曲面与空间曲线的方程

第 2 章曲面与空间曲线的方程

本章教学目的：通过本章学习，使学生理解空间坐标系下曲面与空间曲线方程之定义及

表示，熟悉空间中一些特殊曲面、曲线的方程。

本章教学重点：空间坐标系下曲面与空间曲线方程的定义。

本章教学难点：(1)空间坐标系下母线平行于坐标轴的柱面方程与平面坐标系下有关平面

曲线方程的区别；

( 2)空间坐标系下，空间曲线一般方程的规范表示。

本章教学内容：

§ 1 曲面的方程

普通方程：

1 定义：设工为一曲面，F(x, y, z) =0为一三元方程，空间中建立了坐标系以后，

若工上任一点P(x,y,z)的坐标都满足F(x，y, z)=0，而且凡坐标满足方程的点都在曲

面工上，则称F (x, y, z) =0为工的普通方程，记作

2：F (x, y, z) =0.

不难看出，一点在曲面2上〈一〉该点的坐标满足工的方程，即曲面上的点与其

方程的解之间是一一对应的•••》的方程的代数性质必能反映出2的几何性质。

2 三元方程的表示的几种特殊图形：空间中任一曲面的方程都是一三元方程,反之,是否任一三

元方程也表示空间中的一个曲面呢？一般而言这是成立的,但也有如下特殊情况

1 ° 若F( x, y, z) =0 的左端可分解成两个(或多个)因式F1( x, y, z)

与F2 (x, y, z)的乘积，即 F (x, y, z)= F i (x, y, z) F2 (x, y, z),贝U

F (x , y , z) =0〈一〉F i (x , y , z) =0 或F2 (x , y , z) =0 ,此时

F( x y z) =0 表示两叶曲面1与 2 它们分别以F1( x y z) =0 F2( x y z) =0 为其方程此时称F(x y z)=0 表示的图形为变态曲面。如

F(x,y,z) xyz 0

即为三坐标面。

2 0方程F(x,y,z) (x2 y2 z2) x i2 y 2 2 (z 3)2 0

仅表示坐标原点和点( i 2 3)

3 °方程F(x, y,z) 0可能表示若干条曲线如

F(x, y,z) (x2 y2)(y2 z2) 0

即表示z 轴和x 轴

°方程F(x, y,z) 0不表示任何实图形如

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F(x, y,z) x2 y2 z2 1 0,

此时，称F(x,y,z) 0所表示的图形为虚曲面

3 求法：

例1:求平行于坐标面的平面的方程。

解：设平行于xoy面的平面为n，n与z轴的交点为A 0,0, k，则P(x, y, z) €n〈一〉A0P,e,e2共面

x y z k

1 0 0 =0 即z k 0.

0 1 0

同理，平行于其他两坐标面的平面的方程为y k,z k.

例2 :求作两定点A (1 , -2 , 1), B ( 0, 1, 3)等距离的点的轨迹。解：

设所求轨迹为"，则

.(x 1)2(y 2)2(z 1)2 = ；x2(y 1)2(z 3)2〈一〉-2x+4y-2z+6=-2y-6z+10

〈一〉2x-6y-4z+4=0 〈一〉x-3y-2z+2=0

即所求轨迹为x-3y-2z+2=0

例3:求半径为R的球面的方程

解：建立直角坐标系｛0; l,j,k｝，并设球心M0(a,b,c ),则P (x,y,z ) 球面X〈一〉l M 0P I =R〈一〉

2 2 2 2

(x a) (y b) (z c) R

特别地，若M (a,b,c )为坐标原点，则球面工的方程为

(图 2.1 )

x 2+y2+z2=R2

综合上述条例，可归纳出求曲面方程的一般步骤如下：

1 。建立适当的坐标系；(方程易求且求出的方程简单)

2 。设动点》坐标为P (x,y,z ),并根据已知条件，推出曲面上的点的坐标应满

足的方程；

3 。对方程作同解化简。

:参数方程：

定义1:设D R2为有序数对集，若对任意(u, v)€ D,按照某对应规则，有唯一确定的矢量r与之对应，称这种对应关系为D上的一个二元矢函数，记作r=r ( u, v), ( u, v)€ D

定义2 :设工为一曲面，r=r ( u, v), ( u, v)€ D为一二元矢函数，在空间坐标系下，若对任意(u, v)€ D ,径矢OP =r ( u, v)的终点P总在曲面工上，

x(u,v) y(u,v)

z(u,v)

解：为简单起见，设坐标原点位于球心，球面半径为

对任意M( x,y,z )€球面X；令P为M在并令

=Z( OP , k),则

r= OM = OP PM

r=r

而且对任意P€X,也必能找到(u , v) €D,使OP =r (u, v),则称

若令r

(u , v )为》的矢量式参数方程，记作X:

(u , v) ={x (u , v), y

r=r (u,

(u, v), z (u, v) },

v) , ( u, v )€ D。

则称

为工的坐标式参数方程，记作X:

x(u,v)

y(u,v)(u, v)€ D

(u, v)

R,如图y面

上投影,

I OP I cos i+ I OP I sin j+ I OM I cos k