泊松方程和拉普拉斯方程

泊松方程和拉普拉斯方程

势函数的一种二阶偏微分方程。广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算。

简史

1777年，拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点的质量m k除以它们到任意观察点P的距离r k，并且把这些商加在一起，其总和

即P点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在P点的质点所受总引力的相应分力。1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程：

，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。1813年，S.-D.泊松撰文指出，如果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为

，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。文中要求重视势函数V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。

静电场的泊松方程和拉普拉斯方程

若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程：

，

式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo=8.854×10-12法／米。在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。在各分区的公共界面上，V满足边值关系，

，

式中i，j指分界面两边的不同分区，σ为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。

边界条件和解的唯一性

为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄

利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷，叫做诺埃曼边界条件。

边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。

除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从拉普拉斯方程的势场。各类物理本质完全不同的势场如果具有相似的边界条件，则因拉普拉斯方程解的唯一性，任何一个势场的解，或该势场模型中实验测绘的等热面或流线图，经过对应物理量的换算之后，可以通用于其他的势场。

静磁场的泊松方程和拉普拉斯方程

在SI制中，静磁场满足的方程为

式中j为传导电流密度。第一式表明静磁场可引入磁矢势r)描述：。

在各向同性、线性、均匀的磁媒质中，传导电流密度j 0的区域里，磁矢势满足的方程为

选用库仑规范，墷•r)=0，则得磁矢势r)满足泊松方程，

式中纯数μr 为媒质的相对磁导率，真空磁导率μo=1.257×10-6亨／米。在传导电流密度j=0的区域里，上式简化为拉普拉斯方程∇2Α=0。

静磁场的泊松方程和拉普拉斯方程是矢量方程，它的三个直角分量满足的方程与静电势满足的方程有相同的形式。对比静电势的解，可得矢势方程的解。

参考书目

郭硕鸿著:《电动力学》，人民教育出版社，北京，1979。

J.D.杰克逊著，朱培豫译：《经典电动力学》下册，人民教育出版社，北京，1980。(J.D. Jackson，Classical Electrodynamics，John Wilye & Sons，New York，1976.)

拉普拉斯方程

拉普拉斯方程，又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。因为由法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学、热力学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写了电场、引力场和流场等物理对象（一般统称为“保守场”或“有势场”）的性质

基本概述

拉普拉斯方程表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式。一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压力p1与液体外的压力p2就会不同，在液面两边就会产生压力差△P= P1- P2，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：▽p=γ（1/R1+1/R2）式中γ是液体表面张力。该公式成为拉普拉斯方程

定义

三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z

二阶可微的实函数φ：。这组方程常常又写为

或者；其中，div表示矢量场的散度（结果是一个标场），grad表示标量场的梯度（结果是一个矢量场）。这方程又可写为；其中，Δ称为拉普拉斯算子。拉普拉斯方程的解称为调和函数。如果等号右边是一个给定的函数f(x, y, z)，即，则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型微分方

程。偏微分算子或（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子。边界条件

拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域内定义的函数φ，使得在的边界上等于某给定的函数。为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。

拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域边界处的温度函数φ本身，而是φ沿的边界法向的导数。从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。

拉普拉斯方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数的任意线性组合同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将各种通解线性组合起来，以满足所有边界条件。

二维拉普拉斯方程

两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式：。

解析函数

解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。换言之，若z = x + iy，并且

，那么f(z)是解析函数的充要条件是u(x,y)，v(x,y)可微，且满足下列柯西-黎曼方程：。上述方程继续求导就得到