简化运算中的作用． [重点] 对数的运算性质的推导与应用． [难点] 对数的运算性质的推导和换底公式的应用．
【要点整合】ຫໍສະໝຸດ 知识点一 对数的运算性质[填一填]
规律方法 利用换底公式可以统一“底”，以方便运算.在用换底公式 时，应根据题目特点灵活换底.由换底公式可推出常用结论： logab·logba＝1.
[变式训练 2] 计算下列各式： (1)(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)． (2)lloogg8293×log6432. 解：(1)方法 1：原式＝log253＋lloogg22245＋lloogg2258log52＋lloogg55245＋lolgog515825 ＝3log25＋22lloogg2252＋3lloogg2252·log52＋22lloogg5525＋33lloogg5525 ＝3＋1＋31log25·(3log52)＝13log25·lloogg2225＝13.
高中数学必修一《对数函数》
答案：1
C．6
D．1
()
知识点二 换底公式 (一)教材梳理填空
logcb logab＝ logca
对数换底公式．
(a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1)．我们把上式叫做
[微思考] 换底公式中底数c是特定数还是任意数？
提示：是大于0且不等于1的任意数．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)由换底公式可得 logab＝lloogg－ －22ba.
()
(3)loga(xy)＝logax·logay.
()
(4)log2(－5)2＝2log2(－5)．
()
答案：(1)× (2)× (3)× (3)×
2．计算log84＋log82等于
A．log86
B．8
答案：D
3．log 1 27－log 1 9＝________.
3
3
答案：－1
4．2lg 4＋lg58＝________.
法二：原式
＝lglg1225＋llgg245＋llgg
5lg 8lg
25＋llgg245＋lglg1825
＝3llgg25＋22llgg
52＋3llgg52llgg
25＋22llgg
25＋33llgg
2 5
＝133llgg253llgg52＝13.
法三：原式＝(log253＋log2252＋log2351)·(log52＋log5222＋log5323)
aamn ＝am－n (am)n＝amn
logaN＝b loga(MN)＝logaM＋logaN
logaMN ＝logaM－logaN logaMn＝nlogaM
(二)基本知能小试
1．判断正误：
4.3《对数》优秀教案
教学教学时间意图教学过程教学意图时间*揭示课题4.3对数.*创设情景兴趣导入利用问题问题引起学生2的多少次幕等于8?的好奇心2的多少次幕等于9？和求知欲推广已知底和幕，如何求出指数，如何用底和幕表示出指数的问题.解决为了解决这类问题，引进一个新数- 对数.5*动脑思考探索新知概念如果a b N(a 0,a 1)，那么b叫做以a为底N的对数，对数记作b log a N其中a叫做对数的底，N叫做真数.4定义写法例如，238写作log38 2 ,3叫做以2为底8的对数；923与指1与作log9 3 —，21叫做以9为底23的对数；10 30.001写作数式的转log10 0.001 3 , -3叫做以10为底0.001的对数换都形如a b N的式子叫做指数式，形如log a N b的式子叫做比较对数式. 抽象当a 0, a1, N 0 时仔细1b ia N分析: !讲解对log a N b数的性质：(1) log a10 ; 15(2) log a a1;(3) N >0, 即零和负数没有对数.*巩固知识典型例题过程意图例1 将下列指数式写成对数式：安排1 4 1 (一)—；1与知(1) (2) 27空 3 ;识点2 16(3) 4 314—； (4) 10xy .对应64的例分析 依照上述公式由左至右对应好各字母的位置关系. 题巩解(1)ig 1 石 4；1 (2)Iog 27 3_； 固新2161 (3) log4 —3 ;3(4) Iog 10 y x .知64分析例2 将下列对数式写成指数式:1(2)唇一4 ;81 转化(1) Iog 2 32 5 ;式子(3)1各量log 101OOO 3 ；(4) log 2 — 3 .8的位分析 依照上述公式，由右至左对应好各字母的位置关系.置关解(1) 25 32 ； (2) 34—;系81(3) 1031000 ；(4) 2 3 丄.8利用例3 求下列对数的值.性质⑴ og 33 ；⑵ log 71 .应用分析 (1)题可以利用性质(2); (2)题可以利用性质(1).加强解(1)由于底与真数相同，由对数的性质( 2)知log 33=1.30记忆(2)由于真数为1,由对数的性质(1)知log 71=0 .*运用知识强化练习教材练习4.3.11. 将下列各指数式写成对数式及时⑴ 53 125 ；(2) 0.9 20.81 ；了解学生17 1知识(3) 0.20.008 ；(4) 343 3 -.掌握2.把下列对数式写成指数式：情况。
对数的定义--参考教案
第七单元4.3《对数》教案其中a 叫做对数的底数（简称底），N 叫作真数. 例如328=，所以 3 就是以2为底8的对数, 记作23log 8=；再如, 2x N =, 所以 x 是以 2 为底 N 的对数, 记作2log x N =.式子b a N =叫作指数式，log a N b =叫作对数式. 它们关系如下：指数式与对数式表示的是 a ，b ，N 三者之间的同一关系，只是形式不同 .我们把以10为底的对数叫作常用对数，N 的常用对数10log N 简记作lg N .例如, 10log 5简记作lg 5.另外, 在科技、 经济以及社会生活中经常使用无理数e ，它的值为2.718 28…，以e 为底的对数叫作自然对数. N 的自然对数log e N 简记作ln N .例如，log 8e 简记作ln 8.根据对数的定义，对数有以下性质：（1）零和负数没有对数；（2）10a log =，即1的对数为0；（3）log a a =1，即底数的对数为1.三、例题讲解例1 把下列指数式转化成对数式.（1）45625=；（2）43816=；（3）10-2=0.01. 解 （1）5log 6254=；（3）2512=5； （4）103=1000.2.把下列对数式写成指数式.(1)log 464=3； (2)log 128=-3； (3)lg0.1=-1； (4)ln √e =12.3.求下列各式中真数N 的值.(1) 272log 3N =； （2）lnN=0； (3) lgN=1.4.求下列各对数的值.(1)log 636； (2)log 414； (3) lg100； (4)log 332 ；(5)log 1111；（6）131log ； (7)lg10+ln e .五、课堂小结形如N a b =的式子叫做指数式， 形如b N a =log 的式子叫做对数式． 当0,1,0>≠>N a a 时对数的性质：（1）log 10a =；（2）log 1a a =；（3）N >0，即零和负数没有对数．六、作业布置：1.教材配套练习2.预习3.调查实践，探究。
数学北师大版必修第一册4.3.对数函数课件
其定义域是(0, +∞). 我们称对数函数 = ����2 是指数函数 = 2 的反函数, 同时, 也称指数函数 = 2
是对数函数 = 2 的反函数. 习惯上, 对数函数表示为 = ( > 0, 且 ≠ 1), 指数函数表示为 = ( > 0,
1
的定义域是 { ∣ > 1 , 且 ≠ 2} .
2 − 1
2 要使函数式有意义, 需16 − 4 > 0, 解 < 2}.
3 − > 0,
3 要使函数式有意义, 需 − 1 > 0, 解得 1 < < 3 , 且 ≠ 2 . 故函数
对数函数 = 为自然对数函数.
判定一个函数是对数函数的依据
1 形如 = ;
2 底数满足 > 0, 且 ≠ 1;
3 真数是单独的一个;
(4)定义域为(0, +∞).
知识点2 反函数
反函数的定义：指数函数 = 2 和对数函数 = 2 刻画的是同一对变量, 之间的关系, 所不同的是:
3
< 1, 则实数的取值范围为
4
解析： 1 因为 3 < 2 = 3 9 , 且函数 = 3 在 0 +∞ 上单调递增, 所以0 < < 9, 即的取值集合为
2.若 < 0,则0 > > .
1.若 > 1,则0 > > ；
2.若0 < < 1,则 > > 0.
知识点5 基于对数运算的对数型奇偶函数
4.3 对数运算(精讲)(原卷版)--人教版高中数学精讲精练必修一
4.3对数运算（精讲）一.对数的概念1.对数的概念一般地，如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.常用对数与自然对数名称定义符号常用对数以10为底的对数叫做常用对数log10N记为lg N自然对数以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e＝2.71828…log e N记为ln N二.对数与指数的关系与性质1．对数与指数的关系(1)若a>0，且a≠1，则a x＝N⇒log a N＝x.(2)对数恒等式：a log a N＝N；log a a x＝x(a>0，且a≠1，N>0)．2．对数的性质(1)log a1＝0(a>0，且a≠1)．(2)log a a＝1(a>0，且a≠1)．(3)零和负数没有对数．三.对数运算性质1.如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：(1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R).拓展：log am M n ＝nm log a M (n ∈R ，m ≠0).2.换底公式对数换底公式：log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1).特别地：（1）log a b ·log b a ＝1(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1).(2)log a b ·log b c ·log c a ＝1(a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ，b ，c ≠1)．一．对数与指数的关系示意图．二．指数式与对数式互化1.指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．2.对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．三．利用对数运算性质化简与求值1.基本原则：①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.2.两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).考点一对数的概念【例1】（2022秋·上海徐汇）若()1log 11x x ++=，则x 的取值范围是.【一隅三反】1．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）若代数式()23log 34x x -++有意义，则实数x 的取值范围是.2．（2022秋·上海虹口）使得表达式()22log 12x -有意义的x 范围是．考点二指数式与对数式的互化【例2】（2023秋·高一课时练习）将下列指数式与对数式进行互化．(1)1255-=(2)2log44=(3)lg 0.0013=-.(4)2139-=；(5)21164-⎛⎫= ⎪⎝⎭；(6)13log 273=-；(7)log 646x =-.【一隅三反】（2023·江苏）将下列指数式与对数式互化．(1)2log 164=；(2)36x =；(3)3464=；(4)31327-=.(5)2log 64=6；(6)31log 481=-；(7)3182-⎛⎫= ⎪⎝⎭；(8)21636-=．(9)210100=；(10)ln a b =；(11)37343=；(12)61log 236=-．考点三对数运算性质【例3-1】（2023·江苏·）求下列各式中x 的值．(1)()25log log 0x =；(2)()3log lg 1=x ；(3)()()345l 0log lo og g x =.【例3-2】（2023·江苏）求下列各式的值．(1)7524log 2⨯（）；(2)(3)7lg142lg lg 7lg183-+-；(4)()222lg 5lg 8lg 5lg 20lg 23++⋅+.【例3-3】（2023广东潮州）计算下列各式的值：(1)1324lg 2493-(2)(21lg 2lg 52+⋅(3)(2lg 5lg 400lg ⋅+；(4)21230.2551log 3log 9log 4⎛⎫++ ⎪⎝⎭(5)3log 21233lg5log 2lg2log 3+-⨯⨯．【一隅三反】1．（2023·广东深圳）计算下列各式的值（或x 的值）：(1)log 83x =(2)()lg 211035x -=(3)()234log log log 0x ⎡⎤=⎣⎦(4)2log 321lg22log ln1162+++2．（2023广东湛江）计算下列各式的值．(1)()722222632log 3log log 77log 28-+-；(2)()322log lg 25lg 4log log 16+-．(3)()222lg 5lg 8lg 5lg 20lg 23++⋅+；(4)lg 3lg lg1.8-．(5)12038110.25()lg162lg 5()2722--+--+.(6)()()2lg1112log432162lg 20lg 2log 2log 31)9-⎛⎫++--⨯+ ⎪⎝⎭.；(8)()()2266661log 2log 33log 2log log 23⎛⎫++⨯ ⎪⎝⎭(9)2ln 38916log 27log 6log 6e ⨯÷+；(10)419log 8log 3--(11))32log 2lg13181lg 13271000⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,(12)()222lg 5lg 8lg 5lg 20lg 23+++,考点四对数与指数的综合应用【例4-1】（2023秋·辽宁葫芦岛·高一校考期末）已知8215,log 3==a b ，则32a b-=（）A ．25B ．5C ．259D ．53【例4-2】（2023秋·高一课时练习）已知,a b 均为正实数，若5log log ,2b aa b b a a b +==，则a b ＝（）A ．12或2B．2CD ．2或12【例4-3】（2023秋·高一课前预习）已知a ，b ，c 均为正数，且346a b c ==，求证：212a b c+=；【一隅三反】1．（2023春·天津）已知326xy==，则()222x y x y +的值（）A ．12B ．14C ．1D ．22．（2023秋·广东）已知436a b ==，则2a bab+=.3．（2023·全国·高一课堂例题）已知7.23x =，0.83y =，则11x y-的值为．4．（2023秋·高一课前预习）下列计算恒成立的是A ．()2log 2log a a x x=B ．log log ()log a a a x x y y-=C ．log log log ()a a a x y x y -=-D．10103log 5x=考点五对数的实际应用【例5】（2023·全国·高一专题练习）17世纪，法国数学家马林·梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上，对21p -（p 为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在257p ≤的素数中，当2p =，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，21p -是素数，其它都是合数.除了67p =和257p =两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实.人们为了纪念梅森在21p -型素数研究中所做的开创性工作，就把21p -型的素数称为“梅森素数”，记为21p Mp =-.几个年来，人类仅发现51个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们答为“数海明珠”.已知第7个梅森素数191921M =-，第8个梅森素数313121M =-，则131lg119M M ++约等于（参考数据：lg50.7≈）（）A ．17.1B ．8.4C ．6.6D ．3.6【一隅三反】1．（2023·全国·高一专题练习）要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C ．动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C 不再产生，且原来的14C 会自动衰变．经过5730年，它的残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中14C 含量占原来的15，推算该古物约是m 年前的遗物（参考数据：1lg 2 3.3219-≈（）），则m 的值为（）A ．12302B ．13304C ．23004D ．240342．（2023·全国·高一专题练习）二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有2441种不同的码，假设我们1万年用掉3×1015个二维码，那么大约可以用（）（lg 20.301≈，lg 30.477≈）A ．11710万年B ．11810万年C ．11910万年D ．20010万年3．（2023秋·江苏南通）已知声强级（单位：分贝）010lgIL I =，其中常数()000I I >是能够引起听觉的最弱的声强，I 是实际声强.当声强级降低1分贝时，实际声强是原来的（）A ．110倍B ．11010倍C ．1010-倍D ．11010-倍。
2021年人教版高中数学必修第一册随堂练习：第4章《4.3.2对数的运算》(含答案详解)
2021年人教版高中数学必修第一册随堂练习：第4章《4.3.2对数的运算》(含答案详解)1、4.3.2 对数的运算学习目标核心素养 1.理解对数的运算性质．(重点)2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)3．会运用运算性质进行一些简洁的化简与证明．(易混点)1.借助对数的运算性质化简、求值，培育数学运算素养．2．通过学习换底公式，培育规律推理素养.1．对数的运算性质假如a0，且a≠1，M0，N0，那么：(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)loga＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．思索：当M0，N0时，loga(M＋N)＝logaM ＋logaN，loga(MN)＝l2、ogaM·logaN是否成立？提示：不肯定．2．对数的换底公式若a0且a≠1；c0且c≠1；b0，则有logab＝.1．计算log84＋log82等于( )A．log86 B．8C．6D．17nD [log84＋log82＝log88＝1.]2．计算log510－log52等于( )A．log58B．lg5C．1D．2C [log510－log52＝log55＝1.]3．log23·log32＝________.1 [log23·lo g32＝×＝1.]对数运算性质的应用【例1】计算以下各式的值：(1)lg－lg＋lg；(2)lg52＋lg8＋lg53、·lg20＋(lg2)2；(3).[解] (1)原式＝(5lg2－2lg7)－·lg2＋(2lg7＋lg5)＝lg2－lg7－2lg2＋lg7＋lg5＝lg2＋lg5＝(lg2＋lg5)＝lg10＝.(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)27n ＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.(3)原式＝＝＝＝.1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．2．对于冗杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法：(1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；(2)“收”：将同底对数的和(差)收4、成积(商)的对数．1．求以下各式的值：(1)lg25＋lg2·lg50；(2)lg8＋lg25＋lg2·lg50＋lg25.[解](1)原式＝lg25＋(1－lg5)(1＋lg5)＝lg25＋1－lg25＝1.(2)lg8＋lg25＋lg2·lg50＋lg25＝2lg2＋lg25＋lg2(1＋lg5)＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＋lg25＋lg2＋lg2·lg5＝2＋lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝2＋lg5＋lg2＝3.对数的换底公式【例2】(1)计算：(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)．7n(2)已知log1895、＝a,18b＝5，求log3645(用a，b表示)．[解] (1)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)＝(log253＋log2252＋lo g235)·(log5323＋log5222＋log52)＝log25·(1＋1＋1)log52＝·3＝13.(2)∵18b＝5，∴b＝log185.又log189＝a，∴log3645＝＝＝＝.(变结论)在本例(2)的条件下，求log915(用a，b表示)[解] ∵log189＝a，∴log183＝.又log185＝b，∴log915＝＝＝＝.1．在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需6、利用换底公式．2．常用的公式有：logab·logba＝1，loganbm ＝logab，logab＝等．2．求值：(1)log23·log35·log516；(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．[解] (1)原式＝··＝＝＝4.(2)原式＝＝＝·7n＝.对数运算性质的综合应用[探究问题]1．若2a＝3b，则等于多少？提示：设2a＝3b＝t，则a＝log2t，b＝log3t，∴＝log23.2．对数式logab与logba存在怎样的等量关系？提示：logab·logba＝1，即logab＝.【例3】已知3a＝5b＝c，且＋＝2，求c的值．[思路点拨] [解]7、∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，∴＝logc3，＝logc5，∴＋＝logc15.由logc15＝2得c2＝15，即c＝.1．把本例条件变为“3a＝5b＝15”，求＋的值．[解] ∵3a＝5b＝15，∴a＝log315，b ＝log515，∴＋＝log153＋log155＝log1515＝1.2．若本例条件改为“若a，b是正数，且3a＝5b＝c”，比较3a与5b的大小．7n[解] ∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，∴3a－5b＝3log3c－5log5c ＝－＝＝0，∴3a5b.应用换底公式应留意的两个方面(1)化成同底的对数时，8、要留意换底公式的正用、逆用以及变形应用.(2)题目中有指数式和对数式时，要留意将指数式与对数式统一成一种形式.1．应用对数的运算法则，可将高一级(乘、除、乘方)的运算转化为低一级(加、减、乘)的运算．2．换底公式反映了数学上的化归思想，其实质是将不同底的对数运算问题转化为同底的对数运算．3．娴熟把握对数的运算法则，留意同指数运算法则区分记忆．1．思索辨析(1)log2x2＝2log2x.( )(2)loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)．()(3)logaM·logaN＝loga(M＋N)．()(4)logx2＝.( )[答案] (1)×(29、)×(3)×(4)√2．计算log92·log43＝( )A．4 B．2C.D.7nD [log92·log43＝·＝·＝.]3．设10a＝2，lg3＝b，则log26＝( )A.B.C．abD．a＋bB [∵10a＝2，∴lg2＝a，∴log26＝＝＝.]4．计算：(1)log535－2log5＋log57－log51.8；(2)log2＋log212－log242－1.[解] (1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2.(2)原10、式＝log2＋log212－log2－log22＝log2＝log2＝log22－＝－.7。
4.3 对数
【课题】4．3 对数
【教学目标】
知识目标：
⑴理解对数的概念，理解常用对数和自然对数的概念；
⑵掌握利用计算器求对数值的方法；
⑶了解积、商、幂的对数．
能力目标：
⑴会进行指数式与对数式之间的互化；
⑵会运用函数型计算器计算对数值；
⑶培养计算工具的使用技能．
情感目标：
⑴体验计算器带来的便利，享受成功的快乐；
⑵在进行数字运算时，养成科学严谨、认真规范、注意细节的习惯.
【教学重点】
指数式与对数式的关系．
【教学难点】
对数的概念．
【教学设计】
⑴实例引入，引起学生的兴趣；
⑵理解定义，研究指数式与对数式的字母对应关系；
⑶利用计算器进行对数的计算；
⑷利用定义介绍对数的定义，导出积、商、幂的对数；
⑸通过思考、讨论、学习与运用知识，培养计算工具的使用技能和计算能力．【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】。
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（3） lg
x2 z3
y
=
lg
x2
+
lg
y lg z3 =2 lg x + 1 lg y 3lg z ． 2
运用知识 强化练习
练习4.3.2
用 lg x ， lg y ， lg z 表示下列各式：
练
（1） lg x ； （2） lg xy ；
z
习
（3） lg( y )2 ； x
（4） lg x 4 y ． 3z
（1） lg 2 ；
（2） lg3 ；
（3） ln10 ；
（4） ln1.2 ； （7） lg 38 ；
（5） log3 4 ； （8） lg5.6 ；
（6） log0.2 0.36
（9） ln 2.84 ；.
（10） ln1.96 ； （11） log2 0.37 ； （12） log0.2 85.
第四章 指数函数与对数函数
4.3.2 常用对数与自然对数 4.3.3积、商、幂的对数
授课教师：游彦
动脑思考 探索新知
常用对数： 以10为底的对数
log10 N 简记为 lg N
自然对数： 以e为底的对数
简记为
loge N
ln N
自我探索 使用工具
用计算器计算下列各式的值（精确到0.0001）
例4及练习4.3.2第1题
归纳小结 自我反思
1. 你学习了哪些内容？ 2. 你会解决哪些新问题？ 3. 在学习方法上你有哪些体会？
布置作业 继续探究
阅 读 教材章节4.3 书 写 学习与训练4.3 实践 了解计算器的其他计算使用方法
计算器
自我探索 使用工具
练习4.3.2
2. 将指数式 5x 2 写成对数式， 并利用计算器计算出 x 的值.
计算器
创设问题 自我探究
用计算器验证
问 等式 lg 2 lg5 = lg 7 、 lg 2 lg 5 = lg10 是否成立？ 题 等式 log2 12 log2 4 log2 8 、 log2 12 log2 4 log2 3 是否成立？
巩固知识 典型例题
例 5 用 lg x ， lg y ， lg z 表示下列各式：
（1） lg xyz ； （2） lg x ； yz
（3）
lg
x2 z3y．Fra bibliotek解 （1） lg xyz = lg x + lg y + lg z ； （2） lg x = lg x lg yz lg x （lg y lg z）= lg x lg y lg z ； yz
等式 3log3 2 log3 6 、 3log3 2 log3 8 是否成立？
动脑思考 探索新知
对数运算法则
法则1 lg MN lg M lg N （M>0，N>0）
法则2 lg M lg M lg N （M>0，N>0） N
法则3 lg M n = n lg M （n 为整数，M>0）