算法设计与分析-f (1)

Johnson’s改进算法Max-k-SAT-W(U,C)（二）
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对C中的每个项c赋权W(c)=2-|c|。 设SU=，True=，Left=C，Lit=U U ， 如果Lit中的任一变量都不出现在Left的任意子句中，则 结束。 设y为Lit中的某变量符号，YT为该包含y的子句的集合， YF为包含y的反变量的子句的集合。 如果YT中子句的权之和不小于YF中子句的权之和，则： True= True{y}，SU=SUYT，Left=Left-YT。 YF中所有子句的权加倍。 否则， True= True{ y }， SU=SUYF，Left=Left-YT。 YT中所有子句的权加倍。 Lit=Lit-{y, y }，转第3步。
算法Max-k-SAT(U,C)的近似度不大于1+1/k
• 证明：
– 每次将变量y添加到True集合中，肯定满足|C[y]||C[ y ]|。 – 称|C[ y ]|中的项为被y伤害的项。 – 算法结束时，如果某个项未能满足，则该项受伤害的次数 为其含有的变量个数。从而，总的受伤害的次数至少为： k*|Left|。 – 所以有|SU| k*|Left|。则有：|C|= |SU|+|Left|(1+1/k)|SU|。 • A tight example for k=3： S={{x1,x2,x3},{ x1 ,x4,x5},{x 2 ,x6,x7},{x3 ,x8,x9}} 选择三个反变量加入True，只能使3个项满足。 • 为了使受伤害次数较多的项尽可能满足，考虑给项加上权。
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设SU=，True=，Left=C，Lit=U U ， 如果Lit中的任一变量都不出现在Left的任意子 句中，则结束。 设y为Lit中的某变量字母，满足在Left中包含y 的子句最多。YT为该包含Y的子句的集合。 SU=SUYT，Left=Left-YT， True=True{y}， Lit=Lit-{y, y}。 转第2步。 注意，上述算法中的y可以为某ui，也可为ui 的反变量，并且默认反变量的反变量为变量 本身。
• 关键引理：设M1是任意可选择的正整数集合，S0为 s E的任意子覆盖，则有： 1
M1
ss0 j 1
j
• 证明：设M0={i:siS0},h=max{|si|:iM0}，根据h的 取值进行归纳证明。
– h=0时， M0=，Uncov= ， 则M1=，结论成立。 – 假设h=k-1时结论成立。下面证明h=k时亦成立。 – 设M1={j1,…,jt-1}，其中r为满足Set[jr]<k 的第一个ji的下标。 设Cov=Set[j1]Set[j2]Set[jr-1]，则Cov=Uncov[1]Uncov[r]，且 r-1|Cov|/k （1） Set[r ][i] Un cov[r ] – 对于任意的iM0，|Set[r][i]|<k，且 iM 所以{Set[r][i]: iM0}是Uncov[r]的子覆盖，由归纳假设，有：
• A tight Example for k=3 S {{x1 , x2 , x3 },{x1 , x2 , x3 },{x1 , x2 , x3 },{x1 , x2 , x3 },
{x1 , x4 , x5 },{x1 , x6 , x7 },{x1 , x8 , x9 },{x1 , x10 , x11}} 如果第一次选择 x1 加入集合True，则最后只能有7个项满足。
算法Max-k-SAT-W(U,C)的近
– 开始时，Left中所有项的权重不超过|C|/2k。 – 每次循环，集合Left中裁掉的项的权重总和不小于留在Left中被 伤害的项增加的权重总和。 – 所以Left中项的权重总和不会增加。当算法结束时， Left中所 有项的权重不超过|C|/2k。 – 算法结束时，每个不能被满足的项的受伤害次数为它含有的变 量字母个数，从而，每个不能被满足的项的权值为1。 – 即|Left| |C|/2k。 – |SU||C|(1-1/2k)。得证！
i iI
集合覆盖贪心算法Set-Cover(E,S)
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I=，Uncov=E，Set[i]=si，1im。 如果Uncov= ，则结束。 选择j，使得|Set[j]|最大。 I=I{j}，Uncov=Uncov-Set[j]， Set[i]= Set[i]- Set[j] ，1im 。 转第2步。
1
n=1时，显然成立。 假设nk-1时结论成立。 n=k时，算法对u1的真值指派至少满足1/2*|C[u1]C[u1]|个 项。 u1赋值后的项集合C1中不含有u1及其反变量。根据归 纳假设，Max-SAT()对u2un的赋值使可满足的项不小于： 1/2*|C1|。所有算法满足： MaxSAT(U,C) 1/2*|C[u1]C[u1 ]| + 1/2*|C1|=n/2 • 从而算法的近似性能比不超过2。
N 1 1 I M 0 sS0 j 1 j sS0 j 1 j h
1 j 1 j
N
1 j 1 j
N
• A tight case
S0 k!个不相 交的 k-元 素子集， 每个子集 含有一个 Segment 中的一个 点。 Segment 1 k! points
k!个不相交的 1-元素子集。
Design and Analysis of Algorithm 算法设计与分析
朱大铭 教授 山东大学计算机学院 dmzhu@
第八章
• 8.1 组合技术
近似算法设计技术
– Max-SAT问题的2近似性能比算法 – Max-k-SAT问题的
– 集合覆盖问题O(logn)近似性能比算法 – 顶点覆盖问题的2近似性能比算法 – 集合覆盖问题的f近似性能比算法
合取范式最大可满足贪心算法Max-SAT(U,C)
•
–
对任一变量
如果含有其本身的项不少于含有其反变量的项
• • • 该变量赋值为T。 将其反变量从所有项中删除。 将所有已满足的项从项集合中删除。 该变量赋值为F。 将该变量本身从所有项中删除。 将所有已满足的项从项集合中删除。
–
如果含有其本身的项少于含有其反变量的项
iM 0

Set[1][i] Set[r ][i] k
iM 0
1 j Set [ r ][i ] 1 k
set [1][i ]
再由k|Set[1][i]||Set[r][i]|可得：
cov k
由（1）（2）（3）可得：

iM 0

1 j Set [ r ][ i ] 1 j
• 1+1/k近似性能比算法 • 1+1/(2k-1)近似性能比算法
• 8.2 线形规划技术 • 8.3 原始对偶技术 • 8.4 局部搜索技术 • 8.5 随机近似算法
– Max-3-SAT问题的4/3近似度局部搜索算法 – Max-SAT问题的4/3近似度随机算法
第一讲 组合技术
• Max-SAT问题的2近似性能比算法
先讨论算法的性质：
• 定义如下符号：（第i次循环开始时)
– Set[i][j] ：可选择的子集数组。1 jm。 – Uncov[i] ：未被覆盖的元素构成的集合。 – Set[ji]：第i次循环选择的集合。
• 假设算法共执行t-1次循环，则Uncov[t]=；且对于 i<t， Uncov[i]。 • 则算法可用如下序列R表示：
s
set [1][ i ]
（3）
M 1 t 1
ss0
1 j 1 j
即当h=k时结论成立。
• 设N=max{|si|:siS}，则算法的近似性能比不大于 • 证明：设S0为E的最小子覆盖，M0={i:siS0}， h=max{|si|:iM0},显然Nh。设I为算法求得的子覆 盖中集合的下标，则
E Segment k k! points Segment k-1 k! points
S1
k!/k 个不相交的 k-元素子集。 k!/(k-1)个不相交 的 k-元素子集。
第二讲 线性规划、局部搜索和随机算法
• 8.2 线形规划技术
– 顶点覆盖问题的2近似性能比算法 – 集合覆盖问题的f近似性能比算法
• Max-k-SAT问题的
– 1+1/k近似性能比算法 – 1+1/(2k-1)近似性能比算法
• 集合覆盖问题O(logn)近似性能比算法
一、Max-SAT问题
• 实例：布尔变量集合U={u1,u2,…,un}，项集合 Ci U U 。其中， C={C1,C2,…,Cm }， U {u1 , u2 ,..., un } 。 • 询问：计算U的真值指派f：U{T,F}，使得可满足 项的数目最大。 • 设项Ci={u[i,1], …, u[i,k]} ，Ci可满足的含义是： u[i,1]…u[i,k]=T ，即Ci所含有的布尔变量字母至少有一 个取真值。
R=Set[1][1m],Uncov[1],j1,…,Set[t-1][1m],Uncov[t-1],jt-1,Set[t][1m],Uncov[t].
• 显然每次选择ji后，置集合Set[ji]为空，所以任何集 合均不可能被重复选择。
• I(R)={j1,j2,…,jt-1}表示算法一个运行序列所选择的集 合的下标的集合。 • 对于正整数集合M,如果存在算法的一个运行序列R， 使得M=I(R)，则称M为可选择的。 • 根据上面的定义，很显然有： • 设S1S是E的一个子覆盖，M1={i:siS1}，则M1是 可选择的，当且仅当存在算法的一个运行序列R， 使得M1=I(R)。
二、Max-K-SAT问题
• 如果对Max-SAT问题的输入子句加以限制，使得每 个子句都至少含有k个布尔变量字母，则得到的子 问题为Max-K-SAT。 • 当K1时，所有的Max-K-SAT问题都是NPC的。 • 下面的算法是Johnson于1974年设计的。