概率论 第二章 随机变量及其分布 第2讲 随机变量的分布函数

（3）F(x) 是右连续的. 即对任意的实数 x , 有
F ( x + 0) = F ( x)
以上性质的证明从略. 注 可以证明：一个函数若具有上述性质，则 此函数一定是某个随机变量的分布函数.
例1 口袋里装有3个白球2个红球，从中任取三 个球,求取出的三个球中的白球数的分布函数. 解 设X表示取出的3个球中的白球数. X的可能 取值为1，2，3. 而且由古典概率可算得
2 1 3 P{ X = 1} = C2 C 3 / C5 = 0.3
1 2 3 P{ X = 2} = C2 C 3 / C5 = 0.6
3 3 P{ X = 3} = C3 / C5 = 0.1
当x 1时, { X x}是不可能事件，因而
F ( x) = P{ X x} = 0
当1 x 2时,{ X x} = { X = 1}，因而
F ( x) = 1
于是，X的分布函数为：
F(x)
1
0.9
0.3
0 0.3 F ( x) = 0.9 1
x 1 1 x 2 2 x3 x3
o
1
2
3
x
注 对于随机变量X，如果我们知道它的分布
函数, 那么就可以求出任一随机事件的概率, 例如:
P{x1 X x2 } = F ( x2 ) − F ( x1 ) P{X x} = 1 − F ( x) P{X x} = F ( x − 0) P{x1 X x2 } = F ( x2 ) − F ( x1 − 0) P{x1 X x2 } = F ( x2 − 0) − F ( x1 ) P{x1 X x2 } = F ( x2 − 0) − F ( x1 − 0) P{X = x} = F ( x) − F ( x − 0)
注 对于离散型随机变量，如果知道它的分布律
或分布函数，就掌握它的全部概率信息.
例3
设随机变量 X 的分布律为： X Pk –1 0.25 2 0.5 3 0.5
3 5 }, P { X ≤ }, P{2≤X ≤3} 求 X 的分布函数, 并求 P{ X ≤ 1 2 2 2
例4 已知随机变量 X 的分布函数为：
P X = 1 = 0.5 − 0.2 = 0.3 P X = 5 = 0.9 − 0.6 = 0.3
列表, 得X 的分布列为
X pk
0
1
3
5 0.3
6 0.1
0.2 0.3 0.1
例5 一个半径为2米的圆盘靶子 ,设击 中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆 盘的面积成正比 , 且射击都能中靶 , 记 X 表 示弹着点与圆心的距离.求 X的分布函数. 解 显然当 x 0 时 ,{ X x} = , 故
PX = 0 = 0.2 − 0 = 0.2
P X = 3 = 0.6 − 0.5 = 0.1 P X = 6 = 1 − 0.9 = 0.1 P X = 1 = 0.5 − 0.2 = 0.3 P X = 5 = 0.9 − 0.6 = 0.3
例4 已知随机变量 X 的分布函数为：
0, 0.2, 0.5, F ( x) = 0.6, 0.9, 1, x0 0 x 1 1 x 3 3 x5 5 x6 x6
求 X 的分布律. 解 PX = 0 = 0.2 − 0 = 0.2
P X = 3 = 0.6 − 0.5 = 0.1 P X = 6 = 1 − 0.9 = 0.1
F ( x ) = P { X x} = 0
R=2m
X
若 0 x 2, 由题意有 P{0 X x} = kx 2 , k 为常数
P{0 X 2} = k 2 2 = 1

k = 1/ 4
2 x F ( x ) = P{ X x} = P{ X 0} + P{0 X x} = 4

F ( x ) = P{ X x } , − x
为 r.v X 的 分布函数 r.v的分布函数是关于自变量 x 的普通 的函数，它不再是随机的！
分 布 函 数 的 性 质:
（1）F(x) 是一个单调不减函数；
F ( x) = 0, lim F ( x) = 1; （2） 0 F ( x) 1, 且 xlim →− x →+
若 x 2, 由题意有{ X x} = ,故
F ( x ) = P ( ) = 1
即 X的分布函数为
y
0 , x 0, 2 F ( x ) = x / 4, 0 x 2, 1, x2
1
F ( x)
x
O
1
2
3
当 x 0, x 2 时 F ( x ) 存在 ，令
例2 已知随机变量 X 的分布函数为：
A + Be− x , x 0, F ( x) = x 0. 0,
其中 λ > 0 是常数，求 A，B.
一般地，设离散型随机变量 X 的分布律为
P{ X = xk } = pk , k = 1, 2,
其分布函数可表示如下：
.
F ( x) = P{ X x} = P{ X = xk } = pk .
xk x xk x
显然, 离散型随机变量 X 的分布函数 F(x) 是一 个阶梯函数， X 的所有可能取值均为 F(x)的第一类 跳跃间断点 x1, x2, … , xk,…，且
P{ X = xk } = p k = F ( xk ) − F ( xk − 0),
即 F(x) 在点 xk 处的跳跃度为 X 取 xk 的概率.
F ( x) = P{ X x} = P{X = 1} = 0.3
当2 x 3时,{ X x} = { X = 1} { X = 2}, 且{ X = 1} { X = 2} = , 因而
F ( x) = P{X x} = P{X = 1} + P{X = 2} = 0.9
当x 3时， { X x }为一必然事件，因而
x , 0 x 2, f ( x) = 2 0, 其它
= F ( x) ( x 0, x 2)
x
则
F ( x ) = − f (t )d t
称0.5, F ( x) = 0.6, 0.9, 1, x0 0 x 1 1 x 3 3 x5 5 x6 x6
求 X 的分布律.
解 X 的所有取值为0, 1, 3, 5, 6. 取这些值的概率 就是分布函数在这些点处的跳跃度. 从而有
第二章
随机变量及其分布
第三节
随机变量的分布函数
r.v X = X ( )是样本点ω的函数,但这个
函数是“随机函数”，不能应用微积分工 具，将“随机函数”化为“普通函数”？ 对于 r.v X , x ( − , ) { X x } = { | X ( ) x } 是一事件 定义 称函数