1.2数列的极限(两个引例)

—— 庄周
第 n 天截剩下的部分
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2.数列的定义
按自然数 编号依次排列的一列数 称为无穷数列，简称数列。 其中的每个数称为数列的项， 称为通项(一般项)。数列记为 如
1 n 2
1 一般项 n 2
这几个引例反映了数列的某种特性： 对数列 如果存在某个常数 a ，当 n 无限增大时，
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4.收敛数列与其子列的关系
子列：在数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的 先后次序，这样得到的一个数列称为原数列的子数列(或子列)。
如
1 ,1 都是其子列
定理4：如果数列 xn 收敛于 a ，则其任一子数列也收敛，
且极限是a。 注：如果数列 xn 有两个子数列收敛于不同极限， 则 xn 发散 a. 定义 证明数列 xn 发散的方法： b. 找到 xn 的一个发散子列
例1：已知 证: 证明数列 的极限为1.
n (1) n 1 xn 1 n
即
0, 欲使
只要 n
1

n n ( 1) 1 则当 n N 时, 就有 1 因此，取 N , n n n 1 故 lim xn lim 1 n n n 1 思考：取 N 1, 可不可以？
无限的接近这个常数 a ，则称这个数列为收敛数列，a 称为其 极限，否则称为发散数列。
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如
1 n n n 1
一般项
1 n
收敛到 0
1 发散
n 1
n 一般项 n 1

2 n
一般项
n2
1
n 1

一般项 1
来度量， 越小，a 与 b 越接近.
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1 1 1 1 , , 由 n 100, , 给定 100 有 xn 1 只要 n 100 100 1 1 1 1 , 给定 1000 , 由 n 1000 , 只要 n 1000, 有 xn 1 1000 1 1 1 1 , , 由 n 10000, x 1 , 给定 10000 有 n n 10000 只要 10000 1 0, n N , 有 xn 1 , 只要 给定
所以
lim 0.999
n n个
9 1
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作业 P30 3 (2) , (4) , 5
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n
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1.收敛数列极限的唯一性
定理1：收敛数列的极限唯一。 证明： （反证法） 假设 时 时 取 及 且 ab
即 a xn a
即 b xn b
取 N max N1 , N 2 , xn 满足的不等式矛盾，所以假设不真。
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注： 收敛必有界，
有界不一定收敛，
数列 (1 )
n 1
虽有界但不收敛
无界必发散， 发散不一定无界
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3.收敛数列的保号性
定理3：如果 且
( 0), 则
当
时
( 0).
推论：如果从某项起
0 ,
且
则 a 0 0
0,
1 1 (n 1) 2 n 1 1 1 , n 1. 只要 即 n 1
1 取 N 1 , 则当 n N 时, 就有 xn 0 , 1 n (1) 也可由 xn 0 2 故 lim xn lim 0 ( n 1) 2 n n ( n 1) 1 1 取N
发散
收敛数列的特性：随 n 的无限增大，
无限地接近某个常数 a
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3.数列的变化趋势——极限
n 1 1 观察数列 1 当 n 时的变化趋势 n
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3.数列的变化趋势——极限
n 1 1 观察数列 1 当 n 时的变化趋势 n
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通过对演示的观察，得 当 n 的无限增大时， 无限接近于1。
问题：无限接近意味什么？如何用数学语言刻划它. 两个数 a 和 b 之间的接近程度可以用两个数之差的绝对值
ab 时 xn 2 ab 时 xn 2
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2.收敛数列的有界性
有界性： 使对一切 xn , xn M 成立，则 xn 有界，
n2 1 n 2 有界， 无界 否则无界。 如 2 n 定理2：收敛数列一定有界。
x2 x1 xN 1
a
xN 2
x3 x
xn a 最多只有有限项落在该邻域之外 1 1 不能说由无限项在该邻域内， 如 ,0, ,0, 10 10 高等数学七 ③ 高等数学第一章
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注意： 数列极限的定义未给出求极限的方法.
例2：已知 证： 证明
xn 0
欲使
证: 设 取 1, 则 N , 当 n N 时, 有 xn a 1,
从而有
取 则有
xn max a 1 , a 1
M max x1 , x2 , , xN , a 1 , a 1

xn M
n 1, 2, .
所以数列有界。
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一、数列极限的定义 二、收敛数列的性质
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1.引例 1.1 割圆术
“割之弥细，所失弥 少，割之又割，以至 于不可割，则与圆周 合体而无所失矣” ——刘徽
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1.引例 1.1 割圆术
“割之弥细，所失弥少， 割之又割，以至于不 可割，则与圆周合体 而无所失矣” ——刘徽
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0.999 3.(4) lim n
9 1
n
n个
1 证： xn 1 0.1n 1 10 1 xn 1 n 10 1 1 , 只要 欲使 即 n lg 10n 1 取 N lg , 则当 n N 时, 就有 xn 1 ,
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注： ε 的任意性 ① 的作用在于衡量
② ③
与 a 的接近程度，只要求
一经给出，暂看作是固定的，由其决定 N 号， 代替，<号也可换成 也可用 相关的， 越小，N 越大，但 N 不是 的函数
N 的相应性 ① N与 ② 重要的是 N 的存在性，找到即可，但 N 不唯一 2 几何解释 a a
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1 2
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例4：设 q 1, 证明等比数列
的极限为 0.
证:
xn 0
欲使 即 只要
ln 因此，取 N 1 则当 n > N 时,有 ln q q n1 0
故
ln . 亦即 n 1 ln q
lim q n1 0.
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正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R


n1 6 2 正 形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An ,
S
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1.2 截丈问题 “一尺之棰，日取其半，万世不竭”
第一天截剩下的部分 第二天截剩下的部分
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证明步骤：
(1)给定任意 0 (2)解不等式 xn a 求解 N ，可放大 (3)任取一 N 例3：证明
证： xn 0
欲使

1 2 2n n 1 n
即 n
1
1 , 只要 2n
1 取 N , 则当 n N 时, 就有 xn 0 , 2
3n 1 3 3.(2) lim n 2n 1 2
3 证： xn 2
欲使
1 1 2 2n 1 4n
1 , 只要 4n
1 即 n 4
3 1 取 N , 则当 n N 时, 就有 xn , 2 4
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定义：设 正数
为一数列，如果存在常数 a ，对于任意给定的 时， (不论它多么小)，总存在正整数 N ，使得当 xn a 的极限，或者称数列 收敛于 a . 或 xn a n
都成立，则称 a 是数列 记
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0, N 0, 使 n N 时，恒有 xn a
c. 找到 xn 的两个有不同极限 的子列
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小结
1. 数列极限的 “ – N ” 定义及应用
2. 收敛数列的性质:
唯一性 ; 有界性 ; 保号性;
任一子数列收敛于同一极限
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练习：P30
1; 3.(2) (4)