八年级数学下册10.5分式方程细数分式学习点滴素材(新版)苏科版

细数分式学习点滴分式是初中代数中的重要内容，其概念性强，涉及面广，解题方法灵活，因而容易出现错误。

为防止错误的发生，学习时应注意以下几点。

1.注意确定分式的关键是看分母中是否含有字母.一般地，用A ，B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成B A 的形式，如果B 中含有字母，式子BA 就叫做分式.其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母. 例1 下列各式中，哪些是整式，哪些是分式？25a b -，237x x +，52x π-，b a b a -+，m 1(3x -2y )，43(x 2+1). 解 因为25a b -,52x π-，43(x 2+1)的分母中不含字母，所以它们是整式.因为237x x+，b a b a -+，m1(3x -2y )的分母中含有字母，所以它们是分式. 说明：此题主要考查对分式的概念的理解，区分两者的关键是看分母中是否含有字母。

π是一个具体的数而不是字母，不要误认为52x π-是分式，整式可以有字母，只要分母不含字母就不是分式。

2.注意分式有无意义关键是看分母是否为零.分式是否有意义，与分子无关．只要分母不等于零，分式就有意义.使分式无意义的条件是分母的值为零；使分式有意义的条件是分母的值不为零。

例2 （1）当x ＝________时，分式31－x 没有意义． （2）当x 时，分式11+x 有意义． 解：根据分式有无意义的条件得：（1）x =3；（2）x ≠-1.说明：分式有无意义，取决于分母中字母取值是否使分母为零，所以只考虑分母即可。

3. 注意分式的值为零必受分母不为零的限制要使分式的值为零，必须在分式有意义的前提下，才能谈到它的值是多少．这就是说“分式的值为零”包含两层意思：一是分式有意义，二是分子的值为零，不要误解为“只要分子的值为零，分式的值就是零”．例3 若分式11x x -+的值为零，则x 的值为 . 解：由分式值为零的条件得：|x |-1=0且x +1≠0，得x =1；说明：在解分式A B值为零这类问题时必须注意到A=0且B ≠0的条件，•二者缺一不可. 4. 注意正确使用分式基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，•分式值不变，用数学式子表示为：M B M A B A ⨯⨯=， MB M A B A ÷÷= 其中M 是不等于零的整式．分式的基本性质是分式恒等变形的依据，它是分式的约分、通分、化简和解分式方程基础，因此，我们要正确理解分式的基本性质，并能熟练的运用它．理解分式的基本性质时，必须注意：（1）分式的基本性质中的A 、B 、M 表示的都是整式．（2）在分式的基本性质中，M ≠0．（3）分子、分母必须“同时”乘以M (M ≠0)，不要只乘分子（或分母）．（4）性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外）时，变形前后分式的值是相等的。

但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的。

例4 若分式2x y x y+-中的x 、y 的值都变为原来的3倍，则此分式的值（• ） A ．不变 B ．是原来的3倍 C ．是原来的13 D ．是原来的16 解： 本题考查对分式基本性的理解运用，x 、y 都扩大3倍时，分母x -y 的值也扩大为原来3倍，分子x +y 也扩大为原来的3倍，故分式的值不变。

选A ． 说明：对分式的基本性质的理解要注意分子分母同乘（或除）同一个值不等于零的整式，一定要不等于零。

例5 不改变分式的值，把下列各式中的分子、分母的各项系数都化为整数．（1）12351134x y y x +-； （2）0.50.30.2a b a b -+． 解：（1）12351134x y y x +-＝12()603511()6034x y y x +⨯-⨯＝20242015x y y x +-；（2）0.50.30.2a b a b -+＝(0.50.3)10(0.2)10a b a b -⨯+⨯＝53210a b a b -+. 说明：解决这类问题，一般用下列方法：若分子、分母中各项系数都为分数，则分子、分母都乘以各项系数中分母的最小公倍数；若分子、分母中各项系数都是小数，则分子、分母同时乘以10n；若分子、分母中各项系数有分数，又有小数，则把小数化为分数，再把分子、分母同时乘以各项系数分母的最小公倍数。

例6 不改变分式的值，使下列分式的分子、分母均不含有负号： （1）273y x -； （2）－23511n m-； （3）12)()3(+-+-n ny x （n 为正整数）． 解：（1）273y x -＝－273y x ； （2）－23511n m -＝23511n m ； （3）12)()3(+-+-n n y x ＝12)3(+-+-n n y x ＝12)3(++n nyx ． 说明：根据分式的基本性质有：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．5. 注意分式的乘除法应用关键是理解其法则.（1）先把除法变为乘法；（2）接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分（约分是约去分子分母中的公因式，故约分前应先找出分子和分母的公因式）；（3）再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘；（4）最后还应检查相乘后的分式是否已为最简（分子分母无公因式可约），否则应约分，化为最简。

例7 先化简再求值：2221412211a a a a a a --÷+-+-，其中a 满足20a a -=． 解：原式221(2)(2)(1)(1)(2)(1)22(1)1a a a a a a a a a a a -+-+-==-+=--+-·· 由20a a -=得原式022=-=-说明：分式的乘除运算实为约分，•约分的关键是找出分子和分母的公因式，•所以在解答过程中先要将分子分母进行因式分解.6.注意分式的通分关键是确定最简公分母.（1）把几个异分母的分式分别化为与原来分式相等的同分母的分式叫做通分.（2）通分的依据是分式的基本性质，通分的关键是确定最简公分母.最简公分母由下面的方法确定：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；②最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积;例8 通分2312++-x x x ，652--+x x x ，3272---x x x解 ∵x 2+3x +2=(x +1)(x +2)x 2-x -6=(x -3)(x +2)x 2-2x -3=(x -3)(x +1)∴它们的最简公分母为(x +1)(x +2)(x -3) ∴)3()2)(1()3()1(2312-⋅++-⋅-=++-x x x x x x x x =)3)(2)(1(342-+++-x x x x x)1()2)(3()1()5(652+⋅+-+⋅+=--+x x x x x x x x =)3()2)(1(562-⋅++++x x x x x)2()1)(3()2()7(3272+⋅+-+⋅-=---x x x x x x x x =)3)(2)(1(1452-++--x x x x x说明：如果分母是多项式，则首先对多项式进行因式分解，再确定最简公分母.7.注意分式的加减法关键是通分化简（1）同分母的分式加减法同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.即：cb ac b c a ±=± （2）异分母的分式加减法异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减.即：bdbc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=± 例9 （1）计算222222a 12a 21a 1a 5a 21a a 5a 3----+----； （2）计算652222+----+x x x x x x （1）解 原式=1221152153222222--+-+----a a a a a a a a =1)22()152()53(2222--++---a a a a a a =122152532222--+-+--a a a a a a =13322--a a =3 （2）解 原式=)3)(2()2)(1(2----++x x x x x x =)3)(2)(1()1()3)(2(--++--+x x x x x x x =)3)(2)(1(622--+----x x x x x x x =)3)(2)(1(62--+--x x x x =-)3)(2)(1(62--++x x x x 说明：分式的加减运算，一般是先通分，通分的关键是找到最简公分母，•如果最简公分母不易发现，常要将各分母进行因式分解.8.注意分式的混合运算的顺序分式的加、减、乘、除、乘方混合运算过程较繁，关键是要严格按照分式混合运算的顺序进行，即分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算.例10 先化简代数式：22121111x x x x x -⎛⎫+÷⎪+--⎝⎭，然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值． 解：22121111x x x x x -⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭ 222(1)21(1)(1)11x x x x x x ⎛⎫-=+÷ ⎪+---⎝⎭2221(1)1x x x +=⨯-- 21x =+当0x =时，原式的值为1．说明：这类题原本是化简求值题，但一改往常形式，给了我们“自主”的空间，解它时，一是按常规先化简，二是在取值时既要注意使运算更简，同时又要考虑到“隐含条件”的约束（1x ≠±）。

例11 A 玉米试验田是边长为a 米的正方形减去边长为1米的蓄水池后余下部分；B 玉米试验田是边长为(a －1)米的正方形，两块试验田的玉米都收获了500千克。

（1）哪种玉米田的单位面积产量高？（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？析解 （1）A 玉米试验田面积是(a 2－1)米2，单位面积产量是15002-a 千克／米2； B 玉米试验田面积是(a －1)2米2，单位面积产量是2)1(500-a 千克／米2； ∵a 2－1－(a －1)2=2(a －1)，∵a －1＞0，∴0＜(a －1)2＜a 2－1 ∴15002-a ＜2)1(500-a ∴B 玉米的单位面积产量高. （2）2)1(500-a ÷15002-a=2)1(500-a ×50012-a =2)1()1)(1(--+a a a =11-+a a ∴高的单位面积产量是低的单位面积产量的11-+a a 倍。