漆林伟：16 微积分基本定理

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莱布尼兹
莱布尼兹，德国数学家、哲学家， 和牛顿同为微积分的创始人。 他父亲是莱比锡大学伦理学教授， 家庭丰富的藏书引起他广泛的兴趣。 1661年入莱比锡大学学习法律，又曾到耶拿大学 学习几何，1666年在纽伦堡阿尔特多夫取得法学博士 学位。 莱布尼兹的多才多艺在历史上很少有人能和他相 比，他的著作包括数学、历史、语言、生物 、地质、机械、物理、法律、外交等各个方面。
答：运动物体在 a ＃t b 这段时间内的位移。
b
ò
a
v(t )dt =s
例如 ，

1
0
(-t 2)dt ____
2
数学源于生活。学习数学要联系生活!
生活实例1
小明看见一人在笔直的公路上骑自行车行驶,设这位行人在时 刻 t 的速度为 v(t ) 5 (单位 m / s ),那么这位行人在 2 t 4 (单位:
s )这段时间内行使的路程 S (单位: m )如何计算？
解法一： v (t ) =5 s= =
4
ò
2 4
v (t ) dt 5 dt
ò
2
=10
生活实例2
牛顿看见一个苹果从树上按自由落体下落 ,设苹果在时刻
t 的速度为 v(t ) (单位 m / s ),求它在 1 t 2 (单位: s )这段时
h )这段时间内汽车行使的路程 S (单位: km )？
微积分基本定理：
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F’(x)＝f（x)，则，

b
a
f ( x)dx F (b) F (a)
这个结论叫微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫牛顿－莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula).
1
牛顿
• 牛顿，是英国伟大的数学家、物理学家、 天文学家和自然哲学家。1642年生于英 格兰林肯郡的一个村庄,1727年在伦敦 病逝。 • 牛顿1661年入英国剑桥大学三一学 院，1665年获文学士学位。随后两年在 家乡躲避瘟疫。这两年里，他制定了一 生大多数重要科学创造的蓝图。 • 牛顿在科学上最卓越的贡献是微积 分和经典力学的创建。
1.这节课你学到了一些什么知识？
微积分基本定理

b
a
f ( x)dx F (b) F (a)，其中f ( x) F ' ( x).
牛顿－莱布尼茨公式
2.我们是如何得到微积分基本定理的？ 微积分公式反映了哲学上的 什么原理？
1. 课本第55页，A组第1题，B组第1题。
2. 思考题： 你可以依据8个导数公式给出一些定积分计 算公式吗？
10 1dx ____
1
1
2 0 xdx ____
1
练习：说出下列定积分的几何意 义以及计算结果。
30 x
1
2
dx
1 ____ 3
4 1
1
1 - x dx ____
2
3.定积分的物理意义
设运动物体沿直线运动，在时刻 t 的速度为 b 那么 v(t )dt (0 ? a b) v(t ) ， òa 的物理意义是什么？
答：定积分
òa f (x )dx 的几何意义是什么？
b
b
òa f (x )dx 表示由直线
0和
x = a,x = b ( a ? b ),y
曲线 y =
f (x )所围成的“曲边”梯
形(如图中的阴影部分)的面积。
b
如果 f ( x) < 0 ，那么定积分
òa f (x )dx 的几何意义是什么？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
练习：说出下列定积分的几何意 义以及计算结果。
F (b) F (a)又可以记作 F ( x) 所以
b a

b
a
f ( x)dx F ( x) F (b) F (a).
b a
说明：
牛顿－莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便 的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积 函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数 在区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.该公式把 计算定积分归结为求原函数的问题。
• 在哈雷的工作中，引力问题是个关键。哈雷为此 专程于1684年去剑桥向牛顿求教，并于当年年底 得到牛顿的证明结果。哈雷非常高兴，鼓励并资 助牛顿出版他的名著《自然哲学的数学原理》。
• 世界公认的最早的一次哈雷彗星的观测记载见于 《史记· 秦始皇本纪》。中国人最早发现哈雷彗星， 并对它做出详细记载，但却没有掌握它的运行规 律及预报它重新出现的时间。
'
1
2
1 2 dx ln x 1 ln 2 ln 1 ln 2 x
21 2 xdx x 2 12 22 12 3
2
练习:
10 1dx ____
1
2 0 xdx ____
1
40 x 3dx ____
1
50 1 x x 2 x3 dx ___
3. 思考题： 汽车以每小时32千米的速度行驶，到某处需要 减速停车。汽车以加速度a=-1.8米/秒2刹车,问从 开始刹车到停车，汽车还要走多少米？ （约21.9米。）
感谢各位老师听课指导！ 谢谢同学们的合作！
间内下落的路程 S (单位: m ).（g 取 10m/s ）
2
解法一： v (t ) » 10t s= ?
2
ò ò
1
1 2
v (t ) dt 15(m)
10t dt
思考 3: 小明的爸爸驾驶一辆小汽车在笔直的公路上变速行使 ,设汽车在 时刻 t 的速度为 v(t ) t 2 2 (单位 km / h) ,如何求在 0 t 1 (单位:

b
a
f ( x)dx F ( x) | F (b) F (a)
b a
例 计算下列定积分
找出f(x)的原 函数是关键
1
2
1
1 1 （4） 2 x dx （3） dx 2 xdx 1 1 x 1 x
2 2
2
1 dx x
21 2 xdx
2
1 解（１） ln x x
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哈雷彗星的发现与微积分
1682年8月，天空中出现了一颗用肉眼可见的亮彗 星，它的后面拖着一条清晰可见、弯弯的尾巴。 当时，年仅26岁的英国天文学家哈雷对怀着极大的 兴趣，全身心地投入到对彗星的观测和研究中去了。 在通过大量的观测、研究和计算后他大胆地预言， 1682年出现的那颗彗星，将于1758年底或1759年初再 次回归。哈雷作出这个预言时已近50岁了，而他的预言 是否正确，还需等待50年的时间。 在哈雷去世10多年后，1758年底，这颗第一个被预 报回归的彗星被一位业余天文学家观测到了，它准时地 回到了太阳附近。后人为了纪念他，把这颗彗星命名为 “哈雷彗星”。
微积分基本定理是微积分中最重要、最 辉煌的成果！
授课教师：西北师大附中
漆林伟
---深奥的道理往往很浅显，
浅显的道理往往很深刻！
---数学源于生活。 学习数学要联系生活!
1.数学表达式
òa
b
f (x ) dx 如何读？
2.定积分的几何意义
如果在区间 [a, b ]上函数 f (x )连续且恒有 f (x )³ 0 ， 那么定积分