初三二次函数复习学案

二次函数【知识点一：二次函数的定义】1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数．这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．2．二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 3.二次函数常见形式：（1）一般形式：2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）；（2）顶点式：()k h x a y +-=2（a ，h ，k 为常数，0a ≠）.由二次函数的一般形式经过配方法转换得到；（3）交点式：()()21x x x x a y --=（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 【典型例题】1.下列函数中是二次函数的有（ ）①y = x ＋x 1；②y =3（x －1）2＋2；③ y =（x ＋3）2－2x 2；④ y =21x＋x ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2.当m 时，函数()2235y m x x =-+-（m 为常数）是关于x 的二次函数． 3.当m 时，函数()2564m m y m x -+=-+3x 是关于x 的二次函数．【变式练习】1．下列函数是二次函数的是（ ）A ．y =2x +1B ．y =－2x +1C ．y =x 2+2D ．y =12x －2 2.下列函数：① 23y x =；② ()21y x x x =-+；③ ()224y x x x =+-；④21y x x=+； ⑤ ()1y x x =-，其中是二次函数的是 ，其中a = ，b = ，c = ． 3.如果函数 y =（m ＋2）x22-m ＋2x －1是二次函数，则m = ．【知识点二：抛物线】1. 二次函数2y ax bx c =++图象的画法（1）五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. （2）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 【典型例题】二次函数y =x 2与y =－x 2的图象都是____________，都是______对称图形．性质如下： 函数 y =x 2y =－x 2对称轴顶点坐标开口方向增减性当x >0时，y 随着x 的增大而______； 当x <0时，y 随着x 的增大而______． 当x >0时，y 随着x 的增大而_______；当x <0时，y 随着x 的增大而_______．最值 当x 为____时，函数y 取得最____值当x 为____时，函数y 取得最_____值【知识点三：二次函数的图象与性质】 1.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数的解析式开口方向对称轴顶点坐标 2ax y = 当0>a 时，开口向上当0<a 时，开口向下0=x (y 轴) (0,0) k ax y +=20=x (y 轴)(0, k ) ()2h x a y -=h x = (h ,0) ()k h x a y +-=2h x = (h ,k )c bx ax y ++=2abx 2-=(ab ac a b 4422--，)2.抛物线2y ax bx c =++的三要素：开口方向、对称轴、顶点.（1）a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.（2）对称轴：平行于y 轴（或重合）的直线记作2b x a=-.特别地，y 轴记作直线0=x .（3）顶点坐标：），（ab ac a b 4422-- 3.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,与函数图像的关系（1）二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．（2）一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ①在0a >的前提下，当0b >时，02b a-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02b a-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02b a->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．② 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02b a->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02b a-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． （3）常数项c① 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ② 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ③当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 【典型例题】A ．B ．C ．D ．1111xo yyo x yo xxoy1图8O xy31.抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是（ ）A ．（2，3）B ．（－2，3）C ．（2，－3）D ．（－2，－3）2.二次函数122--=x x y 的图象在x 轴上截得的线段长为（ ）A 、22B 、23C 、32D 、333.通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标： （1）12212+-=x x y ； （2）2832-+-=x x y ； （3）4412-+-=x x y4.函数y = ax ＋1与y = ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ）5.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图7所示，给出以下结论： ① a > 0；② 该函数的图象关于直线1x =对称； ③ 当13x x =-=或时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．06.已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图8所示， 有下列四个结论：20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<， 其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式练习】1.把二次函数3412+--=x x y 用配方法化成()k h x a y +-=2的形式是（ ）A .()22412+--=x y B . ()42412+-=x y C .()42412++-=x y D .321212+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y2.二次函数2(1)2y x =--的图象上最低点的坐标是（ ）图7O111-O xyA ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1，2)D ．(1，2)3.抛物线942++=x x y 的对称轴是 .4.抛物线251222+-=x x y 的开口方向是 ，顶点坐标是 .5.抛物线的图象如右图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能．．是（ ） A 、y = x 2－x －2 B 、y =121212++-x C 、y = 121212+--x x D 、y =22++-x x6.如下图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称 轴，下列关系不正确．．．的是（ ） A ．h m = B ．k n =C ．k n >D ．00h k >>，7.2(0)y ax bx c a =++≠的图象如右图所示，对称轴是 直线1x =，则下列四个结论错误．．的是（ ） A ．0c > B ．20a b += B ． C ．240b ac -> D ．0a b c -+>8.抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线（ ）A ．1x =B ．1x =-C ．3x =-D ．3x =9.在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是（ ）误区警示1、遗漏隐含条件。

解这类题目时学生容易漏掉“二次项系数不等于0”这个隐含条件．2、记错顶点坐标。

二次函数y=a 2x+bx+c 的顶点坐标为（-a b 2，ab ac 442），不能记错成（a2b ，a 4b -ac 42），对称轴不能只写成x=a 2b ，必须写成x=-a 2b ． 3、设错解析式。

当已知抛物线的顶点坐标为（h ，k ）时，可设所求二次函数的解析式为y=a （x-h ）2+k ，再利用其它条件确定a ，注意在顶点式y=a （x-h ）2+k 中，h 、k 前的符号．4、未考虑最值存在的条件。

二次函数y=aX 2+bX+c ，当a>0时有最小值；当a<0时有最大值。

5、分清二次函数增减性与对称轴的关系。

对于二次函数y=a 2x +bx+c ，当a>0时，若（即在对称轴右边），y 随x 的增大而增大；若（即在对称轴左边），y 随x 的增大而减小，当a<0时，若（即在对称轴右边），则y 随x 的增大而减小；若（即在对称轴左边），y 随x 的增大而增大．1. 平移步骤：向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 2方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：概括成八个字：“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）【典型例题】1.在平面直角坐标系中，将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为( )A ．222-=x yB ．222+=x yC ．2)2(2-=x yD ．2)2(2+=x y2.将抛物线22y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A ．22(1)y x =+B ．22(1)y x =-C ．221y x =+D ．221y x =-3.二次函数c bx x y ++=2的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为122+-=x x y ，则b 与c 分别等于（ ）A 、6，4B 、－8，14C 、－6，6D 、－8，－14【变式练习】1.将抛物线y ＝2x 2向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是（ ） A ．y ＝2x 2＋3B ．y ＝2x 2－3C ．y ＝2（x ＋3）2D ．y ＝2（x －3）22.把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）A ．2(1)3y x =---B ．2(1)3y x =-+-C ．2(1)3y x =--+D ．2(1)3y x =-++3.试写出抛物线23x y =经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标. （1）右移2个单位；（2）左移32个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位.4.将抛物线231x y =向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ,并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 .。