奥林匹克及自主招生辅导材料第二集(强烈推荐)第十五讲：放缩法
2021年初中物理竞赛及自主招生专题讲义第二讲力与物体的平衡第二节力的合成与分解含解析
第二节 力的合成与分解一、力的合成力的合成的本质就在于保证作用效果相同的前提下,用一个力等效代替几个力的共同作用,如果这一个力的作用效果与几个力共同的作用效果相同,那么这个力就是那几个力的合力。
合力与分力是一种等效替代的关系。
1．平行四边形定则当同一直线上的两个力同向时,合力等于这两力之和,即12 F F F =+合;当同一直线上的两个力方向相反时,合力等于较大力与较小力之差,即12 F F F =-合。
有两个力的方向不在同一直线上,则不能简单地用加、减来计算合力的大小。
实验证明,互成夹角的两个力与合力的关系符合“平行四边形定则”,内容如下：以两分力为邻边作平行四边形,两分力所夹的对角线即表示合力的大小与方向,如图4.46所示。
利用平行四边形定则结合数学知识可以方便地求出合力的大小和方向。
设力1F ,2F 的夹角为α,则它们的合力F 合的大小可由余弦定理求得： ()221212 2cos 180F F F F F α=+-︒-合根据()cos 180cos αα︒-=-,因此221212 2cos F F F F F α=++合。
（1）两个力的合成对子一些特殊情况下的合力计算,可以根据三角形知识来求解合力。
下面列举出两个等大的力F ,夹角取下列情况时合力的大小,如图4.47所示,请同学们利用平行四边形定则,结合数学知识来试着验证,以掌握合力的计算方法。
从上述计算合力的过程中,还可以得出以下几个结论：①合力不一定比分力大。
实际上合力可以大于、等于或小于分力的大小。
②合力大小的变化范围是2112F F F F F -≤≤+合。
③当两个分力大小不变时,两分力夹角越大,合力越小。
上述几种特殊情况下的两个力的合力的值,同学们要牢记,在很多情形下都可以直接运用。
例1 如图4.48所示,小娟、小明两人共提一桶水匀速前行,已知两人手臂上的拉力大小相等且为F ,两人手臂间的夹角为θ,水和水桶所受总重力为G ,则下列说法中正确的是（ ）。
奥林匹克及自主招生辅导材料第二集(强烈推荐)第三讲：递归数列
21
2 （2）已知 a1 2 ， an an 1 2 an 1 4 1( n 2) ，求 an .
3 （3）已知 a1 2 ， an an 1 ( n 2) ，求 an .
解： （1）由已知得 等差数列，从而，
1 1 1 1 1 2(n 2) ，所以，数列 { } 是首项为 ，公差 d 2 的 an a1 2 an an 1
2n 1 (n N *) ，求 an . 2n 1
a2 a1 5, a a 7, 将这 n 1 个式子相加，得 解： （1 ） （累加法）由已知得 3 2 an an 1 2n 1(n 2).
22
an a1 5 7 (2n 1)
2 1 1 4n 3 (n 1) 2 (n N *). ，所以 an 4n 3 an 2 2
（2） 由已知得 an 1 1 (an 1 1) 2 3 ， 即 (an 1)2 (an 1 1)2 3. 所以数列 {(an 1)2 } 是 首项为 (a1 1)2 1 ，公差 d 3 的等差数列，从而 (an 1) 2 1 3(n 1) 3n 2. 因为 an 1 ，所 以 an 1 3n 2(n N *).
an 1 q ）就是最简单的递推数 an
列.在历史上有一些很著名的递推数列，例如关于“兔子繁殖问题” ： “假定免笼中开始时有 一对大兔子，一个月后生了一对小兔子，而这对小兔子经过一个月后就长成大兔子，此后， 每对大兔子每个月生一对小兔子， 而每对小兔子经过一个月又长成大兔子， 如果不发生死亡， 问到第 n 个月时，免笼中共有多少对大兔子？”这是一个很有趣的问题，由意大利数学家斐 波那契首先提出的.原来兔笼中有一对大兔子，即 a1 1 ，第一个月，这对大兔子产下一对小 兔子，笼子中仍有一对大兔子，即 a2 1 ；第二个月，这对兔子产下一对小兔子，此时，第 一个月产下的小兔子已长成大兔子，则笼子中已有两对大兔子，即 a3 2 ；第三个月，原来 的和第一个月出生的兔子一起共有 2 对兔子各产一对小兔子， 而与此同时， 第二个出生的小 兔子也长成了大兔子，即 a4 3 ；第四个月，原来的和第一、第二个月出生的共 3 对大兔子 各产下一对小兔子，而与此同时，第三个月出生的小兔子也已长成了大兔子，此时，笼子中 共有五对大兔子，即 a5 5 ，……，按照这种“连锁反应”地繁殖小兔，来推算第 n 个月的 大兔子的总数，当 n 比较大时，我们同样需要找出一个简捷地“连锁反应关系式”来解出 an .
高考专题--放缩法(竞赛辅导)
专题—放缩法证明数列不等式放缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法。
在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。
但放缩的范围较难把握，常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象。
因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。
要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。
掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。
数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 注：常用放缩的结论：（1）)2(111)1(11)1(11112≥--=-<<+=+-k kk k k kk k k k（2）．)2)(111(212112)111(2≥--=-+<<++=+-k kk k k k k k k k例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21<n B例2．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n n a a S +=.(1) 求证：2214n n n a a S ++<；(2)1S S -<⋅⋅⋅+<例3．（1）设a ，n ∈N *，a ≥2，证明：n n n a a a a ⋅+≥--)1()(2；（2）等比数列{a n }中，112a =-，前n 项的和为A n ，且A 7，A 9，A 8成等差数列．设nnn a a b -=12，数列{b n }前n 项的和为B n ，证明：B n ＜13．例4．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()21(1 =+=+n a n a n nn ．求证：11213-++-≥>n n n n a a例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1( -+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列4321的逆序数63=a ．（1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式；（2）令nn n n n a a a a b 11+++=，证明32221+<++<n b b b n n ，n =1,2,….已知数列{an}满足：a 1=1且)2(213221≥=---n a a n n n .（1） 求数列{a n }的通项公式；（2） 设m ∈N +，m ≥n ≥2，证明（a n +n21）m1（m-n+1）≤mm 12-2设数列{n a }满足12,311+-==+n a a a n n（1） 求{n a }的通项公式； （2） 若11111,1,1++-=-=-==n nn n n n n c c d na c cb c求证：数列{n n d b ⋅}的前n 项和31<n s3已知正项数列{n a }满足)(,)1(1,1211*+∈⋅++==N n a n a a a n n n（1） 判断数列{n a }的单调性； （2） 求证：21)1(1112111+<-<+-++n a a n n n n4， （1）求证：2222111171234n++++<（3） 求证：nn 12!1!31!21!11-<++++（4） 求证：2!1!31!21!11<++++n（5） 求证：1071312111<++++++++nn n n n5在数列{n a }中，已知前n 项和为S n =2a n -n, n 为正整数， （1） 求数列的通项公式； （2） 求证：*122311...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈6 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n =2a n +(-1)n,n ≥1．（Ⅰ）写出求数列{a n }的前3项a 1,a 2,a 3； （Ⅱ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅲ）证明：对任意的整数m >4，有4511178ma a a +++<.7，设等比数列}{n a 的前n 项和为n s ，已知对*∈∀N n ，点),(n s n 均在函数r b y x += （均为常数且r b b b ,,10≠>）的图像上， （1） 求 r 的值；（2） 当 b=2 时，记)1(log22+=n n a b ，求证对*∈∀N n ，不等式111112211+>+++++n b b b b b b n n成立。
第2部分专题2强基专题2数列不等式放缩的基本类型课件共25张PPT
对于①，当n＝2时，S3＝1＋12＋13＝161， 右式＝3×a12＝32，因此左式＞右式，故①错误； 对于②，S2n－Sn＝n＋1 1＋n＋1 2＋n＋1 3＋…＋21n≥n×21n＝12，当n ＝1时等号成立，故②正确；
对于③，∵S2n－
1 2
Sn＝1＋
1 3
＋
1 5
＋…＋
1 2n－1
，2n＞2n－1，
42
n＋1－
n＝
2 n＋
n＋1＜
1＝ n
2＜ 2n
2 n＋进训练]
1．(2021·青岛二中期中)已知数列{an}满足a1＝1，an＋an＋1＝2n
＋1，n∈N*，Sn是数列a1n的前n项和，则下列结论中正确的是(
)
①S2n－1≤(2n－1)·a1n；
②S2n≥Sn＋12；
【变式】 求证：2＋1 1＋22＋1 1＋23＋1 1＋…＋2n＋1 1＜1(n∈N*)． [分析] 左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求和．
[证明] 因为2n＋1 1＜21n， 所以，左边＜12＋212＋213＋…＋21n ＝1211－－2121n＝1－21n＜1.
n
放缩法证明与数列求和有关的不等式，若 ∑i＝1ai 可直接求和，就 先求和再放缩；若不能直接求和的，一般要先将通项an放缩后再求 和.
＝1＋14＋
12－
1 n
＝74
－1n＜74(n≥3)，
当n＝1,2时，不等式显然也成立．
思路二：将通项放得比变式1更小一点．
n12＜n2－1 1＝12n－1 1－n＋1 1(n≥2)，
左边＜1＋
1 2
1－13＋12－41＋…＋n－1 1－n＋1 1
＝1＋
1 2
放缩法典型例题
放缩法典型例题第一篇：放缩法典型例题放缩法典型例题数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．一．先求和后放缩例1．正数数列（1）数列的前项的和的通项公式；，满足，试求：（2）设解：（1）由已知得，数列的前项的和为，所以时，求证：，作差得：，又因为，得为正数数，所列，所以以，即是公差为2的等差数列，由（2），所以注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列倒序相加等方法来求和．二．先放缩再求和1．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.满足条件）求和或者利用分组、裂项、(1)求证：；(2)求证：解：（1）在条件中，令有，得，上述两式相减，注意到∴，又由条件得所以，所以（2）因为，所以，所以；2．放缩后成等比数列，再求和例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：；（2）等比数列{an}中，前n项的和为An，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{bn}前n项的和为Bn，证明：Bn＜．解：（1）当n为奇数时，an≥a，于是，当n为偶数时，a－1≥1，且an≥a2，于是．．（2）∵，，∴公比．∴．．∴3．放缩后为差比数列，再求和．例4．已知数列满足：，．求证：证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得．4．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m 时Pi＞P（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列．j（1）求a4、a5，并写出an的表达式；的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列321的逆序数（2）令，证明，n=1,2,….（2）因为，所以.又因为，所以=综上，..注：常用放缩的结论：（1）（2）．在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式．如例２要证明的结论、为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数列，再求和即可；如例3要证明的结论为等比数列求和结果的类型，则把通项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的结论为差比数列求和结果的类型，则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例5要证明的结论相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可．为裂项第二篇：放缩法证明数列不等式经典例题放缩法证明数列不等式主要放缩技能： 1.1111111-=<2<=- nn+1n(n+1)nn(n-1)n-1n114411<===2(-)22n4n-1(2n+1)(2n-1)2n-12n+1n2-42.==>===<=2)=<====<== 4.2n2n2n-1115.n <==-(2-1)2(2n-1)(2n-2)(2n-1)(2n-1-1)2n-1-12n-16.n+22(n+1)-n11==- n(n+1)⋅2n+1n(n+1)⋅2n+1n⋅2n(n+1)⋅2n+1x2-x+n*c=(n∈N)例1.设函数y=的最小值为，最大值为，且abnnn2x+1（1）求cn；（2）证明：例2.证明：16<1+例3.已知正项数列{an}的前n项的和为sn，且an+2（1）求证：数列sn是等差数列；11117+++Λ+< 444c14c2c3cn4+Λ+<17 1=2sn，n∈N*； an{}（2）解关于数列n的不等式：an+1⋅(sn+1+sn)>4n-8（3）记bn=2sn,Tn=331111<Tn<-+++Λ+，证明：1 2b1b2b3bn例4.已知数列{an}满足：⎨n+2⎧an⎫an+1；⎬是公差为1的等差数列，且an+1=nn⎩⎭（1）求an；（2++Λ<2 例5.在数列{an}中，已知a1=2,an+1an=2an-an+1；（1）求an；（2）证明：a1(a1-1)+a2(a2-1)+a3(a3-1)+Λ+an(an-1)<32n+1an例6.数列{an}满足：a1=2,an+1=； n(n+)an+225112n（1）设bn=，求bn；（2）记cn=，求证：≤c1+c2+c3+Λ+cn< 162n(n+1)an+1an例7.已知正项数列{an}的前n项的和为sn满足：sn>1,6sn=(an+1)(an+2)；（1）求an；（2）设数列{bn}满足an(2n-1)=1,并记Tn=b1+b2+b3+Λ+bn，b求证：3Tn+1>log2n(a+3)（函数的单调性，贝努力不等式，构造，数学归纳法）例8.已知正项数列{an}满足：a1=1,nan+1(n+1)an=+1，anan+1 记b1=a1,bn=n[a1+（1）求an；（2）证明：(1+2111++Λ+](n≥2)。
奥林匹克竞赛及自主招生辅导材料(强烈推荐)第三讲：函数的基本性质
函数是数学中最重要的概念之一，它贯穿于整个高中数学教学.数学竞赛试题当然也离 不开函数的点缀.在高中阶段，函数问题主要讲义函数的定义域、有界性、单调性、奇偶性、 周期性、最值和极值、函数的零点与正负区间等性质，以及复合函数的单调性与奇偶性等. 从历年来的数学竞赛试题来看，函数一直是竞赛的热点之一，备受命题者的青睐.
f (1001) 1002, 求 f (2009) 的值.
二．函数的值域
求函数最值的常用方法： （1）单调性法：利用函数的单调性求最值； （2）不等式法：利用各种不等式来求解，常用平均不等式、柯西不等式等； （3）判别式法：将等式 y f ( x) 化成 p ( y ) x q ( y ) x r ( y ) 0 的形式，利用该二次方程
2
有解 x ，考虑 q ( y ) 4 p ( y ) r ( y ) ，从而求出 y 的最值；
2
（4）猜测法：先猜测 f ( x) 在某一点 x0 处取得最大值，再证明对任意的 x, f ( x) f ( x0 ) ； （5）拆项法：先将 f ( x) 分解为 f ( x)
n
g ( x) c ，其中 g ( x) 有下界 z (i 1, 2, , n) ，
2 2 3x0 2 0, 且 y0 x0 x0 所以 x0 2 ，所以 x0 3 x0 2.
任取 y0 [1, ), 令 x0
3 2
2 ( y 1) 2 y0 y2 2 2 , ，则 x0 1 0 1 0 0. 2 y0 3 2 y0 3 2 y0 3
一．函数及其表示
函数及其表示主要分为三块内容，即映射、函数的概念与解析式. 在数学竞赛中，涉及到的内容主要有： （1）关于映射、函数的概念辨析题，以选择题与填空题为主； （2）利用对应与映射思想解决计数问题； （3）求解函数值x) 在 R 上有定义， 且 f (x y) f (x) g( y) g(x) f ( y) ，
学生版——自主招生——(专题六)不等式——放缩法
1 (n 2)
6 2(2n 1)
(2)求证 : 1 1 1 4 16 36
1 11 4n2 2 4n
1 13 135
(3)求证 :
2 2 4 246
1 3 5 (2n 1) 2 4 6 2n
2n 1 1
(4) 求证： 2( n 1 1) 1 1 1 23
1 2( 2n 1 1)
n
【例 3】 求证 : 6n
111
(n 1)( 2n 1)
49
15 n2 3
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提高题分析
【例 1】（ 2008 年清华 )设函数 f (x) x xln x .数列 an 满足 0 a1 1. an 1
f ( an ) .
设 b ( a1，1) ，整数 k ≥ a1 b .证明 : ak 1 b .
a1 ln b
(I) 求证：函数 g (x) f ( x) 在(0, ) 上是增函数； x
(II) 当 x1 0, x2 0时,证明 : f ( x1 ) f (x2 ) f ( x1 x2 ) ；
f ( x) 在 x 0上恒成立 .
(III) 已知不等式 ln( 1 x ) x在 x 1且 x 0 时恒成立，
求证：
2! 3!
(1
1 )
e和 (1 1)(1
1)
n!
9 81
1 (1 3 2n )
e.
【例 5】 求证 : (1 1 2) (1 2 3) [1 n(n 1)] e2n 3
【例 6】 证明 : ln 2 ln 3 ln 4 345
ln n n(n 1) (n N *, n 1) n1 4
【例 7】 已知 a1
【 例 2 】 （ 2011 年 华 约 试 题 改 编 ) 已 知 n,m N , x 1, Sm 1m 2m 3m n m 1 (m 1)Sn (n 1) m 1 1 .
高二物理奥赛培训-自主招生.2.201820.ppt
在应用动量定理时要注意它是矢 量式，速度的变化前后的方向可以在 一条直线上，也可以不在一条直线上， 当不在一直线上时，可将矢量投影到 某方向上，分量式为：
Fxt mvtx mv0x
Fyt mvty mv0 y
Fzt mvtz mv0z
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动量守恒定律
动量守恒定律是人们在长期实践的 基础上建立的，首先在碰撞问题的研 究中发现了它，随着实践范围的扩大， 逐步认识到它具有普遍意义，
vp(t1′-t1)=L + vA(t1′-t1)
vp(t2′-t2)=L + vA(t2′-t1)-vSΔt 由以上各式,得Δt′=Δt 精品文字
ห้องสมุดไป่ตู้ (2)设声源发出声波的振动周期为T,这 样,由以上结论可知,观察者接收到的声 源振动的周期为
T′=
vp vs T
vp vA
由此可得,观察者接收到的声波频率与
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关于冲量的计算 （1）恒力的冲量计算 恒力的冲量可直接根据定义式来计算，即用恒 力F乘以其作用时间△t而得。 （2）方向恒定的变力的冲量计算。
如力F的方向恒定，而大小随时间变化的情况 如图—1所示，则该力在时间 △t=t2-t1内的冲量大小在数值上就等于中阴影 部分的“面积”。 （3）一般变力的冲量计算
簧保持原长，ω应为多大？
2l
2Gm2 l2k
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Gm
4(L 2r)3
2
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3
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第二部分 高考知识再学习
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多普勒公式推导：
如图所示,声源S和观察者A都沿x轴正方向运动,相对于地面的速率分别为vS和 vA,空气中声音传播的速率为vp,设vS<vP,vA<vP,空气相对于地面没有流动.
近年自主招生试题中的数列有界问题
近年自主招生试题中的数列有界问题・３２・中学数学研究２０１４年第６期近年自主招生试题中的数列有界问题山东省东营市胜利第一中学近几年各名校自招试题中屡屡出现从数列的有界性考查递推数列，解决的方法是不等式放缩或数列极限的定义，知识和能力上要高于高考要求，与高等数学接轨，相当于竞赛的一试或预赛程度，要求学生思维灵活，应具有较强的恒等变形能力和技巧，适当拓展部分课外知识．下面结合具体实例分析，供读者参考．’预备知识：１．数列极限的占一Ⅳ定义：设｛口。
｝为数列，８为定数，若对任给的正数ｇ，总存在正整数Ⅳ，使得当７／，＞Ⅳ时有Ｉ口。
一口Ｉ＜占，则称数列｛口。
｝收敛于ｎ，定数。
称为数列｛口。
｝的极限，并记作ｌｉｍａ。
＝口．２．单调递增有上界（或单调递减有下界）数列存在极限．３．不等式的传递性：若口＜ｂ，ｂ＜ｃ，则口＜ｃ．例１（２０１４年“华约”自招试题）已知数列｛口。
｝满足：口１＝０，口。
＋１＝ｎｉｐ“＋ｑ口。
．（１）若ｑ＝１，求口。
；（２）若ＩｐＩ＜１，ＩｑＩ＜１，求证：数列｛口。
｝有界．解：（１）因为口＝１，所以Ｄ。
＋ｌ＝ｎｐ“＋口。
，所以口ｎ＋１一ａｎ＝ｎｐ“．（ｉ）若Ｐ＝０，贝０口。
＋１＝ｎ。
，所以ａ。
＝口１＝０．（ｉｉ）若ｐ＝１，贝０ａ。
＋ｌ一口。
＝，Ｉ，于是当，ｌ≥２鱼Ｌ』Ⅱ！≠卫生二蛆：掣；又口。
：０也适时，有ｎ。
＝∑（ｎ。
一ａ－ｉ＿１）＋口。
＝∑（ｉ—１）＝合，所她＝血产（ｉｉｉ）当ｐ≠０且Ｐ≠１时，由口。
＋，一口。
＝ｎｐ“，得口。
＝∑（８ｉ一８¨）＋口。
＝∑（ｉ—１）ｐ卜１，即口。
＝（，ｌ一１）Ｐ８—１＋（凡一２）ｐ“一２＋…＋２ｘｐ２＋１×Ｐ，则ｐａ。
＝（１１，一１）ｐ“＋（ｎ一２）ｐ４－１＋…＋２Ｘｐ３＋１＋ｐ３＋ｐ２＋ｐ）＝（ｎ一１），ｐ“一訾＝（ｎ—ｘｐ２，两式相减得（ｐ一１）口。
＝（ｎ一１）Ｐ“一（Ｐ”１＋…万方数据（２５７０２７）李加军吴盛盛ｌ矽一智＝止垮竿血，所雌＝鱼Ｌ』卷铲．经验证，ｐ＝。
奥林匹克及自主招生辅导材料第二集(强烈推荐)：答案二
QO1 O1O2 QM MI
同理可证
I
RO2 O1O2 。因此 RM MI
R
QM QO1 MR RO2
因为 QO1∥RO2，所以有 ①
Q M O1 N
O P O2
O1O QO1 OR RO2
②
由①，②得 MO∥QO1。 又由于 O1P=O1Q，PO2=RO2， 所以
O1O O1Q O1 P ， OR RO2 PO2
习题八
一.证明：记锐角ABC的角平分线分别是AA1 , BB1 , CC1 , 设CB1＝x，那么AB1＝b x, 则： c 2 (b x) 2 BB1 a 2 x 2 CB1 x 则：B1 A c2 b2 a 2 2b
b2 c2 a2 a 2 c 2 b2 , C1 B 2c 2c c2 a2 b2 b2 a2 c 2 , A1C 2a 2a
故 M，N 重合，即 AP，BD，CE 交于一点。 四. 如图，设 RO1 与 QO2 交于点 O， 连 MO，PO。 因为∠O1QM=∠O1NM=90°，所以 Q，O1，N，M 四点共圆，有∠QMI=∠QO1O2。 而∠IQO2=90°=∠RQO1， 所以∠IQM=∠O2QO1， 故△QIM∽△QO2O1，得
即 OP∥RO2。从而 MO∥QO1∥RO2∥OP，故 M，O，P 三点共线，所以 PM，RO1，QO2 三 条直线相交于同一点。 五. 如图，连接 BD 交 AC 于 H，
173
过点 C 作 AB 的平行线交 AG 的延长线于 I， 过点 C 作 AD 的平行线交 AE 的延长线于 J。 对△BCD 用塞瓦定理，可得
2 2
PP 2 P A 2 PA 2 ,得到∠AP′P=90°,
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k (k 1) , k 1,2, , n.
n n 1 k k 1 1 k ， k S n ( k ) ， 2 2 2 k 1 k 1
2 即 n(n 1) S n n(n 1) n (n 1) .
k
简.
探究１：
已知 a、b、c 不全为零，求证：
a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ac a2 ＞ 3 （a b c） 2
二．分式放缩
一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分 母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。 例２. 已知 a、b、c 为三角形的三边，求证： 1＜
综合得 1＜
探究２：
函数 f（x）=
4x 1 4
x
，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+
1 2
n 1
1 (n N * ) . 2
143
三. 裂项放缩
若欲证不等式含有与自然数 n 有关的 n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例３.已知 an=n ，求证： ∑ 证明： ∑
n n
式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法。在证明过程中，适当地进行放缩，可 以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩之后 得不出结论或得出相反结论的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要 想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。在使用放缩法应注意以下 事项： （ 1 ）放缩的方向要一致。 （ 2 ）放与缩要适度 （ 3 ）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎， 则会出现放缩失当的现象。 利用放缩法证明不等式时，常用的技巧主要有以下几种：
第十五讲 放缩法
所谓放缩法，要证明不等式 A<B 成立，有时可以将它的一边放大或缩小，寻找一 个中间量，如将 A 放大成 C ，即 A<C ，后证 C<B ，这种证法便称为放缩法。其主要的 理论依据是主要理论依据 （ 1 ）不等式的传递性； （ 2 ）等量加不等量为不等量； （ 3 ）同分子（母）异分母（子）的两个分式大小的比较。 放缩法是贯穿证明不等式始终的指导变形方向的一种思考方法 。 放缩法是不等
一．添加或舍弃一些正项（或负项）
通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。 例 1．已知 an 2 1(n N ). 求证：
n *
a n 1 a1 a2 ... n (n N * ). 2 3 a2 a3 an 1
ak 2k 1 1 1 1 1 1 1 1 k 1 k . k , k 1, 2,..., n, 证明： k 1 k ak 1 2 1 2 2(2 1) 2 3.2 2 2 2 3 2 a a1 a2 n 1 1 1 1 n 1 1 n 1 ... n ( 2 ... n ) (1 n ) , 2 2 3 2 2 3 a2 a3 an 1 2 3 2 2
又 a ， b ， c 为三角形的边，故 b+c ＞ a ，则
a 为真分数，则 a ＜ 2a ，同理 bc bc a bc
b ＜ 2b ， c ＜ 2c ， ac a bc a b a bc
故
a ＋ b ＋ c ＜ 2a ＋ 2b ＋ 2c 2. bc ac a bc a bc a bc a b a ＋ b ＋ c ＜2 。 bc ac a b
a ＋ b ＋ c ＜2 。 bc ac a b
证明：由于 a、b、c 为正数，所以
b a ＞ a b ＞ ， ， bc a＋ c ＞ c ＞ c c a b ＋ ＋ ＝1 ， ，所以 bc ac a ＋b ＋c a＋b＋c a ＋b ＋c a b a b a bc
=1＋1＋
1 2 1 2 － － ＜3． ＜2＋ (n＋1) 2 2 n
本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.
探究３：
已知 n N 且 a n 1 2 2 3 n (n 1) ，求证：
*
n(n 1) (n 1) 2 对所 an 2 2
有正整数 n 都成立。
四．利用重要不等式放缩
1.均值不等式 利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。
2 例４.设 S n 1 2 2 3 n( n 1) . 求证 n(n 1) S n (n 1) . 2 2
解：此数列的通项为 a k
a n 1 a a n 1 2 ... n (n N * ). an 1 2 2 3 a2 a3
若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值
142
变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利 用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了 2 2 ，从而是使和式得到化
2
2
2
2
①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式 ab a b ，若放成
2
144
k (k 1) k 1 则得 S n (k 1) (n 1)(n 3) (n 1) ，就放过“度”了！
n 2 k 1
k=1
k ＜3． a2 k
n k=2
k a
2 k
k=1
=∑
n
1
k=1
k
3
＜1＋ ∑
1 (k－1)k(k＋1) =1
k 2 n
＜１＋ ∑
n
2 (k－1)(k＋1) ( (
k=2
k＋1 ＋ k－1 )
k 1 k 1 (k 1)(k 1)
=1＋ ∑
n
k=2
1 1 － ) (k－1) (k＋1)