浙江地区高级中学数学竞赛试题及详细解析答案解析

合集下载

2021-2022学年浙江省杭州学军中学高二下学期数学竞赛试题(解析版)

2021-2022学年浙江省杭州学军中学高二下学期数学竞赛试题一、单选题1．在等差数列{}n a 中，13a =，且1a ，4a ，10a 成等比数列，则n a 的通项公式为（） A ．21n a n =+ B ．2n a n =+ C ．21n a n =+或3n a = D ．2n a n =+或3n a =【答案】D【分析】利用等比中项得24110a a a =⋅，从而可求公差d ，即可得等差数列通项公式.【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，又1a ，4a ，10a 成等比数列，所以24110a a a =⋅，则2(33)3(39)d d +=⨯+，解得：01d d ==或所以1(1)23n a a n d n =+-=+或. 故选：D.2．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22,sin a b C B -==，则角A 为A ．30B ．60C ．120D ．150【答案】A【详解】试题分析：因为sin C B c =∴=，那么结合22226a b a b -⇒=，所以cosA=2222c b a cb +-所以A=030，故答案为A 【解析】正弦定理与余弦定理点评：本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题.3．设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是 A ．2X Z Y += B ．()()Y Y X Z Z X -=- C ．2Y XZ =D ．()()Y Y X X Z X -=-【答案】D【详解】本题主要考查等比数列的性质：等比数列连续n 项之和仍为等比数列．即,,X Y X Z Y --成等比数列，则由等比中项的性质有2()()Y X X Z Y -=-整理得D 选项．4．已知数列}{n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =．A ．35B ．33C ．31D ．29【答案】C【详解】试题分析：由题意得，设等比数列的公比为q ，则2231112a a a q a q a =⋅=，所以42a =，又3474452224a a a a q +=+=⨯，解得11,162q a ==，所以5515116(1())(1)2311112a q S q --===--，故选C ．【解析】等比数列的通项公式及性质．5．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=，且a b >，则B =A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】A【详解】边换角后约去sin B ，得sin(A ＋C)＝12，所以sin B ＝12，但∠B 非最大角，所以∠B ＝6π. 6．已知0<b<1+a ，若关于x 的不等式（x －b ）2>（ax ）2的解集中的整数恰有3个，则 A ．－1<a<0 B ．0<a<1 C ．1<a<3 D ．3<a<6【答案】C【详解】由22()()x b ax ->，整理可得（1－2a ）2x －2bx+2b >0，由于该不等式的解集中的整数恰有3个，则有1－2a <0，此时2a >1，而0<b<1+a ，故a>1，由不等式222(1)2a x bx b -+- <0解得222222,2(1)2(1)b ab b ab x a a ---+<<--即111b bx a a -<<<-+要使该不等式的解集中的整数恰有3个，那么－3<1b a --<－2，由1ba --<－2得－b<－2（a －1），则有a<2b +1，即a<2b +1<12a ++1，解得a<3，由－3<1b a --得3a －3>b>0，解得a>1，则1<a<3．7．已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】由()11a xa yx y a x y y x ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭，然后利用基本不等式求最小值，利用最小值大于等于9，建立不等式，解之即可.【详解】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要()1a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值大于等于9即可，000x y a >>>，，，()111a xa yx y a a x y y x ⎛⎫∴++=+++≥++ ⎪⎝⎭当且仅当xa yy x=即=y 时等号成立，19a ∴+≥，24(≤-舍去)，即4a ≥所以正实数a 的最小值为4. 故选：B .【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，，则 A ．a ＞b B ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定【答案】A【分析】由余弦定理可知c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，进而求得a ﹣b 的表达式，根据表达式与0的大小，即可判断出a 与b 的大小关系．【详解】解：∵∠C ＝120°，c 2=a ，∴由余弦定理可知c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，（2a ）2＝a 2+b 2+ab ． ∴a 2﹣b 2＝ab ，a ﹣b aba b=+， ∵a ＞0，b ＞0， ∴a ﹣b aba b=+， ∴a ＞b 故选A ．【点睛】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法，属中档题．9．设,x y 满足约束条件360,{20,0,0,x y x y x y --≤-+≥≥≥若目标函数(0,0)z ax by a b =+＞＞的最大值为12，则23ab+的最小值为 A ．256B ．83C ．113D ．4【答案】A【详解】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax by z +=（0,0a b >>）,过直线20x y -+=与直线360x y --=的交点(4,6)时,目标函数z ax by =+（0,0a b >>）取得最大12,即4612a b +=,即236a b +=,而23a b+=2323131325()()26666a b b a a b a b ++=+++=．10．设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（） A ．0 B ．3C ．94D ．1【答案】D【分析】利用22340x xy y z -+-=可得143xy x y z y x =+-，根据基本不等式最值成立的条件可得22,2x y z y ==，代入212x y z++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可.【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=， 2234z x xy y ∴=-+．∴22111434432?xy xy x y zx xy y x y y x===-++-，当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =． ∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号，即212xyz+-的最大值是1．故选：D【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题. 二、填空题11．在ABC ∆中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、.若2,a b ==sin cos B B +=，则角A 的大小为____________________.【答案】6π 【详解】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求角以及正弦定理，考查了同学们解决三角形问题的能力．由sin cos )4B B B π++=sin()14B π+=，所以4B π=由正弦定理sin sin a b A B =得sin 14sin 22a B Ab π===，所以A= 6π或56π（舍去）、 12．若对任意0x >，231xa x x ≤++恒成立，则a 的取值范围是_____．【答案】15a ≥【解析】利用基本不等式求出211313x x x x x =++++的最大值，即可得出结果. 【详解】0x，21113153x x x x x ∴=≤=++++，当且仅当1x x =，即1x =时等号成立， 15a ∴≥. 故答案为：15a ≥.【点睛】关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是化简式子211313x x x x x=++++利用基本不等式求出最大值.13．设1,a d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足56150S S +=，则d 的取值范围是__________________ .【答案】d≤-d≥【详解】试题分析：由题设知（5a 1+10d ）（6a 1+15d ）=0，即2a 12+9a 1d+10d 2+1=0，由此导出d 2≥8，从而能够得到d 的取值范围．解：因为S 5S 6+15=0，所以（5a 1+10d ）（6a 1+15d ）+15=0，即2a 12+9a 1d+10d 2+1=0，故△=（9d ）2-4×2×（10d 2+1）=d 2-8≥0，∴d 2≥8，则d 的取值范围是d≤-或d≥【解析】等差数列点评：本题考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意通项公式的合理运用14．设m 为实数，若{}22250()|{30()|250x y x y x x y x y mx y -+≥⎧⎫⎪⎪-≥⊆+≤⎨⎬⎪⎪+≥⎩⎭，，，则m 的取值范围是．【答案】403m ≤≤ 【详解】如图可得440033m m -≤-≤∴≤≤ 三、双空题15．在锐角ABC 中，1BC =，2B A =，则cos ACA的值等于__________，AC 的取值范围为__________．【答案】 2()2,3【详解】由正弦定理得，所以，所以,，由三角形为锐角三角形可得，所以，所以的取值范围是.【解析】1.正弦定理；2.三角函数的取值范围四、解答题16．ABC 中，a ，b ，c 是A ，B ，C 所对的边，S 是该三角形的面积，且cos cos 2B bC a c=-+. （1）求B 的大小；（2）若4a =，53S =b 的值.【答案】（1）23π；（261.【解析】（1）由正弦定理化边为角，然后由两角和与差的正弦公式㮳诱导公式化简后可求得B ；（2）由三角形面积公式可求得c ，然后由余弦定理可得b ．【详解】（1）解：由cos cos 2B b C a c =-+，cos sin cos 2sin sin B BCA C =-+，∴2sin cos cos sin sin cos A B B C B C +=-， ∴2sin cos sin cos cos sin A B B C B C =--， ∴()2sin cos sin A B B C =-+，2sin cos sin A B A =-，(0,)A π∈，sin 0A ≠，∴1cos 2B =-，又0πB <<，∴23B π=.（2）解：由4a =，S =11sin 22S ac B c ==⨯5c =，由2222cos b a c ac B =+-得2116252452b =++⨯⨯⨯，∴b =【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，考查三角形面积公式，两角和与差的正弦公式及诱导公式，解题时先用恰当的公式是关键．三角函数中公式较多，首先应熟记公式，其次要能灵活运用．17．已知函数23y x ax =++，当[]1,1x ∈-时，不等式y a >恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(),2-∞【分析】23y a x ax a >⇔++>，讨论当1x =时成立，当1x ≠时，分离参数利用基本不等式求最值即可求解【详解】23y a x ax a >⇔++>()231x a x ⇔+>-，[]1,1x ∈-11x -≤≤，012x ∴≤-≤当1x =时，10x -=，()231x a x +>-对一切x ∈R 恒成立，符合题意；当1x ≠时，012x <-≤，则231x a x+<-. ()()221214311x x x x x---++=--()412221x x =-+-≥=-. 当且仅当411x x-=-，即1x =-时到等号. 2min321x x ⎛⎫+∴= ⎪-⎝⎭.从而2a <.综上所述，实数a 的取值范围为(),2-∞.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查分离参数求最值，熟练掌握基本不等式求最值是关键18．已知数列{}n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足3655a a ⋅=，2716a a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n a 和数列{}n b 满足等式：312232222nn nb b b b a =+++（n 为正整数），求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（Ⅰ）21n a n =-；（Ⅱ）22,126,2n n n S n +=⎧=⎨-≥⎩. 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知列方程组求出11a =，2d =，利用等差数列的通项公式可得结果；（2）当2n ≥时，由312232222n n nb b b b a =+++，得131212312222n n n b b b b a ---=+++，两式相减可得12n n b +=，再由1n =求出1b 的值，利用等比数列求和公式可得结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则依题意设0d >， 271162716a a a d +=⇒+=，①()()3611552555a a a d a d ⋅=⇒++=，②解得11a =，2d =，21n a n ∴=-；（2）当2n ≥时，由312232222n n n b b b b a =++++，得131212312222n n n b b b b a ---=+++，两式相减得122nn n n b a a --==，12n n b +∴=. 又1122b a ==12,12,2n n n b n +=⎧∴=⎨≥⎩，12S ∴=，当2n ≥时，()()313412212222222612n n n n S -++-=++++=+=--.综上所述，22,126,2n n n S n +=⎧=⎨-≥⎩. 【点睛】已知数列前n 项和，求数列通项公式，常用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，将所给条件化为关于前n 项和的递推关系或是关于第n 项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式.在利用n S 与通项n a 的关系求n a 的过程中，一定要注意1n =的情况.19．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos )cos 0(C A A B +=．（1）求角B 的大小；（2）若1a c +=，求b 的取值范围．【答案】（1）3B π=；（2）1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据三角形角的关系，代入化简三角函数式，即可求得tan B ，进而得角B 的大小；（2）根据余弦定理，由基本不等式即可求得12b ≥，再结合三角形边关系求得b 的取值范围.【详解】（1）∵cos cos )cos 0(C A A B +=，∴cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=，即cos cos sin sin cos cos cos 0A B A B A B A B -++=， ∵sin 0A ≠，∴tan B = ∴3B π=．（2）由余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-，代入可得22222()3132a c b a c ac a c ac +⎛⎫=+-=+-≥-⨯ ⎪⎝⎭2111324⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当12a c ==时取等号， ∴12b ≥，又1b a c <+=， ∴b 的取值范围是1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考查了三角恒等变形的应用，由余弦定理及基本不等式求边的范围，属于中档题.20．在等差数列{}n a 中，34584a a a ++=，973a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意*m N ∈，将数列{}n a 中落入区间2(9,9)m m 内的项的个数记为m b ，求数列{}m b 的前m 项和m S ．【答案】：（Ⅰ）*98,;n a n n N =-∈（Ⅱ）【详解】试题分析：（1）根据等差数列的性质，将两已知式联立可以先求出等差数列{}n a 的首项1a 与公差d ，进而可求出通项公式n a ；（2）首先根据要求列出关于,n m 的不等式，再根据,m n 都是正整数，即可判断出落入()29,9m m 内的项数m b ，从而求出数列{}m b 的通项公式，再利用分组求和法即可求出其前m 项的和m S ．试题解析：（1）因为{}n a 是一个等差数列，34584a a a ++=，所以3454384a a a a ++==，即428a =，设数列{}n a 的公差为d ，则945732845d a a =-=-=，故9d =．由413a a d =+，得12839a =+⨯，即11a =．所以*1(1)19(1)98,n a a n d n n n N =+-=+-=-∈，（2）对*m N ∈，若299m m n a <<，则298998m m n +<<+，因此121889999m m n --+≤≤+，故得21199m m m b --=-，于是321112(999)(199)m m m m S b b b --=+++=+++-+++ 219(181)1(19)910911811980m m m m +⨯-⨯--⨯+=-=--．【解析】1、等差数列；2、等差数列通项公式及前n 项和公式；3、等比数列前n 项和公式；4、分组求和法．21．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，424S S =，221n n a a =+（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且1()2n n n a T λλ++=为常数，*2()n n c b n N =∈，求数列{}n c 的前n 项和为n R【答案】（1）；（2）1131(4)94n n n R -+=- 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则11114684{(21)22(1)1a d a d a n d a n d +=++-=+-+，解得11a =，2d =所以*21()n a n n =-∈N（2）由题意12n n n T λ-=-，所以当2n ≥时，1122n n n n n b T T ---=-=，所以*2211221()24n n n n n n c b n N ----===∈ 由012112101214444{1012144444n n n n n n R n n R ---=++++--=++++得1213111144444n n n n R --=+++-， 111(1)31411144()144344414n n n n n n n R ----=-=---， 1131(4)94n n n R -+=- 【解析】1、等差数列的通项公式；2、错位相减求数列的和．。

2024年浙江省杭州高级中学(贡院校区)分班考九年级数学试题(解析版)

数学考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间100分钟． 2．答题时，请在答题卷指定位置内写明姓名、试场号、座位号．3．所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，请务必注意试题序号和答题序号相对应． 4．考试过程中，不得使用计算器； 5．考试结束后，上交试题卷、答题卷．一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）1. 如图直线y ＝mx 与双曲线y=kx 交于点A 、B ，过A 作AM ⊥x 轴于M 点，连接BM ，若S △AMB ＝2，则k的值是( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】此题可根据反比例函数图象的对称性得到A 、B 两点关于原点对称，再由S △ABM =2S △AOM 并结合反比例函数系数k 的几何意义得到k 的值．【详解】根据双曲线的对称性可得：OA=OB,则S △ABM ＝2S △AOM ＝2，S △AOM ＝12|k |＝1，则k ＝±2．又由于反比例函数图象位于一三象限，k ＞0，所以k ＝2．故选B ．【点睛】本题主要考查了反比例函数y ＝kx中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．2. △ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD=4，CE=6，那么ABC 的面积等于（） A. 12B. 14C. 16D. 18【答案】C 【解析】【分析】连接ED ，根据BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD=4，CE=6，先求出S 四边形BCDE=12BD·CE=12．然后利用D ，E 是△ABC 两边中点连线即可求得答案．【详解】解：如图，连接ED ，则S 四边形BCDE=12DB·EH+12BD·CH=12DB （EH+CH ）=12BD·CE=12．又∵CE 是△ABC 中线 ∴S △ACE=S △BCE ， ∵D 为AC 中点， ∴S △ADE=S △EDC ， ∴S △ABC=43S 四边形BCDE=43×12=16．故选C ．【点睛】此题考查学生对三角形面积的理解和掌握，解答此题的关键是连接ED ，求出S 四边形BCDE ．3. 若：4360x y z −−=，270x y z +−=，()0xyz ≠，则：代数式222222522310x y z x y z+−−−的值等于（） A. 12−B. 192−C. 15−D. 13−【答案】D 【解析】【分析】首先根据题意，联立方程组，得出43627x y z x y z −=+=，用字母z 表示出x 、y 的值，然后把x 、y 的值代入代数式，计算即可得出结果．【详解】解：∵4360x y z −−=，270x y z +−=， ∴43627x y z x y z −=+=①②，由4×−②①，可得：2y z =，把2y z =代入②，可得：3x z =，又∵0xyz ≠，∴222222522310x y z x y z +−−− ()()()()2222225322=233210z z z z z z×+×−×−×−222222458=181210z z z z z z +−−− 2252=4z z− =13−．故选：D【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法、分式的化简求值，解本题的关键在根据已知二元一次方程组进行消元，将分式中的三个未知数化成只含一个未知数的式子表示．4. 已知实数a b ≠，且满足(()()()221331,1331a a b b +=−++=−+，则+的值为（） A. 23 B. 23−C. 2−D. 13−【答案】B 【解析】【分析】由题意可得1,1a b ++是方程233x x =−即2330x x +−=的两个根，根据根与系数的关系可得()()113113a b a b +++=−++=−，，整理可得5a b +=−，1ab =，即得00a b <<，，()222225223a b a b ab +=+−=−=，然后把所求的式子变形后整体代入即可求解.【详解】解：∵a b ≠，且满足()()()()2213311331a a b b +=−++=−+，， ∴11a b ++，是方程233x x =−即2330x x +−=的两个根，∴()()113113a b a b +++=−++=−，，整理，得5a b +=−，1ab =，∴00a b <<，，()222225223a b a b ab +=+−=−=，∴2223b a a b a b ab++==−−=−=−；故选：B .【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次根式的化简求值，由题意得出5a b +=−，1ab =，是解题的关键．5. 如图，A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的值等于（）A. 360°B. 450°C. 540°D. 720°【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理和多边形的内角和定理，利用四边形的内角和得到1360A C F °∠+∠+∠+∠=，360B G BDE DEG ∠°+∠+∠+∠=，从而有2720A C F B G BDE DEG °∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=，，然后利用三角形的内角和求A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数．【详解】解：如图，连接DE ，∵1360A C F °∠+∠+∠+∠=，360B G BDE DEG ∠°+∠+∠+∠=，12∠=∠， ∴2720A C F B G BDE DEG °∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=，即2720A B C BDF EDF DEC CEG G °∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=， ∵2180EDF DEC ∠+∠+∠=°，∴540A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=°，故选：C ．6. 将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于,x y 的方程组322ax by x y +=+=，只有正数解的概率为（）． A.112B.29C.518D.1336【答案】D 【解析】【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．【详解】解：当2a-b=0时，方程组无解；当2a-b≠0时，由a 、b 实际意义为1，2，3，4，5，6易知a ，b 都为大于0的整数，则两式联合求解可得62b 2a 3x,y 2a b 2a b −−=−−， ∵使x 、y 都大于0则有62b 2a 30,02a b 2a b−−>>−−，解得a ＜1.5，b ＞3或者a ＞1.5，b ＜3，而a ，b 都为1到6的整数，所以可知当a 为1时b 只能是4，5，6；或者a 为2，3，4，5，6时b 为1或2，这两种情况的总出现可能有3+10=13种；又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况，故所求概率1336，故选D ．【点睛】难点是：当方程组相同未知数的系数之比相等，但与常数项之比不相等时，方程组无解，关键是得到使方程组为正整数的解的个数．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7. 如图，正方形ABCD 内接于O ，点P 在劣弧AB 上，连接DP ，交AC 于点Q ．若QP QO =，则QC QA的值为（）A. 1B.C.+D.2+【答案】D的【解析】【分析】连接OD ，OP ，由QO QP =得P POQ PDO ∠=∠=∠，设P POQ PDO α∠=∠=∠=，根据条件求得30α=°，设OQ m =，则OD OC OA ===，，即可表示出所求比值．【详解】解：连接OD ，OP ．QO QP = ，P POQ PDO ∴∠=∠=∠，设P POQ PDO α∠=∠=∠=， 1122ADP AOP α∴∠=∠=，45ADO ∠=° ， ∴1452αα+=°．30α∴=°，设OQ m =，则OD OC OA ===，∴2QC AQ =+．故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理及正方形性质．熟记并灵活应用定理是解题的关键．8. 某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数3≥），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空当处，那么，满足上述要求排法的方案有（）． A. 1种 B. 2种 C. 4种 D. 0种【答案】B 【解析】【分析】【详解】选B ．理由：设最后一排有k 个人，共有n 排，那么从后往前各排的人数分别为,1,2,,(1)k k k k n +++− ，由题意可知(1)1002n n kn −+=，即[2(1)]200n k n +−=．因为k ，n 都是正整数，且3n ≥，所以2(1)n k n <+−，且n 与2(1)k n +−的奇偶性不同．将200分解质因数，可知5n =或8n =．当5n =时，18k =；当8n =时，9k =．因此共有两种不同方案．二、填空题（本大题有10个小题，每小题4分，共40分）9. 在Rt ABC 中，90C ∠=°，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tan B 的值是______．【答案】【解析】【分析】根据勾股定理求出AC ，根据正切的概念计算即可．【详解】解：在Rt ABC 中，90C ∠=°，设BC=x ，则AB=3x ，AC则tanB==ACBC故答案为：【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义以及勾股定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．10. 如图，在ΔΔΔΔΔΔΔΔ中，AB AC =，AD AE =，60BAD ∠=°，则EDC ∠=______.【答案】25° 【解析】【分析】设B C x ∠=∠=，ADE AED y ∠=∠=，则有EDC x y ∠+=与60EDC y x ∠+=+°，联立方程解方程组即可【详解】依题意，设B C x ∠=∠=，ADE AED y ∠=∠=，EDC x y ∠+=，①60EDC y x ∠+=+°，②由+①②得260EDC ∠=°，∴30EDC ∠=°.【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，在复杂图形中找三角形的外角与不相邻的两内角是解题关键 11. 已知非零实数a 、b 满足2442a b a −+++=，则a +b 等于_______．【答案】1 【解析】【分析】根据题意可得a ≥3，化简原式得20b ++=，根据非负数的性质先求出a ，b 的值，从而求得a +b 的值．【详解】解∶根据题意得∶a ≥3， ∴240a −≥，∴原等式可化为24242a b a −++++=即20b ++=， ∴b +2=0且()230a b -=， ∴a =3，b =﹣2， ∴a +b =1．故答案为1．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性、偶次方都是非负数，熟练掌握相关知识点是解题的关键．12. 如图，等腰 90Rt ABC BAC BC E ∆∠=°，，为AB 上一点，以CE 为斜边作等腰Rt CDE ∆，连接AD ，若30ACE ∠=°，则AD 的长为________________．【解析】【分析】由等腰直角三角形的性质得出∠B =∠ACB =45°，BC ===AB =AC =1，由直角三角形的性质得出AC ==1，CE =2AE ，得出AE =CE =，BE =AB ﹣AE =1∠BCE =∠ACD ，BCCE AC CD==，得出△BCE ∽△ACD ，得出比例式，即可得出结果．【详解】∵等腰Rt △ABC ，∠BAC =90°，BC =，∴∠B =∠ACB =45°，BC ===∴AB =AC =1． ∵∠ACE =30°，∴AC ==1，CE =2AE ，∴AE =，CE =，∴BE =AB ﹣AE =1 ∵△CDE 是等腰直角三角形，∴∠DCE =45°，CE =CD ，∴∠BCE =∠ACD ，BC CE ACCD==，∴△BCE ∽△ACD ，∴BE BC AD AC==，∴AD【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形相似是解答本题的关键． 13. 01x ≤≤时，函数22y x ax a =−+的最小值为2−，则实数a 的值为________．【答案】2−或3 【解析】【分析】本题考查了二次函数的最值，化顶点式，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题。

浙江省高中数学竞赛试卷含答案

2010年浙江省高中数学竞赛试卷一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1．化简三角有理式xx x x xx x x 22662244cos sin 2cos sin cos sin sin cos ++++的值为（ A ） A. 1 B. sin cos x x + C. sin cos x x D. 1+sin cos x x 解答为 A 。

22442222sin cos )(sin cos sin cos )2sin cos x x x x x x x x ++-+分母=(4422s i n c o s s i nc o sx x x x =++。

2．若2:(0,:2p x x q x ++≥≥-，则p 是q 的（ B ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解答为 B 。

p 成立3x ⇔≥-，所以p 成立，推不出q 一定成立。

3．集合P={363,=+++∈x x R x x }，则集合R C P 为（ D ） A. {6,3}x x x <>或 B. {6,3}x x x <>-或C. {6,3}x x x <->或D. {6,3}x x x <->-或解答：D 。

画数轴，由绝对值的几何意义可得63x -≤≤-，{}63,{6,3}R P x x C P x x x =-≤≤-=<->-或。

4．设a ,b 为两个相互垂直的单位向量。

已知OP =a ，OQ =b ，OR =r a +k b .若△PQR为等边三角形，则k ，r 的取值为（ C ）A ．12k r -==B ．1122k r ±==C ．k r ==D ．k r ==解答．C. PQ QR PR ==，==。

浙江省高中数学竞赛试题及解答

2013年浙江省高中数学竞赛试题解答一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1．集合{,11P x x R x =∈-<}，{,1},Q x x R x a =∈-≤且P Q ⋂=∅,则实数a 取值范围为（）A. 3a ≥B. 1a ≤-.C. 1a ≤-或 3a ≥D. 13a -≤≤答案 C {02},{11},P x x Q x a x a =<<=-<<+要使P Q ⋂=∅，则12a -≥或10a +≤。

解得1a ≤-或 3a ≥。

2．若,,R αβ∈ 则90αβ+=o是sin sin 1αβ+>的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件答案 D 若0,90sin sin 1αβαβ==⇒+=o。

当60sin sin 1αβαβ==⇒+=>o ，但90αβ+≠o。

3．已知等比数列{an}：,31=a 且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项是（）A. D.答案 B 计算得2733,q a ==4. 已知复数(,,z x yi x y R i =+∈为虚数单位），且28z i =，则z =（） A.22z i =+ B. 22z i =-- C. 22,z i =-+或22z i =- D. 22,z i =+或22z i =-- 答案 D5. 已知直线AB 与抛物线24y x =交于,A B 两点，M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若0C 满足00min{}C A C B CA CB •=•u u u u r u u u u r u u u r u u u r，则下列一定成立的是（）。

A. 0C M AB ⊥B. 0,C M l ⊥其中l 是抛物线过0C 的切线C. 00C A C B ⊥D. 012C M AB =答案 B2()()()CA CB CM AM CM BM CM CM AM BM AM BM •=-•-=-++•u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r 22min min{}CM AM CA CB CM CM l =-⇒•=⇔⊥u u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r。

浙江省高中数学竞赛试题及答案

2012年浙江省高中数学竞赛试题说明:本试卷分为A 卷和B 卷:A 卷由本试卷的22题组成,即10道选择题,7道填空题,3道解答题和2道附加题;B 卷由本试卷的前20道题组成,即10道选择题,7道填空题和3道解答题一、选择题（本大题共有10小题，每小题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号内，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1.已知i 为虚数单位，则复数122ii +=-（）（A ）i（B ）i -（C ）4355i -- （D ）4355i -+2.下列函数中,既是奇函数,又在区间上单调递增的函数为（）（A ）2y x x =+ （B ）2sin y x x =+（C ）3y x x =+（D ）tan y x = 3.已知a 与b 均为单位向量,其夹角为θ,则命题:||1p a b ->,是命题5:[,)26q ππθ∈的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充分且必要条件（D ）非充分非必要条件4.已知集合{|12},{|21}P x x M x a x a =≤≤=-≤≤+,若P M P =,则实数a 的的取值范围是（）（A ）(,1]-∞（B ）[1,)+∞（C ）[1,1]-（D ）[1,)-+∞5.函数3)cos()226y x x ππ=++-的最大值为（）（A ）134（B ）134（C ）132（D 136.如图,四棱锥S-ABCD 的地面为正方形,SD ⊥底面ABCD ,则下了结论中不正确的是（）（A ）AB ⊥SA（B ）BC ∥平面SAD（C ）BC 与SA 所成的角等于AD 与SC 所成单调角（D ）SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角7.程序框图如图所示,若22(),()log f x x g x x ==,输入x 的值为0.25,则输出结果为（）（A ）0.24（B ）－2（C ）2（D ）－0.258.设,i j 分别为平面直角坐标系x ,y 轴上的单位向量,且|||2|5a i a j -+-=,则|2|a i +取值范围为（）（A ）[22,3]（B ）65[,22]（C ）[5,4]（D ）65[ 9.已知12,F F 分别为双曲线22:1927x y C -=的左、右焦点,点A 的坐标为9135(2,则的平分线与x 轴交点M 的坐标为（）（A ）(2,0)（B ）(2,0)-（C ）(4,0)（D ）(4,0)-10.设2()f x x bx c =++,若方程()f x x =无实根,则(())f f x x =方程（）（A ）有四个相异实根（B ）有两个相异实根（C ）有一个实根（D ）无实数根二、填空题(本大题共有7个小题,将正确的答案填入题干后的横线上,每空7分,共49分) 11.设直线4y ax =-与8y x b =-关于直线y x =对称,则_____,_______.a b ==12.已知1|cos |sin 1|cos |x x x -=+,则________x =.13.已知x R ∈,2(1)1x x x x ++++__________.14.已知实数,,,a b c c 满足22()()a c b d -+-,则的最小值为__________.15.设{}n a 为等比数列,且每项都大于1,则201112012111lg lg log lg i i i a a a a =+∑的值为_______. 16.设0x >,则44433311()()()11()()x x x x f x x x x x+-+=+-+的最小值为__________. 17.如图是一个33⨯残缺的幻方,此幻方每一行及每一条对角线上的三个数之和有相等的值,则x 的值为_____三、解答题(本大题共3小题,每小题17分,共计51分)18.已知实数12310,,,...x x x x 满足101011|1|4,|2|6iii i x x ==-≤-≤∑∑,求12310,,,...x x x x的平均值x .19.设P 为椭圆2212516x y +=长轴上一个动点,过P 点斜率为k 的直线交椭圆与A ,B 两点.若2||PA +2||PB 的值仅依赖于k 而与P 无关,求k 的值.20.设,p q Z +∈,且2q p ≤.试证对n Z +∈,存在N Z +∈,使22()n n p p q N N q --=--且22()n n p p q N N q +-=+-2012年浙江省高中数学竞赛试题解答。

2010-2023历年高级中等学校招生全国统一考试数学卷(浙江杭州)

2010-2023历年高级中等学校招生全国统一考试数学卷（浙江杭州）第1卷一.参考题库(共25题)1.小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m，则他升高了A．mB．500mC．mD．1000m2.为了解学生课余活动情况，某校对参加绘画、书法、舞蹈、乐器这四个课外兴趣小组的人员分布情况进行抽样调查，并根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下面的问题：（1）此次共调查了多少名同学？（2）将条形图补充完整，并计算扇形统计图中书法部分的圆心角的度数；（3）如果该校共有1000名学生参加这4个课外兴趣小组，而每个教师最多只能辅导本组的20名学生，估计每个兴趣小组至少需要准备多少名教师？3.（本题满分10分）如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上任意一点，C为半圆ACB的中点，PD切⊙O于点D，连结CD交AB于点E．求证：（1）PD=PE；（2）．4.下列运算中，正确的是A．B．C．D．5.已知a，b为实数，则解可以为– 2 < x < 2的不等式组是A．B．C．D．6.如图，在矩形ABCD中， AB=4，BC=6，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点Q．BP=x，CQ=y，那么y与x之间的函数图象大致是7.如图，在△中, .在同一平面内, 将△绕点A旋转到△的位置, 使得, 则A．B．C．D．8.有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这9名同学成绩的A．众数B．中位数C．平均数D．极差9.方程x2 +x– 1 = 0的一个根是A．1 –B．C．–1+D．10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM是BC边上的中线，，则的值为▲．11.分解因式m3– 4m= .12.直线上有2010个点,我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点,经过3次这样的操作后,直线上共有▲个点.13.（本题满分8分）一家公司招考员工，每位考生要在A、B、C、D、E这5道试题中随机抽出2道题回答，规定答对其中1题即为合格．已知某位考生会答A 、B两题，试求这位考生合格的概率．14.一个密码箱的密码, 每个数位上的数都是从0到9的自然数,若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于,则密码的位数至少需要位.15.如图，5个圆的圆心在同一条直线上, 且互相相切，若大圆直径是12，4个小圆大小相等，则这5个圆的周长的和为A．48πB．24πC．12πD．6π16.（本题满分10分）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点．（1）求A、B两点的坐标；（2）观察图象，可知一次函数值小于反比例函数值的的取值范围是▲．（把答案直接写在答题卡相应位置上）17.（本题满分12分）某花农培育甲种花木2株，乙种花木3株，共需成本1700元；培育甲种花木3株，乙种花木1株，共需成本1500元．（1）求甲、乙两种花木每株成本分别为多少元？（2）据市场调研，1株甲种花木售价为760元，1株乙种花木售价为540元．该花农决定在成本不超过30000元的前提下培育甲乙两种花木，若培育乙种花木的株数是甲种花木的3倍还多10株,那么要使总利润不少于21600元，花农有哪几种具体的培育方案？18.（本题满分8分）如图，在□ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=C F．求证：∠EBF=∠FDE．19.如图，在△ABC中，D、E两点分别在BC、AC边上．若BD=CD，∠B=∠CDE，DE=2，则AB的长度是A．4 B．5 C．6 D．720.计算 (– 1)2 + (– 1)3 =A．– 2B．– 1C．0D．221.先化简, 再求得它的近似值为 .(精确到0.01，≈1.414，≈1.732)22.(本小题满分8分)统计2010年上海世博会前20天日参观人数，得到如下频数分布表和频数分布直方图（部分未完成）:上海世博会前20天日参观人数的频数分布直方图组别（万人）组中值(万人)频数频率7.5～14.51150.2514.5～21.560.3021.5～28.5250.3028.5～35.5323上海世博会前20天日参观人数的频数分布表（1）请补全频数分布表和频数分布直方图；（2）求出日参观人数不低于22万的天数和所占的百分比；（3）利用以上信息，试估计上海世博会（会期184天）的参观总人数.23.定义[]为函数的特征数, 下面给出特征数为 [2m，1 –m, –1–m]的函数的一些结论：①当m=" –" 3时，函数图象的顶点坐标是(，)；②当m> 0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；③当m< 0时，函数在x>时，y随x的增大而减小；④当m¹ 0时，函数图象经过同一个点.其中正确的结论有A．①②③④B．①②④C．①③④D．②④24. 4的平方根是A．2B．±2C．16D．±1625.（本题满分8分）计算：第1卷参考答案一.参考题库1.参考答案：A2.参考答案：（1）200（2）36（3）绘画需辅导教师23（名）书法需辅导教师5（名）舞蹈需辅导教师8（名）乐器需辅导教师15（名）解：（1）………2分（2）画图（如下）…………4分书法部分的圆心角为:………6分（3）绘画需辅导教师（名）…………7分书法需辅导教师（名）………………………8分舞蹈需辅导教师（名）……………9分乐器需辅导教师（名）…………………10分3.参考答案：（1）证明略。

高二数学竞赛试题

高二数学竞赛试题（考试时间90分钟，满分120分，命题人：黄盛华）班级________姓名_____________得分________________ 一、选择题（本大题有8小题，每小题5分,共40分）分）1．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是的焦点到准线的距离是（） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 2．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是 ( ) A ．12,24,15,9 B ．9,12,12,7 C ．8,15,12,5 D ．8,16,10,6 3．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于等于 ( ) A ．4 B ．5 C ．7 D ．8 4．先后抛掷两枚均匀的骰子(骰子是一种正方体玩具，在正方体各面上分别有点数1,2,3,4,5,6)，骰子落地后朝上的点数分别为x ，y ，则log 2x y ＝1的概率为的概率为 ( ) A.16 B.536 C.112 D.125. . 如图给出的是计算如图给出的是计算1＋13＋15＋…＋129的值的一个程序框图，则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句是行框中的①处和判断框中的②处应填的语句是 ( ) A ．n ＝n ＋2，i ＝15? B ．n ＝n ＋2，i >15? C ．n ＝n ＋1，i ＝15? D ．n ＝n ＋1，i >15? 6．双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r ＝（）A.3 B ．2 C ．3 D ．67．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，时速在[50,60)的汽车大约有的汽车大约有 ( ) A ．30辆B ．40辆C ．60辆D ．80辆 8．F 1，F 2是椭圆x 22＋y 2＝1的左右两个焦点，过F 2作倾斜角为π4的弦AB ，则△F 1AB 的面积为的面积为 ( ) A.43B.233 C.433D.423－1 二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）分）9．如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内得落在正方形区域内((含边界含边界))的黄豆数为375颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为据为依据可以估计出该不规则图形的面积为________________________平方米．平方米．平方米．10区．在区间间[－1,2]机上随机取取一个数x ，则|x |≤1率的概率为为________．11． “a >2”是“方程x 2a ＋1＋y 22－a ＝1表示双曲线”的________条件(填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”)．12. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．三解答题（本大题共5小题，共60分）分） 13. 13. （本小题满分（本小题满分12分）分）随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图：的茎叶图如图：(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；计算甲班的样本方差； (3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于名同学中随机抽取两名身高不低于 173 cm 的同学，求身高为176 cm 的同学被抽中的概率．的同学被抽中的概率．14．（本小题满分12分）分）－3x [3，PA ·PB ＝y 2－(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．的概率．17. （本小题满分12分）分）设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．成等差数列．(1)求E的离心率；的离心率；(2)设点P(0，－1)满足|P A|＝|PB|，求E的方程．的方程．高二数学限时训练（4）一选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 CDDCBACA40＝1，因此，从各层依次抽取的人数为1＝1＝×1＝×1＝ö＝3＝1. ＋1＋1＋1是连续奇数的前＋1，＋1＋1＋＋1需要循环＝ 3. 倾斜角为π的直线为＝1| 49＋43＝4. 【答案】2⇒＋＝反过来，a ＋a ＝＝3或3x 1＝1x ＝14＝2.－3x －37，[3，＝7，[7，|7≤≤7，∴≥3或－3. ，－3][3，＋PA·PB＝(－x·y＝y y＝－＝2＝1. ＝3. －3＝13. ＝4a＝a2－b2. 22＝2b2，＝()2b2. ＝2|2[(x1＋x2)2－4x1x2]. 4a＝4ab22，故＝ca＝a2－b2a＝22. ＝x1＋x22＝－a ca2＋b2＝－23c＝c3. 即y0＋1x＝－32，的方程为x218＋y29＝。

浙江省高中数学竞赛试题解答

解答还原该几何体，是一个长、宽、高分别为２、２、１的长方体，并被截去两
个底面直三棱柱，该三棱柱的底面是边长为１等腰直角三角形，高为１。
7.
若
x
∈
R+
，则
(x3
+1−
1 x4
)9 展开式中常数项为
(
).
(A) −1259 (B) −1260 (C) −1511
(D) −1512
７．答案Ａ
4
4
解 1 = sin2 x + cos2 x ≤ | f (x) + cos2 x | + | f (x) − sin2 x |≤ 1 + 3 =1, 所以得到 44
| f (x) + cos2 x |=3 ,| f (x) − sin2 x |= 1 ⇒ f (x) = sin2 x − 1 , 或写成 1 (1 − 2 cos 2x) 。
⇒ 0 < c2 + (1 + b)c= f (0) f (1)= rs(1 − r)(1 − s) < ( r + 1 − r )2( s + 1 − s )2= 1 . …（１７）
2
2
4
解法２由已知 f (0) = c > 0, f (1) =1 + b + c > 0 ⇒ (1 + b)c + c2 > 0 ，……（５）
值为 a ，则二面角 A − B1D1 − A1 的正切值为_____________。
１３．答案 2a
解设正四棱柱的底面边长和高分别为 x, y ，
则
y x
=