齐次线性方程组的解集的最大无关组

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3.6 线性方程组解的结构A (1)

x
r
2
xn
0
0
1
0
0
1
这是方程组的通解.
v求基础解系的方法 ——也可以由基础解系求通解
方程组Ax0等价于
x1 x2
b11 b21
xr1 xr1
b12 xr2
b22 xr2
b1,nr xn b2,nr xn
xr br1 xr1 br2 xr2 br,nr xn
v非齐次线性方程组解的结构
定理6.2 若*是方程组Axb的某个解 1 2 nr是方程组Ax0的基础解系
则方程组Axb的通解为
xk11k22 knr nr* (k1 knr R).
Ax b的通解= Ax b的特解+ Ax 0的通解.
例6. 3 求解方程组
法一: 令x2 c1 x4 c2
v齐次线性方程组解的性质
v性质6.1
若x1 x2为Ax0的解则x12也是Ax0的解.
v性质6.2
若x1为Ax0的解 k为实数则xk1也是Ax0的解.
思考假如Ax0有无穷多解，如何把这些解表示出来？设S是Ax0的解的集合
S0 1 2 t是S的一个极大无关组
那么一方面 Ax0的任一解都可由S0线性表示另一方面 S0的任何线性组合
c1
1 1 0 0
c2
1 0 2 1
1 2
102,(c1,c2
0
R).
于是对应齐次方程组的基础解
系为
1(1 1 0 0)T 2(1 0 2 1)T.
非齐次方程的一个解(特解)为
xx13
x2 x4 1/ 2x4 1/ 2
2
.
*(1/2 0 1/2 0)T.

线性代数课件-4.4线性方程组的解的结构

为该方程组的解，则
x11
x
x
21
x
n1
称为方程组的解向量．
齐次线性方程组的解的性质
性质1：若 x = x1， x = x2 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，则 x = x1 + x2 还是 Ax = 0 的解．
证明： A(x1 + x2 ) = Ax1+ Ax2 = 0 + 0 = 0 ．
性质2：若 x = x 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，k 为实数，则 x = kx 还是 Ax = 0 的解．
证明： A( kx ) = k ( Ax ) = k 0 = 0 ．
结论：若 x = x1, x = x2, ...,, x = xt 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，则 x = k1x1 + k2x2 + … + ktxt 还是 Ax = 0 的解.
b22 xr+2
b1,nr xn , b2,nr xn ,
xr br1 xr+1 br 2 xr+2 br,nr xn .
令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, …, xn = cn-r ，则
线性方程组的通解
x1
x2
b11c1 b12c2 b21c1 b22c2
基础解系的概念
定义：齐次线性方程组 Ax = 0 的一组解向量：x1, x2, ..., xr
如果满足
① x1，x2，...，xr 线性无关； ② 方程组中任意一个解都可以表示x1, x2, ..., xr 的线性组合，
那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系．
设 R(A) = r ，为叙述方便，不妨设 A 行最简形矩阵为

线性代数考试题及答案3

2009－2010学年第一学期期末考试《线性代数》试卷答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。

2、闭卷考试。

评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。

(每小题3分,共24分) 【】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A-=-+ 【】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a【】5.设矩阵A 与B 等价，则有__________________系__________专业___________班级姓名_______________学号_______________………………………………（密）………………………………（封）………………………………（线）………………………………(C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小【】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解的充分必要条件是(A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r >【】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是(A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量(B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例(C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示(D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示【】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是(A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值(C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵二、填空题。

齐次线性方程组

返回
定理:齐次线性方程组 ① ,如果它的系数矩阵的秩 R(A)=n,那么它只有零解,没有基础解系,如果 R(A)<n,那么它有无穷多解,存在基础解系,且它的基础解系所含的解向量的个数为n-r个(其中=R(A)). 定理: a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n 有非零解 A 0 an1 x1 an 2 x2 ann xn 0 证明:
b12 2 b1,n r n r br 2 br ,n r 无关 0 , , 0 . 1 0 无关 0 1
1 1 1 1 r2 r1 0 0 2 4 r3 r1 0 0 1 2
20
返回
1 r3 r2 ( ) 2
1 1 1 1 0 0 2 4 0 0 0 0
1 r2 ( ) 2
1 1 1 1 0 0 . 1 2 0 0 0 0
§2 齐次线性方程组
一、齐次线性方程组解的性质二、齐次线性方程组的非零解
1
返回
一、齐次线性方程组解的性质
齐次线性方程组
a11 x1 a1n xn 0 am1 x1 amn xn 0 AX = 0 ②
①
x1 c1 记 [註]: 1. 若 X ξ, 则 x n cn
x2 x2
x4 2 x4 x4
则
x2 1 令 , x4 0

线性代数第4章向量空间 - 习题详解

第4章向量空间4.1 向量及其线性组合练习4.11. 设1231031,1,4010ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦求12αα-及12332ααα+-.解 12101011111001011αα-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦12332ααα+-10330303121432410100202⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦2. 设 1233()2()5()αααααα-++=+,求α. 其中1232104511,,1513101ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦解由1233()2()5()αααααα-++=+得12362020611525122111(325)31051836669205244αααα⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-=+-== ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭3. 将线性方程组12312312310232x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩写成向量形式及矩阵形式.解向量形式：123111*********x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦矩阵形式：123111*********x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦4. 设123,,,αααβ是已知列向量，若122ααβ+=，记矩阵123[,,]A ααα=，求线性方程组Ax β=的一个解.解由12320αααβ++=得方程组Ax β=的一个解为T [1,2,0]x =5. 问β是否可由向量组4321,,,αααα线性表示？其中（1）12341111121111,,,,1111111111βαααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（2）12342111201022,,,,0124231132βαααα-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦解（1）令[]123411111111,,,11111111A αααα⎡⎤⎢⎥--⎢⎥==⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦由[]111111005/41111201001/41111100101/41111100011/4r A β⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=−−→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦得Ax β=有唯一解[]T15,1,1,14x =--，从而β可由向量组4321,,,αααα唯一线性表示： 23451114444βαααα=+--（2）令[]123411121022,,,12421132A αααα-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦由[]111221220102200110012420000011132300000r A β-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦得Ax β=无解，从而β不能由向量组4321,,,αααα线性表示.6. 已知12341111101121,,,,2324335185a b a ααααβ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（1）,a b 取何值时，β不能由4321,,,αααα的线性表示？（2）,a b 取何值时，β可由4321,,,αααα唯一线性表示式？并写出表示式. 解令[]1234,,,A αααα=，考察方程组Ax β=是否有解.[]11111011212224335185A a b a β⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥++⎢⎥+⎣⎦1111101121012102252r a b a ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥−−→⎢⎥+⎢⎥-+⎣⎦1111101121001000010r a b a ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥−−→⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦（1）当0,1≠-=b a 时，方程组Ax β=无解，故β不能由4321,,,αααα的线性表示. （2）当1-≠a 时，继续进行初等行变换[]A β2100011111101121101001001010010101000010rr b a a b a b b a a -⎡⎤⎢⎥⎡⎤+⎢⎥⎢⎥-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→−−→+⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦得方程组Ax β=有唯一解：T21,,,0111b a b b x a a a ++⎡⎤=-⎢⎥+++⎣⎦故β可由4321,,,αααα的唯一线性表示. 表示式为：1234210111b a b ba a a ++=-++++++βαααα 7. 用标准坐标向量证明：如果对任意向量x 有0Ax =，则A 是零矩阵. 证设12[,,,]n A ααα= 是m n ⨯矩阵. 特别地取(1,2,,)n i x e R i n =∈= ，则0(1,2,,)i i Ae i n α===即A O =.8. 设向量组12,ββ可由向量组123,,ααα线性表示如下：112321232,βαααβααα=+-=-+写出形如（4.5）的矩阵形式.解[][]1212321,,,1111ββααα⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦9. 设123123032204103124,,,,,210111321213αααβββ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥======⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦证明向量组{}123,,βββ可由向量组{}123,,ααα线性表示，但向量组{}123,,ααα不能由向量组{}123,,βββ线性表示. 证令[]123,,A ααα=，[]123,,B βββ=由[]400111040222004135000000rA B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−→⎢⎥-⎢⎥⎣⎦知向量组{}123,,βββ可由向量组{}123,,ααα线性表示. 由[]204032022012000210000000rBA ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥−−→⎢⎥-⎢⎥⎣⎦知12,αα都不能由向量组{}123,,βββ线性表示，故向量组{}123,,ααα不能由向量组{}123,,βββ线性表示.10. 设12123011131,1,0,2,210111ααβββ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦证明向量组{}12,αα与向量组{}123,,βββ等价.方法1 令[][]12123,,,,A B ααβββ==. 由[]101110111300000rA B -⎡⎤⎢⎥−−→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦知向量组{}123,,βββ可由向量组{}12,αα线性表示.[]1020.50.50110.50.500000rBA --⎡⎤⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦知向量组{}12,αα可由向量组{}123,,βββ线性表示.所以{}{}12123,,,ααβββ≅.方法2 令T1TT 12T T 23,A B βαβαβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，则101011rA -⎡⎤−−→⎢⎥⎣⎦，101011000rB -⎡⎤⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦记T T12[1,0,1],[0,1,1]γγ=-=，根据行等价矩阵的行向量组等价，由上知{}{}{}{}121212312,,,,,,ααγγβββγγ≅≅所以{}{}12123,,,ααβββ≅.4.2 向量组的线性相关性练习4.21. 证明：含有零向量的向量组必线性相关. 证不妨设向量组为{}123,,ααα，其中10α=，则1231000ααα++=根据定义{}123,,ααα线性相关.2. 证明：含两个向量的向量组线性相关的充要条件是它们的分量对应成比例. 问含三个向量的向量组线性相关的充要条件是不是它们对应的分量成比例？证设112212[,,,],[,,,]T T n n a a a b b b αα== 且{}12,αα线性相关. 于是存在不全为零的数12,k k 使得11220k k αα+=，不妨设10k ≠，从而21221k k k ααα==，即 (1,2,,)i i a kb i n ==即1α与2α的对应分量成比例.反之，如果(1,2,,)i i a kb i n == ，则12k αα=,即1210k αα-=，故{}12,αα线性相关.由三个向量构成的向量组如果对应分量成比例，则显然线性相关. 但线性相关，它们的对应分量不一定成比例. 如123111,,123ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦或1231121,2,3134ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦3. 判别下列向量组的线性相关性：（1）[]12,5Tα=，[]21,3Tα=-（2）[][][]1231,2,3,0,2,5,1,0,2TTTααα=-=-=- （3）[][][]1232,4,1,1,0,1,2,0,1,1,1,3,0,0,1TTTααα==-=解（1）令1221[,]53A αα-⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，由110A =≠，知A 是可逆矩阵，故其列向量组{}12,αα线性无关.（2）类似（1），由 1012200352--=-，得{}123,,ααα线性相关. (3) 易知向量组()()()T T T 1,0,0,1,1,0,0,1,1321===βββ线性无关，而向量组{}123,,ααα是向量组{}123,,βββ的加长向量组，故{}123,,ααα也线性无关.4. 设[][][]1231,1,1,1,2,3,1,3,TTTt ααα===, (1) 问t 为何值时, 向量组321,,ααα线性相关？ (2) 问t 为何值时, 向量组321,,ααα线性无关？解令11112313A t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，计算得5A t =- （1）当5t =时，A 是不可逆矩阵，其列向量组321,,ααα线性相关. （2）当5t ≠时，A 是可逆矩阵，其列向量组321,,ααα线性无关. 5. 证明由阶梯矩阵的非零行构成的向量组一定线性无关. 证不妨设阶梯矩阵12340000000000T T T T U αααα⊗****⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⊗**⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⊗*⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中0⊗≠. 考察下面方程组112233123000000x x x x x x ααα⊗⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥*⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=++=*⊗⎢⎥⎢⎥⎢⎥**⊗⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥***⎣⎦⎣⎦⎣⎦显然该方程组只有零解，故{}123,,ααα线性无关.4.3 向量组的秩练习4.31. 设[][][][]T T T T12341,2,3,4,2,3,4,5,3,4,5,6,4,5,6,7====αααα求向量组1234,,,αααα的秩及其一个极大无关组, 并把其余向量用所求的极大无关组线性表示.解 1234[,,,]A =αααα12341012234501233456000045670000r --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦因此{}12,αα是{}1234,,,αααα的一个最大无关组，且2132ααα+-=，21432ααα+-=2. 设向量组2123,,2,31311a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的秩为2，求,a b .解记12342123,,2,31311a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦αααα，由于{}1234rank ,,,2=αααα，所以{}341,,ααα线性相关，{}342,,ααα也线性相关.由[]3411212,,2330132111002ra a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ααα 得2a =.由[]342122122,,23014113005rb b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ααα 得5b =.3. 证明极大无关组的定义4.5与定义4.6的等价性.证（定义4.5⇒定义4.6）设121,,,r βββ+ 是V 中任意1r +个向量. 由定义4.5（2）知121,,,r βββ+ 可由12,,,r ααα 线性表示，由定理4.9，121,,,r βββ+ 线性相关，即定义4.6（2）成立.（定义4.6⇒定义4.5）设β是V 中任意一个向量. 则12,,,,r αααβ 是1r +个向量，由定义4.6（2），12,,,,r αααβ 线性相关，又12,,,r ααα 线性无关，再由唯一表示定理，β可由12,,,r ααα 线性表示，即定义4.5（2）成立.4.4 矩阵的秩练习4.41. 求下面矩阵的秩（1）1121021120331101⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，（2）123222123333123111a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（其中123,,a a a 互不相等）. 解（1）由11211121021102112033002011010000r A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=−−→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦得()3r A = （2）记123222123333123111a a a A a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，由于范德蒙行列式1232221231110a a a a a a ≠，得()3r A = 2. （1）设A 是23⨯矩阵，且rank 2A =，写出A 的等价标准形；（2）设A 是32⨯矩阵，且rank 2A =，写出A 的等价标准形. 解（1）[]20A E ≅，（2）20E A ⎡⎤≅⎢⎥⎣⎦3. 设22139528A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦（1）求一个42⨯矩阵B 使得0AB =，且rank 2B =; （2）求一个42⨯矩阵C 使得AC E =，且rank 2C =. 解（1）求解方程组0Ax =得两个线性无关的解12[1,5,8,0],[1,11,0,8]T T ββ==-令[]1211511,8008B ββ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦则rank 2,B AB O ==，B 即为所求.（2）解1Ax e =得一个解11[5,9,0,0]8Tβ=--，解2A x e =得一个解21[2,2,0,0]8Tβ= 令[]1252921,00800C ββ-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦则2rank 2,C AC E ==，C 即为所求.4. 设m n n m m m A B C ⨯⨯⨯=，若C 是可逆矩阵，则()()r A r B m ==.证 ()()()()m r C r A B r A m r A m===≤⇒= ()()()()m r C r AB r B m r B m ===≤⇒=5. 证明：()()()r A B r A r B +≤+. 方法1 设12[,,,]n A ααα= ,[]12,,,n B βββ= ,(),()r A s r B t ==不妨设{}12,,,t ααα 是A 的列向量组的极大无关组，{}12,,,s βββ 是B 的列向量组的极大无关组. 显然A B +的列向量可由{}11,,,,,t s ααββ 线性表示，于是()r A B +=()A B +的列秩{}11r ,,,,,()()t s s t r A r B ααββ≤≤+=+证明：)()()(B r A r B A r +≤+ 方法2 由],[],[B A B B A c−→−+得[,][,]r A B B r A B +=，从而（用到例题的结论）)()(],[],[)(B r A r B A r B B A r B A r +≤=+≤+6. 用等价标准形定理证明：rank 1m n A ⨯=的充要条件是T A αβ=其中0,0m n R R αβ≠∈≠∈.证设rank 1A =，由等价标准形定理，存在可逆矩阵,m m n n P R Q R ⨯⨯∈∈，使得1000A P Q ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦[]101,0,,00P Q ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦令α是P 的第一列，T β是Q 的第一行，显然0,0αβ≠≠，上式就是T A αβ=.反之，如果TA αβ=()0,0αβ≠≠，则1()()1()1r A r r A α≤≤=⇒=4.5 向量空间练习4.51. 设{}31123123123(,,)|,,,0T V x x x x x x x R x x x R ==∈++=⊂ {}32123123123(,,)|,,,1T V x x x x x x x R x x x R ==∈++=⊂证明1V 是3R 的子空间, 2V 不是3R 的子空间. 证 1V 是齐次线性方程组的解集，2V 是非齐次线性方程组的解集，同例题的证明一样.2. 设343443434,,x x x x V x x x x R R x x ⎧⎫+⎡⎤⎪⎪⎢⎥-⎪⎪⎢⎥==∈⊂⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭证明V 是4R 的子空间，并求V 的维数及V 的一个基.证把V 中向量改写为34314211111001x x x x x αα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则12span(,)V αα=，又{}12,αα线性无关，所以{}12,αα是V 的一个基，dim 2V =.3. 设12342112,1,1,010541αααα----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦求123span(,,)ααα两个不同的基, 并分别求α在所求的基下的坐标.解易知{}123rank ,,2ααα=，又{}13,αα线性无关，{}23,αα线性无关，所以{}13,αα与{}23,αα都是123span(,,)ααα的基.解方程组1123x x ααα+=得120.5,1x x ==-于是α在基{}13,αα下的坐标是[]0.5,1T-.解方程组1223x x ααα+=得121,1x x ==-于是α在基{}23,αα下的坐标是[]1,1T-.4. 设121211201011,,,01310131ααββ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦证明：1212span(,)span(,)ααββ=. 证只需证{}{}1212,,ααββ≅由[]12121011013100000000rααββ-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦知{}12,ββ可由{}12,αα线性表示. 由[]1212100.50.501 1.50.500000000rββαα⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦知{}12,αα可由{}12,ββ线性表示.所以{}{}1212,,ααββ≅. 5. 已知3R 的两个基为1231111,0,0111ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 及 1231232,3,4143βββ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦求由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵.解由[]123123100234,,,,,010*********rαααβββ⎡⎤⎢⎥−−→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦得[][]123123234,,,,010101βββααα⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵为234010101P ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦4.6 线性方程组解的结构练习4.61. 求齐次线性方程组1232340x x x x x x -+=⎧⎨-+=⎩ 两个不同的基础解系，并写出通解.解记系数矩阵为A ，则10010111rA ⎡⎤−−→⎢⎥-⎣⎦同解方程为14234x x x x x =-⎧⎨=-⎩ 分别取3410,01x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦得1201,11x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得基础解系为 120111,1001αα-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别取3411,01x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦得1201,10x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得基础解系为 120110,1101ββ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦通解为112212,(,)x k k k k R αα=+∈或112212,(,)x k k k k R ββ=+∈2. 求一个齐次线性方程组，使它的基础解系为T T 12[0,1,2,3],[3,2,1,0]ξξ==解设所求方程组为0=Ax ，由题设()12,0A ξξ=.记()12,B ξξ=，则0=AB 即0=T T A B ，这说明T A 的列都是方程组0=x B T 的解.解方程组0=x B T ，即2341232303230x x x x x x ++=⎧⎨++=⎩ 得基础解系为T )0,1,2,1(1-=α，T )1,0,3,2(2-=α令],[21αα=T A ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1032012121T T A αα所求方程组为0=Ax ，即⎩⎨⎧=+-=+-03202421321x x x x x x 3. 求下面非齐次方程组的一个解及对应的齐次方程组的基础解系1212341234522153223x x x x x x x x x x +=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 解对增广矩阵初等行变换化最简阶梯形[]1100510108211210110135322300012rA b -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦等价方程组为132348132x x x x x =--⎧⎪=+⎨⎪=⎩ 令30x =得方程组的一个解*[8,13,0,2]T η=-对应的齐次方程组的等价方程组为132340x x x x x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ 令31x =得基础解系[1,1,1,0]T α=-4. 设142536A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求使得方程组Ax b =有解的所有向量b . 解向量b 是A 的列向量的线性组合，即12121425,,36b k k k k R ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦5. 设12,,,s ηηη 是非齐次方程组b Ax =的s 个解向量，令112212,,,,s s s k k k k k k R ηηηη=+++∈证明:（1）η是非齐次方程组Ax b =的解的充要条件是121s k k k +++= ；（2）η是齐次方程组0Ax =的解的充要条件是120s k k k +++= . 证（1） 1122s s k k k ηηη+++ 是b Ax =的解⇔ ()1122s s A k k k b ηηη+++= ⇔ ()12s k k k b b +++= (≠b 0) ⇔ 121s k k k +++=（2） 1122s s k k k ηηη+++ 是0=Ax 的解⇔ ()11220s s A k k k ηηη+++= ⇔ ()120s k k k b +++= (≠b 0) ⇔ 120s k k k +++=6. 设4rank 3m A ⨯=, 321,,ηηη是非齐次方程组b Ax =的3个解向量, 并且T T )4,3,2,1( , )5,4,3,2(321=+=ηηη求方程组b Ax =的通解.解由3)(4=⨯m A r 知，知0=Ax 的基础解系只含一个向量，取T )6,5,4,3()(2321=+-=ηηηξ则ξ是0=Ax 的基础解系. 从而非齐次方程组b Ax =的通解为1x k ηξ=+，（k R ∈） 7. 设矩阵[]1234,,,=A αααα, 其中432,,ααα线性无关,3212ααα-=, 向量4321ααααβ+++=. 求线性方程组βx A =的通解.解由假设易知()3r A =，从而0=Ax 的基础解系只含一个向量. 由12312342200=-⇔-++=ααααααα得[1,2,1,0]T ξ=-为0=Ax 的基础解系.由1234+++=ααααβ得[1,1,1,1]T η=为βx A =的一个解. 于是βx A =的通解是,()x k k R ηξ=+∈习题四1. 设βααα,,,,21r 都是n 维向量，β可由r ααα,,,21 线性表示，但β不能由121,,,-r ααα 线性表示，证明：r α可由121,,,,r αααβ- 线性表示.证因为β可由r ααα,,,21 线性表示，设r r r r k k k k ααααβ++++=--112211又因为β不能由121,,,-r ααα 线性表示，所以0≠r k ，因此11111-----=r rr r r r k k k k k ααβα 即r α可由121,,,,r αααβ- 线性表示.2. 设123123111221,,1,1,,114a a a a a a a αααβββ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥======⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦确定常数a , 使向量组321,,ααα可由向量组321,,βββ线性表示, 但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示.解记],,[321ααα=A ，],,[321βββ=B ，由于{}123,,βββ不能由{}123,,ααα线性表示，所以3)(<A r ，从而0)2()1(2=+--=a a A得1=a 或2-=a .当1=a 时，1321βααα===，故321,,ααα可由321,,βββ线性表示，但2β不能由321,,ααα线性表示. 所以1=a 符合题意.当2-=a 时，由[]122112006033000033rBA ---⎡⎤⎢⎥−−→--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦知{}123,,ααα不能由{}123,,βββ线性表示，与题设矛盾. 综上，1=a .3. 设121,,,-m ααα （3≥m ）线性相关, m ααα,,32 线性无关, 讨论:（1）1α能否由132,,-m ααα 线性表示; （2）m α能否由121,,,-m ααα 线性表示.方法1 （1）因为m ααα,,32 线性无关，故132,,-m ααα 线性无关. 又因为121,,,-m ααα 线性相关，由唯一表示定理，1α可由132,,-m ααα 唯一表示.（2）设m α能由121,,,-m ααα 线性表示112211--+++=m m m αλαλαλα由（1），1α又能由132,,-m ααα 线性表示，故m α也能由132,,,-m ααα 线性表示，从而m ααα,,32 线性相关，这与假设矛盾. 故m α不能由121,,,-m ααα 线性表示.方法2 由假设{}121,,,1m r m ααα-<- ，{}23,,,1m r m ααα=-（1）由{}{}231231,,,,,m m m r r ααααααα-=≤ {}131,,11m r m ααα-≤+≤-得{}{}23123,,,,,1m m r r m ααααααα==-由唯一表示定理，1α能由132,,-m ααα 唯一表示.（2）由(1)，{}121,,,,1m m r m αααα-=- ，而{}121,,,1m r m ααα-<- 故{}{}121121,,,,,,,m m m r r ααααααα--≠m α不能由121,,,-m ααα 线性表示.4. 设nn RA ⨯∈, n R ∈α（0≠α）, 0=αk A , 01≠-αk A , 证明向量组{}21,,,,k A A Aαααα-线性无关.证设0112210=++++--ααααk k A k A k A k k上式两边左乘1-k A得010=-αk A k ，由于01≠-αk A，得00k =，因此011221=+++--αααk k A k A k A k上式两边左乘2-k A ，类似可推出01=k . 进而再推出210k k k -=== .5. 设nn RA ⨯∈,n R ∈321,,ααα（01≠α）, 如果11αα=A , 212ααα+=A , 323ααα+=A证明321,,ααα线性无关.证由题设23121)(,)(,0)(ααααα=-=-=-E A E A E A设0332211=++αααk k k两边左乘E A -得02312=+ααk k再左乘E A -得013=αk由01≠α得03=k ，往上逐一代入210,0k k ==. 故321,,ααα线性无关.6. 设向量组12:,,,m S ααα 线性无关, 1β能由S 线性表示, 而2β不能由S 线性表示,证明:（1）向量组122,,,,m αααβ 线性无关.（2）对R k ∈∀, 向量组1221,,,,m k αααββ+ 线性无关.证（1）由于12,,,m ααα 线性无关，而2β不能由12,,,m ααα 线性表示，故221,,,,βαααm 线性无关. 否则，由唯一表示定理，2β能由12,,,m ααα 唯一表示，与假设矛盾.（2）由（1）122rank[,,,,]1m m αααβ=+再由1β可由12,,,m ααα 线性表示，得1221122[,,,,][,,,,]cm m k αααββαααβ+−−→从而1221rank[,,,,]m k αααββ+= 122rank[,,,,]1m m αααβ=+1221,,,,m k αααββ+ 线性无关.7. 设12,,,,m αααβ nR ∈（0β≠）且0(1,2,,)T i i m βα== , 证明： (1) β不能由12,,,m ααα 线性表示；(2) 如果12,,,m ααα 线性无关, 则12,,,,m αααβ 也线性无关. 证 (1) 反证. 设β可由12,,,m ααα 线性表示1122m m k k k βααα=+++两边左乘Tβ得0Tββ=，这与0β≠矛盾.(2) 反证. 如果12,,,,m αααβ 线性相关，则由唯一表示定理，β由12,,,m ααα 唯一表示. 与(1)矛盾.8. 已知321,,ααα线性无关, 试问常数k m ,满足什么条件时, 向量组{}213213,,k m αααααα---线性无关？方法1设0)()()(313232121=-+-+-ααααααx m x k x整理得0)()()(332221113=-+-+-αααx m x x k x x x由于321,,ααα线性无关，故上式又等价于⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=+-000322131x m x x kx x x ⇔ 12310110001x k x m x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦312312,,αααααα---m k 线性无关的充要条件是上面方程组只有零解. 即1011010101kmk mk m --=-≠⇔≠- 方法2 记313232121,,ααβααβααβ-=-=-=m k . 写成矩阵形式[][]123123101,,,,1001k m βββααα-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦由例4.14，321,,βββ线性无关⇔101rank 10301k m -⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⇔1≠mk9. 已知向量组m ααα,,,21 （2≥m ）线性无关. 设111322211,,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=--m m m m m试讨论向量组m βββ,,,21 的线性相关性.证把题设写成矩阵形式[][]1212,,,,,,m m C βββααα=其中100111011011m m⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C 经计算12,1(1)0,m m C m +⎧=+-=⎨⎩若为奇数若为偶数同上一题完全类似，有两种方法. 结论是m βββ,,,21 线性无关⇔0C ≠⇔m 为奇数时 m βββ,,,21 线性相关⇔0C =⇔m 为偶数时10. 设,m n n p A B ⨯⨯是满足AB O =的两个非零矩阵，证明A 的列向量组线性相关, 且B 的行向量组线性相关.方法1 B 的列向量都是方程组0=Ax 的解，又B 为非零矩阵，说明0=Ax 存在非零解，所以n A r <)(，从而A 的列向量组线性相关.考虑0=TT A B ，又知TB 的列向量组即B 的行向量组线性相关.方法2 由例题，()()r A r B n +≤又()0,()0r A r B >>，所以(),()r A n r B n <<，于是A 的列向量组线性相关，且B 的行向量组线性相关.11. 证明：rank rank rank ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦A O AB O B .方法1 把,A B 用初等行变换化为阶梯矩阵，设12,00r rU U A B ⎡⎤⎡⎤−−→−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中12,U U 的行向量都是非零行向量. 则1122000000000000r r U U U U ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−→−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A O OB 显然上式右边也是阶梯形矩阵，从而1122rank rank rank rank U U U U ⎡⎤⎡⎤==+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦O A O A B O O B 的行数的行数方法2 设12rank ,rank r r ==A B ，A 有子式10r A ≠，B 有子式20r B ≠，因此⎡⎤⎢⎥⎣⎦A O OB 有子式1122000r r r r A A B B =≠，从而12rank r r ⎡⎤≥+⎢⎥⎣⎦A O O B又12rank rank rank r r ⎡⎤⎡⎤⎡⎤≤+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A O A O OB O B 所以12rank rank rank r r ⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦A O AB O B12. 设*A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵()2≥n , 证明：,()()1,()10,()1n r A nr A r A n r A n *=⎧⎪==-⎨⎪<-⎩证当n A r =)(时，0≠A ，由行列式的展开定理：E A A A =*，立即知A *是可逆矩阵，即()r A n *=.当1)(-<n A r 时，A 的所有1-n 阶子式都等于零，这时*A 是零矩阵，故0)(=*A r . 当1)(-=n A r 时，0=A ，由行列式的展开定理0==*E A A A由例题n A r A r ≤+*)()(()1r A *⇒≤再由1)(-=n A r 知A 有一个1-n 阶子式不等于零，故*A 至少有一个元素不为零，因此()0r A *>. 综上，1)(=*A r .13.设rank m n A m ⨯=, 证明存在矩阵m n B ⨯, 使m m n n m E B A =⨯⨯.方法1 由题设m A r n m =⨯)(和例题，对任意的mb R ∈，线性方程组Ax b =都有解. 特别地取b 为标准单位向量12,,,m m e e e R ∈ ，方程组m n i A x e ⨯=(1,2,,)i m =的解记为12,,,n m b b b R ∈ ，令()12,,,n m m B b b b ⨯=则m m n n m E B A =⨯⨯易知()n m r B m ⨯=证法 2 由题设m A r n m =⨯)(（此时m n ≤），故只用列变换就可将A 化为标准形，即存在可矩阵n Q 使得()m AQ E O =把Q 分块，()1n mQ B Q ⨯=，则m m n n m E B A =⨯⨯易知()n m r B m ⨯=14. 证明Sylvester 不等式:r()r()r()m n n p n ⨯⨯+-≤A B A B方法1 设r AB r t B r s A r p n n m ===⨯⨯)(,)(,)(由等价标准形定理知有可逆矩阵Q P ,使⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000sEPAQ 因此11120()()000sB E s B s PAB PAQ Q B B n s n s -⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦1()()()r AB r PAB r B ==112()()B t r B r Q B r B -⎡⎤===⎢⎥⎣⎦122()()()()()r B r B r AB r B r n s ≤+=+≤+-移项得r n t s ≤-+，即r()r()r()n +-≤A B AB15. 设rank m n n ⨯=P ，证明rank()rank =PA A . 证法1 记C PA =，则()()()r C r PA r A =≤再由习题13，存在矩阵M 使得MP E =. 在C PA =两边左乘M 得MC A =从而()()()r A r MC r C =≤综上，()()()r C r PA r A ==.证法2 设A 是m n ⨯阶矩阵，()r m =P ，由Sylvester 不等式()()()r A r P r A m =+-≤()()r PA r A ≤从而r()r()=PA A16. 设n 阶矩阵A 满足2A A =，证明()()r A r A E n +-= 证由()-=A E A O 和例题r()r()n +-≤A E A又[]()r()r ()r r()n ==+-≤+-E A E A A E A综上r()r()n +-=A E A .17. 证明满秩分解定理: 设rank m n A r ⨯=, 则A 有如下分解：m r r n A H L ⨯⨯=其中rank rank H L r ==.方法1 由等价标准形定理，存在可逆矩阵m P 和n Q 使得[]1111000rr r r n m rEE A P Q P E O Q O ----⨯⨯⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦令[]11,r rE H P L E O Q O --⎡⎤==⎢⎥⎣⎦则n r r m L H A ⨯⨯=，且显然有r L r H r ==)()(.方法2 不妨设A 的列向量组的极大无关组为12,,,r ααα ，并记矩阵[]12,,,m r r H ααα⨯=则A 的所有列向量都可由12,,,r ααα 线性表示，即存在矩阵r n L ⨯使得n r r m L H A ⨯⨯=又()()()()m r r n m r r r A r H L r H r r H r ⨯⨯⨯==≤≤⇒=同理()r L r =.18. 证明：r()r()r()r()ABC AB BC B ≥+-. 证设rank()n k B r ⨯=，B 的满秩分解为B MN =由Sylvester 不等式rank()rank[()()]rank()rank()r ABC AM NC AM NC =≥+- rank()rank()r rank()rank()rank()AMN MNC AB BC B ≥+-=+-19. 设12,V V 都是nR 的子空间, 令{}12121122|,V V V V ααααα+==+∈∈, {}1212|V V V V ααα=∈∈ 且证明12V V +与12V V 都是nR 的子空间. 举例说明{}1212|V V V V ααα=∈∈ 或不是nR 的子空间.证易（略）20. 证明基的扩张定理定理4.14：设1,,m αα 是nR 的一个线性无关组, m n <, 则存在n m -个向量1,,m n a α+ , 使得11,,,,,m m n αααα+ 成为n R 的一个基.证由于m n <，故12,,,m ααα 不是nR 的基，从而至少有一个向量1m +α不能由12,,,m ααα 线性表示. 则121,,,,m m +αααα 必线性无关（否则，由唯一表示定理得出矛盾）.如果1m n +=，则证毕. 否则，如果1m n +<，同上知，存在向量2m +α使得1212,,,,,m m m ++ααααα 线性无关. 依此类推，得证. 21. 若矩阵()ij n n A a ⨯=满足1(1,2,,)nii ij j j ia a i n =≠>=∑则称A 是严格对角占优矩阵. 证明严格对角占优矩阵必是可逆矩阵.证反证. 假设A 是不可逆矩阵, 则0Ax =有非零解, 记一个非零解为12(,,,)T n x x x x = . 再记1max 0k i i nx x ≤≤=>考察0Ax =的第k 个方程11220k k kn n a x a x a x +++=即1nkk k kj j j j ka x a x =≠=-∑两边取绝对值111nnnk kk kj j kkjkk kj j j j j kj kj kx a a x x aa a ===≠≠≠≤≤⇒≤∑∑∑这与假设矛盾. 因此A 是可逆矩阵. 22. 证明方程组TTA Ax A b =一定有解.证只需证方程组系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等. 由例题()T T T T Tr()r()r ,r (,)r()r()⎡⎤=≤=≤=⎣⎦A A A A A A b A A b A A故()T T T r()r ,=A A A A A b从而方程组b A Ax A T T =一定有解.23. 设=Ax 0与=Bx 0都是n 元的齐次方程组, 证明下面三个命题等价：（1）=Ax 0与=Bx 0同解；（2）rank rank rank ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A AB B ；（3）A 的行向量组与B 的行向量组等价. 证记（I ）=Ax 0，（II ）=Bx 0，（III ）=⎧⎨=⎩Ax Bx 0（1）⇒（2）由于（I ）的解都是（II ）的解，所以（I ）的解也都是（III ）的解. 又显然（III ）的解都是（I ）的解. 因此，（I ）与（III ）同解. 同样的道理，（II ）与（III ）也是同解的. 因此它们基础解系所含向量个数相等，即()()r r r n n n ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭A AB B于是()()r r r ⎛⎫== ⎪⎝⎭A AB B（2）⇒（3）命题（2）等价于()()()T T T T r r r ,==A B A B由定理4.3，TA 的列向组与TB 的列向量组等价. 即A 的行向量组与B 的行向量组等价.（3）⇒（1）这是显然.24．设B A ,均是n 阶的方阵，证明)()(B r AB r =的充要条件是方程组0)(=x AB 与方程组0=Bx 同解.证（⇒）显然0=Bx 的解必是0)(=x AB 的解. 又)()(B r AB r =，0=Bx 的基础解系也是0)(=x AB 的基础解系. 所以，方程组0)(=x AB 与方程组0=Bx 同解.（⇐）易25. 若n 阶矩阵[]121,,,,n n A αααα-= 的前1n -个列向量线性相关，后1n -个列向量线性无关，12n βααα=+++ ，证明：（1）方程组Ax β=必有无穷多解；（2）若T 12(,,,)n k k k 是Ax β=的任一解，则1n k =. 证（1）由12n βααα=+++ , 知(1,1,,1)T x = 是Ax β=的一个解. 又()1r A n =-，故Ax β=有无穷多解.（2）121,,,n ααα- 线性相关，存在不全为零的数121,,,n l l l - 使1122110n n l l l ααα--++=说明()121,,,,0Tn l l l - 是0Ax =基础解系. Ax β=的通解为()()121(1,1,,1),,,,0,,,1T TT n k l l l -+=⨯⨯26. 设线性方程组(I)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++m n mn m m n n bx a x a x a b x a x a x a 221111212111 (II)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++100221122*********m m m nm n n m m y b y b y b y a y a y a y a y a y a证明：方程组（I ）有解⇔方程组（II ）无解.证记方程组（I ）为=Ax b ，则方程组（II ）可写成T T 1⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A y b 0易知TTT r r()1r()11⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭A A A b0 这样(II)无解⇔TT T TT T r r 1r()1r 11⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⇔+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A A A b b b 0 ()T T r()r r()r ⎛⎫⇔=⇔=⇔ ⎪⎝⎭A A A A b b （I ）有解27. 设线性方程组(I) ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++m n mn m m n n bx a x a x a b x a x a x a 221111212111(II) ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++022111221111m nm n n m m y a y a y a y a y a y a(III) 02211=+++m m y b y b y b证明：方程组（I ）有解⇔方程组（II ）的解都是方程组（III ）的解.证记n m ij a A ⨯=)(，T n x x x x ),,,(21 =，T m y y y y ),,,(21 =，T m b b b b ),,,(21 =则三个方程可写为(I) b Ax =，(II) 0=y A T ，(III) 0=y b T因此(I)有解⇔],[)(b A r A r =⇔⎥⎦⎤⎢⎣⎡=T T Tb A r A r )((由例5.2)⇔（II ）的解都是（III ）的解28. 设齐次方程组123423412422000x x x x x cx cx x cx x +++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解空间的维数是2, 求其一个基础解系.解由dim N()r()n =-A A 知，系数矩阵的秩r()422=-=A .221212101222010110100(1)(1)r c c A c c cc c c c --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭由r()2=A ，得1c =. 原方程组的等价方程组为13234x x x x x =⎧⎨=--⎩ 取3410,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 得一个基础解系为T T 12(1,1,1,0),(0,1,0,1)=-=-αα29. 设四元齐次线性方程组(I) ⎩⎨⎧=-=+004221x x x x还知道另一齐次线性方程组(II)的通解为T T k k )1,2,2,1()0,1,1,0(21-+求方程组（I ）与（II ）的公共解.解法1 将方程组(II)的通解T T k k x )1,2,2,1()0,1,1,0(21-+=212122(,2,2,)T k k k k k k =-++代入组方程组(I)得到关于21,k k 的线性方程组2121212220020k k k k k k k k -++=⎧⇔+=⎨+-=⎩ 令k k =2，则k k -=1，故方程组(I)与方程组(II)的公共解为T T T k k k x )1,1,1,1()1,2,2,1()0,1,1,0(21-=-+=（R k ∈）解法2 易求方程组(I)的基础解系为T )0,1,0,0(1=α，T )1,0,1,1(2-=α其通解为3142x k k αα=+令两个方程组的通解相等T T k k x )1,2,2,1()0,1,1,0(21-+=T k )0,1,0,0(3=T k )1,0,1,1(4-+得关于4321,,,k k k k 的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-+=-+=+-0020********2142k k k k k k k k k k 解之得k k k k k k k k ===-=4321,,,因此两个方程组公共解为T T T k k k x )1,1,1,1()1,2,2,1()0,1,1,0(-=-+-=30. 设n n ij a A ⨯=)(, 0≠A , 证明：n r <时, 齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0022111212111n rn r r n n x a x a x a x a x a x a 的一个基础解系为T jn j j j A A A ),,,(21 =ξ，（n r j ,,1 +=）其中jk A 为A 的),(k j 元的代数余子式（n k j ,,2,1, =）.证由行列式展开定理02211=+++jn in j i j i A a A a A a （n r j r i ,,1;,,1 +==）所以j ξ（n r j ,,1 +=）是齐次方程组的解（共r n -个）.由0≠A ⇒齐次方程组系数矩阵的秩为r ，所以齐次方程组基础解系所含向量个数为r n -. 再由0≠A n A r =⇒)(*⇒*A 的r n -个行向量的转置n r ξξ,,1 +线性无关.综上可知，n r ξξ,,1 +是齐次方程组的一个基础解系.31. 设rank m n A r ⨯=, *η是非齐次方程组b Ax =的一个特解, 12,,,n r ξξξ- 是其对应的齐次方程组0=Ax 的一个基础解系. 证明{}****12,,,,n r ηηαηαηα-+++是Ax b =解集V 的一个极大无关组, 从而rank 1V n r =-+.证记{}****12,,,,n r T ηηαηαηα-=+++显然T 中的向量都是b Ax =的解，即T V ⊂.下面证明T 线性无关. 设0)()()(12211=++++++++---ηξηξηξηr n r n r n k k k k把上式整理为0)(1212211=+++++++++----ηξξξr n r n r n r n k k k k k k k上式两边左乘A 得0)(121=+++++--b k k k k r n r n由0≠b 得0121=+++++--r n r n k k k k往上代入得02211=+++--r n r n k k k ξξξ由r n -ξξξ,,,21 线性无关性得021====-r n k k k再往上代入又得01=+-r n k . 这说明T 是线性无关的向量组.下面再证明V 中的任一向量都可由T 线性表示. 由于V 中的任一向量都可写为r n r n k k k x --++++=ξξξη 2211即)()()()1(221121r n r n r n k k k k k k x ---+++++++----=ξηξηξηη这说明V 中的任一向量都可由T 线性表示. 综上，向量组T 是Ax b =解集V 的一个极大无关组，rank r()1S n =-+A .32. 已知T T T 111121,2221222,212,2(,,),(,,,),,(,,,)n n n n n n n b b b b b b b b b ===βββ是方程组1111221,222112222,221122,2200 0n n n nn n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的基础解系. 证明T T T 111121,2221222,212,2(,,),(,,,),,(,,,)n n n n n n n a a a a a a a a a ===ααα是方程组1111221,222112222,221122,22000n n n nn n n n n b x b x b x b x b x b x b x b x b x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的基础解系.证记矩阵T 1T 2T n ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ααA α ，T 1T 2T n ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ββB β则方程组（I ）和（II ）可分别写为（I ）=Ax 0 和（II ）=Bx 0（2n∈x R ）因为12,,,n βββ 是方程组=Ax 0的基础解系，所以r ()2n n n =-=A ，从而12,,,n ααα 线性无关. 而且，12,,,n βββ 线性无关，r()n =B . 因此，方程组=Bx 0的基础解系所含解向量的个数为2r()n n -=B .由假设()T T 12,,,n =⇒=⇒=A βββO AB O BA O()T 12,,,n ⇒=⇒=BA O B αααO知12,,,n ααα 是方程组=Bx 0的n 个线性无关的解. 因此，12,,,n ααα 就是方程组=Bx 0的一个基础解系.。

线性代数 4-1线性方程组

(1) 的两解之差是其导出组的解 1) 1)(1) (1)的两解之差是其的两解之差是其导出组导出组的解
导出组
γ 1,γ 2 ⇒ γ 1 − γ 2
γ ,η ⇒ γ + η
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2) (1) 的一解与其导出组的一解之和仍是 (1) 的解 2)(1) (1)的一解与其的一解与其导出组导出组的一解之和仍是的一解之和仍是(1) (1)的解
(2)
（2）通常称为（1）的导出方程组
机动目录上页下页返回结束
(1) 的系数矩阵与增广矩阵记为：方程组方程组(1) (1)的系数矩阵与增广矩阵记为： ⎛ a11 a12 ⋯ a1n ⎞ ⎜ ⎟ a a ⋯ a 2n ⎟ A = ⎜ 21 22 ⎜ ⋮ ⋮ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ am1 am2 ⋯ amn ⎠
结束
一、线性方程组的概念
⎧ a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = b1 ⎪ a x + a x +⋯ + a x = b ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 非齐次 ⎨ ⋮ ⎪ ⎪ ⎩am 1 x1 + am 2 x2 + ⋯ + amn xn = bm
(1)
齐次
⎧ a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = 0 ⎪ a x + a x +⋯ + a x = 0 ⎪ 21 1 22 2 2n n ⎨ ⋮ ⎪ ⎪ ⎩am 1 x1 + am 2 x2 + ⋯ + amn xn = 0
(r = n) α1 α2 αn 重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系 . 重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系.

齐次线性方程组的基础解系及其应用

齐次线性方程组的基础解系及其应用齐次线性方程组一般表示成AX=0的形式，其主要结论有：（1）齐次线性方程组AX=0一定有解，解惟一的含义是只有零解，有非零解的含义是解不惟一（当然有无穷多解）。

有非零解的充要条件是R(A)<n ；（2）齐次线性方程组AX=0解的线性组合还是它的解，因而解集合构成向量空间，向量空间的极大线性无关组，叫基础解系；（3）齐次线性方程组AX=0，当系数矩阵的秩r(A)小于未知量的个数n 时，存在基础解系，并且基础解系中含有n-r(A)个解向量；（4）对于齐次线性方程组AX=0，如果r(A)<n ，则任意n-r(A)个线性无关的解都是基础解系。

定理1:设A 是n m ⨯的矩阵，B 是s n ⨯的矩阵，并且AB=0，那么r(A)+r(B)n ≤分析：这是一个非常重要的结论，多年考试题与它有关。

同学们还要掌握本定理的证明方法。

证：设s B B B B ,,,21 的列向量为，则),,,(21s B B B B =，AB=0，即0),,,(21=s B B B A 所以 s j AB j ,,2,1,0 ==所以，s B B B ,,,21 都是齐次线性方程组AB=0的解r(B)=秩)(),,,(21A r n B B B s -≤所以 r(A)+r(B)n ≤评论：AB=0，对B 依列分块，时处理此类问题的惯用方法。

例1：要使,110,20121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ξξ都是线性方程组0=AX 的解，只要系数矩阵A 为(A)[-2 1 1 ] (B)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-110102 (C) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--110201 (D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---110224110 解：由答案之未知量的个数是3。

,110,20121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ξξ都是线性方程组0=AX 的解，并且21,ξξ线性无关，所以 1)(2)(3≤≥-A r A r ，从而，.只有（A ）是正确的。

第四讲线性代数

基础解系的概念
定义：齐次线性方程组 Ax = 0 的一组解向量：x1, x2, ..., xr
如果满足
① x1，x2，...，xr 线性无关； ②方程组中任意一个解都可以表示x1, x2, ..., xr 的线性组合，
那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系．
设 R(A) = r ，为叙述方便，不妨设 A 行最简形矩阵为
x1 b11c1 b c 1,nr nr
b11
b12
xr
br1c1
xr+1
c1
b c r ,nr nr
c1
br1 1
+
c1
br 2 1
+
xr + 2
c2
0
0
xn
cnr
0 0
b1,nr
+
cnr
x1 x2 5 x3 + 7 x4 0
3
4
根据前面的结论，导出组的基础解系为
x1
2 1
,
x2
3 0
0
1
于是，原方程组的通解为
3 4 1
c1x1 + c2x2
+*
c1
2 1
+
c2
3 0
+
1
0
0
1
0
§5 向量空间
封闭的概念
定义：所谓封闭，是指集合中任意两个元素作某一运算得到的结果仍属于该集合．例：试讨论下列数集对四则运算是否封闭？整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R
结论：若 x = x1, x = x2, ...,, x = xt 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，则 x = k1x1 + k2x2 + … + ktxt 还是 Ax = 0 的解.

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线性代数-向量组的线性相关性
定义2：给定向量组A:a→1,a→2,a→3,…,a→m和向量b→，如果存在一组数λ1,λ2,λ3,…,λm（不要求∑i=1mλi2≠0），使得b→=λ1a→1+λ2a →2+⋯+λma→m，则向量b→是向量组A的线性组合linear combination，称向量b→能由向量组A线性表示。

对于两个向量组：两个向量组A、B，若A组中每一个向量都可以由向量组B线性表示，则称向量组A可由向量组B线性表示。

等价向量组：若向量组A、B可以相互线性表示，则称两个向量组等价。

定理1：向量b→能由向量组A:a→1,a→2,…,a→m线性表示的充分必要条件为矩阵A=[a→1a→2⋯a→m]的秩等于矩阵A的增广矩阵[A∣b →]=[a→1a→2⋯a→mb→]的秩.
定理2：向量组B:b→1,b→2,…,b→l能由向量组A:a→1,a→2,…,a→m线性表示的充分必要条件为矩阵A=[a→1a→2⋯a→m]的秩等于矩阵[A∣B]=[a→1a→2⋯a→mb→1b→2⋯b→l]的秩，即R(A)=R(A,B).
P86定理3：设向量组B能由向量组A线性表示，则R(B)≤R(A).
P87定义4：给定向量组A，如果存在不全为0 的数k1,k2,…,km使k1a →1+k2a→2+⋯+kma→m=0，
一个向量线性相关的充要条件是a→=0.
包含零向量的向量组必线性相关.
如果一个向量组的部分向量线性相关，则该向量组线性相关。

如果一个向量组线性无关，则其中任一个部分向量组线性无关。

向量组A:a→1,a→2,a→3,…,a→m (m≥2) 线性相关的充要条件是，向量组A至少有一个向量可以由其余向量线性表示。

证明思路：必要性：不妨设λi≠0，移项即可线性表示出a→i。

充分性：a→i=λ1a→1+⋯+λma→m移项得λ1a→1+⋯+λma→m−a→i=0→.
设向量组A:a→1,a→2,a→3,…,a→m线性无关，而向量组B:a→1,a→2,a→3,…,a→m,b→线性相关，则向量b→一定可以由向量组A线性表示，且表示式唯一。

证明：可表性：k1a→1+⋯+kma→m+kb→=0→，显然k≠0，移项立得b →的线性表示。

唯一性：假设b→关于向量组A存在两种表示式，对两个式子作差，消去b→，结合A的线性相关性立得。

P88定理4：向量组A线性相关的充分必要条件是R(A)<m；向量组A线性无关的充分必要条件是R(A)=m.
证明：必要性：由线性相关可知：存在不全为0 的数k1,k2,…,km，使得k1a1+k2a2+⋯+kmam=0.
我们不妨设km≠0，则a→m=−k1kma→1−⋯−km−1kma→m−1.
则对矩阵A作列变换，一定可以使第m列变为0. 则R(A)≤m.
充分性：我们设R(A)=s<m，一定可以通过初等列变换把A化为列梯形矩阵，即存在可逆矩阵Q=(qi,j)m×m使得AQ=(Cn×mOn×(m−s)).
那么我们只看上述矩阵的最后一列0一定有q1,ra→1+q2,ra→2+⋯
+qm,ma→m=0且系数不全为0。

设A=(ai,j)n×m的秩R(A)=r≤m，且A的某r列（行）所组成的矩阵含有不等于0 的r阶子式，则此r个列（行）向量线性无关。

P91定义5：设有向量组A，如果在A中能选出r个向量a→1,a→2,…,a →r，满足
(i) 向量组A0:a→1,a→2,…,a→r线性无关；
(ii) 向量组A中任意r+1个向量（如果A中有r+1个向量的话）都线性相关，
向量组A的一个部分组，且满足
(i) 向量组A0线性无关；
(ii) 向量组A的任一向量都能由向量组A0线性表示，
向量组的任一向量均可由极大无关组线性表示，且表示方法唯一。

向量组与它的任意一个极大无关组等价。

一个向量组的各个极大无关组之间是等价的。

两个向量组等价的充要条件是一组的一个极大无关组和另一组的一个极大无关组等价。

一个向量组的各个极大无关组所含向量的个数相同。

P93定理6：矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩。

P95定理2’：向量组b→1,b→2,⋯,b→l能由向量组a→1,a→2,⋯,a→m线性表示的充分必要条件是R(a→1,a→2,⋯,a→m)=R(a→1,a→2,⋯,a→m,b→1,b→2,⋯,b→l).
P95定理3’：若向量组B能由向量组A线性表示，则RB≤RA.
线性方程组的解的结构
P96定义：设有齐次线性方程组{a11x1+a12x2+⋯
+a1nxn=0,a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=0,⋯⋯⋯⋯am1x1+am2x2+⋯
+amnxn=0, (*)
记A=[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮am1am2⋯amn]，x=[x1x2⋮xn]，
则(*) 式可以写成向量方程Ax=0.
P96性质1（累加）：若x=ξ1,x=ξ2为向量方程Ax=0的解，则x=ξ1+ξ2也是向量方程Ax=0的解。

P97性质2（数乘）：若x=ξ1为向量方程Ax=0的解，k为实数，则x=k ξ1也是向量方程Ax=0的解。

把向量方程Ax=0的全体解所组成的集合记作S，如果能求得解集S的一个最大无关组S0:ξ1,ξ2,⋯,ξt，那么方程的任一解都可由最大无关
组S0线性表示；另一方面，最大无关组S0的任何线性组合x=k1ξ1+k2ξ2+⋯+ktξt（k1,k2,⋯,kt为任意实数）都是方程的解。

P99定理7：设m×n矩阵A的秩R(A)=r，则n元齐次线性方程
组Ax=0的解集S的秩RS=n−r.
如果n元非齐次线性方程组Ax=b有解，那么它的解唯一的充分必要条件是：它的导出组（齐次线性方程组）Ax=0只有零解。

P102性质3：设x=η1,x=η2是非齐次线性方程组Ax=b的解，则x=η1−η2为对应的齐次线性方程组Ax=0的解。

P102性质4：设x=η是非齐次线性方程组Ax=b的解，x=ξ为对应的齐次线性方程组Ax=0的解，则x=ξ+η仍是Ax=b的解。

例2. 齐次线性方程组{x2+ax3+bx4=0−x1+cx3+dx4=0ax1+cx2−
ex4=0bx1+dx2+ex3=0的一般解以x3,x4作为自由未知量，
(1) 求a,b,c,d,e满足的条件.
由条件知，方程组系数矩阵的秩为2，系数矩阵
A=(01ab−10cdac0−ebde0)∼(01ab−10cd000ad−e−bc00−(ad−e−bc)0)∴ad−e−bc=0.
(2) 求齐次线性方程组的基础解系.
(c,−a,1,0)T, (d,−b,0,1)T.。