连续型随机变量的分布与例题讲解
连续型随机变量PPT课件
20
1
x
e 10 dx
1
x
e 10
20
10 1 0
10 10
e1 e2 0.2325
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33
3．正 态 分 布
如果连续型随机变量X 的密度函数为
f x
1
e
x 2
2 2
2
x
其中 ， 0为参数
则称随机变量X 服从，参数为 ， 2 的
正态分布．记作
f (x)
下面验证：
x
f x dx
1
e
x 2
2 2
dx
1
2
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密度函数的验证(续)
下面验证：
f xdx
1
x 2
e 2 2 dx 1
2
首先验证：
x dx
1
x2
e 2 dx 1
2
或验证：
x2
e 2 dx 2
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P 1或 2
11 dx 6 1 dx
3 9
29
24 2 99 3
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2．指 数 分 布
如果随机变量 X 的密度函数为
f
x
e
x
x0
0 x0
其中 0为常数，则称随机变量服从 参数为的指数分布．
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密度函数的验证
设X ~ 参数为的指数分布，f x是其密度函数，则有：
例 7：
设打一次电话所用的时间 X（单位：分钟）是
以 1 为参数的指数随机变量．如果某人刚
10 好在你前面走进公用电话间，求你需等待10分 钟到20分钟之间的概率．
随机变量及其概率分布典型例题
概率与数理统计课件
天津科技大学理学院数学系
第8讲 随机变量及其概率分布习题课
第8讲 随机变量及其概率分布习题课
教学目的：通过对随机变量(一维,二维为主)及其概率分布的归纳总结, 及典型
知识要点回顾：
1. 一维随机变量及其分布函数. 2. 离散型随机变量及其概率分
5. 二维随机变量(X,Y)及其分布
函数F(x,y).
6. 二维随机变量的边际分布函
布列.
3. 连续型随机变量及其概率密
数及边际概率密度.
7. 随机变量的独立性. 8. 随机变量函数的分布.
度函数.
4. 常用的随机变量.
1 1
0 0
e
x y
dxdy 1 e1 .
2
随机变量及其概率分布典型例题解析
X \Y 7.设二维随机变量 X , Y 的联合概率分布为 1 2 1 1
5 20 3 20 2 20 3 20
返回
2
6 20 1 20
.求(1) X Y ; (2) X Y 的概率分布.
1 1 P X k 2 1 k 3. 3 ,故 P X k 3 ,即 F k 3 ,从而
5) 3 x 6时，F x dx
dx 0dx 1.
6
0 x
1
解
1) 1
f x, y dxdy
题的分析讲解,使学生对概部分内容有较深的理解与认识.
教学重点：随机变量(离散型,连续型),分布函数,六个重要的分布(两点, 二
连续型随机变量及其概率密度
G
f (x)
o
x
要注意的是，密度函数 f (x)在某点处a 的高度，并不反映X取值的概率. 但是，这 个高度越大，则X取a附近的值的概率就越 大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反 映了概率集中在该点附近的程度.
若不计高阶无穷小，有：
P{x X x x} f (x)x
指数分布常用于可靠性统计研究 中，如元件的寿命.
若X 服从参数为 θ 的指数分布, 则其分布函数为
F(x)PXຫໍສະໝຸດ x 1 e x /
,
0,
x0 其它
事实上 ,
F
x
x
f
t
dt
当
x 0 时, F x
x f t dt
x
0dt
当
x 0 时, F x
x f t dt
0
0dt
x
1
c l
Pc X c l
1 dx
l
c ba ba
如果随机变量 X 服从
区间 a， b上的均匀分布，
X
X
则随机变量 X 在区间 a， b a l 0 l
bx
上的任意一个子区间上取值的概率与该子区间
的长度成正比，而与该子区间的位置无关．
2 . X的 分 布 函 数 为 ：
0,
xa
F(x)
PX
1
1 x
2
x
三、三种重要的连续型随机变量
1. 均匀分布
若 r .v X的概率密度为：
f
(
x)
b
1
a
,
a xb
0, 其它
f (x)
ab
2.4连续型随机变量及其概率密度1
c
ba
例 在PGA巡回赛中，前100名最好的高尔夫运动员 的击球距离在260米和284米之间，假设这些运动员的 击球距离在该区间上服从均匀分布。
(1)写出击球距离的概率密度函数； 解：令X表示击球距离，根据题意可知X~U(260,284)
f
(x)
1 24
,
260 x 284
0,
0
x0
P{X 1} F(1) 1 (11)e1 1 2e1
二、几个重要的连续型随机变量及其密度函数
1.均匀分布 若连续型随机变量X具有概率密度
f
(
Байду номын сангаас
x)
b
1
a
,
0,
a x b, 其他,
则称X在(a,b)上服从均匀分布. 记为X ~ U(a,b).
概率密度函数图形
0
0dx
0.5 3x2dx x3 0.5 0.125
1
0
0
A3
3x2, 0 x 1,
例题 1 设 X 概率密度 f (x) 0
, 其它.
求（3）求 F(x) .
解（3）由定义知 F(x) x f (t)dt
x
x
当 x 0 时， F(x) f (x)dx 0dx 0 ；
0.06
0.04
0.02
连续型随机变量取值落在某一 区间的概率与区间的开闭无关
-10
-5
a
5
bx
x
F( x) f (t)dt
注意
若X是连续型随机变量，{ X=a }是不可
能事件，则有P{ X a} 0. 反之不一定
2.6随机变量函数的分布
设 y g ( x ) ax b ,
yb 1 ( y ) 0 . 得 x h( y ) , 知h a a
f X [ h( y )] h( y ) , y , 由公式 fY ( y ) 0, 其它 . 得 Y aX b 的概率密度为
随机变量函数的分布
离散型r.v、连续型r.v
一、离散型随机变量函数的分布
设 f ( x ) 是定义在随机变量 X 的一切可能值 x 的集合上的函数 , 若随机变量 Y 随着 X 取值 x 的值而取 y f ( x ) 的值 , 则称随机变量 Y 为随机 变量 X 的函数 , 记作 Y f ( X ).
练习：
123页7
三、其他形式
• • • • 例8 X~N(0,1),试求Y=X2 的分布。 解：g(x)不满足严格单调，反函数连续可导 不能使用公式，只能使用第一种方法。 Y=X2 ≥0
当 y≤0时，FY(y)=0
当 y 0时，有 FY ( y ) P (Y y ) P ( X 2 y ) P ( y X y ) 2 ( y ) 1
由于 Y 的取值为 [0,1], 所以 当 y 0 时 , FY ( y ) P {Y y } 0; 当 y 1 时 , FY ( y ) P {Y y } 1; 当 0 y 1 时 , FY ( y ) P {Y y } P { g ( X ) y }
a .
求：E(Y) 和 Var(Y)
例题6 （1）X~N(10,22) 求Y=3X+5的分布 （2） X~N(0,22) 求Y= - X的分布
• （1）Y~N(35,62) • （2）Y~N(0,22)
随机变量及其分布
• 则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称 概率密度或者密度函数.
• 下面给出概率密度函数f(x)的性质: • (1)f(x)≥0 • (2)由分布函数的性质易得
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• 二、离散型随机变量的分布函数
• 设离散型随机变量X的分布律为:
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2. 3随机变量的分布函数
• 其中 • 则随机变量X的分布函数仿照例1可得
• 如图2一1所示，F(x)为阶梯函数，分段区间为半闭半开区间，并且右 连续
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2. 4连续型随机变量及其概率密度
• 一、连续型随机变量及其概率分布
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2. 2离散型随机变量及其分布律
• 一、离散型随机变量
• 在某些试验中(例如 2. 1中的例1，例2，例3)，随机变量的取值是有 • 限个或者无穷可列个.这一类随机变量通常称为离散型随机变量，下
面我们给出离散型随机变量的精确定义: • 定义1若随机变量X的所有可能取值为x1，x2，…，xn…，并且其 • 对应的概率分别为p1, p2,…，p n，…，即
• 注:实值单值函数指的是每一个。仅存在唯一一个实数X (ω)与之对应， 其中X (ω)是一个关干样本点的函数，值域为实数集.
• 随机变量可以根据它的取值分为离散型随机变量与非离散型随机变量， • 其中非离散型随机变量又可以进一步分为连续型随机变量与混合型随
机变量.在本书中我们主要学习的是离散型与连续型随机变量.
• 则称X为离散型随机变量，并且式(2.均称为随机变量X的概率分布， 又称分布律或分布列.
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第二章随机变量及其概率分布(概率论)
当 x ≥ 1 时,F ( x) = P( X ≤ x) =P( X = 0) + P( X = 1) =1 ⎧0 x < 0
所以 F ( x) = ⎪⎨0.3 0 ≤ x < 1. ⎪⎩1 1 ≤ x
⎧0 x < 0 分布函数为 F ( x) = ⎪⎨0.3 0 ≤ x < 1
⎪⎩1 1 ≤ x
分布函数图形如下
F(x) 1 0.3
x 01
3
例 设X的概率分布律如下,求X的分布函数. X012 P 0.4 0.35 0.25
解
⎧0
x<0
F
(
x)
=
⎪⎪ ⎨
⎪
0.4 0.75
0≤ x<1 1≤ x<2
⎪⎩ 1
x≥2
由此可见
(1)离散型随机变量的分布函数是分段函数,分 段区间是由X的取值点划分成的左闭右开区间; (2)函数值从0到1逐段递增,图形上表现为阶梯 形跳跃递增; (3)函数值跳跃高度是X取值区间中新增加点的 对应概率值.
z 泊松在数学方面贡献很多。最突出的是1837 年在提出泊松分布。
z 除泊松分布外，还有许多数学名词是以他的 名字命名的，如泊松积分、泊松求和公式、 泊松方程、泊松定理。
当一个随机事件,以固定的平均瞬时速率 λ随机独立地出现时,那么这个事件在单 位时间(面积或体积)内出现的次数或个数 就近似地服从泊松分布。
解: 依题意, X可取值 0, 1, 2, 3.
设 Ai ={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
路口3
路口2
P(X=0)= P(A1)=1/2,
路口1
X=该汽车首次停下时通过的路口的个数. 设 Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
常见的连续型随机变量
02 均匀分布
定义和性质
定义
均匀分布是一种连续型概率分布，在 概率论和统计学中，均匀分布也叫矩 形分布，它是对称概率分布，在相同 长度间隔的分布概率是等可能的。
性质
均匀分布具有等可能性、对称性、均 匀性等特点。其分布函数是一条斜线 ，概率密度函数是一个常数。
概率密度函数和分布函数
概率密度函数
均匀分布的概率密度函数是一个常 数，表示为f(x) = 1/(b-a)，其中a 和b是区间的端点，x属于[a, b]。
伽玛分布的概率密度函数具有指数函数和幂函数的乘积形式，形状 参数和尺度参数分别控制分布的形状和尺度。
性质
伽玛分布具有可加性，即多个独立同分布的伽玛随机变量的和仍然 服从伽玛分布。
贝塔分布
定义
贝塔分布是一种在[0,1]区间上的连续型概率分布，常用于描述比例、概率等随机变量的分布情况。
概率密度函数
贝塔分布的概率密度函数具有幂函数和Beta函数的乘积形式，形状参数控制分布的形状。
跨学科交叉融合
连续型随机变量的研究涉及数学、统 计学、计算机科学等多个学科领域。 未来，跨学科交叉融合将成为推动连 续型随机变量研究发展的重要趋势。 通过整合不同学科的优势和资源，我 们可以更深入地理解连续型随机变量 的本质和规律，为解决实际问题提供 更有效的手段和方法。
THANKS FOR WATCHING
均匀分布
在某一区间内，每个取值的可能性都 相等。
03
指数分布
描述某些随机事件发生的时间间隔的概率分 布，如放射性元素的衰变时间、电话交换台
的呼叫间隔时间等。
05
04
正态分布
一种钟形曲线分布，具有广泛的应用 背景，如自然和社会科学中的各种测 量误差、产品质量控制等。
连续型随机变量的分布函数的计算方法
连续型随机变量的分布函数的计算方法
1 连续型随机变量
连续型随机变量是概率论中的一种变量，它能描述具有不同可能
的取值的随机变量能取的值的集合，变量的任何可能取值的可能性都
是概率中的基本要素。
连续型随机变量通常表示为一个函数y=f(x)，
其中x是变量的取值，y是概率分布函数f(x)表示概率。
2 计算分布函数
计算连续型随机变量的分布函数时，首先需要求出其分布概率密
度函数(PDF)式子，然后再求出概率分布函数(CDF)。
PDF式子可以用统计方法确定，CDF则可以通过计算随机变量的取值所占总概率的方法获得。
以正态分布的CDF为例，其式子为F(x)=1/2*(1+erf(x/√2))，其中x是随机变量取值，erf(x/√2)是正态分布的概率密度函数(PDF)式子，计算其CDF就需要把取值代入进去：F(x1)=1/2*(1+erf(x1/√2))，F(x2)=1/2*(1+erf(x2/√2))。
3 计算原理
计算连续型随机变量的分布函数，要计算随机变量在每个可能取
值所占比例，也就是说，这种分布函数实际上是用来说明概率密度函
数随着变量取值的变化而改变的递进函数，连续型随机变量的每个取
值都可以是一个不同的概率，概率密度函数的计算就是分布函数的基本步骤。
概率2-3连续型随机变量及其概率密度-2
x
e
dt , x
概率论
( x)
( x )
概率论
7. 标准正态分布与一般正态分布的关系 定理1
X 若 X ~ N , , 则 Z ~ N 0 , 1 .
2
标准正态分布的重要性在于，任何一个一 般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准 正态分布.
概率论
例2 在一公共汽车站有甲、乙、丙 3人，分别等1、2、3路公交车，设 每人等车时间（分钟）都服从[0，5] 上的均匀分布，求3人中至少有2人 等车时间不超过2分钟的概率。
概率论
（II）指数分布 1. 含义：随机变量X描述对某一事件发生的 等待时间，各种不会变老的物品寿命。 2. 密度函数：若 r .v. X具有概率密度
x 2
2
Φ(x)
概率论
作业
58页，24，25，26，27，29，30
概率论
3σ准则
由标准正态分布的查表计算可以求得，
当X～N(0,1)时， P{|X| ≤ 1}=2 Φ(1)-1=0.6826 P{|X| ≤ 2}=2 Φ(2)-1=0.9544 P{|X| ≤ 3}=2 Φ(3)-1=0.9974 这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间
内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.
概率论
(2) X ~ N ( , 2 ), 求区间概率
X 若 X ~ N ( , ), 则 Y ~N(0,1)
2
P{ a X
a b Y } b} P{
b a ( ) ( )
概率论
例3 若 r. v. X～N(10,4),求 P{10<X<13}, P{│X-10│<2}. 例4 若 r. v. X～N(μ,σ2), P{X ≤ -1.6}=0.036， P{X ≤ 5.9}=0.758，求 P{X> 0}
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连续型随机变量的分布
(一)连续型随机变量及其概率密度函数
1.定义：对于随机变量X的分布函数F(X),若存在非负函数f(x),使
对于任意的实数x,有F(W(M，则称X为连续性随机变量，f(x)称
为X的概率密度函数，简称概率密度。
注：尺劝表示曲线下x左边的面积，曲线下的整个面积为
lo
2 .密度函数f(x)的性质：注：不是概率。
1)??f(x)M0??
2)? j f(x)dx = \
3)P{x, < X < x2} = ~f(x)(/x =F(x2) -F(Xj)
特别地，连续型随机变量在某一点的概率为零，即
P{X = x} = 0.(但{脸力并不一定是不可能事件)
因此PQWXWb)二P(a<X<b)= P($WX<b) = P($<XW b)=F(b)-F(a)
4)若f(0在点x处连续，则F\x) = /(x).
分布函数性质
i)0WF(x)Wl；
ii)F(-oo)二0,F(+8)二1；
iii)当xWx2时,Fg)WFg)；(单调性)
注：iv)与离散型随机变量不同,
易知 <P(—x) = 1-0(x) o
0(X )即标准正态分布函数，其值已制成表格，以备查用。
例3设随机变量X 〜N(0, 1),查表计算:
(1) P(XW ； (2) P(X>； (3) P(|X|<.
解⑴ P(XW 二①二
(2) P(X> =1- P(XW =1-①= (3)
P(|X|< =P<X< 二①-①=20-1
二2X 二
引理 若 X~N(〃,R),则 Z =兰二上 ~ N(0,l).
<y
证z=d 的分布函数为
CT
Y _
[
(1-呼 P{Z <x) = P{-—<x} = P{X < “ + bx} =
2/ dt ,
b
y/lrrcr —
性质：
1•曲线关于x=“对称，这表明对于任意h>0有 P///-h<X<//}= P///<X <// + //}. 2.当x = “时，/(x)取到最大值：f (”)=
丄
(2)标准正态分布
特别地，当“ = 0,b = 1时，称X 服从标准正态分布, 记为X 〜N(0.1)・相应的概率密度函数和分布函数分别记为
>/2/r
s
=叫 lAz!卜①| 耳卜①(0.3)-①( — 0.5) = 0.6179 — [1-①(0.5)]
= 0.6179-1+0.6915 = 0.3094.
例4设某商店出售的白糖每包的标准全是500克，设每 包重量X (以克计)是随机变量,X~N(500, 25),求：
(1)
随机抽查一包，其重量大于510克的概率；
(2) 随机抽查一包，其重量与标准重量之差的绝对 值在8克之内的概
率；
(3)
求常数C,使每包的重量小于C 的概率为。
解：(1)P{X >510| = l-P{X <510) = 1-O(?1()7>()(-)
=1 —①(2) = 1 — 0.9772 = 0.0228
(2) P{IX -5001< 8} = P{492 < X < 508}
于是,若X~N(T\则它的分布函数F(x)可写成:
FW = P{X<x] = P{^~ < 口} = @( 口).
b b b
对于任意区间(X P X 2],,有
b b
b
=0(g)_0(g).
b
b
注：可以通过标准正态分布表计算任何正态分布的分布函 数值或有关概率。
例如，设X~N(1,4),则
P{0<X<1.6) = P{^<^^-<
1.6 — 1
〜508-500、~492-500、虫(十①(十)
例5某重点大学招收研究生800人，按考试成绩从高分至低分依次录取。
设报考该大学的考生共3000人，且考试成绩服从正态分布，已知这些考生中成绩在600分以上的有200人，重点线(500分)以下的2075人，问该大学的实录线(即录取最低分)是多少
分析设学生考试成绩X、N(“Q2),首先应求出“及/之值，然后根据录取人数占总人数的比例，再应用正态分布概率公式算出实录最低分。
解设学生成绩X~N(〃,R),由题设知应有
P(X>600)- 200 - 0.0667
3000
<
2075 P(X<500)-^ ' -0.6917
3000
从而得 1 - 0( &°°一")- 0.0667, @(500一")- 0.6917
b b
即0(600_//)-0.9333 以及<X>(500~/Z)-0.6917
b b
[600 —“十
查表得解之得"警
500—“ b = 100
-------- =0.5
b
故知,X、N(450,loo?)
又设该大学实录线为日，由题设知：
P(X >a)~800 - 0.2667 SP1 ①("f 0.2667
3000 100
"一450
于是可得0( )-0.7333
100
查表得解之得
基本内容备注
其中，//, 为常数，则称X 服从参数为/和K 的对数正态 分布，
记作X ~ LW ). 对数正态分布的分布函数为 X - LN （u\a ，2）— hiX ）— _・匕〜N
（OJ ）
______________ ____________ * ______ a ， 若 X ~ LNgb' 则 P{\ <X<x 2} =①（1 嘗"：）-①（也："
：）
b b (四)Weibull 分布 定义：若随机变量X 的概率密度函数为
/« = —（x-a ）,fl ^e 0 x>a p 0 x<a 其中, m 、a 、/3 >0为常数，则称X 服从参数为〃 ?心0
的
Weibull 分布,记作X ~W(〃g,0)・ Weibull 分布的分布函数为 j.v-a )w F(x) = £ 乡a - a)"i e~r dt=\-e (x > a) m 一一形状参数 a —一位置参数 P 一一尺度参数 Weibull 分布概括了许多典型的分布。
本次课小结: 介绍了连续型随机变量的概念，连续型随机变量概率密度。