2011年高考理科数学(浙江卷)
让思维在发散中得到有效锻炼——谈2011年浙江数学高考(理)第16题
（） ２当Ｘ・ Ｙ＝０ 显然 （ ＋ ：１ 时， ２ ） ．
综上所得， 当且仅 当 ． Ｙ≠０ 且 兰： 时，
Ｙ
（ｘ ２
（ ） ： ８ 即２ 的最大值是 ２ ＋ 。 ＋
，
．
取等号， ２ 故 ｘ＋Ｙ 的最大值为 ・， ０ ｚ １．
解法 ７（ ： 构造三角形）
塑 ＋Ｙ＋１
≤ １＋
２
３＝× ≤（ ） ｘ 耋（ 差 ｙ ２ ｘ
＝
３
＋ ｌ
上＋ ３ ５
．
一
８ 一 ５
￣２ ）， － ｘ＋ （
’
． ．
（ ＋ ）一 ＝３ｙ （ ＋ ） 即 ２ 。 １ ｘ ≤罢 ｘ 。 ｘ ２ ，
≤ ｓ 当且仅当 ＝ ５ ，
４ｘ２＋ Ｙ。＋ ４ ｘｙ
— 一
解法 ２ （ ： 基本不等式）
’ ．
４ ｘ２＋ Ｙ２＋ ｘｙ
：
１ Ｉ
３ ｘｙ ‘４ ｘ２＋ Ｙ２＋ ｘｙ
’ ＋Ｙ ＋ｘ ４ ｙ＝ １ ． （ ） ｘ ，’ ２ ． ＋ 一３ ｙ＝
ｌ ＋
墨
１ 即 （ ） ， ２ ＋ 一１ ３ｙ ＝ ｘ．
２１ 年第 １ 期 ０１ ２
数 学教 学
１－３ ２４
让思维在发散 中得 到有效锻炼
～
谈２１年浙江数学高考（ 第１题 ０１ 理） ６
３ ２ 浙江省德清高级中学 江战明 范虹燕 １０ ３０
通 览全 国高考 ２ １ 年 浙江卷理 科试题， ０１ 笔 者的感觉是： 熟悉 与简约结合， 思维与计算并重． 本文并非分析试卷， 而是要从不同角度挖掘 “ 经 ’ 试题的教学价值与训练功能， 浙江卷理科第
2011年浙江高考数学理科卷填空题命制的缺憾剖析
． ．
义 务 教 育课 程 标 准 实 验教 科 书 七 年 级数 学 上 册 （ 人教 版 ）“ ：像这 样 ， 几个 单 项式 的和 叫做 多项 式 ． 其
中，每个单项式 叫做 多项式的项 ，不含字母 的项 叫
ｓ ｉ ｎ
．（ ・ 詈 ０ ［ ∈ ，
此题貌 似以向量为背景 ，命题 的意 图是考查 向
使 其真 正 的为教 学和 高考 服 务 ．
ｃ Ｘ ＋ （ 一ａｘ ａ ｂ２ ） ＋６ 一 ｂ＞Ｏｘ＞０ ． （ 、
２ １ 年浙 江高考数学理科 卷填 空题命制 的缺憾剖析 ０１
洪 昌强 浙江省台州市第一中学 （１００ ３ ８０ ） 做常 数项 ．” 按多项式及其常数项 的定义 ，二项式
中 Ｘ 的系 数 为 ，常 数 项为 ．若 Ｂ＝４ Ａ，则 ａ的
值 是 ．
字母 或 ａ ，因此 ， 其二项式 的展开式 中不存在常数 项 ．此 题应 是一 道错 题 ，是命 题 者 疏 忽造 成 ．作为 高考试 题 是很 不应 该 出现 的错误 ． ２考查意图被偏离
根据 浙 江考试 院提供 的答 案 ａ＝２． 解 由条件 得 Ａ＝ 口 Ｂ＝ 口 由 Ｂ＝４ ， ， Ａ及 ａ＞０ ａ＝２． 得
２ １ 年第 １ ０２ 期
福建 中学数 学
ｂａ ２ ０ （ ）
－
—
ｌ ９
若Ｖ ｘ＞０，都 有 ／ （） ＞０，
Ｘｆ ＋２ Ｘ ａ—ａ Ｉ （
・
． ．
—
，
２
，
０ ． ． ０＜ ａ ２ ． ・ ．
ｂ 一 ａ ｂ≥ ０ ． ０＜ ａ ≤ ２ ． ｂ ａ ． ， ・ ． ａ， ｂ＞ ０ ．
命题 ３若 ０ ａ ＜ ２， ｂ ａ，则 ＞ ≥ ０，都 有
2011年浙江高考理数试题答案
2011年浙江高考理科和文科数学试卷及答案几msja.Eii 芍绘為WL 曲村快豐畫］fi 即■畫师尿.间时尊if ■析几啊帕■* 里总为楚和杠住nietitin «#迪廿=（I 〕解血觥直可輛曲鮭的HM 方管力叮■一以料心矶。
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2011浙江数学高考试题及答案
2011年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(浙江卷)本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．选择题部分(共50分)参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )＝P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重新试验中事件A 恰好发生k 次的概率()=(1)k kn k n n P k C p p -- (k ＝0，1，2，…，n )台体的体积公式11221()3V h S S S S =+其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积， h 表示台体的高 柱体的体积公式 V ＝Sh其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh ＝其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 S ＝4πR 2球的体积公式343V R π＝其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设函数2,0(),0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩.若f (α)＝4，则实数α等于( )A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或22．把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若z ＝1＋i ，则(1＋z )·z ＝( ) A ．3－i B ．3＋i C ．1＋3i D ．33．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )4．下列命题中错误．．的是( ) A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β5．设实数x ，y 满足不等式组2502700,0x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩，若x ，y 为整数，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．14B ．16C ．17D ．196．若02πα<<，02πβ-<<，1cos(+)=43πα，3cos()=42πβ-，则cos()2βα+等于( )A 3B ．3-C ．539D ．69-7．若a ，b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“1a b <或1b a>”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知椭圆C 1：2222=1x y a b + (a ＞b ＞0)与双曲线C 2：2214y x -=有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点， 若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132 B ．a 2＝13 C ．b 2＝12D ．b 2＝29．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( )A ．15 B ．25 C ． 35 D ．4510．设a ，b ，c 为实数，f (x ) ＝(x ＋a )(x 2＋bx ＋c )，g (x )＝(ax ＋1)(cx 2＋bx ＋1)．记集合S ＝{x |f (x )＝0，x ∈R }，T ＝{x |g (x )＝0，x ∈R }，若|S |，|T |分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能．．．的是( ) A ．|S |＝1且|T |＝0B ．|S |＝1且|T |＝1C ．|S |＝2且|T |＝2D ．|S |＝2且|T |＝3非选择题部分(共100分)二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是________．13．设二项式6()x x(a ＞0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ， 若B ＝4A ，则a 的值是________．14．若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与 β的夹角θ的取值范围是________． 15．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.16．设x ，y 为实数．若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．17．设F 1，F 2分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点A ，B 在椭圆上．若125F A F B =，则点A 的坐标是________．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R )，且214ac b =. (1)当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值；(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．19．已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a (a ∈R )，设数列的前n 项和为S n ，且11a ，21a ，41a 成等比数列， (1)求数列{a n }的通项公式及S n ； (2)记A n ＝1231111n S S S S ++++…，B n ＝2-112221111+n a a a a +++…，当n ≥2时，试比较A n 与B n 的大小．20．如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A －MC －B 为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．21．已知抛物线C 1：x 2＝y ，圆C 2 ：x 2＋(y －4)2＝1的圆心为点M.(1)求点M 到抛物线C 1的准线的距离；(2)已知点P 是抛物线C 1上一点(异于原点)，过点P 作圆C 2的两条切线，交抛物线C 1于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程．22．设函数f (x )＝(x －a )2ln x ，a ∈R .(1)若x ＝e 为y ＝f (x )的极值点，求实数a ；(2)求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈(0，3e]，恒有f (x )≤4e 2成立.注：e 为自然对数的底数．参考答案1．B 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．A 8．C 9．B 10．D11．答案：0 12．答案：5 13．答案：214．答案：[6π，56π] 15．答案：5316．21017．答案：(0，1)或(0，－1)18．解：(1)由题设并利用正弦定理，得5414a c ac ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1,1,4a c =⎧⎪⎨=⎪⎩或1,41.a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ (2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝222211cos 22p b b b B --， 即231cos 22p B =+，因为0＜cos B ＜1，得p 2∈(32，2)，由题设知p ＞062p <<19．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则(2214111()a a a =⋅，得(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )．因为d ≠0，所以d ＝a 1＝a ．所以a n ＝na ，(1)2n an n S +=. (2)因为1211()1n S a n n =-+，所以 123111121(1)1n n A S S S S a n =++=-++…+．因为a 2n －1＝2n －1a ，所以21122211()111112112n nn B a a a a a --=+++=⋅-…+ 21(1)2n a =-． 当n ≥2时，0122n nn n n n C C C C =+++…+＞n ＋1，即111112n n -=-+，所以，当a ＞0时，A n ＜B n ； 当a ＜0时，A n ＞B n . 20．解：方法一：(1)证明：如图，以O 为原点，以射线OP 为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O －xyz . 则O (0，0，0)，A (0，－3，0)，B (4，2，0)，C (－4，2，0)，P (0，0，4)，A P ＝(0，3，4)，BC ＝(－8，0，0)，由此可得A 0P BC ⋅=，所以A P BC ⊥，即AP ⊥BC ．(2)解：设PM PA λ=，λ≠1，则PM ＝λ(0，－3，－4)．BM BP PM BP PA λ=+=+＝(－4，－2，4)＋λ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3λ，4－4λ)，AC ＝(－4，5，0)，BC ＝(－8，0，0)．设平面BMC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面APC 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由11·0,·0,BM n BC n ⎧=⎪⎨=⎪⎩得1111423440,80,x y z x λλ--(+)+(-)=⎧⎨-=⎩ 即1110,23,44x z y λλ=⎧⎪+⎨=⎪-⎩可取n 1＝(0，1，2344λλ+-)． 由220,0,AP AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即2222340,450,y z x y +=⎧⎨-+=⎩得22225,43,4x y z y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可取n 2＝(5，4，－3)． 由n 1·n 2＝0，得4－3×2344λλ+-＝0，解得25λ=，故AM ＝3.综上所述，存在点M 符合题意，AM ＝3.方法二：(1)证明：由AB ＝AC ，D 是BC 的中点，得AD ⊥BC ． 又PO ⊥平面ABC ，得PO ⊥BC ．因为PO ∩AD ＝O ，所以BC ⊥平面P AD ，故BC ⊥P A ．(2)解：如图，在平面P AB 内作BM ⊥P A 于M ，连结CM . 由(1)知AP ⊥BC ，得AP ⊥平面BMC ． 又AP ⊂平面APC ， 所以平面BMC ⊥平面APC ．在Rt △ADB 中，AB 2＝AD 2＋BD 2＝41，得41AB =在Rt △POD 中，PD 2＝PO 2＋OD 2， 在Rt △PDB 中，PB 2＝PD 2＋BD 2， 所以PB 2＝PO 2＋OD 2＋DB 2＝36，得PB ＝6. 在Rt △POA 中，P A 2＝AO 2＋OP 2＝25，得P A ＝5.又cos ∠BP A ＝2222PA PB AB PA PB ++⋅＝13，从而PM ＝PB cos ∠BP A ＝2，所以AM ＝P A －PM ＝3. 综上所述，存在点M 符合题意，AM ＝3.21．解：(1)由题意可知，抛物线的准线方程为：14y =-，所以圆心M (0，4)到准线的距离是174.(2)设P (x 0，20x )，A (x 1，21x )，B (x 2，22x )，由题意得x 0≠0，x 0≠±1，x 1≠x 2.设过点P 的圆C 2的切线方程为y －20x ＝k (x －x 0)， 即y ＝kx －kx 0＋20x .① 20021k+＝1，即(x 02－1)k 2＋2x 0(4－x 02)k ＋(x 02－4)2－1＝0.设P A ，PB 的斜率为k 1，k 2(k 1≠k 2)，则k 1，k 2是上述方程的两根，所以k 1＋k 2＝20020241x x x (-)-，k 1k 2＝22020411x x (-)--. 将①代入y ＝x 2，得x 2－kx ＋kx 0－x 02＝0，由于x 0是此方程的根，故x 1＝k 1－x 0，x 2＝k 2－x 0，所以k AB ＝221212x x x x --＝x 1＋x 2＝k 1＋k 2－2x 0＝20020241x x x (-)-－2x 0，k MP ＝2004x x -. 由MP ⊥AB ，得k AB ·k MP ＝220000200244(2)()1x x x x x x (-)--⋅-＝－1，解得20235x =， 即点P 的坐标为(235235)，所以直线l 的方程为31154y x =+. 22．解：(1)求导得()22()ln x a f x x a x x(-)'＝－＋()(2ln )1x a x ax＝－＋－．因为x ＝e 是f (x )的极值点，所以()e (e )(3e)0f a a'＝－－＝，解得a ＝e 或a ＝3e.经检验，符合题意，所以a ＝e 或a ＝3e.(2)①当0＜x ≤1时，对于任意的实数a ，恒有f (x )≤0＜4e 2成立． ②当1＜x ≤3e 时，由题意，首先有f (3e)＝(3e －a )2ln(3e)≤4e 2，解得ln(33e 3e)e a ≤≤＋ln(3e)由(1)知()()(2ln 1)f x x a x ax'＝－＋－，令h (x )＝2ln x ＋1－ax，则h (1)＝1－a ＜0，h (a )＝2ln a ＞0，且()()()3e+ln(3e)3e 2ln 3e 12ln 3e 13ah e≥＝＋－＋－32l (l n3n3e 0e>＝－.又h (x )在(0，＋∞)内单调递增，所以函数h (x )在(0，＋∞)内有唯一零点，记此零点为x 0，则1＜x 0＜3e ，1＜x 0＜A ．从而，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＞0；当x ∈(x 0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.即f (x )在(0，x 0)内单调递增，在(x 0，a )内单调递减，在(a ，＋∞)内单调递增．。
2011年高考试题数学汇编--圆锥曲线
2011年高考试题数学汇编――圆锥曲线一、选择题：1. (2011年高考山东卷理科8）已知双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（A ）22154x y -= (B) 22145x y -= (C) 22136x y -= （D ） 22163x y -= 【答案】A【解析】由圆C:22650x y x +-+=得：22(3)4x y -+=,因为双曲线的右焦点为圆C 的圆心(3,0),所以c=3，又双曲线的两条渐近线0bx ay ±=均和圆C 相切，2=,即32b c=,又因为c=3,所以b=2,即25a =，所以该双曲线的方程为22154x y -=，故选A 。
2. （2011年高考辽宁卷理科3）已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为A ．34B ．1C ．54D ．74答案：C解析：设A ，B 的横坐标分别是,m n ，由抛物线定义，得111=+3442AF BF m n m n +++=++=，故52m n +=，524m n +=，故线段AB 的中点到轴的距离为543。
(2011年高考全国新课标卷理科7)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A ，B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍,则C 的离心率为（A （C ）2 （D ）3 答案:B解析：由题意知，AB 为双曲线的通径,所以，AB a a b 422==，222=∴ab又3122=+=ab e ，故选B.点评：本题考查双曲线标准方程和简单几何性质，通过通经与长轴的4倍的关系可以计算出离心率的关键22ab 的值，从而的离心率。
4.（2011年高考浙江卷理科8)已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=＞＞与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则 （A ）2132a =（B ）213a = （C ）212b = (D ）22b = 【答案】 C【解析】由1C 恰好将线段AB 三等分得133A A x x x x =⇒=，由222A y x x x y=⎧⇒=⎨+⎩,15x a ∴=15y a=52(,)1515aa 在椭圆上,2222)15151a b∴+=2211a b ⇒=又225,a b -=212b ∴=，故选C 5.(2011年高考安徽卷理科2）双曲线x y 222-=8的实轴长是（A ）2 (B ）（C ） 4 （【答案】A【命题意图】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质。
2011年浙江高考数学答案(理科)
2011-2012-2《大学数学一》综合练习一﹑填空题：1. 已知 )2,1,2(),1,2,2(),1,1,1(C B A ，则AB jACPr =___________。
2. 从点)1,1,2(--P 到一个平面π引垂线，垂足为)5,2,0(M ,则平面π的方程为___________________。
3. 过原点且平行于直线⎩⎨⎧=--=-15234z y x z x 的直线方程为_____________________。
4. 将曲线220x z x y ⎧=⎨=⎩绕轴旋转一周，所得曲面方程为____________________。
5. 函数z=arcsin(2x)+ 2224ln(1)x y x y ---的定义域____________________. 6.(,)(0,1)42lim3x y xy xy→+-= 。
7. 函数y x y x z +-+=2222的极小值是 . 8. 函数u =22x xy y -+在点（-1，1）沿方向e=1{2,1}5的方向导数_________. 9. 曲线τ：x=2sin a t ,y =sin cos b t t ， z =2cos c t 对应于t=4π的点处的切线的一个切向量为____________,该点处的法平面方程为________________。
10. 将二次积分21220()xx dxf x y dy +⎰⎰化为极坐标下的二次积分的表达式为 .11.⎰⎰⎰⎰-+--+21212),(),(y y dx y x f dy dx y x f dy 交换积分次序后为 .12. 曲线积分ds z y x L ⎰++2221的值为 ，其中L 为曲线2221,0x y z z ++==. 13. 若曲线积分4124(4)(65)Lx xy dx xy y dy λλ-++-⎰在xoy 平面内与路径无关，则λ= .14. 设L 为有向曲线2214x y +=的正向，则(2)(3)Lx y dx x y dy -++=⎰ . 15. 设∑是球面：2224x y z ++=，则曲面积分⎰⎰∑++dS z y x )(222= . 16. 设幂级数∑∞=0n nnx a的收敛半径为3，则幂级数11)1(-∞=-∑n n n x na 的收敛区间为 .17. 幂级数∑∞=-124)2(n nnn x 的收敛域为 . 二﹑选择题:1. 直线⎩⎨⎧=+=++00:1z y z y x L 与直线⎩⎨⎧=+=+124:2z x y x L 的关系是（ ）. 〔A 〕1L 与2L 垂直 〔B 〕 1L 与2L 平行 〔C 〕1L 与2L 相交但不垂直 〔D 〕 1L 与2L 为异面直线 2.设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在.则=--+→xb x a f b x a f x ),(),(lim（ ）.〔A 〕 0 〔B 〕),2(b a f x 〔C 〕),(b a f x 〔D 〕),(2b a f x 3．函数),(y x f z =在点),(00y x 处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ ）. 〔A 〕必要条件. 〔B 〕充分条件. 〔C 〕充要条件. 〔D 〕既非充分又非必要条件 4.二重积分221(1)x y xy d σ+≤+=⎰⎰（ ）〔A 〕π 〔B 〕0 〔C 〕π 〔D 〕2π 5.设Ω：2222x y z a ++≤、2222x y z az ++≤，则三重积分(,,)f x y z dV Ω⎰⎰⎰在柱面坐标下的三次积分为（ ）〔A 〕20(cos ,sin ,)a a d dr f r r z rdz πθθθ⎰⎰⎰； 〔B 〕2222322(cos ,sin ,)a a r a a r d drf r r z rdz πθθθ---⎰⎰⎰；〔C 〕22322(cos ,sin ,)a a r ad drf r r z dz πθθθ-⎰⎰⎰；〔D 〕2222(cos ,sin ,)aa a r ad drf r r z rdz πθθθ--⎰⎰⎰.6.在下列积分中，积分值与路径无关的是（ ）〔A 〕sin sin Lydx xdy +⎰ 〔B 〕sin sin Lydx y xdy +⎰〔C 〕cos sin Lydx xdy +⎰ 〔D 〕cos sin Ly xdx xdy +⎰7.设2222:x y z a ∑++=，取外侧，其所围的空间闭区域为V ，则曲面积分(1)(2)(3)x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++=⎰⎰ （ ）〔A 〕3VdV ⎰⎰⎰ 〔B 〕()Vx y z dV ++⎰⎰⎰ 〔C 〕2()Vx y z dV ++⎰⎰⎰ 〔D 〕08.设222:1x y z ∑++=，取外侧，则曲面积分2y dxdz ∑=⎰⎰（ ） 〔A 〕222212(1)x z x z dxdz +≤--⎰⎰〔B 〕222212(1)x z x z dxdz +≤---⎰⎰〔C 〕1 〔D 〕09.设),2,1(10 =<≤n na n ，则下列级数中一定收敛的是（ ）. 〔A 〕∑∞=1n n a 〔B 〕∑∞=1n n a 〔C 〕n n na ∑∞=-1)1( 〔D 〕∑∞=-12)1(n n n a10．若级数)0(1≥∑∞=n n na a收敛，则（ ）.〔A 〕∑∞=12n na发散 〔B 〕∑∞=1n nn a 收敛 〔C 〕∑∞=+11n nn a a 发散 〔D 〕∑∞=1n n n a发散。
2011浙江高考数学试卷(理)
浙江省高考数学试卷和答案（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1、（2011?浙江）设函数f（x）=，若f（a）=4，则实数a=（）A、﹣4或﹣2B、﹣4或2C、﹣2或4D、﹣2或22、（）3、（、、、Aα不垂直Cα⊥平面5、（2011?浙江）设实数x、y满足不等式组，若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（）A、14B、16C、17D、196、（2011?浙江）若0＜a＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A、B、﹣C、D、﹣7、（2011?浙江）若a、b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件8、（2011?浙江）已知椭圆的离心率e=，则k的值为（）9、（2本，数学书2、、、10、（（x+a+bx+c．记集合1213、（），则的值是_________．14、（2011?浙江）若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α和β的夹角θ的范围是_________．15、（2011?浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为P，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X=0）=，则随机变量X的数学期望E（X）=_________．16、（2011?浙江）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是_________．17、（2011?浙江）一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，则椭圆的离心率为_________．三、解答题（共5小题，满分72分）18、（2011?浙江）在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p∈R）．且ac=b2．（Ⅰ）当p=，b=1时，求a，c的值；（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围．19、（S n，，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及=+++…+=++…+20、（浙江）如图，在三棱锥﹣ABC中，AB=AC，垂的长；C1于A，（Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3a]，恒有f（x）≤4e2成立．注：e为自然对数的底数．答案一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1、（2011?浙江）设函数f（x）=，若f（a）=4，则实数a=（）A、﹣4或﹣2B、﹣4或2C、﹣2或4D、﹣2或2考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法。
2011年浙江省高考数学试卷及答案(理科)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式如果事件,A B 互斥 ，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件,A B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ∙=∙如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,...,)k k n kn n P k C p p k n -=-= 台体的体积公式121()3V h S S =+其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高柱体体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设函数2,0(),x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，若()4f a =，则实数a =（A ）-4或-2 （B ）-4或2 （C ）-2或4 （D ）-2或2 2.把复数z 的共轭复数记作z ,i 为虚数单位，若z=1+i,则(1)z z +⋅= （A ）3i - （B ）3i + （C ）13i + （D ）3 3.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是4.下列命题中错误．．的是 （A ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β （B ）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ⋂=，那么l ⊥平面γ （D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β5.设实数x 、y 是不等式组2502700,0x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩，若x 、y 为整数，则34x y +的最小值是（A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19 6.若02πα<<，02πβ-<<，1cos()43πα+=，cos ()42πβ-=，则cos ()2βα+= （A（B）（C（D）7.若a 、b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <或1b a>”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件8.已知椭圆22122:1x y C a b +=（a >b >0）与双曲线 222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则（A ）2132a =（B ）2a =13 （C ）212b = （D ）2b =29.有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本。
浙江高考数学(理科卷)试题真题,历年(07年08年09年10年11年),含答案解析,完美终结版
浙江高考数学（理科卷）试题真题，历年（07年08年09年10年11年）,含答案解析，完美终结版2021年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）（浙江省）一、多项选择题（本主题共有10个子题，每个子题得5分，共计50分。
在每个子题给出的四个选项中，只有一个符合问题的要求。
??x,x?0（1）设函数f(x)??2，若f(a)?4，则实数a?x、 x？0（a）？4还是？2（b）？4或2（c）？2或4（d）？2或2（2）记录复形Z的共轭复形为Z，I为虚单位。
如果z=1+I，那么（1？z）？Z（a） 3号？i（b）3？i（c）1？3I（d）3（3）如果图中显示了几何图形的三个视图，则几何图形的视觉视图可以是（4）下列命题中错误的是．．（a）如果是飞机？⊥ 飞机飞机呢？一定有一条平行于平面的直线吗？（b）如果是飞机？不垂直于平面？，飞机呢？一定没有垂直于平面的直线吗？（c）如果是飞机？⊥ 飞机飞机⊥ 飞机⊥, ⊥?,???? l、所以我⊥ 飞机（d）如果是飞机？⊥ 飞机飞机呢？所有直线都垂直于平面吗？?x?2y?5?0?（5）设实数x、y是不等式组?2x?y?7?0，若x、y为整数，则3x?4y的最小值是? 十、0，y？0（a）14（b）16（c）17（d）19（6）如果0？？？？2.1.3.0，因为（？？）因为（？）那为什么？2432423（a）33536（b）？（c）（d）？9933（7）如果a和B是实数，“0？AB？1”是“a？11还是B？”BA（a）充分和不必要条件（b）必要和不充分条件（c）充分和必要条件（d）既不充分也不必要条件x2y2y22?1有公共的焦点，c2的一条（8）已知椭圆c1:2?2?1（a>b>0）与双曲线c2:x?ab4渐近线与以c1的长轴为直径的圆相交于a,b两点，若c1恰好将线段ab三等分，则（a）a?2131222（b）a?13（c）b?（d）b?222（9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本。
2011年浙江高考数学理科试卷(带详解)
卷）
理科数学
一、选择题 （本大题共10小题，每小题5分，共50分）在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设函数,则实数=
（）
A.4或2
B.4或2
C.2或4
D.2或2
【测量目标】分段函数.
【考查方式】已知分段函数的解析式，给出定值求出此时自变量的值.
非选择题部分（共100分）
二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分）. 11.若函数为偶函数，则实数 . 【测量目标】偶函数. 【考查方式】给出函数的解析式，利用偶函数的性质，求参数. 【难易程度】容易 【参考答案】0 【试题解析】∵为偶函数，∴， 即∴. 12.若某程序图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是 .
又∵，∴. 15.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人
简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙丙公司面试的概
率为，且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试
得公司个数.若，则随机变量X的数学期望 .
【测量目标】离散型随机变量的期望.
【考查方式】题目给出已知条件，求出随机变量的数学期望.
第12题图
【测量目标】循环结构的程序框图. 【考查方式】已知程序框图，运行得出结果. 【难易程度】容易 【参考答案】5 【试题解析】时，＝64，＝81，；（步骤1） 时，＝256，＝256，；（步骤2） 时，＝256，＝625，.（步骤3） 13.设二项式的展开式中的系数为A,常数项为B，若B=4A，则a的值 是. 【测量目标】二项式定理. 【考查方式】给出二项式，通过二项式定理和某项系数与常数项的关 系，求出参数. 【难易程度】中等
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2011年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理科）试题
选择题部分（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设函数⎩⎨
⎧>≤-=0
)(2
x x x x x f ，，，若4)(=αf ,则实数=α （A ）4-或2-
（B ）4-或2
（C ）2-或4
（D ）2-或2
（2）把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若复数i z +=1，则=⋅+z z )1(
（A ）i -3
（B ）i +3
（C ）i 31+
（D ）3
（3）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是
正视图 侧视图
（A ） （B ） （C ） （D ）
俯视图
（4）下列命题中错误．．
的是 （A ）如果平面⊥α平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β （B ）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线平行于平面β （C ）如果平面⊥α平面γ，平面⊥β平面γ，l =⋂βα，那么⊥l 平面γ （D ）如果平面⊥α平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
（5）若实数x ，y 满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥>-+>-+，，，，00072052y x y x y x 若x ，y 为整数，则y x 43+的最小值是
（A ）14
（B ）16
（C ）17
（D ）19
（6）若2
0π
α<
<，02
<<-
βπ
，31)4
cos(
=
+απ
，3
3)24cos(=-βπ，则=+)2cos(βα （A ）
3
3
（B ）3
3-
（C ）
9
3
5
（D ）9
6-
（7）设a ，b 为实数，则“10<<ab ”是“b a 1<
或a
b 1>”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
（8）已知椭圆122221=+b
y a x C ：)0(>>b a 与双曲线1422
2=-y x C ：有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点。
若1C 恰好将线段AB 三等分，则
（A ）2
13
2
=
a （B ）132
=a
（C ）2
12
=
b
（D ）22
=b
（9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本。
若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是
（A ）
5
1
（B ）
5
2
（C ）
5
3
（D ）
5
4 （10）设a ，b ，c 为实数，))(()(2c bx x a x x f +++=，)1)(1()(2+++=bx cx ax x g 。
记集合
}0)(|{R x x f x S ∈==，，}0)(|{R x x g x T ∈==，，若||S ，||T 分别为集合S ，T 的元素个数，
则下列结论不可能．．．
的是 （A ）1||=S 且0||=T （B ）1||=S 且1||=T （C ）2||=S 且2||=T
（D ）2||=S 且3||=T
非选择题部分（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
（11）若函数||)(2a x x x f +-=为偶函数，则实数=a 。
（12）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是 。
输出k
结束
第12题
（13）设二项式)0()(6>-
a x
a x 的展开式中3x 的系数为A ，常数项为B ，若A B 4=，则a 的值
是 。
（14）若平面向量α，β满足1||=α，1||≤β，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为2
1，则α与β的夹角θ的取值范围是 。
（13）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历。
假定该毕业生得到甲
公司面试的概率为
3
2
，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的。
记X 为该毕业生得到面试的公司个数。
若12
1
)0(==X P ，则随机变量X 的数学期望
=)(X E 。
（16）设x ，y 为实数。
若1422=++xy y x ，则y x +2的最大值是 。
（17）设1F ，2F 分别为椭圆13
22
=+y x 的左，右焦点，点A ，B 在椭圆上。
若B F A F 215=，则点A 的坐标是 。
三、解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（18）（本题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，。
已知)(sin sin sin R p B p C A ∈=+，且2
4
1b ac =。
（Ⅰ）当4
5
=
p ，1=b 时，求c a ，的值； （Ⅱ）若角B 为锐角，求p 的取值范围。
（19）（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列}{n a 的首项1a 为)(R a a ∈。
设数列的前n 项和为
n S ，且
11a ，21a ，4
1
a 成等比数列。
（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式及n S ； （Ⅱ）对n n S S S S A 1
111321+
+++=
，1
222211111-++++=n a a a a B n ，当2≥n 时，试比较n A 与n B 的大小。
（20）（本题满分15分）如图，在三棱锥ABC P -中，AC AB =，D 为BC 的中点，⊥PO 平面ABC ，
垂足O 落在线段AD 上。
已知8=BC ，4=PO ，3=AO ，2=OD 。
（Ⅰ）证明：BC AP ⊥；
（Ⅱ）在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角B MC A --为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由。
P
C
A
O
D
B
（21）（本题满分15分）已知抛物线y x C =2
1：，圆1)4(2
2
2=-+y x C ：的圆心为点M 。
（Ⅰ）求点M 到抛物线1C 的准线的距离；
（Ⅱ）已知点P 是抛物线1C 上一点（异于原点），过点P 作圆2C 的两条切线，交抛物线1C 于B A ，两点。
若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程。
（22）（本题满分14分）设函数x a x x f ln )()(2
-=，R a ∈。
（Ⅰ）若e x =为)(x f y =的极值点，求实数a ；
（Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意的]30(e x ，∈，24)(e x f ≤成立。
注：e 为自然对数的底数。