最大无关组
线代§4[1].3-4
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一、最大线性无关向量组
定义1: 设有向量组A, 如果在A中能选出 r 个向量 A0: 1, 2,· · · , r, 满足 (1)向量组A0: 1, 2,· · · , r 线性无关; (2)向量组A中任意r+1个向量(如果存在)都线性相 关. 则称向量组A0是向量组A的一个最大线性无关向量 组(简称最大无关组). 向量组的秩: 最大无关组所含向量的个数 r , 记作RA. 规定:只含零向量的向量组没有最大无关组, 其秩为0. 说明(1) 最大无关组不唯一. (2) 向量组与它的最大无关组是等价的.
性质1. 若x = 1, x = 2为Ax = 0的解, 则 x =1 + 2也是 Ax = 0的解. 性质2. 若x = 1为Ax = 0的解, k为数, 则 x = k1 也是 Ax = 0的解. 解集S :齐次方程组 Ax = 0 的全体解所构成的集合.
二、基础解系及其求法
1. 定义: Ax = 0的解集的最大无关组S0 ：1, 2, · · · , t 称为齐次线性方程组Ax = 0的基础解系. 若向量组S0：1, 2, · · · ,t 为Ax = 0的一组基础解系, 则 Ax = 0的通解可表示为: x = k1 1 + k2 2 + · · · + kt t 其中k1, k2, · · · , kt为任意常数.
定理2: 向量组B: 1, 2, · · · , s能由向量组A: 1, 2, · · · , m线性表示的充分必要条件是 R(1, 2, · · · , m)=R(1, 2, · · · , m, 1, · · · , s). 推论: 向量组A: 1, 2,· · · , m与向量组B: 1, 2, · · · , s 等价的充分必要条件是 R(1,2,· · · ,m)=R(1,2,· · · ,s)=R(1,2,· · · ,m,1,2,· · · ,s).
4.3 向量组的秩和最大无关组
设1, 2, …, n为Rn的一组基，则
Rn = L(1, 2, …, n)
返回
又，
Rn = L(ε1, ε2, …, εn)
Rn 的标准基
Rn, 1, 2, …, n为一组基， = x11+ x22+ …+ xnn 在基1, 2, …, n下的坐标 一个向量在确定基下的坐标是唯一的(坐标的唯一性).
矩阵A的列秩：A的列向量组的秩；
矩阵A的行秩：A的行向量组的秩.
返回
定理2 矩阵的 行秩 = 列秩 = 矩阵的秩.
证 设 R(A) = r,
A 行初等变换 B(行阶梯形矩阵),
B有 r 个非零行，B的r 个非零行的非零首元素所在 的r 个列向量线性无关， 为什么？ 为B的列向量组的最大无关组. 为什么？
1, 2, …, r 可由1, 2 , …, s线性表出,有
R(B)=R(B, A) 则R( A) ≤ R(B) ≤ s
1, 2, …, r 线性无关，则 R(A)=r
r≤ s
返回
两向量组秩的关系： 若向量组(Ⅰ)可由组(Ⅱ)线性表出，则 组(Ⅰ)的秩 r1≤ 组(Ⅱ)的秩 r2. 证 设 1 ,..., r1 为(Ⅰ) 的最大无关组， 1 ,..., r2 为(Ⅱ) 的最大无关组. 组(Ⅰ)可由组(Ⅱ)线性表出,所以
4.3
向量组的秩与最大无关组
一、向量组的秩与最大无关组的概念
二、Rn 的基、维数与坐标
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一、向量组的秩与最大无关组的概念
例1 1 =(1,0,1), 2 =(1,-1,1), 3 =(2,0,2) 。
1, 2, 3 线性相关. 1, 2 线性无关； 2 ，3 线性无关，
向量组的秩向量组的最大无关向量组向量组的秩
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1 0 A~ 0 0
1 2 1
4 1 1 1 0 , 0 0 1 3 0 0 0 0
§3 向量组的秩
★向量组的最大无关向量组 ★向量组的秩
请同学们注意向量组的秩与矩阵的秩,以及向 量组的最大无关向量组与矩阵的最高阶非零子式 的密切联系
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向量组的秩
定义5
A0 : 1 , 2 ,
若向量组 A中有r 个向量组成的向量组 , r , 满足
(1) 向量组A0 线性无关； (2) 向量组A 中任意 r +1 个向量（如果存在 的话）都线性相关，那么称 A0 是向量组 A 的一个最 大无关向量组，简称最大无关组；最大无关组所含向 量个数 r 称为向量组 A 的秩。 规定：只含零向量的向量组的秩为 0 。
2 4 . 4 9
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2 3 5 1 0 Ex.3 设A 2 6 2 0 2 , 3 6 0 4 3
求A 的列向量组的一个最大无关组及A 的其余列向量 用它们线性表示的表达式。 解
对A 施行初等行变换变为行阶梯形矩阵。
r2 r1
可知a1 , a2 ; a2 , a3 ; a1 , a3都是向量组a1 , a2 , a3 的最大无关组 .
但向量组的秩不变。
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矩阵的秩与向量组的秩的关系是:
定理4 矩阵的秩等于它的行向量组的秩，也 等于列向量组的秩。 证 设A (a1 , a2 ,, am ), R( A) r , 并设 r 阶子式 Dr ≠0 ,根据定理2，由Dr ≠0 知Dr 所在的 r 列线性无关； 又由 A 中所有 r + 1阶子式均为零，知 A 中任意 r + 1 个列向量都线性相关。 因此Dr 所在的 r 列是 A 的列向量组的一个最大 无关组，所以列向量组的秩等于 r 。 类似可得矩阵 A 的行向量组的秩也等于R(A)。
线性代数4-3
那么称向量组A0 是向量组 A 的一个最大线性无关 向量组 （简称最大无关组） ; 最大无关组所含向量个 数 r 称为向量组A 的秩，记作 A 。 R 只含零向量的向量组没 有最大无关组，规定它 的秩 为0。
1
矩 阵 的 秩 与 向 量 组 秩 的 关 系
定理１ 矩阵的秩等于它的列向 量组的秩，也等于
a1 a2 a3 a4 a5
2 4 4 9
~
1 r 0 0 0
b1 b2 b3 b4 b5
0 1 0 4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0
易知 a1 x1 a2 x2 a3 x3 a4 x4 a5 x5 o 与 b1 x1 b2 x2 b3 x3 b4 x4 b5 x5 o 同解, 故 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 与 b1 , b2 , b3 , b4 , b5有完全相同的线性关系
证一 设向量组 A 与向量组B 合成向量组C，
因为B能由A线性表示, 故 RA RC ,
而 RA RB , 故 RA RB RC ,
由定理 2 的推论可知，A 组与 B 组等价。
11
例2 设向量组 B 能由向量组A 线性表示 且它们的 ,
秩相等，证明向量组 与向量组 B 等价. A 证二 设两个向量组的秩都为，并设 A 组和 B 组的 r
说明
最大无关组不唯一; 若向量组 A 的秩为 r , 则 A 中任意 r 个线性无关的 向量都是A的一个最大无关组.
3
例1
全体 n 维向量构成的向量组记 R ，求 R 的 作
n n n
一个最大无关组及 的秩. R
解 因为n维单位坐标向量构成的 向量组
E : e1 , e2 , , en 是线性无关的， 知 R n 中的任意n 1 个向量都 又
最大线性无关组
第十二讲 向量组的最大线性无关组一、考试内容与考试要求考试内容向量组的最大线性无关组；等价向量组；向量组的秩；向量组的秩与矩阵的秩之间的关系；向量的内积；向量空间及其相关概念；n 维向量空间的基变换和坐标变换；过渡矩阵；规范正交基．考试要求（1）理解向量组的最大线性无关组的概念，会求向量组的最大线性无关组；（2）理解向量组的秩的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系，会求向量组的秩；（3）理解向量组等价的概念；（4）了解内积的概念，了解规范正交基；（5）了解n 维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念；（6）了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵．注 考研数学二、三不考向量空间等概念，对数学一的考生要求掌握向量空间的有关内容．二、知识要点引入 当方程组Ax o =（Ax b =）有无穷解时，可以用有限个解表示出来，这有限个解就是解集的基础解系，一个基础解系也就是一个最大线性无关向量组．向量组的秩：是这有限个解的个数，也就是最大无关组中向量的个数，或基础解系中解向量的个数．复习 首先简单复习本讲需要用到的一些知识。
线性表示：1122m m k k k βααα=+++L ，对12,,m k k k L 没有要求，且()(,)()R A R A b m ==<线性相关：1122m m k k k o ααα+++=L ，存在12,,m k k k L 不全为零；线性无关：1122m m k k k o ααα+++=L ，12,,m k k k L 只能全为零．n 维向量组12,,,m αααL 0,0,A m n A m n ⎧≠⎧⎪⎪⎨≠=⎪⎩⎪⎨≠⎧⎪⎪⎨⎪==⎪⎩⎩R(A)=m,m n 线性无关:Ax=o 有唯一零解R(A)<m,m n 线性相关：Ax=o 有非零解 1．定义定义1 设有向量组（I ）：12,,,,r m ααααL L ，满足（1）有r 个向量线性无关，不妨设向量组T ：12,,r αααL 线性无关；（2）向量组（I ）中任意1r +个向量（若有的话）都线性相关．称向量组T 是向量组（I ）的一个最大线性无关向量组（也称最大无关组或极大线性无关向量组）．最大无关组所含向量的个数r 称为向量组的秩，记作R 或12(,,,)m R αααL ．例：向量组10⎛⎫⎪⎝⎭，01⎛⎫ ⎪⎝⎭，23⎛⎫ ⎪⎝⎭是线性相关的． 但1T ：10⎛⎫ ⎪⎝⎭，01⎛⎫ ⎪⎝⎭；2T ：01⎛⎫ ⎪⎝⎭，23⎛⎫ ⎪⎝⎭；3T ：10⎛⎫ ⎪⎝⎭，23⎛⎫ ⎪⎝⎭都是线性无关，都是最大无关组．定义1有等价的描述形式如下：定义1' 设有向量组（I ）：12,,,,r m ααααL L ，满足（1）有r 个向量线性无关，不妨设向量组T ：12,,,r αααL 线性无关；（2）向量组（I ）中任一向量都能由向量组T 线性表示；称向量组T 是向量组（I ）的一个最大线性无关向量组．证明 由定义1证明定义1'．在向量组（I ）中任取一个向量α，若α在12,,r αααL 中，则α可由所在的向量组线性表示，如11001r r r αααα-=+++L ．若α不在12,,,r αααL 中，由12,,,r αααL 的线性无关性及向量组（I ）中任意1r +都线性相关性，知α可由12,,,r αααL 线性表示．由定义1'证明定义1自己证明． 2．注意（1）向量组最大无关组一般不惟一；（2）最大无关组中所含向量个数相同，即向量组的秩惟一；（3）若向量组线性无关，它的最大无关组是惟一的，就是它本身；（4）判断向量组的线性相关与线性无关性的方法：① 由Ax o =的解是有惟一零解或有非零解来判断向量组的线性相关与线性无关性： n 维向量组12,,,m αααL ⎧⎨⎩线性无关:Ax=o 有唯一零解线性相关:Ax=o 有非零解② 由向量组的秩来判断来判断向量组的线性相关与线性无关性：若12(,,,)m R m ααα<L ，向量组线性相关；若12(,,,)m R m ααα=L ，向量组线性无关．（5）矩阵的等价与向量组的等价有区别：两个矩阵的等价是它们同型且秩相等．而两个向量组的等价是它们的秩相等且能相互线性表示．但应注意，若矩阵A 与矩阵B 行（或列）等价，则A 的行（或列）向量组与B 的行（或列）向量组等价。
§3.4 向量组的最大无关组与秩
2 1 1 1 2
A
(a1
,
a2
,
a3
,
a4
,
a5
)
1 4
1 6
2 2
1 2
4
4
3
6 9
7 9
思考：如何把 a3, a5 表示成a1, a2, a4 的线性组合？
思路1：利用P.83 定理1 的结论
向量 b 能由 向量组 A 线性表示
线性方程组 Ax = b 有解
令 A0 = (a1, a2, a4) 求解 A0x = a3
注: 1. 只含零向量的向量组没有最大无关组. 规定它的秩为0.
2. 向量组{1,,m } 线性无关 R(1,,m ) = m . 3. 向量组{1,,m } 线性相关 R(1,,m ) < m .
例： 全体 n 维向量构成的向量组记作 Rn，求 Rn 的一 个最大无关组及 Rn 的秩．
1 0 L
列向量组的最大无关组具体求法: 将矩阵 A 用
初等行变换化为行阶梯形矩阵 B, 即可找出 B 的最 高阶非零子式所在的列, 其对应于A 所在的列向量 就是A的列向量组的一个最大无关组.
三、向量组秩的一些结论
§3.2的定理3.6中矩阵的秩均可改为向量组的秩.
定理3.14 向量组 1, 2, , s 能由向量组 1, 2, , m 线性表示的充分必要条件是 R(1, 2, , m ) =R(1, 2, , m, 1, 2, , s) .
0
00
0
于是 Ax = 0 与 Bx = 0 ，即 x1a1 + x2a2 + x3a3 + x4a4 + x5a5 = 0
x1b1 + x2b2 + x3b3 + x4b4 + x5b5 = 0
最大线性无关组
第十二讲向量组的最大线性无关组一、考试内容与考试要求考试内容向量组的最大线性无关组；等价向量组；向量组的秩；向量组的秩与矩阵的秩之间的关系；向量的内积；向量空间及其相关概念；n 维向量空间的基变换和坐标变换；过渡矩阵；规范正交基．考试要求（1）理解向量组的最大线性无关组的概念，会求向量组的最大线性无关组；（2）理解向量组的秩的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系，会求向量组的秩；（3）理解向量组等价的概念；（4）了解内积的概念，了解规范正交基；（5）了解n 维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念；（6）了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵．注考研数学二、三不考向量空间等概念，对数学一的考生要求掌握向量空间的有关内容．二、知识要点引入当方程组Ax o（Ax b ）有无穷解时，可以用有限个解表示出来，这有限个解就是解集的基础解系，一个基础解系也就是一个最大线性无关向量组．向量组的秩：是这有限个解的个数，也就是最大无关组中向量的个数，或基础解系中解向量的个数．复习首先简单复习本讲需要用到的一些知识。
线性表示：k1 1 k2 2 L k m m ，对k1,k2,L k m 没有要求，且R（A） R（A,b）（）m线性相关：k1 1 k2 2 L k m m o，存在k1,k2,L k m不全为零；线性无关：k1 1 k2 2 L k m m o，k1,k2,L k m只能全为零．1．定义定义 1 设有向量组（ I ）：1, 2,L r ,L , m ，满足2）向量组（ I ）中任意 r 1 个向量（若有的话）都线性相关．称向量组 T 是向量组（ I ）的一个最大线性无关向量组（也称最大无关组或极大线性无关向（ 1）有 r 个向量线性无关，不妨设向量组 T ： 1, 2,L , r 线性无关； （ 2）向量组（ I ）中任一向量都能由向量组 T 线性表示；称向量组 T 是向量组（ I ）的一个最大线性无关向量组．证明 由定义 1证明定义 1 ．在向量组（ I ）中任取一个向量 ，若 在 1, 2,L r 中，则 可由所在的向量组线 性表示， 如 r 0 1 L 0 r 1 1 r ．若 不在 1, 2,L , r 中，由 1, 2,L , r 的线性 无关性及向量组（ I ）中任意 r 1 都线性相关性，知可由 1, 2,L , r 线性表示．由定义 1 证明定义 1 自己证明． 2．注意1）有 r 个向量线性无关，不妨设向量组T ： 1, 2,Lr线性无关； n 维向量组2,L , m线性无关 :Ax=o 有唯一零解线性相关： Ax=o 有非零解 R(A)=m,m n A 0,mR(A)<m,mA 0,m量组）．最大无关组所含向量的个数 r 称为向量组的秩， 记作 R 或R( 1, 2,L , m ) ． 例：向量组是线性相关的．组．但 T 1： 10都是线性无关，都是最大无关定义 1 有等价的描述形式如下：定义 1 设有向量组（ I ）： 2,L r ,L , 满足1）向量组最大无关组一般不惟一；2）最大无关组中所含向量个数相同，即向量组的秩惟一； 3）若向量组线性无关，它的最大无关组是惟一的，就是它本身； 4）判断向量组的线性相关与线性无关性的方法：① 由 Ax o 的解是有惟一零解或有非零解来判断向量组的线性相关与线性无关性：线性无关 :Ax=o 有唯一零解 线性相关 :Ax=o 有非零解② 由向量组的秩来判断来判断向量组的线性相关与线性无关性：若 R （ 1, 2,L , m ） m ，向量组线性相关；若 R （ 1, 2,L , m ） m ，向量组线性无 关．（5）矩阵的等价与向量组的等价有区别：两个矩阵的等价是它们同型且秩相等．而两 个向量组的等价是它们的秩相等且能相互线性表示．但应注意，若矩阵 A 与矩阵 B 行（或 列）等价，则 A 的行（或列）向量组与 B 的行（或列）向量组等价。
极大无关组是什么意思
极大无关组是什么意思
极大无关组言简意赅，就是一个向量组中所有线性无关向量的集合，剩下的就是线性相关的，这个线性相关不是指它们线性相关，是指剩下的向量都可以由无关组的向量线性表示出来。
其内涵有：
1、只含零向量的向量组没有极大无关组。
2、一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。
3、极大线性无关组对于每个向量组来说并不唯一。
但是每个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量。
4、齐次方程组的解向量的极大无关组为基础解系。