高一数学-高一数学椭圆及其标准方程1 精品
人教A版必修1高一数学44椭圆【课件】
2.求椭圆离心率的取值范围的基本思路求椭圆离心率的取值范围，关键是寻找关于 , , 的不等式，这就需要利用椭圆上的点的横、纵坐标以及角的取值范围、判别式、基本不等式等来构建不等式，从而求出 的取值范围.注意 在解关于椭圆的离心率 的二次方程时，要注意根据椭圆的离心率 进行根的取舍，否则将产生增根.
c2=a2-b2
（2）标准方程
教材知识萃取
方法技巧利用定义求方程、焦点三角形及最值的解题策略
求方程
通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点 满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程.
求焦点三角形
利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和余弦定理求出 ,结合 进行转化，进而求得焦点三角形的周长和面积．其中对 两边平方是常用技巧.
8.［苏教选必一P86习题3.1(1)第6题变式］已知过椭圆的左焦点 的直线与椭圆交于不同的两点，，与轴交于点，且点，是线段 的两个三等分点，则该椭圆的标准方程是( )
B
A. B. C. D.
【解析】如图,不妨设在第一象限,由椭圆的左焦点,且点,是线段 的两个三等分点,得为的中点,为的中点,所以,所以,又，所以 ,即,所以,,将点的坐标代入椭圆方程得,即 ,结合,得,,所以椭圆的标准方程是 .故选B.
10.［人A选必一P115习题3.1第4题变式］求满足下列条件的椭圆的标准方程.
（1）长半轴长为4，半焦距为，焦点在 轴上；
【答案】设椭圆方程为,（注意焦点在 轴上）由题意得,,,所以 ,所以其标准方程为 .
（2）与椭圆有相同的焦点，且经过点 ；
【答案】易知椭圆的焦点坐标为 ,设所求椭圆方程为,则 ,因为椭圆过点,所以,即 ,所以,所以所求椭圆的标准方程为 .
高中数学《椭圆及其标准方程》课件
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答案
2．做一做 (1)(教材改编 P38“椭圆的定义”)设 F1，F2 为定点，|F1F2|＝6，动点 M 满 足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点 M 的轨迹是( ) A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 (2)a＝5，c＝3，焦点在 x 轴上的椭圆标准方程为____________________．
解得－9<m<72.
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答案
[结论探究] 如果把例 2 的问题解 由题意得 c2＝(m＋9)－(16－m)＝2m－7， 所以 c＝ 2m－7，又72<m<16， 所以 0<2m－7<25，c∈(0,5)， 所以焦距 2c∈(0,10)．
解析 (1)∵|MF1|＋|MF2|＝10>|F1F2|＝6，由椭圆定义可知，动点 M 的轨 迹为椭圆．
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答案
解析
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探究 1 椭圆的定义 例 1 已知△ABC 的周长是 8，且 B(－1,0)，C(1,0)，则顶点 A 的轨迹方 程是( ) A.x92＋y82＝1(x≠±3) B.x92＋y82＝1(x≠0) C.x42＋y32＝1(y≠0) D.x32＋y42＝1(y≠0)
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(3)定义法：利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条 件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且 该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后由定义确 定椭圆的基本量 a，b，c，这就是定义法求椭圆标准方程的方法，但注意检 验．
椭圆及其标准方程ppt课件
( 3)2
(-2)2
+ 2
2
(-2 3)2
1
+ 2
2
2
轴上时,设椭圆的标准方程为 2
= 1,
2 = 15,
解得 2
=
5,
= 1,
2
故所求椭圆的标准方程为
15
+
2
=1.
5
+
2
=1(a>b>0).
2
②当焦点在 y
(-2)2
( 3)2
+
2
2
1
(-2 3)2
+ 2
2
接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,
2
所以设它的标准方程为 2
+
2
=1(a>b>0).
2
因为 2a= (5 + 4)2 + (5-4)2 =10,所以 a=5.
又 c=4,所以 b2=a2-c2=25-16=9.
2
故所求椭圆的标准方程为25
O
为什么？
D
解1：(相关点代入法) 设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标
为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).
y0
寻求点M的坐标(x,y)中x, y
.
由点M是线段PD的中点，得 x x0 ,y
2
与x0, y0之间的关系,然后消
∵点P ( x0 ,y0 )在圆x 2 y 2 4上， ∴x02 y02 4，
2
a
a c
人教A版高中数学选修椭圆及其标准方程PPT精品课件
O
y F2
x M F1
a2c2b2
椭圆的标准方程 y
y M
F1 O F2
x
F2
x M F1
x2y21(ab0) a2 b2
y2x21(ab0) a2 b2
焦 :F 1 ( 点 c ,0 )F 2 ,( c ,0 ) 焦 :F 1 ( 0 , 点 c )F 2 ,( 0 ,c )
a2c2b2
椭圆方程有特点 系数为正加相连
M
F1
F2
F1
F2
探究2：椭圆的标准方程
设M(x, y)是椭圆上任意一点，
椭圆的焦距2c(c>0)，则F1、F2的坐标分别 是(c,0)、(c,0)
M与F1和F2的距离的和等于正常数2a
(2a>2c)
y
|M 1| F |M 2| F 2 a
M
|M 1| F(xc)2y2
|M 2| F(xc)2y2
1 36 32
当堂训练
2.写出适合下列条件的椭 圆的标准方程： （2）焦点坐标分别为（ 0,4）, (0,4), a 5;
解：由题意知 c： 4,a5
b 2 a 2 c 2 2 1 5 9 6
练一练：求曲线的方程
1.两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离平方和为26， 求点M的轨迹方程.
解：两定点分别记为点A、B，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴， 建立直角坐标系，得A（-3,0）、B(3,0)，设M（x,y）.
由题意 M知 A 2M ：B 2 26
y M（x,y）
MA (x3)2(y0)2 MB (x3)2(y0)2
A（-3,0）o
x B (3,0)
代入得：
人教版A版高中数学选修1-1：椭圆及其标准方程_图文
y2 a2
x2 b2
1
焦点为(0,-c)，(0,c)焦距为2c。
练一练：（口答）
知
1、如果椭圆 x 2 y 2 1 上一点P到焦点F1的 距离等于
识 应
100 36
用
6，则点P到另一个焦点F2的距离是 。
技
2、动点P（x,y)，若满足 (x 3)2 y2 (x 3)2 y2 10 则P点的轨迹方程是 。
y2 a2
x2 b2
1
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂 直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). y
设M(x, y)是椭圆上任意一
M
点，椭圆的焦距2c(c>0)，M
与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的 坐标分别是(c,0)、(c,0) .
a2 cx a (x c)2 y2 两边再平方，得 a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2
整理得 (a2 c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 c2 )
由椭圆定义可知 2a 2c,即a c, 所以
a2 c2 0,设a2 c2 b2 (b 0),
所得方程： x2 y2 1 25 9
2、（1）若│F1F2│=7，且│MF1│+│MF2│=9。依照
上面结论不计算过程直接说出M的轨迹方程。
（2）若│F1F2│=10，且│MF1│+│MF2│=26。
3、用符号语言表达出椭圆的定义，猜想椭圆的 标准方程。
观
察 定义：已知平面内两个定点F1，F2，│F1F2│＝2C，
高中数学椭圆的定义及其标准方程优秀课件
厚德笃学 践行修远
•
求适合以下条件的椭圆的标准方程：
• (1)两个焦点坐标分别是(－3,0)，(3,0)，椭圆经过点 (5,0)；
• (2)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点 P到两焦点的距离之和为26.
自贡市第十四中学校
No.14 middle school of Zigong
以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图坐
标系。
y
设P(x,y)为椭圆上的任意一点，
P
∵IF1F2I＝2c(c>0),
·F1 o
·F2
x
那么：F1(-c,0)、F2(c,0)
PF1 +PF2 =2a
(xc)2y2(x c)2y22 a
y
化简整 ( a 2 c 2 )x 2 a 2 y 2 a 2 ( a 2 c 2 )
自贡市第十四中学校
No.14 middle school of Zigong
厚德笃学 践行修远
展
如图所示，已知 F1，F2 是椭圆1x020＋3y62 ＝1 的两个焦点．
(1)求椭圆的焦点坐标；
(2)过 F1 作直线与椭圆交于 A，B 两点，试求△ABF2 的周 长．
自贡市第十四中学校
No.14 middle school of Zigong
厚德笃学 践行修远
原那么：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (定点、定线段选在坐标轴上；一般利用对称
轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴。)
y
P
· · F1 o
F2
x
以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图坐 标系。
椭圆及其标准方程
（4）化方程 f (x, y) 0 为最简形式；
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是 曲线上的点
坐标法
1.建系
2.设坐标
3.列等式
4.代坐标
5.化简方程
新课讲授
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
Байду номын сангаас
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
焦点 F1(c, 0), F2 (c, 0) F1(0, c), F2 (0, c)
a、b、c的 关系
c2 a2 b2
课后思考： 若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程.
求适合下列条件的椭圆的标准方程： 1、两个焦点的坐标分别是(－4,0)、(4,0)，椭圆上
一点P 到两焦点距离的和是10；
2、两个焦点坐标分别是(0,5)，(0,-5)，椭圆经 过点 (0,-13)。
课时小结
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于 |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离 叫做椭圆的焦距． 2．椭圆的标准方程
答案 轨迹是可能是一个椭圆或者线段，形状不固定，大 小不固定．
新课讲授
椭圆及其标准方程
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于 |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点 ，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
【高中数学课件】椭圆及其标准方程 课件
椭圆的焦点三角形
已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)上一点 P，F1、F2 为 椭圆的焦点，若∠F1PF2＝θ，求△F1PF2 的面积．
• [解题思路探究] 第一步，审题．审条件挖解 题信息：P在椭圆上，F1、F2为焦点，可利用 椭圆定义；∠F1PF2已知，可解△F1PF2；审 结论确定解题方向，求△F1PF2的面积，需探 索依据条件选取怎样的公式求面积．
• 2．在推导椭圆方程时，为何要设|F1F2|＝2c， 常数为2a？为何令a2－c2＝b2，
• 在求方程时，设椭圆的焦距为2c(c>0)，椭圆 上任意一点到两个焦点的距离的和为2a(a>0)， 这是为了使焦点及长轴两个端点的坐标不出 现分数形式，以便使推导出的椭圆的方程形 式简单．令a2－c2＝b2是为了使方程的形式 整齐而便于记忆．
轨迹是______________________． • (2)动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则点M的轨
迹是____________________． • [答案] 以F1、F2为焦点，焦距为8的椭圆
线段F1F2
椭圆的标准方程思维导航
• 1．如何建立坐标系才能使椭圆的方程比较简 单．
• 求椭圆的方程，首先要建立直角坐标系，由 于曲线上同一个点在不同的坐标系中的坐标 不同，曲线的方程也不同，为了使方程简单， 必须注意坐标系的选择．一般情况下，应使 已知点的坐标和直线(或曲线)的方程尽可能 简单，在求椭圆的标准方程时，选择x轴经过 两个定点F1、F2，并且使坐标原点为线段 F1F2的中点，这样两个定点的坐标比较简单，
[错解] 设点 B 的坐标为(x，y)． ∵a、b、c 成等差数列，∴a＋c＝2b，即|BC|＋|BA|＝2|AC|， ∴|BC|＋|BA|＝4. 根据椭圆的定义易知， 点 B 的轨迹方程为x42＋y32＝1.
3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(53张)高中数学新人教A版选择性必修第一册
探究点三 利用代入法求轨迹方程
解题感悟 当题目中所求动点和动点存在明显关系时，一般利用代入法〔相关点法
〕求轨迹方程.
〔1〕 求该椭圆的标准方程；
B
D
4. 求满足以下条件的椭圆的标准方程.
D
A
C
B
C
D C
B
A
〔1〕 椭圆的标准方程；
解题感悟 椭圆的定义是题目的隐含条件，解决椭圆问题时要注意挖掘此条件.
第三章 圆锥曲线的方程
椭圆
椭圆及其标准方程
课标要求
素养要求
1.掌握椭圆的定义、标准方程.
课
标 2.掌握用定义法和待定系数法求 1.数学抽象——能够从具体情境中
解 椭圆的标准方程.
抽象出椭圆.
Байду номын сангаас
读 3.理解椭圆标准方程的推导过程 2.数学运算——能够通过运算求椭
，并能运用标准方程解决相关问 圆的标准方程.
题.
焦距
焦点
2. 椭圆的标准方程：
探究点一 椭圆的标准方程
类型1 求椭圆的标准方程
例1 求适合以下条件的椭圆的标准方程.
类型2 根据椭圆的标准方程求参数的取值范围
B
B
2. [2021江苏苏州高新第一中学高二期中] 求适合以下条件的椭圆的标准方 程.
探究点二 椭圆定义的应用
例1
8
64
高中数学选择性必修第一册：椭圆及其标准方程
知识点一 高中数学选择性必修第一册：椭圆及其标准方程椭圆的定义我们把平面内与两个定点F F ,12的距离的和等于常数(大于F F 12)的点的轨迹叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距． 根据椭圆的定义,设点M 与焦点F F ,12的距离的和等于a 2.由椭圆的定义可知,椭圆可看作点集=+=P M MF MF a {|2}12．知识点二 椭圆的标准方程-c c 0()(,0,,) −c c 0()(0,,,)重难点1根据椭圆的定义求方程1．已知椭圆C 上任意一点P x y ,)(=4，则椭圆C 的标准方程为 . 【答案】+=x y 43122【分析】根据椭圆定义可得答案.【详解】由题可知椭圆C 的焦点在x 轴上，其坐标分别为−1,0,1,0)()(，=a 24，故==a c 2,1，=b 32，所以椭圆C 的标准方程为+=x y 43122.故答案为：+=x y 43122.2．已知两定点F (5,0)1，−F (5,0)2，曲线上的点P 到F 1、F 2的距离之和是12，则该曲线的标准方程为 .【答案】+=x y 3611122【分析】根据椭圆的定义，再结合a b c ,,222的关系确定椭圆方程.【详解】由条件可知，+=>PF PF 121012，所以点P 的轨迹是以点F F ,12为焦点的椭圆， 且=c 210，=a 212，=a 362，=−=b a c 11222，所以椭圆的标准方程为+=x y 3611122.故答案为：+=x y 36111223．椭圆的焦点坐标为−(3,0)和(3,0)，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10的椭圆的标准方程为 .【答案】+=x y 2516122【分析】根据给定条件，利用椭圆定义求出椭圆方程作答.【详解】依题意，椭圆长轴长=a 210，则=a 5，而椭圆半焦距=c 3，因此椭圆短半轴长===b 4，所以所求椭圆标准方程是+=x y 2516122.故答案为：+=x y 25161224．已知动点M 到定点⎝⎭ ⎪−⎛⎫A 4,09与⎝⎭⎪⎛⎫B 4,09的距离的和是225，则点M 的轨迹方程是 ．【答案】+=x y 1634625122【分析】根据椭圆的定义直接写出该曲线的方程.【详解】因为M 到顶点−A 4(,0)9和B 4(,0)9的距离的和为>=AB 22259，所以M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，设方程为+=a bx y 12222（>>a b 0），则=c 49，=a 2225，所以=a 425，=−=b a c 34222，M 的轨迹方程为+=x y 1634625122. 故答案为：+=x y 1634625122. 5．已知B ，C 是两个定点，=BC 8，且ABC 的周长等于18．求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．【答案】+=≠±x x y 2591522)(【分析】以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，根据三角形周长公式，结合椭圆的定义进行求解即可.【详解】以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，如图所示．由=BC 8，可知点−B C 4,0,4,0)()(． 由ABC 的周长等于18．得+=AB AC 10，因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，但点A 不在x 轴上．设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为a b c 2,2,2，则这个椭圆上的点与两焦点的距离之和=⇒=a a 2105， =c 4，得=−=−=b a b 25169222，所以动点A 的轨迹方程是+=≠±x x y 2591522)(.6．分别求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点分别是−F F (3,0),(3,0)12，椭圆上的点P 与两焦点的距离之和等于8；(2)两个焦点分别是−F F (0,4),(0,4)12，并且椭圆经过点．【答案】(1)+=x y 167122(2)+=y x 204122【分析】（1）根据椭圆定义以及焦点坐标可计算出=a 4，=c 3，即可求得椭圆方程； （2）由焦点坐标可知=c 4且在y 轴上，设出标准方程代入计算即可. 【详解】（1）由已知得=a 28，因此=a 4． 又因为=c 3，所以=−=−=b a c 43722222， 易知椭圆的焦点在x 轴上，所以所求椭圆的标准方程为+=x y 167122．（2）因为椭圆的焦点在y 轴上，设它的标准方程为+=>>a b a b y x 1(0)2222．由已知得=c 4，又因为=−c a b 222，所以=+a b 1622．因为点=1，即+=a b 15322． 从而有++=b b1615322， 解得=b 42或=−b 122（舍去）． 因此=+=a 416202，从而所求椭圆的标准方程为+=y x 204122．7．分别写出满足下列条件的动点P 的轨迹方程： (1)点P 到点−F 3,01)(、F 3,02)(的距离之和为10； (2)点P 到点−F 0,21)(、F 0,22)(的距离之和为12； (3)点P 到点−F 4,01)(、F 4,02)(的距离之和为8．【答案】(1)+=x y 2516122(2)+=y x 3632122 (3)=−≤≤y x 0(44)【分析】（1）根据椭圆的定义可求出结果； （2）根据椭圆的定义可求出结果；（2）+=PF PF F F ||||||1212可知动点P 的轨迹是线段F F 12. 【详解】（1）因为+=>=PF PF F F ||||10||61212， 所以动点P 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆， 这里=a 210，=c 26，即=a 5，=c 3， 所以=−=−=b a c 25916222， 所以动点P 的轨迹方程为+=x y 2516122. （2）因为+=>=PF PF F F ||||12||41212， 所以动点P 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆， 这里=a 212，=c 24，即=a 6，=c 2， 所以=−=−=b a c 36432222，所以动点P 的轨迹方程为+=y x 3632122.（3）因为+===PF PF F F ||||8||81212，所以动点P 的轨迹是线段F F 12，其方程为=−≤≤y x 0(44).重难点2根据a b c ,,求标准方程8．已知椭圆的两焦点为−F F 4,0,4,012)()(，点P 在椭圆上．若△PF F 12的面积最大为12，则椭圆的标准方程为 ．【答案】+=x y 259122【分析】由题意可知当P 在y 轴上时△PF F 12的面积最大，从而可求出b ，再结合c 可求出a ，从而可求出椭圆的标准方程.【详解】如图，当P 在y 轴上时△PF F 12的面积最大，所以⨯=b 28121，所以=b 3．又=c 4，所以=+=a b c 25222，所以椭圆的标准方程为+=x y 259122．故答案为：+=x y 2591229．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)中心在原点，一个焦点坐标为0,5)(，短轴长为4；(2)中心在原点，焦点在x 轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1.【答案】(1)+=y x 294122(2)+=x y 43122【分析】（1）根据题意求出a b ,，再由焦点位置得出椭圆方程； （2）由题意求出a b ,，根据焦点在x 轴写出方程. 【详解】（1）由题意得：=c 5，=b 24， 故=+=+=a b c 42529222，因为焦点在y 轴上，故椭圆方程为+=y x294122.（2）如图，由题意得：==a AF ||2，=−=BF a c ||1， 所以=c 1，=−=−=b a c 413222，结合焦点在x 轴上，故椭圆方程为：+=x y 43122.10．分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y 轴上，焦距为−0,4)(；(2)焦距为4，且经过点)．【答案】(1)+=x y 16122(2)+=y x 5122或+=y x 95122【分析】（1）利用待定系数法求出a b ,可得结果； （2）讨论焦点位置，求出a b ,可得结果.【详解】（1）设椭圆的标准方程为+=>>a b a b y x 1(0)2222，依题意得⎩⎪⎪=+⎪⎨=⎪⎪⎪+=⎧a b c c a b 2116022222，解得⎩=⎪⎨=⎪=⎧c b a 14，所以该椭圆的标准方程为+=x y 16122.（2）当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为+=>>a ba b x y 1(0)2222，依题意得=c 2，=a ，则=−=−=b a c 541222，故椭圆的标准方程为+=y x 5122.当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为+=>>a b a b y x 1(0)2222，依题意得=c 2，=b =+=+=a b c 549222， 故椭圆的标准方程为+=y x 95122.11．求焦点在x轴上，焦距为的椭圆的标准方程．【答案】+=x y 93122【分析】根据题意，设椭圆方程为+=>>a b a b x y 102222)(，结合题意，列出方程组，求得a b ,的值，即可求解.【详解】由椭圆焦点在x 轴上，所以可设其方程为+=>>a ba b x y 102222)(，因为椭圆的焦距为=c 2，所以c =+a b 622，又因为椭圆过点，所以+=a b13222，联立方程组，可得==a b 9,322，所以所求的方程为+=x y 93122．12．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)+=a c 4，−=a c 2；(2)焦点坐标为−0,4)(，0,4)(，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10；(3)焦点在x 轴上，=a 4，且经过点A (；(4)=c 4，且经过点P 0,(.【答案】(1)198x y 22或+=y x 98122(2)+=y x 259122(3)+=x y 164122 (4)+=x y 4024122或+=y x 248122 【分析】(1)直接联立方程组，求出a 、c 的值，再利用椭圆的基本性质求出b 的值，然后分别讨论焦点所在的坐标轴，直接写出标准方程即可；(2)由椭圆的定义，直接写出a 、c 的值，并可判断焦点所在坐标轴，再利用椭圆的基本性质求出b 的值，即可直接写出椭圆的标准方程；(3)由题意，设出椭圆的标准方程，再把点代入求解即可；(4)由题意结合椭圆的性质，可列出a 、b 的关系式，再设出椭圆的标准方程，然后把点代入求解即可.【详解】（1）由题意，联立⎩−=⎨⎧+=a c a c 24，解得：⎩=⎨⎧=c a 13， 则由椭圆的性质得：=−=b a c 8222，所以当椭圆的焦点落在x 轴上时，椭圆的标准方程为：198xy 22；当椭圆的焦点落在y 轴上时，椭圆的标准方程为：+=y x 98122，故椭圆的标准方程为：198x y 22或+=y x 98122.（2）由题意可得，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为=a 210，即=a 5， 又椭圆的两个焦点坐标为−0,4)(，0,4)(，则=c 4，且焦点落在y 轴上，所以由椭圆的性质得：=−=b a c 9222，故椭圆的标准方程为：+=y x 259122.（3）因为椭圆的焦点在x 轴上，且=a 4，所以可设椭圆的标准方程为+=b x y 161222，又因为椭圆经过点A (， 所以+=b161432，解得：=b 42， 故椭圆的标准方程为：+=x y 164122. （4）因为=c 4，由椭圆的性质得=−=c a b 16222，则=+a b 1622，所以可设椭圆的标准方程为++=b b x y 1612222或++=b b y x 1612222又因为椭圆经过点P 0,(， 所以=b 1242或+=b 161242，解得：=b 242或=b 82， 所以，当=b 242时，椭圆的焦点落在x 轴上，此时椭圆的标准方程为：+=x y 4024122；当=b 82时，椭圆的焦点落在y 轴上，此时椭圆的标准方程为：+=y x248122，故椭圆的标准方程为：+=x y 4024122或+=y x 248122.13．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点坐标为−5,0)(和5,0)(，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为26； (2)焦点坐标为−0,3)(和0,3)(，且椭圆经过点8,3)(.【答案】(1)+=x y 169144122(2)+=y x 8172122 【分析】（1）设椭圆的标准方程为+=>>a b a b x y 102222)(，根据椭圆的定义求出a 的值，进而可求得b 的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）设椭圆的标准方程为+=>>a b a b y x 102222)(，根据椭圆的定义求出a 的值，进而可求得b 的值，由此可得出椭圆的标准方程.【详解】（1）解：因为椭圆的焦点坐标为−5,0)(和5,0)(，设椭圆的标准方程为+=>>a b a b x y 102222)(， 因为椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为26，则=a 226，可得=a 13，所以，==b 12，因此，椭圆的标准方程为+=x y 169144122.（2）解：因为焦点坐标为−0,3)(和0,3)(，设椭圆的标准方程为+=>>a ba b y x102222)(，因为椭圆经过点8,3)(，由椭圆定义可得==a 218，所以，=a 9，则=b ，因此，椭圆的标准方程为+=y x 8172122.14．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为−4,0)(和4,0)(，且椭圆经过点5,0)(； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点0,2)(和1,0)(； (3)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M 3,2)(．【答案】(1)+=x y 259122(2)+=x y 4122(3)+=y x 1612122 【分析】（1）设标准方程+=>>a ba b x y 102222)(，由条件分别计算出a c ,，再求b 即可；（2）设标准方程+=>>a ba b y x 102222)(，将两点代入利用待定系数法计算即可；（3）由题意可得焦点坐标，再利用椭圆定义可得长轴长，从而得椭圆标准方程. 【详解】（1）由题意知，椭圆的焦点在x 轴上，可设它的标准方程为+=>>a b a b x y 102222)(，易知=a 210，∴=a 5，又=c 4，∴=−=b a c 9222，故所求椭圆的标准方程为+=x y 259122；（2）∵椭圆的焦点在y 轴上，∴可设它的标准方程为+=>>a b a b y x 102222)(，∵椭圆经过点0,2)(和1,0)(， ∴⎩⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎧a b a b 1011402222，解之得==a b 4,122， 故所求椭圆的标准方程为+=x y 4122；（3）根据题意可知=c 2，又焦点在y 轴上，故焦点坐标为−0,2,0,2)()(， ∵椭圆经过点M 3,2)(， ∴由椭圆的定义可得=a 28，即=a 4，∴=−=b a c 12222，故椭圆的标准方程为+=y x 1612122.重难点3根据方程表示椭圆求参数15．若方程−++=m m x y 259122表示椭圆，则实数m 的取值范围是（ ）A ．−9,25)(B ．−⋃9,88,25)()(C ．8,25)(D ．+∞8,)(【答案】B【分析】根据方程表示椭圆列不等式，由此求得m 的取值范围. 【详解】依题意，方程−++=m m x y 259122表示椭圆，则⎩+≠−⎪⎨+>⎪⎧−>m m m m 92590250， 解得−<<m 98或<<m 825， 即实数m 的取值范围是−⋃9,88,25)()(. 故选：B16．已知方程+−+=k kx y 53122表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数k 的取值范围为（ ）A ．−∞−⋃+∞,13,)()(B ．−∞−,1)(C ．−1,3)(D ．+∞3,)(【答案】C【分析】根据题意列出含有参数k 的不等式组求解即可.【详解】根据题意,要使方程+−+=k kx y 53122表示焦点在x 轴上的椭圆,需满足⎩+>−⎪⎨−>⎪⎧+>k k k k 533050,解得−<<k 13. 故选:C.17．若关于x ，y 的方程−−+=t t x y 31122表示的是曲线C ，给出下列三个条件：①若曲线C 是椭圆，②焦点在y 轴上，③焦点在x 轴上．请选择其中2个条件与已知组成命题，并求出t 的取值范围．【答案】选①②时，<<t 23，选①③时，<<t 12.【分析】根据曲线方程选①②，选①③时，由长轴位置列出不等式求解即可. 【详解】若选①若曲线C 是椭圆，②焦点在y 轴上， 则−>−>t t 130，解得<<t 23，若选①若曲线C 是椭圆，③焦点在x 轴上， 则−>−>t t 310，解得<<t 12，综上，当选①②时，<<t 23，当选①③时，<<t 12.18．已知曲线C ：−−+=−k k x y 53122，则“≤<k 45”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，列不等式求出k 的取值范围，结合充分必要条件的定义即可判断.【详解】将曲线C 的方程化为−−+=k k x y 53122，若曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，则−>−>k k 350，即<<k 45， 而“≤<k 45”不能推出“<<k 45”；“<<k 45”可以推出“≤<k 45”，故“≤<k 45”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的必要不充分条件. 故选：A.19．若方程−−+=t t x y 83122表示焦点在y 轴上的椭圆，则t 的取值范围为 .【答案】⎝⎭⎪⎛⎫2,811 【分析】由焦点在y 轴上的椭圆方程的特征求解即可．【详解】∵已知方程表示焦点在y 轴上的椭圆，∴⎩−>−⎪⎨−>⎪⎧−>t t t t 38,30,80,解得<<t 2811.∴t 的取值范围是⎝⎭⎪⎛⎫2,811. 故答案为：⎝⎭⎪⎛⎫2,811. 20．“>>m n 0是“方程+=mx ny mn 22表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】把方程化为+=n mx y 122，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，方程+=mx ny mn 22，可化为标+=n mx y 122，当>>m n 0时，方程+=n mx y 122表示焦点在y 上的椭圆，即充分性成立； 若方程表示焦点在y 上的椭圆，则满足>>m n 0，即必要性成立，所以>>m n 0时方程+=mx ny mn 22表示焦点在y 上的椭圆的充要条件.故选：A.21．已知P ：<<m 13，Q ：−−+=m mx y 13122表示椭圆，则P 是Q 的 条件．【答案】必要不充分【分析】先求出方程−−+=m m x y 13122表示椭圆时m 的范围，再利用充分条件与必要条件的定义判定即可．【详解】若方程−−+=m mx y 13122表示椭圆，则⎩−≠−⎪⎨−>∴<<⎪⎧−>m m m m m 1330,1310且≠m 2， {13m m <<∣且≠m 2} ∣<<m m {13}，∴<<m 13是方程−−+=m mx y 13122表示椭圆的必要不充分条件，即P 是Q 的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分．重难点4根据椭圆方程求a b c ,,22．已知椭圆+=x ky 222的焦点在y 轴上，若椭圆的焦距为4，则k 的值为（ ）A ．31B ．41C ．3D ．4【答案】A【分析】将椭圆方程化为标准式，即可得到a 2，b 2，从而求出c ，即可得解.【详解】椭圆+=x ky 222即+=kx y 22122，焦点在y 轴上， 所以=k a 22，=b 22，所以=c 又椭圆的焦距为4=2，解得=k 31. 故选：A23．已知椭圆+=x y 259122上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O为坐标原点，那么线段ON 的长是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．23【答案】B【分析】不妨设点M 到该椭圆左焦点F 的距离为2，设右焦点为F 1，作出图象，根据椭圆的定义可求出MF 1，再根据中位线定理即可求出线段ON 的长. 【详解】不妨设点M 到该椭圆左焦点F 的距离为2，如图所示：设椭圆左焦点为F ，右焦点为F 1.∵=a 210，=MF 2，∴=−=MF a MF 281. 又∵N 为MF 的中点，O 为FF 1的中点， ∴==ON MF 2411. 故选：B.24．已知两椭圆+=ax y 822与+=x y 92510022的焦距相等，则a 的值为 ． 【答案】179或9/9或179 【分析】讨论焦点所在位置，根据题意列式求解.【详解】因为两椭圆方程分别为+=ax y 88122，+=x y 94100122，由题意可得：⎩⎪−=−⎪⎨⎪⎪>⎧a a 984810088或⎩⎪−=−⎪⎨⎪⎪<<⎧a a9848100088，解得=a 179或=a 9.故答案为：179或9 25．F F ,12是椭圆+=x y 164122的两个焦点，P 是椭圆上的一点，则△F PF 12的周长是 ．【答案】8【分析】根据椭圆定义可得△F PF 12的周长为+a c 22，代入数值即得结果. 【详解】根据椭圆定义可得△F PF 12的周长为为+a c 22， 所以△F PF 12的周长为++=+=PF PF F F a c 2281212 故答案为: 826．已知F F ,12是椭圆198x y 22的左、右焦点，P 是椭圆上的一点，若PF =21，则=PF 2【答案】4【分析】由椭圆的方程及定义可求得结果.【详解】由椭圆的方程198x y 22，可知=a 3，又P 是椭圆上的一点，由椭圆的定义知，+==PF PF a ||||2612， 又PF =21，则=PF ||42. 故答案为：4.重难点5椭圆的焦点三角形问题27．已知椭圆+=C x y 2516:122的左､右焦点分别为F F ,12，点P 在椭圆C 上，则△PF F 12的周长为（ ）A ．14B ．16C ．18D ．+10【答案】B【分析】根据椭圆的标准方程得出椭圆中的a b c ,,，利用椭圆的定义及三角形的周长公式即可求解.【详解】由+=x y 2516122，得==a b 25,1622，即==a b 5,4，所以=−=−=c a b 25169222，即=c 3.由椭圆的定义知，+====PF PF a F F c 210,261212, 所以△PF F 12的周长为++=+=PF PF F F 106161212. 故选：B.28．已知F F ,12为椭圆+=x y916122的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若+=F A F B 1022，则=AB ||（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】B【分析】根据椭圆的定义，结合焦点三角形的周长即可求解.【详解】由+=x y 916122，即+=y x 169122，可得=a 4，根据椭圆的定义+++==F A F A F B F B a 4161212，所以=+=AB F A F B 611. 故选：B.29．已知F 1，F 2为椭圆+=x y 95122的两个焦点，P 为椭圆上一点且=PF PF 212，则△PF F 12的面积为（ ）A ．BC ．4D 【答案】B【分析】利用椭圆定义求得PF PF ,12的值，判断△PF F 12为等腰三角形，即可求得答案.【详解】由椭圆+=x y 95122可知====a b c 3,2，故+==PF PF a 2612，结合=PF PF 212， 可得==PF PF 4,212，而==F F c 2412，故△PF F 12为等腰三角形，其面积为⨯=221故选：B30．已知点F F ,12为椭圆+=C x y 43:122左右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则⋅PF PF 12的取值范围为（ ）A ．[3,4]B ．2,3][C ．1,4][D ．1,7][【答案】A【分析】利用三角换元的方法，结合三角函数的值域求得正确答案.【详解】椭圆+=C x y 43:122的焦点−F F 1,0,1,012)()(，设≤<θθθP π2cos ,02)(，⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⋅=++⨯−+⎡⎤⎡⎤θθθθPF PF 2cos 12cos 112222222))())(=−⨯+=−θθθcos 2cos 2cos 42222)()()(，所以⋅==−θPF PF 4cos 122，由于≤≤θ0cos 12，≤−≤θ34cos 42， 所以⋅PF PF 12的取值范围为[3,4]. 故选：A31．（多选）F 1，F 2是椭圆+=x y 259122的两个焦点，A 是椭圆上一点，△AF F 12是直角三角形，则△AF F 12的面积为（ ）A ．9B ．536C ．D ．【答案】AB【分析】对△AF F 12的直角进行分类讨论，结合椭圆的定义以及标准方程求得正确答案.【详解】由+=x y 259122得c ==4，不妨−F 4,01)(，F 4,02)(，则=F F 812，当⊥AF AF 12时，则 ②①⎩⎪+=⎨⎪+=⎧AF AF AF AF 6410122212 ①平方减去②得⋅=AF AF 1812， ∴12AF F SAF AF =⨯⋅=29112， 当⊥AF F F 112 (或者⊥AF F F 212)时，−F 4,01)(，令=−x 4，则+=−y 2591422)(，解得=±y 59， 则==a AF b 5912，12AF F S =⨯⨯=25581936.故选：AB.32．如图所示，已知F F ,12是椭圆+=x y10036122的两个焦点．(1)求椭圆的焦点坐标；(2)过F 1作直线与椭圆交于A B ,两点，试求△ABF 2的周长． 【答案】(1)−F F 8,0,8,012)()(． (2)40【分析】（1）根据椭圆的标准方程计算即可； （2）由椭圆的定义计算即可.【详解】（1）设焦距为c 2，由+=x y 10036122得=c 8，所以椭圆的焦点坐标为−F F 8,0,8,012)()(．（2）设椭圆长轴长a 2，则易得==a 220， 又△ABF 2的周长2ABF C为++=+++=+++AB AF BF AF BF AF BF AF AF BF BF 2211221212)()()(,由椭圆的定义可知+==+AF AF a BF BF 21212，故2ABF C=40.33．已知椭圆的焦点在x 轴上，且过点⎝ ⎛23，焦距为P 为椭圆上的一点，F 1、F 2是该椭圆的两个焦点，若∠=F PF 6012，求：(1)椭圆的标准方程；(2)△PF F 12的面积． 【答案】(1)+=x y 94122【分析】）（1设出椭圆的标准方程，利用待定系数法求出椭圆方程；）（2利用椭圆定义以及余弦定理、面积公式求得结果.【详解】（1）设椭圆的标准方程为+=>>a b a b x y 1(0)2222，由已知得，，⎩⎪=+⎪⎨+=⎪⎪=⎧a b c a b c 4193222222解得=a 3，=c ，=b 2，故椭圆的标准方程为+=x y 94122．（2）如图，由椭圆的定义可得+=PF PF 612， 由余弦定理可得||2cos6020+−=PF PF PF PF 121222，整理得+−=PF PF PF PF ||20121222，又++=PF PF PF PF ||236121222，所以⨯=PF PF 31612， 故121116223PF F SPF PF =⨯⨯=⨯=sin601234．如图所示，已知椭圆的方程为+=x y 43122，若点P 为椭圆上的点，且∠=︒PF F 12012，求△PF F 12的面积．【分析】在1PF F 中，利用余弦定理结合椭圆的定义可求出PF 1，再利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】由已知==a b 2,，得==c 1， 则==F F c 2212，+==PF PF a 2412，在1PF F 中，由余弦定理，得︒=+−PF PF F F PF F F 2cos1202112112222，所以=++PF PF PF 4221122，由+==PF PF a 2412，得=−PF PF 421， 所以−=++PF PF PF 44211122)(，化简解得=PF 561，所以△PF F 12的面积为︒=⨯⨯PF F F 225sin1202116112 重难点6与椭圆有关的轨迹问题35．古希腊后期的数学家帕普斯在他的《数学汇编》中探讨了圆锥曲线的焦点和准线的性质：平面内到一定点和定直线的距离成一定比例的所有点的轨迹是一圆锥曲线．这就是圆锥曲线的第二定义或称为统一定义．若平面内一动点P x y ,)(到定点A 1,0和到定直线=x 4的距离之比是21，则点P 的轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】B【分析】利用轨迹的直接法求解.=21，整理得：+=x y 43132，所以点P 的轨迹为椭圆． 故选：B ．36．已知动圆过点,−A 30)(，并且在圆B ：−+=x y (3)10022的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）A ．+=x y 167122B ．+=x y 169122C ．+=x y 259122D ．+=x y 2516122【答案】D【分析】根据圆与圆的位置关系，整理等式，根据椭圆的定义，可得答案. 【详解】由圆−+=B x y :310022)(，则其圆心B 3,0)(，半径为=R 10，设动圆的圆心为C ，半径为r ，由圆C 在圆B 的内部与其相切，则−=R r CB ， 由圆C 过点A ，则−=R CA CB ，即=+CA CB 10， 所以动点C 的轨迹为以A B ,为焦点的椭圆，则=a 5，==c AB23，==b 4，所以其轨迹方程为+=x y 2516122. 故选：D.37．已知A 是圆C 内异于圆心的一定点，动点P 满足：在圆C 上存在唯一点Q ，使得0QA QP ⋅=，则P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线【答案】C【分析】根据向量垂直关系可确定Q 点轨迹是以AP 为直径的圆，且该圆与圆C 相内切；根据圆与圆的位置关系可确定=+>r MC MA AC ，知M 点轨迹为椭圆；采用相关点法可确定P 点轨迹方程，由此可得结论.【详解】0QA QP ⋅=，∴⊥QA QP ，∴Q 点轨迹是以AP 为直径的圆， 又Q 在圆C 上且唯一，∴以AP 为直径的圆与圆C 相内切， 设AP 中点为M ，圆C 半径为r ， ∴由两圆内切且点A 在圆C 内可得：−=r AP MC 21，∴=+>r MC MA AC ，∴点M 轨迹是以A C ,为焦点，r 为长轴长的椭圆，以A C ,所在轴为x 轴，AC 中点为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，不妨设−A c ,0)(，C c ,0)(，点M 轨迹为+=>>a b a b x y 102222)(， 设M x y ,00)(，P x y ,)(，则⎩⎪=⎪+⎨⎪⎪=⎧−y y x x c20200，∴+=−a b y x c 4412222)(，∴P 点轨迹为椭圆. 故选：C.38．如图，已知定圆A 的半径为4，B 是圆A 内一个定点，且=AB 2，P 是圆上任意一点.线段BP 的垂直平分线l 和半径AP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，则点Q 的轨迹是（ ）A ．面积为π的圆B ．面积为π2的圆C ．离心率为41的椭圆 D ．离心率为21的椭圆【答案】D【分析】连接BQ ，由线段垂直平分线的性质结合圆的性质可得+==>=AQ BQ AP AB 42，再由椭圆的定义可得其轨迹.【详解】连接BQ ，因为线段BP 的垂直平分线l 和半径AP 相交于点Q ，所以=BQ PQ ，因为+==>=AQ PQ AP AB 42， 所以+==>=AQ BQ AP AB 42，所以点Q 的轨迹是以A B ,为焦点，4为长轴长，焦距为2的椭圆， 所以椭圆的离心率为====a a e c c 242221， 故选：D39．若线段AB 的两个端点分别在x 轴、y 轴上滑动，=AB 6，点M 是线段AB 上一点，且=AM 2，则动点M 的轨迹方程是 . 【答案】+=x y 164122【分析】利用M x y A x B y ,,,0,0,00)()()(，根据题意可得⎩=⎪⎨⎪=⎧y yx x22300，进而结合两点间距离公式运算求解.【详解】设M x y A x B y ,,,0,0,00)()()(， 则()(,,,AM x x y AB x y =−=−000)， 如图，因为=AB 6，=AM 2，可得1AM AB =3， 则⎩⎪=⎪⎨⎪⎪−=−⎧y y x x x 3131000，解得⎩=⎪⎨⎪=⎧y y x x 32300， 又因为===AB 6，整理得+=x y 164122， 则所求动点M 的轨迹方程为+=x y 164122故答案为：+=x y 164122.40．在ABC 中，已知点−A 1,0)(和点C 1,0)(．若边>>a b c ，且满足=+B A C 2sin sin sin ，求顶点B 的轨迹方程．【答案】+=−<<x x y 4312022)(【分析】根据正弦定理，结合椭圆的定义进行求解即可.【详解】根据正弦定理由=+⇒=+⇒+=>B A C b a c BA BC AC 2sin sin sin 24， 所以顶点B 的轨迹是以−A 1,0)(和点C 1,0)(为焦点的椭圆， 因此半焦距为1，半长轴长为2=，所以该椭圆的方程为+=x y 43122，设B x y ,)(，点B x y ,)(是三角形的顶点，所以−<<x 22又因为>>a b c ，所以<>⇒−<<⎪+=⎧x x y 222043122，所以顶点B 的轨迹方程为+=−<<x x y 4312022)(.41．如图，在圆+=x y 922上任取一点P ，过点P 向x 轴作垂线段PD ，D 为垂足，求线段PD 的中点M 的轨迹方程.【答案】+=x y 499122【分析】根据相关点代入法求得M 的轨迹方程.【详解】设点M 的坐标为x y ,)(，点P 的坐标为x y ,00)(， 则=x x 0，=y y 2. 因为点P x y ,00)(在圆+=x y 922上，所以+=x y 90022.把=x x 0，=y y 20代入上述方程，得+=x y 4922.即所求轨迹方程为+=x y 499122. 点M 的轨迹是长轴长为6，短轴长为3的椭圆.重难点7椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值42．（多选）已知点F 为椭圆C ：+=x y 43122的左焦点，点P 为C 上的任意一点，点A 的坐标为1,3)(，则下列正确的是（ ）A ．+PA PFB ．+PA PF 的最大值为7C ．−PF PAD ．−PF PA 的最大值为1 【答案】ABD【分析】根据三点共线、椭圆的定义等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，===a b c 2,1，所以−F 1,0)(，+PA PF 的最小值，即是AF 的长，当点P 在'P 位置时取到，所以+PA PF 的最小值为==AF A 正确； 设椭圆的右焦点为'F ，所以+=+−'PA PF PA PF 4， 则当点P 在''P 位置时取到最大值，所以+PA PF 的最大值为+=437，故B 正确； −PF PA 的最小值当P 在'''P 位置时取到，即−PF PA 的最小值为−=AF C 错误； 由−=−−=−+''P A A PF A P PF PF P 44()， 则当点P 在''''P 位置时取到最大值，所以−PF PA 的最大值为−=431，故D 正确. 故选:ABD43．已知椭圆+=C x y 32:122的左、右焦点分别为F F M ,,12为椭圆C 上任意一点，N 为圆E ：−+−=x y (5)(3)122上任意一点，则−MN MF 1的最小值为 .【答案】−4【分析】根据三角形三边之间的不等关系可得≥−MN ME ||||1，再结合椭圆定义将−MN MF 1化为+−MN MF ||||2≥−MN ME ||||1以及图形的几何性质即可求得答案.【详解】由题意知M 为椭圆+=C x y 32:122上任意一点，N 为圆E ：−+−=x y (5)(3)122上故F E 105,,,32)()(，故+=≥−MF MF MN ME ||||||||112，当且仅当M N E ,,共线时取等号，所以=−−N F N MF M M M ||||21)(=+−≥+−≥−MN MF ME MF EF ||||||||1||1222，当且仅当M N E F ,,,2共线时取等号，而=EF ||52,故−MN MF 1的最小值为−=−514，故答案为：−444．设F 1是椭圆+=x y95122的左焦点，P 为椭圆上任一点，点Q 的坐标为−1,4)(，则+PQ PF 1的最大值为 .【答案】11【分析】先确定焦点的坐标，再利用椭圆的定义转化，结合线段差的特点可得答案.【详解】由题意可得==a b 3,===c 2， 所以−F F 2,0,2,012)()(, 因为+==PF PF a ||||2612，所以+=−+≤+PF PQ PF PQ QF ||||6||||6||122;因为==QF ||52，所以+≤PF PQ ||||111.45．已知椭圆C ：+=x y 43122的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 为椭圆C 上任意一点，N 为圆E ：−+−=x y 32122)()(上任意一点，则−MN MF 1的最小值为 .【答案】5/−+5【分析】根据椭圆定义可将−MN MF 1转化为+−MN MF ||||42，再根据≥−MN ME ||||1可得−MN MF 1的最小值为−EF ||52，结合两点间距离公式即得答案. 【详解】由题意椭圆C ：+=x y 43122，M 为椭圆C 上任意一，N 为圆E ：−+−=x y 32122)()(上任意一点，故+=≥−MF MF MN ME ,||||4||||112，当且仅当M N E ,,共线时等号成立， 故−=−−=+−MN MF MN MF MN MF ||||||4||||||4|122)( ≥+−≥−ME MF EF ||||5||522，当且仅当M N E F ,,,2共线时等号成立，而F E 3,10,,22)()(，故EF ||2即−MN MF 1的最小值为5，故答案为：546．已知椭圆C ：+=x y 2516122，F 1，F 2为椭圆的左右焦点．若点P 是椭圆上的一个动点，点A 的坐标为（2，1），则+PA PF 1的范围为 ．【答案】[10【分析】利用椭圆定义可得=−PF PF 1012，再根据三角形三边长的关系可知，当A P F ,,2共线时即可取得+PA PF 1最值.【详解】由椭圆标准方程可知==a c 5,3，−F F (3,0),(3,0)12又点P 在椭圆上，根据椭圆定义可得+==PF PF a 21012，所以=−PF PF 1012 所以+=+−PA PF PA PF 1012易知−≤−≤AF PA PF AF 222，当且仅当A P F ,,2三点共线时等号成立；又==AF 2≤+≤PA PF 10101；即+PA PF 1的范围为[10.故答案为：[1047．椭圆+=C x y 2516:122，F F ,12是左、右焦点，点Q 2,2)(，点P 为椭圆上一动点，则＋PF PQ 1的最大值为 ，最小值为 ．【答案】 1010 1010【分析】根据椭圆的定义进行转化，结合图象求得＋PF PQ 1的取值范围，进而确定正确答案.【详解】椭圆+=C x y 2516:122，∴===a b c 5,4,3，∴−F F 033,0,,12)()(.如图所示，点Q 在椭圆内部，∵点P 为椭圆上的点，则+==PF PF a 21012，∴=−PF PF 1012， ∵＋=−+PF PF PQ PQ 1021，又−≤=PQ PF QF 22≤−≤PQ PF 2即＋⎣∈⎡PF PQ 101.故答案为：+101048．已知A (4,0)､B (2,2)是椭圆+=x y259122内的点，M 是椭圆上的动点，则+MA MB ||||的最大值为 ；最小值为 .【答案】 +1010 −10/−10【分析】由题意可得A 为椭圆右焦点，设左焦点为−F (4,0)，B 在椭圆内，根据椭圆的定义得+=+−MA MB MB MF ||||10||||，由图可知当M 在直线BF 与椭圆交点上时，+MA MB ||||取得最值.【详解】由题意可得A 为椭圆右焦点，设左焦点为−F (4,0)，B 在椭圆内， 则由椭圆定义+==MA MF a ||||210， 于是+=+−MA MB MB MF ||||10||||.当M 不在直线BF 与椭圆交点上时，M ､F ､B 三点构成三角形， 于是−<MB MF BF ||||||，而当M 在直线BF 与椭圆交点上时， 在第一象限交点时，有−=−MB MF BF ||||||， 在第三象限交点时有−=MB MF BF ||||||.显然当M 在直线BF 与椭圆第一象限交点时，+MA MB ||||有最小值，其最小值为+=+−=−==−MA MB MB MF BF 10101010当M 在直线BF 与椭圆第三象限交点时，+MA MB ||||有最大值，其最大值为+=+−=+==+MA MB MB MF BF ||||10||||10||1010故答案为：+10−10.。
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第三届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动教案
课题：椭圆及其标准方程
教材：人教版（必修）数学第二册(上)第八章第一节
一、教学目标：
1．知识与技能目标：
（1）掌握椭圆定义和标准方程.
（2）能用椭圆的定义解决一些简单的问题.
2．过程与方法目标：
（1）通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识
规律并利用规律解决实际问题的能力.
（2）在椭圆定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合
等数学思想和方法
3．情感态度与价值观目标：
（1）通过椭圆定义的获得培养学生探索数学的兴趣.
（2）通过标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁
美”.
（3）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强
主动与他人合作交流的意识.
二、教学重点、难点：
1．重点：椭圆定义及其标准方程
2．难点：椭圆标准方程的推导
三、教学过程
（一）认识椭圆，探求规律:
1．对椭圆的感性认识.通过演示课前老师和学生共同准备的有关椭圆的实
物和图片，让学生从感性上认识椭圆.
2．通过动画设计，展示椭圆的形成过程，使学生认识到椭圆是点按一定“规
律”运动的轨迹.
点B是线段AC上一动点，分别以21,FF为圆心，||AB与||BC为半径做圆，
观察两圆交点NM,的轨迹.
请同学们思考：
（1） 在运动中，哪些量是不变的，哪些
量是变化的？
（2） 能不能把不变的量用数学表达式
表达出来？
（3） 点NM,（椭圆上的点）是以怎样
的规律进行运动的？
（4） 用这个规律能不能画出一个椭圆？
（二）动手实验，亲身体会
用上面所总结的规律，指导学生互相合作（主要在于动手），体验画椭圆的
过程（课前准备直尺、细绳、钉子、笔、纸板），并以此了解椭圆上的点的特征.
请两名同学上台画在黑板上.
在本环节中并不是急于向学生交待椭圆的定义，而是设计一个实验，一来是
为了给学生一个创造实验的机会，让学生体会椭圆上点的运动规律；二是通过实
践，为进一步上升到理论做准备.
（三）归纳定义，完善定义
我们通过动画演示，实践操作，对椭圆有了一定的认识，下面由同学们归纳
椭圆的定义（学生分组讨论）.
椭圆定义：平面内与两个定点21,FF的距离的和等于常数（大于||21FF=2c）
的点的轨迹叫做椭圆
在归纳椭圆定义的过程中，教师根据学生回答的情况，不断引导他们逐步加
深理解并完善椭圆的定义，在引导中突出体现“和”，“常数”及“常数”的范围
等关键词与相应的特征.
如：总结动画演示中两圆半径之和||||||21ABMFMF（常数）得到椭圆上
点M到两定点距离之和为常数.
F
2
F
1
运动 点
N
M
ACB
通过课件分别演示当两定点间距离等于线段||AB长度时的轨迹（为一条线
段）和当两定点距离大于线段||AB长度时的轨迹（不存在），由学生完善椭圆定
义中常数的范围.
F
2
F
1
运动 点
ACB
教师指出：两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
（四）合理建系，推导方程
由学生自主提出建立坐标系的不同方法，教师根据学生提出的“建系”方式，
把学生分成若干组，分别按不同的建系的方法推导方程，进行比较，从中选择比
较简洁优美的形式确定为标准方程.
已知椭圆的焦距)0(,2||21ccFF，椭圆上的动点M到两定点1F,2F的距离
之和为a2，求椭圆的方程.
（1）以两个定点1F,2F所在直线为x轴，线段1F2F的垂直平分线为y轴，
建立平面直角坐标系．设)0(221ccFF，点),(yxM为椭圆上任意一点，则
aMFMFMP221
（称此式为几何条件），
所以得 aycxycx22222（实现集合条件代数化），
化简，得 )()(22222222caayaxca
注：这是本节的难点所在，通过课堂精心设问来突破难点：①化简含有根号的式
子时，我们通常有什么方法？②对于本式是直接平方好呢还是恰当整理后再平
方？学生通过实践，发现对于这个方程，直接平方不利于化简，而整理后再平方，
最后能得到圆满的结果.
（2）以线段1F2F中点为坐标原点，1F2F所在直线为y轴建立平面直角坐
标系，所得椭圆方程为：)()(22222222caaycaxa
相比之下，其它的建系方式不够简洁.
同学们观察右图，当B运动到线段AC中点时，两圆半径相等，即
aMFMF||||21，因cOF||
1
，则
222
||MOca
，不妨令222bca，那么
（1）（2）所得的椭圆方程可化为：
12222
bya
x
，)0(ba （1）
12222
bxa
y
，)0(ba （2）
（在这里教师指出：我们刚才只是从“曲线的方程”的角度推导出了符合定义的
点的坐标满足的方程，我们还需要从“方程的曲线”的角度来说明以方程(1)(2)
的解为坐标的点都在曲线（椭圆）上，这个问题留给学生课后完成.）
我们称（1）（2）为椭圆的标准方程.
对标准方程的理解：
1.所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标
原点；
2．在12222byax与12222bxay这两个标准方程中，都有0ba的要求，
也就是说，焦点在哪个轴上，哪个对应的分式的分母就较大.
（五）应用举例，小结升华.
例1.用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆.
(1)平面内，到)0,2(),0,2(21FF的距离之和为6的点的轨迹.（是）
(2)平面内，到)2,0(),2,0(21FF的距离之和为4的点的轨迹.（不是）
(3)平面内，到)0,2(),0,2(21FF的距离之和为3的点的轨迹.（不是）
例2.方程1322yax表示焦点在x轴上的椭圆，则a的取值范围为：),3(
例3.已知椭圆方程为191622yx，则两焦点坐标为：)0,7(),0,7(
小结： 由学生总结本节课所学习到的知识和思想方法.
1．知识总结：
椭圆的定义，标准方程
2．思想方法总结：
教师根据学生的总结做适当补充、归纳、点评。
教案的设计说明：
数学教学是思维过程的教学，如何引导学生参与到教学过程中来，尤其是在
思维上深层次的参与，是促进学生良好的认知结构，培养能力，全面提高素质的
关键.数学教学中的探究式对培养和提高学生的自主性、能动性和创造性有着非
常重要的意义.本节借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，让探究式教学走进
课堂，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，让学生在参与中学会学习、
学会合作、学会创新.
学生虽然对椭圆图形有所了解，但只限于感性认识，缺少理性的思考、探索
和创新，这与缺乏必要的数学思想和方法密切相关.本节课从实例出发，设计了
一对动点有规律的运动作一些理性的探索和研究.
在教材处理上，大胆创新，根据椭圆定义的特点，结合学生的认识能力和思
维习惯在概念的理解上，先突出“和”，在此基础上再完善“常数”取值范围.
在标准方程的推导上，并不是直接给出教材中的“建系”方式，而是让学生自主
地“建系”，通过所得方程的比较，得到标准方程，从中去体会探索的乐趣和数
学中的对称美和简洁美.
在对教材中“令222bca”的处理并不是生硬地过渡，而是通过课件让学
生观察在当M为椭圆短轴端点时(但这一几何性质并不向学生交待)，特征三角
形所体现出来的几何关系，再做变换.