2016-2017年山东省济南市历城区高二上学期数学期中试卷及参考答案

2016-2017学年山东省济南市历城区高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若一数列为，2，，┅，则4是这个数列的（）A．第9项B．第10项 C．第11项 D．第12项2．（5分）在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=（）A．B．C．D．13．（5分）下列各式中值为的是（）A．sin45°cos15°+cos45°sin15°B．sin45°cos15°﹣cos45°sin15°C．cos75°cos30°+sin75°sin30°D．4．（5分）在等比数列{a n}中，a1=1，a5=16，则公比q为（）A．±2 B．3 C．4 D．85．（5分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若A=60°，c=6，a=6，则此三角形有（）A．两解B．一解C．无解D．无穷多解6．（5分）等差数列{a n}的前项和为S n，若a3+a8+a13=21，则S15的值是（）A．105 B．120 C．56 D．847．（5分）已知tan（3π﹣α）=﹣，tan（β﹣α）=﹣，则tan β=（）A．1 B．C．D．8．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A=，b=1，△ABC的面积为，则a的值为（）A．1 B．2 C．D．9．（5分）已知sin2α=，则cos2（）=（）A．﹣ B．C．﹣ D．10．（5分）已知a，b，c分别是△内角A，B，C的对边，且（b﹣c）（sinB+sinC）=（a﹣）•sinA，则角B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．120°11．（5分）在等差数列{a n}中，已知a3+a8＞0，且S9＜0，则S1、S2、…S9中最小的是（）A．S5B．S6C．S7D．S812．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若，数列的前n项和T n=（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）. 13．（4分）已知﹣9，a1，a2，﹣1成等差数列，1，b1，b2，27成等比数列，则=．14．（4分）﹣=．15．（4分）在数列{a n}中，a1=1，（n≥2），则a5=．16．（4分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=m．三、解答题（本大题共6小题，满分共74分）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos=，bccosA=3．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）若，求a的值．18．（12分）已知等差数列{a n}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{b n}满足b4=a3，b5=a7，问：b7与数列{a n}的第几项相等？19．（12分）已知函数，x∈R，且．（Ⅰ）求A的值；（Ⅱ）设α，β∈[0，]，=﹣，，求cos（α+β）的值．20．（12分）已知函数f（x）=sin+2sin2（x﹣）（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的递增区间．21．（12分）如图所示，已知⊙O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC=1，点P是⊙O上半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧．（Ⅰ）若∠POB=θ，0＜θ＜π，试将四边形OPDC的面积y表示为关于θ的函数；（Ⅱ）求四边形OPDC面积的最大值．22．（14分）设数列{a n}前n项和S n，且S n=2a n﹣2．，令b n=log2a n（I）试求数列{a n}的通项公式；（II）设，求数列{c n}的前n项和T n．（Ⅲ）对任意m∈N*，将数列{2b n}中落入区间（a m，a2m）内的项的个数记为d m，求数列{d m}的前m项和T m．2016-2017学年山东省济南市历城区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若一数列为，2，，┅，则4是这个数列的（）A．第9项B．第10项 C．第11项 D．第12项【解答】解：由数列为，2，，┅，可知被开方数是以2为首项，3为公差的等差数列．∴通项公式为=令4=，解得n=11．故4是这个数列的第11项．故选：C．2．（5分）在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=（）A．B．C．D．1【解答】解：∵a=3，b=5，sinA=，∴由正弦定理得：sinB===．故选：B．3．（5分）下列各式中值为的是（）A．sin45°cos15°+cos45°sin15°B．sin45°cos15°﹣cos45°sin15°C．cos75°cos30°+sin75°sin30°D．【解答】解：A项中sin45°cos15°+cos45°sin15°=sin（45°+15°）=sin60°=，B项中sin45°cos15°﹣cos45°sin15°=sin（45°﹣15°）=sin30°=，C项中cos75°cos30°+sin75°sin30°=cos（75°﹣30°﹣）=cos45°=，D项中=tan（60°﹣30°）=tan30°=，故选：C．4．（5分）在等比数列{a n}中，a1=1，a5=16，则公比q为（）A．±2 B．3 C．4 D．8【解答】解：∵a1=1，a5=16，∴16=q4，解得q=±2．故选：A．5．（5分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若A=60°，c=6，a=6，则此三角形有（）A．两解B．一解C．无解D．无穷多解【解答】解：由等边对等角可得C=A=60°，由三角形的内角和可得B=60°，∴此三角形为正三角形，唯一解．故选：B．6．（5分）等差数列{a n}的前项和为S n，若a3+a8+a13=21，则S15的值是（）A．105 B．120 C．56 D．84【解答】解：∵等差数列{a n}的前项和为S n，a3+a8+a13=21，∴a3+a8+a13=3a8=21，解得a8=7，∴S15==15a8=105．故选：A．7．（5分）已知tan（3π﹣α）=﹣，tan（β﹣α）=﹣，则tan β=（）A．1 B．C．D．【解答】解：∵tan（3π﹣α）=﹣tanα=﹣，∴tanα=，又tan（β﹣α）=﹣，则tan β=tan[（β﹣α）+α]===，故选：B．8．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A=，b=1，△ABC的面积为，则a的值为（）A．1 B．2 C．D．【解答】解：由已知得：bcsinA=×1×c×sin60°=⇒c=2，则由余弦定理可得：a2=4+1﹣2×2×1×cos60°=3⇒a=故选：D．9．（5分）已知sin2α=，则cos2（）=（）A．﹣ B．C．﹣ D．【解答】解：==，由于：，所以：=，故选：D．10．（5分）已知a，b，c分别是△内角A，B，C的对边，且（b﹣c）（sinB+sinC）=（a﹣）•sinA，则角B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．120°【解答】解：∵由正弦定理，可得，sinB=，sinC=，sinA=，∴由（b﹣c）（sinB+sinC）=（a﹣）•sinA可得，（b﹣c）（b+c）=a（a﹣c），即有c2+a2﹣b2=ac，则cosB==，由于0＜B＜180°，则B=30°．故选：A．11．（5分）在等差数列{a n}中，已知a3+a8＞0，且S9＜0，则S1、S2、…S9中最小的是（）A．S5B．S6C．S7D．S8【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a8＞0，且S9＜0，a5+a6＞0，d＜0，即a5＜0．∴a6＞0．∴d＞0，则S1、S2、…S9中最小的是S5．故选：A．12．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若，数列的前n项和T n=（）A．B．C．D．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和为S n，，∴=12=1，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，当n=1时，2n﹣1=1=a1，∴a n=2n﹣1，∴==，∴数列的前n项和：T n=1﹣+…+=1﹣=．故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）. 13．（4分）已知﹣9，a1，a2，﹣1成等差数列，1，b1，b2，27成等比数列，则=8．【解答】解：∵﹣9，a 1，a2，﹣1成等差数列，∴﹣9+3d=﹣1，解得d=，∴a2﹣a1=，∵1，b1，b2，27成等比数列，∴1×q3=27，解得q=3，∴=3，∴=3×=8．故答案为：8．14．（4分）﹣=﹣4．【解答】解：原式=﹣====﹣4，故答案为：﹣4．15．（4分）在数列{a n}中，a1=1，（n≥2），则a5=．【解答】解：∵在数列{a n}中，a1=1，（n≥2），∴，a3=1+=，a4=1+=3，a5=1+=．故答案为：．16．（4分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=100m．【解答】解：设此山高h（m），则BC=h，在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．根据正弦定理得=，解得h=100（m）故答案为：100．三、解答题（本大题共6小题，满分共74分）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos=，bccosA=3．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）若，求a的值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵cos=，∴cos A=2cos2﹣1=，sin A=，又bccosA=3，∴bc=5，=bcsinA=2．…（6分）∴S△ABC（Ⅱ）由（Ⅰ）得bc=5，又b+c=，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccos A=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA=16，∴a=4．…（12分）18．（12分）已知等差数列{a n}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{b n}满足b4=a3，b5=a7，问：b7与数列{a n}的第几项相等？【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d．因为a4﹣a3=2，所以d=2．又因为a1+a2=10，所以2a1+d=10，故a1=4．所以a n=4+2（n﹣1）=2n+2（n∈N*）．…（6分）（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q．因为b4=a3=8，b5=a7=16，所以q=2，b1=1．…（8分）所以b7=1×26=64．…（10分）由64=2n+2得n=31，所以b7与数列{a n}的第31项相等．…（12分）19．（12分）已知函数，x∈R，且．（Ⅰ）求A的值；（Ⅱ）设α，β∈[0，]，=﹣，，求cos（α+β）的值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为，所以A=2．…（4分）（Ⅱ）由=2cos（α++）=2cos（α+）=﹣2sin α=﹣，得sin α=，又α∈[0，]，所以cos α=．…（8分）由=2cos（β﹣+）=2cos β=，得，又β∈[0，]，所以．…（10分）所以cos（α+β）=cosαcos β﹣sinαsinβ=×﹣×=﹣．…（12分）20．（12分）已知函数f（x）=sin+2sin2（x﹣）（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的递增区间．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin+1﹣cos=2[]+1=2sin+1=2sin（2x﹣）+1．∴T==π．…（6分）（Ⅱ）由已知得：所以函数f（x）的递增区间为…（12分）21．（12分）如图所示，已知⊙O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC=1，点P是⊙O上半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧．（Ⅰ）若∠POB=θ，0＜θ＜π，试将四边形OPDC的面积y表示为关于θ的函数；（Ⅱ）求四边形OPDC面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）在△POC中，由余弦定理，得PC2=OP2+OC2﹣2OP•OC•cos θ=5﹣4cos θ，…（4分）所以y=S△OPC +S△PCD=×1×2sin θ+×（5﹣4cos θ）=2sin（θ﹣）+．…（8分）（Ⅱ）当θ﹣=，即θ=时，y max=2+．答：四边形OPDC面积的最大值为2+．…（12分）22．（14分）设数列{a n}前n项和S n，且S n=2a n﹣2．，令b n=log2a n（I）试求数列{a n}的通项公式；（II）设，求数列{c n}的前n项和T n．（Ⅲ）对任意m∈N*，将数列{2b n}中落入区间（a m，a2m）内的项的个数记为d m，求数列{d m}的前m项和T m．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当n=1时，S1=2a1﹣2，a1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2a n﹣2）﹣（2a n﹣1﹣2）=2a n﹣2a n﹣1，所以，a n=2a n﹣1，即，由等比数列的定义知，数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，所以，数列{a n}的通项公式为．…（4分）（II）由（I）知所以，①，②…（6分）①﹣②，得=，∴．…（10分）（Ⅲ）由题知，数列{2b n}中落入区间（a m，a2m）内，即a m＜2b n＜a2m，所以2m＜2n＜22m，所以2m﹣1＜n＜22m﹣1所以数列{2b n}中落入区间（a m，a2m）内的项的个数为22m﹣1﹣2m﹣1﹣1，m∈N+所以，m∈N+所以=．…（14分）。