如何解一元二次方程

如何解一元二次方程

1、直接开平方法：

直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±n .

例1．解方程（1）(3x+1)2+2=7 （2）9x 2-24x+16=11

分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。

（1）解：(3x+1)2+2=7

∴(3x+1)2=5

∴3x+1=±5 (注意不要丢解)

∴x= －1±5

∴原方程的解为x 1=－1+5，x 2=－1－5

（2）解： 9x 2-24x+16=11

∴(3x-4)2=11

∴3x-4=±11

∴x= 3

114±

∴原方程的解为x 1=

3，x 2=3 2．配方法：用配方法解方程ax 2+bx+c=0 (a≠0)

先将常数c 移到方程右边：ax 2+bx =－c

将二次项系数化为1：x 2+b a x=c a

- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x 2+b a x+(2b a )2 =－c +(2b a

)2 方程左边成为一个完全平方式：(x+2b a

)2=2244b ac a -

当b 2

－4ac≥0时，x+ 2b a

∴ (这就是求根公式) 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b 2-4ac 的

值，当b 2

-4ac≥0时，把各项系数a, b, c 的值代入求根公式就可得到方程的根。

4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4．用因式分解法解下列方程：

(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x 2+3x=0

(3) 6x 2+5x-50=0 (选学）

注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。

小结：

一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。

直接开平方法是最基本的方法。

公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。

配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法

解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。