数列的极限教案
数列极限教案
数列极限教案教案标题：数列极限的引入与探究教学目标：1. 理解数列以及数列极限的概念；2. 了解数列极限的性质和特征；3. 能够利用数学思维和分析方法确定数列的极限；4. 运用数列极限的性质解决实际问题。
教学准备：1. 数学课本和课后习题；2. 计算器；3. 幻灯片或黑板；4. 学生练习册。
教学过程：1. 导入（5分钟）- 引入数列的概念，简单解释数列是一组按照特定规律排列的数的集合。
- 讨论学生可能听说过的数列，比如等差数列、等比数列等。
2. 引入与讲解（15分钟）- 引入数列极限的概念，解释数列极限表示数列随着项数增加逐渐趋近于某一确定值。
- 通过示例，说明数列极限的计算方法，如通过求前几项的和、平均数等思路确定数列极限。
3. 探究与实践（20分钟）- 提供一个数列，让学生通过计算数列的前几项，并分析得出数列极限的思路和方法。
教师引导学生进行讨论，并指导他们运用找规律、分析数列的增减性等方法确定极限值。
- 给学生一些练习题，让他们自己计算数列极限。
教师鼓励学生之间积极合作，共同解决问题。
4. 总结与归纳（10分钟）- 总结数列极限的定义和性质，强调数列极限与数列前几项的关系。
- 归纳数列极限的计算方法和常见性质。
- 梳理学生在实践中遇到的问题和解决方法。
5. 提升与拓展（15分钟）- 引导学生运用数列极限的概念和性质解决实际问题，如数列极限在物理学、经济学等领域的应用。
- 指导学生在练习册上完成更复杂的数列极限计算题目，提高他们的应用能力。
6. 课堂练习与反馈（15分钟）- 布置一些课后习题，巩固学生对数列极限的理解和计算能力。
- 鼓励学生积极讨论和交流，互相评价和纠正。
- 对学生的练习成果给予及时的反馈和指导。
教学延伸：在数列极限的教学中，可以结合微积分的相关内容，如导数、积分等，对数列极限的计算和应用进行进一步拓展。
同时，可以邀请学生进行小组合作探究，通过引导学生提出自己的问题和解决思路，增加学生对数学的探索性和创造性。
数列极限的教学设计方案
1. 知识与技能：掌握数列极限的定义、性质及运算；能够运用数列极限解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生自主探索数列极限的概念；通过实例讲解，帮助学生理解数列极限的运算方法。
3. 情感态度与价值观：培养学生严谨求实的科学态度，提高学生的逻辑思维能力；激发学生对数学学习的兴趣，培养学生对数学美的感悟。
二、教学重点与难点1. 教学重点：数列极限的定义、性质及运算。
2. 教学难点：数列极限的定义的理解和应用，以及数列极限运算的技巧。
三、教学过程1. 导入新课（1）回顾数列的概念，引导学生思考数列的极限是什么。
（2）通过实例展示数列极限在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣。
2. 新课讲授（1）数列极限的定义：讲解数列极限的定义，结合实例进行说明。
（2）数列极限的性质：介绍数列极限的性质，通过实例讲解，让学生理解这些性质。
（3）数列极限的运算：讲解数列极限的运算方法，包括和、差、积、商的运算。
3. 课堂练习（1）布置一些关于数列极限的定义、性质及运算的练习题，让学生巩固所学知识。
（2）引导学生运用数列极限解决实际问题，提高学生的应用能力。
4. 课堂小结（1）回顾本节课所学内容，强调数列极限的定义、性质及运算。
（2）引导学生思考数列极限在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣。
5. 作业布置（1）布置一些关于数列极限的定义、性质及运算的作业题，让学生巩固所学知识。
（2）布置一些与实际生活相关的数列极限应用题，提高学生的实际应用能力。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度，了解学生对数列极限的理解程度。
2. 作业完成情况：检查学生作业的完成情况，了解学生对数列极限的掌握程度。
3. 课后反馈：通过课后与学生的交流，了解学生对数列极限的困惑和需求，及时调整教学策略。
五、教学反思1. 教学过程中，注重引导学生自主探索数列极限的概念，培养学生的逻辑思维能力。
2. 结合实例讲解数列极限的运算方法，提高学生的实际应用能力。
数列极限教案
课题数列的极限一、教育目标(一)知识教学点：（1）理解数列极限的定义，即“ε—N 定义”；能说出ε、N 的涵义；懂得n 与N 的区别；会把数列中的某些项画在数轴上，并能从图上看出这个数列的变化趋势。
(二)能力培养点：培养学生由具体到抽象、从有限到无限的思维能力，训练类比思维方法，会依据“ε—N 定义”及求数列的极限及证明．(三)学科渗透点：通过数列极限概念的教学，使学生懂得无限问题可以转化为有限问题来解决，通过对变量有限过程的研究，来认识变量无限变化过程的辩证思想观点． 二、教学分析1．重点：数列极限“ε—N 定义”．解决方法：画图、列表，进行直观的“定性描述”；运用类比方法，引进ε、N ，用不等式来进行定量描述．2．难点：ε与N 的涵义，n 与N 的区别．解决方法：分析、思考、问答的形式解决． 3．疑点：ε的任意性与确定性．解决方法：分析、举例说明． 三、活动设计1．活动方式：画图、列表、分析、思考、问答、练习． 2．教具：投影仪(或小挂图．) 四、教学过程1．数列变化趋势的定性描述：考察两个实例：即两个无穷数列；0.9，0.99，0.999, (1)n101,…,(1) 1,21, 41, …, n 21, …, (2) 容易看出：当项数n 无限增大时，数列(1)中的项无限趋近于1，数列(2)中的项无限趋近于0．．数列(1)中各项与1的差的绝对值如下表：出示投影仪(或小挂图)2．数列(1)变化趋势的定量描述：投影1．引进ε、N ，即怎样定量描述“数列（1）中的项无限趋近与1,请看：对数列｛1-n101｝（1），无论预先给定的ε多么小，总能在数列（1）中找到这样的一项，使得这一项后面的所有项与1的差的绝对值都小于ε．如给定ε=0.001，数列(1)中存在一项，从投影表中可以看出，即为第三项，对这一项后面的所有项，不等式：︱（1-4101）-1︱=4101< 0.001， ︱（1-5101）-1︱=5101< 0.001… 皆成立，换句话说，对于任意给定的ε＝0.001，存在自然数N=3，当n ＞N 时，不等式︱(1-n 101)-1︱=n101< 0.001 恒成立。
人教版高中数学数列的极限教案2023
人教版高中数学数列的极限教案2023（注：本文为某位高中数学老师为2023年准备的一份数列极限教案，供参考学习之用。
）人教版高中数学数列的极限教案2023第一节：教学目标通过本节课的学习，学生应该能够：1.了解数列的概念和基本性质；2.掌握求数列极限的方法，并能运用所学方法解题。
第二节：教学重点1.数列极限的定义和性质；2.极限与数列的关系；3.常用的数列极限定理。
第三节：教学方法1.教师讲授法：结合丰富的例题，引导学生熟悉并理解数列的概念和性质，掌握求数列极限的方法。
2.微课堂法：以教师录制的微课为主要教学方式，让学生在课前学习相关内容，课堂上加强练习和提问。
第四节：教学内容1.数列的概念和性质（1）概念：数列是按照一定顺序排列的一系列数。
（2）性质：①有限项数列和无限项数列；②数列有通项公式；③数列有公比或公差。
2.极限与数列的关系（1）定义：若存在一个常数a，对于任意给定的正数ε（无论多么小），总能找到某一项之后的所有项，使其与常数a的距离小于ε，则称常数a是该数列的极限，记作lim an=a(n→∞)。
（2）性质：①数列极限唯一；②收敛数列有界；③有界数列必有收敛子数列。
3.常用的数列极限定理（1）夹逼定理：设数列{an}，{bn}，{cn}，如果an≤bn≤cn，且lim an=lim cn=a，那么{bn}的极限存在且等于a。
（2）单调有界定理：单调递增有上界（下界）的数列必收敛，单调递减有下界（上界）的数列也必收敛。
第五节：教学后记通过本节课的学习，学生对数列及其极限有了更深入的了解，能够掌握求解数列极限的方法，并能够运用所学方法解决实际问题。
同时，通过微课堂的教学方式，学生的主动学习能力得到了锻炼，教学效果得到了提升。
数列的极限教学设计
课题： 数列的极限一、教学内容分析极限概念是数学中最重要和最基本的概念之一，因为高等数学中其它重要的基本概念（如导数、微分、积分等）都是用极限概念来表述的，而且它们的运算和性质也要用极限的运算和性质来推导，所以，极限概念的掌握至关重要. 二、教学目标设计1．理解数列极限的概念，能初步根据数列极限的定义确定一些简单数列的极限. 2．观察运动和变化的过程，初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，提高的数学概括能力、抽象思维能力和审美能力. 三、教学重点及难点重点：数列极限的概念以及简单数列的极限的求解. 难点：数列极限的定义的理解. 四、教学流程设计五、教学过程设计（一）、引入1、创设情境，引出课题1. 观察 举例：[A] 战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下篇》引用过一句话：一尺之棰 日取其半 万世不竭.[B] 三国时的刘徽提出的“割圆求周” 的方法。
他把圆周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分······ 这样继续分割下去，所得多边形的周长就无限接近于圆的周长。
割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。
（二）、学习新课 2、观察归纳，形成概念实例引入概念 符号数列的极限几何 理解运用与深化(例题解析、巩固练习)课堂小结并布置作业（1）直观认识请同学们考察下列几个数列的变化趋势 A.ΛΛ,101,,101,101,10132n ①“项”随n 的增大而减小 ②但都大于0③当n 无限增大时，相应的项n 101可以“无限趋近于”常数0B.ΛΛ,1,,43,32,21+n n ①“项”随n 的增大而增大 ②但都小于1③当n 无限增大时，相应的项1+n n可以“无限趋近于”常数1C.ΛΛ,)1(,,31,21,1nn--- ①“项”的正负交错地排列，并且随n 的增大其绝对值减小②当n 无限增大时，相应的项nn)1(-可以“无限趋近于”常数0概念辨析归纳数列极限的描述性定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞=，读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于a ”“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思lim n n a a →∞=有时也记作：当n →∞时，n a →a ．问题拓展给出数列极限的N -ε定义：一般地，设数列{}n a 是一个无穷数列，a 是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N ，使得只要正整数N n >，就有ε<-a a n ，那么就说数列{}n a 以a 为极限，记作a a n n =∞→lim ，或者∞→n 时a a n →.讲授例题【例1】.已知数列 1146512,,,,,.....,1(1),...2356n n++-1)写出这个数列的各项与1的差的绝对值; 2)第几项后面的所有项与1的差的绝对值都小于0.1?都小于0.001? 都小于0.0003? 3)第几项后面的所有项与1的差的绝对值都小于任何预先指定的正数ε? 4)1是不是这个数列的极限?【例2】考察下面的数列，写出它们的极限：1) 31111,,,,,827n⋅⋅⋅⋅⋅⋅2) 56.5,6.95,6.995,,7,,10n ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅3)1111,,,,,248(2)n--⋅⋅⋅⋅⋅- 【例3】求常数数列-1，-1，-1，···，-1，···的极限．【例4】当a 满足什么条件时，0lim nn a →∞=？试举例验证。
数列的极限教案大学
课程名称：高等数学授课对象：大学本科生课时安排：2课时教学目标：1. 知识与技能：使学生掌握数列极限的定义、性质和运算法则，并能运用这些知识解决实际问题。
2. 过程与方法：通过小组讨论、案例分析等方式，培养学生分析问题和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生严谨、求实的科学态度。
教学重点：1. 数列极限的定义和性质。
2. 数列极限的运算法则。
教学难点：1. 数列极限定义的理解和应用。
2. 数列极限运算法则的应用。
教学准备：1. 教学课件2. 数列极限相关习题3. 小组讨论问题教学过程：第一课时一、导入1. 回顾数列的定义，引导学生思考数列极限的概念。
2. 提出问题：如何判断一个数列的极限是否存在？如何求一个数列的极限？二、新课讲解1. 介绍数列极限的定义：当n趋向于无穷大时，数列{an}的项an趋向于一个确定的数A，记作lim(an) = A。
2. 讲解数列极限的性质：数列极限的保号性、保序性、唯一性等。
3. 介绍数列极限的运算法则：和、差、积、商的极限运算法则。
三、案例分析1. 给出几个数列，引导学生判断其极限是否存在，并求出其极限。
2. 通过案例分析，帮助学生理解数列极限的定义和性质。
四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调数列极限的定义、性质和运算法则。
2. 提出课后思考题，引导学生进一步巩固所学知识。
第二课时一、复习1. 复习上节课所学内容，检查学生对数列极限定义、性质和运算法则的掌握情况。
2. 针对学生的疑问进行解答。
二、小组讨论1. 将学生分成若干小组，每组讨论以下问题：（1）如何判断一个数列的极限是否存在？（2）如何求一个数列的极限？2. 各小组汇报讨论结果，教师进行点评。
三、课堂练习1. 布置课后作业，要求学生独立完成。
2. 针对作业中的问题，进行讲解和答疑。
四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调数列极限的定义、性质和运算法则的应用。
2. 提出课后思考题，引导学生进一步巩固所学知识。
大学微课数列的极限教案
课时：1课时教学目标：1. 知识与技能：使学生掌握数列极限的定义、性质和运算法则，能够运用数列极限求解相关问题。
2. 过程与方法：通过微课教学，培养学生自主学习、分析问题和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨、求实的科学态度。
教学内容：1. 数列极限的定义2. 数列极限的性质3. 数列极限的运算法则4. 数列极限的应用教学过程：一、导入1. 利用生活中的实例，引导学生思考数列极限的概念。
2. 提出问题：如何判断一个数列的极限存在？如何求解数列的极限？二、新课讲授1. 数列极限的定义- 通过动画演示，展示数列极限的定义过程。
- 强调数列极限存在的条件：数列中所有项无限趋近于同一个数。
- 举例说明数列极限的概念。
2. 数列极限的性质- 介绍数列极限的性质，如：有界性、单调性、收敛性等。
- 通过实例讲解数列极限的性质，让学生理解并掌握。
3. 数列极限的运算法则- 介绍数列极限的运算法则，如：四则运算法则、夹逼准则等。
- 通过实例讲解数列极限的运算法则，让学生掌握并运用。
4. 数列极限的应用- 举例说明数列极限在数学问题中的应用，如：求解极限、证明数列收敛等。
- 引导学生思考数列极限在实际问题中的应用价值。
三、课堂练习1. 给学生布置数列极限的相关练习题，要求学生在规定时间内完成。
2. 教师巡视指导，解答学生在练习过程中遇到的问题。
四、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调数列极限的定义、性质和运算法则。
2. 引导学生总结数列极限在实际问题中的应用。
五、课后作业1. 布置数列极限的相关练习题，巩固所学知识。
2. 要求学生在课后复习数列极限的定义、性质和运算法则，为下一节课做好准备。
教学反思：1. 本节课通过微课教学，使学生更好地理解数列极限的概念和性质。
2. 在教学过程中，注重启发式教学，引导学生主动思考、解决问题。
3. 课后作业的设计有助于巩固所学知识，提高学生的数学能力。
数列的极限教案
数列的极限教案教案标题：数列的极限教案教案目标：1. 理解数列的概念和基本性质。
2. 掌握数列极限的定义和计算方法。
3. 能够应用数列极限解决实际问题。
教学资源：1. 教科书或课件：包含数列的定义、基本性质和极限的计算方法。
2. 习题集：包含不同难度层次的数列极限计算题目。
3. 实际问题：包含数列极限应用的实际问题，如金融、物理等领域。
教学步骤：引入：1. 通过提问或展示实例，引发学生对数列的兴趣，例如：什么是数列？数列的应用有哪些？2. 引导学生思考数列的特点和规律，以激发他们对数列极限的好奇心。
探究：3. 解释数列极限的定义：当数列的项逐渐趋近于某个常数L时，我们说数列的极限是L。
4. 讲解数列极限的计算方法：a. 若数列是等差数列或等比数列，可直接根据公式计算极限。
b. 若数列不是等差数列或等比数列，可通过递推关系或数学归纳法推导极限。
实践：5. 给予学生一些简单的数列极限计算练习题，以巩固他们对极限计算方法的理解和应用能力。
6. 引导学生分析实际问题，并将其转化为数列极限问题，例如：一个投资人每年投资1000元，年利率为5%，求他的总投资额极限是多少？7. 提供一些实际问题的解决方法，帮助学生将数列极限与实际问题相结合。
拓展：8. 提供一些挑战性的数列极限计算题目，以培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
9. 鼓励学生自主探究其他数列极限的计算方法，并进行讨论和分享。
总结：10. 总结数列极限的概念和计算方法，强调数列极限在实际问题中的应用意义。
11. 鼓励学生通过课后练习巩固所学知识，并提供必要的辅导和指导。
评估：12. 设计一些评估题目，测试学生对数列极限概念的理解和计算方法的掌握程度。
13. 通过学生的表现和答案，评估教学效果，并根据需要进行针对性的复习和强化训练。
备注：教案的具体内容和教学步骤可根据不同教育阶段的要求进行调整和适应。
在教学过程中，教师应根据学生的实际情况和学习能力，灵活运用不同的教学方法和教学资源，以提高教学效果。
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因为 ,且 当 时,都有 .
取正整数
由此证明 .
注意：若数列有两个子数列收敛于不同的极限，则原数列一定是发散的.
如：
四、课堂小结
（1）数列极限的概念
（2）学会利用数列极限的定义去进行简单的证明
（3）收敛数列的性质
三、理解收敛数列的相关性质
并尝试进行证明
四、与教师一起总结
即
对于上述
,
即
取
注意：上述结论的逆不成立，但是有下述结论：
设 且存在自然数N，当
（2）（收敛数列的保号性）如果 ,且 ,那么存在正整数 ,当 时,都有 .
（3）设 则存在自然数N，
4.收敛数列与其子列间的关系
设 是一严格单调递增的无穷数列，则数列 称为数列 的子数列，简称子列，显然一个数列有无穷多个子列.如果数列 收敛于a，则它的任何子列都收敛，且收敛于a.
一、针对于所提出的问题进行分析讨论,并作出回答
1.一根长为一尺的木棒,为什么每天截下一半,这样的过程可以无限制地进行下去？
2.分析以下数列的变化
趋势
教学过程
二、讲授新课,引出数列极限的概念
1.描述性定义
（1）当 无限增大时，如果 无限趋近于某一确定的数值 ，则称 趋近于无穷大时数列 的极限。
例如： 的极限为0。
例如：数列 和 为收敛数列,其极限为 , 和 为发散数列.
（3）注意： 的任意性； 的相应性；几何意义.
3.举例说明数列极限
例1：证明数列 的极限是1.
证明：
为了使 小于任意给定的正数
即 .
二、
1.与教师共同分析描述性定义,并得到数列极限的精确定义
2.能够对定义中所涉及的知识点解决
2.定理2：（收敛数列的有界性）如果数列 收敛,那么数列 一定有界.
证明：设 ,
对于 ,存在正整数 ,使得当 时有 都成立.
因为 ,
于是,当 时取 ,则有 成立.
说明：此性质反过来不一定成立。
比如 有界但不收敛
3.(收敛数列的保序性)：设 且 ,则存在自然数 ， .
证明：因为 由极限的定义，
对于 ,
为什么会出现这样的结果？（引发学生分析讨论）
明确数列的定义：自变量取正整数的函数，记为 , 称为通项或一般项。
2.再给出几个数列,观察其变化趋势.
通过分析,可知随着数列的项数 的增大, 的变化趋势有两种情况：或者 与某个确定的常数 无限接近,或者不存在这样的常数.
3.明确数列的极限所研究的问题：当数列的项数无限增大时，数列的项的变化趋势.
板书设计
（副板书）
1.“一尺之椎,日取其半,万世不竭”
2.
3.以 为例进行分析（
(主板书)
数列的极限
1.数列定义：……
2.数列极限的描述性定义：……。
3.数列极限的精确性定义：……。
数学语言表示：……。
注意：……
例1：……
例2：……
4.收敛数列的性质
（1）极限的唯一性
（2）收敛数列的有界性
（3）收敛数列的保序性
（2）问题：“无限趋近”到底意味着什么？用数学语言应该如何精确地进行刻划呢？
以 为例进行分析（教师与学生一起分析）.
2.精确性定义
（1）定义1：设 为一数列, 为定数.若对任給的正数 ,总存在正整数 ,使得当 时有 ,则称数列 收敛于 ,定数 称为 的极限,记为 或 .
用数学符号进行表示:
.
（2）如果不存在这样的常数 ,则称数列 没有极限,或称数列是发散的.
教学过程
例2：已知 ,证明数列 的极限是 .
证明:
不等式 必定成立.
所以，取 则当
三、收敛数列的性质
1.定理1：（极限的唯一性）如果数列 收敛,那么它的极限唯一.
证明：（反证法）假设同时有 ,且 .
取 ,因为 ，故存在 ,使得当 时， ，从而 .
同理，因为 ，故存在 ,使得当 时， ，从而 .
取 ,则当 时， 满足不等式，矛盾。
高等数学教案
主题：数列的极限
教学主题
数列的极限
教学
目标
理解数列极限的概念
掌握收敛数列的性质
教学重点
数列极限的概念
教学难点
收敛数列的性质
教学方法
以理论讲述为主、学生进行讨论分析
课时
2课时
教学过程
教师活动
学生活动
一、实际问题进行导入
1.古代哲学家庄周所著的《庄子天下篇》中引入过一句话：“一尺之椎,日取其半,万世不竭”,其含义是：一根长为一尺的木棒,每天截下一半,这样的过程可以无限制地进行下去.
（4）收敛数列与其子列间的关系
5.课堂小结
5.课堂小结