河南省周口市高二数学下学期期末试卷 理(含解析)

河南省周口市2014-2015学年高二 （下）期末数学试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共60分．在四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1．复数等于（ ）A ． 8B ． ﹣8C ． 8iD ． ﹣8i2．曲线y=x 2+3x 在点A （2，10）处的切线的斜率k 是（ ） A ． 7 B ． 6 C ． 5 D ． 43．已知函数f （x ）=x n+mx 的导函数f′（x ）=2x+2，则f （﹣x ）dx=（ ）A ． 0B ． 3C ． ﹣D ．4．6个人排成一排，其中甲、乙不相邻的排法种数是（ ） A ． 288 B ． 480 C ． 600 D ． 6405．已知命题p ：∃a 0∈（0，+∞），a 02﹣2a 0﹣3＞0，那么命题p 的否定是（ ）A ． ∃a 0∈（0，+∞），a 02﹣2a 0﹣3≤0B ． ∃a 0∈（﹣∞，0），a 02﹣2a 0﹣3≤0C ． ∀a ∈（0，+∞），a 2﹣2a ﹣3≤0D ． ∀a ∈（﹣∞，0），a 2﹣2a ﹣3≤0 6．（）9展开式中的常数项是（ ）A ． ﹣36B ． 36C ． ﹣84D ． 847．甲、乙两人独立地解决同一个问题，甲能解决这个问题的概率是P 1，乙能解决这个问题的概率是P 2，那么至少有一人能解决这个问题的概率是（ ） A ． P 1+P 2 B ． P 1P 2 C ． 1﹣P 1P 2 D ． 1﹣（1﹣P 1）（1﹣P 2）8．ξ～B （n ，P ），E ξ=15，D ξ=11.25，则n=（ ） A ． 60 B ． 55 C ． 50 D ． 459．已知F 2、F 1是双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的上、下焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）A ． 3B ．C ． 2D ．10．定义在R 上的函数f （x ）满足f （﹣x ）=﹣f （x ），f （x ﹣2）=f （x+2）且x ∈（﹣1，0）时，f （x ）=2x+，则f （log 220）=（ ）A ． 1B ．C ． ﹣1D ． ﹣11．小赵和小王约定在早上7：00至7：30之间到某公交站搭乘公交车去上学．已知在这段时间内，共有3班公交车到达该站，到站的时间分别为7：10，7：20，7：30，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．12．定义在R 上的函数f （x ）满足f （1）=1，且对任意x ∈R 都有f′（x ），则不等式f （x 2）＞的解集为（ ）A ． （1，2）B ． （0，1）C ． （1，+∞）D ． （﹣1，1）二、填空题：每小题5分，共20分．13．设随机变量X ～N （μ，σ2），且P （X ＜1）=，P （X ＞2）=p ，则P （0＜X ＜1）= ．14．以模型y=ce kx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny ，其变换后得到线性回归方程z=0.3x+4，则c= ．15．观察下列一组等式：①sin 230°+cos 260°+sin30°cos60°=， ②sin 215°+cos 245°+sin15°cos45°=， ③sin 245°+cos 275°+sin45°cos75°=，…，那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是： ．16．已知f （x ）=x 3﹣x 2+2x+1，x 1，x 2是f （x ）的两个极值点，且0＜x 1＜1＜x 2＜3，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题：共6小题，70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，，且c=3．（1）求角C ； （2）若向量与共线，求a 、b 的值．18．为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期4月1日4月7日4月15日4月21日4月30日温差x/℃10 11 13 12 8发芽数y/颗23 25 30 26 16（Ⅰ）从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率．（Ⅱ）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另3天的数据，求出y关于x的线性回归方程=x+．（参考公式：=，=﹣）19．在一个盒子里放有6张卡片，上面标有数字1，2，3，4，5，6，现在从盒子里每次任意取出一张卡片，取两张．（1）若每次取出后不再放回，求取到的两张卡片上数字之积大于12的概率；（2）在每次取出后再放回和每次取出后不再放回这两种取法中，得到的两张卡片上的最大数字的期望值是否相等？请说明理由．20．为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）．如图所示茎叶图为甲、乙两班（每班均为20人）学生的数学期末考试成绩．（1）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请画出下面的2×2列联表．（2）判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．甲班乙班合计优秀不优秀合计下面临界值表仅供参考：P（x2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式：K2=．21．已知椭圆C：=1的左焦点F1的坐标为（﹣，0），F2是它的右焦点，点M是椭圆C上一点，△MF1F2的周长等于4+2．（1）求椭圆C的方程；（2）过定点P（0，2）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且OA⊥OB（其中O为坐标原点），求直线l的方程．22．已知函f（x）=ax2﹣e x（a∈R）．（Ⅰ）a=1时，试判断f（x）的单调性并给予证明；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．（i）求实数a的取值范围；（ii）证明：﹣．（注：e是自然对数的底数）河南省周口市2014-2015学年高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共60分．在四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．复数等于（）A． 8 B．﹣8 C． 8i D．﹣8i考点：复数代数形式的混合运算．分析：先化简复数，然后进行复数幂的运算即可．解答：解：由，故选D．点评：本题考查复数代数形式的运算，复数幂的运算，是基础题．2．曲线y=x2+3x在点A（2，10）处的切线的斜率k是（）A． 7 B． 6 C． 5 D． 4考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：根据求导公式求出y′，由导数的几何意义求出在点A（2，10）处的切线的斜率k．解答：解：由题意知，y=x2+3x，则y′=2x+3，∴在点A（2，10）处的切线的斜率k=4+3=7，故选：A．点评：本题考查求导公式和法则，以及导数的几何意义，属于基础题．3．已知函数f（x）=x n+mx的导函数f′（x）=2x+2，则f（﹣x）dx=（）A． 0 B． 3 C．﹣D．考点：定积分；导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：f（x）=x n+mx的导函数f′（x）=2x+2，nx n﹣1+m=2x+2，f（x）=x2+2x．再利用微积分基本定理即可得出．解答：解：∵f（x）=x n+mx的导函数f′（x）=2x+2，∴nx n﹣1+m=2x+2，解得n=2，m=2，∴f（x）=x2+2x，∴f（﹣x）=x2﹣2x，∴f（﹣x）dx=，则（x2﹣2x）dx=（﹣x2）|=9﹣9﹣+1=，故选：D．点评：本题考查了导数的运算法则、微积分基本定理，属于基础题4．6个人排成一排，其中甲、乙不相邻的排法种数是（）A． 288 B． 480 C． 600 D． 640考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：先排列除甲乙之外的4个人，再把甲、乙插入到4个人形成的5个空中，再根据分步计数原理求得结果．解答：解：先排列除甲乙之外的4个人，方法有=24种，再把甲、乙插入到4个人形成的5个空中，方法有=20种，再根据分步计数原理求得甲乙两人不相邻的排法种数是24×20=480种，故选：B．点评：本题主要考查排列组合、两个基本原理的应用，注意不相邻问题用插空法，属于中档题．5．已知命题p：∃a0∈（0，+∞），a02﹣2a0﹣3＞0，那么命题p的否定是（）A．∃a0∈（0，+∞），a02﹣2a0﹣3≤0B．∃a0∈（﹣∞，0），a02﹣2a0﹣3≤0 C．∀a∈（0，+∞），a2﹣2a﹣3≤0D．∀a∈（﹣∞，0），a2﹣2a﹣3≤0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据特称命题的否定是全称命题，写出命题p的否定命题￢p即可．解答：解：根据特称命题的否定是全称命题，得；命题p：∃a0∈（0，+∞），a02﹣2a0﹣3＞0，那么命题p的否定是：∀a∈（0，+∞），a2﹣2a﹣3≤0．故选：C．点评：本题考查了特称命题与全称命题的应用问题，是基础题目．6．（）9展开式中的常数项是（）A．﹣36 B． 36 C．﹣84 D． 84考点：二项式定理．专题：二项式定理．分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．解答：解：（）9展开式的通项公式为 T r+1=•（﹣1）r•，令=0，求得r=3，可得（）9展开式中的常数项是﹣=﹣84，故选：C．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．7．甲、乙两人独立地解决同一个问题，甲能解决这个问题的概率是P1，乙能解决这个问题的概率是P2，那么至少有一人能解决这个问题的概率是（）A． P1+P2B． P1P2C． 1﹣P1P2D． 1﹣（1﹣P1）（1﹣P2）考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．专题：概率与统计．分析：根据对立事件的概率公式先求出都不能解决问题的概率即可得到结论．解答：解：甲能解决这个问题的概率是P1，乙能解决这个问题的概率是P2，则甲不能解决这个问题的概率是1﹣P1，乙不能解决这个问题的概率是1﹣P2，则甲易都不能解决这个问题的概率是（1﹣P1）（1﹣P2），则至少有一人能解决这个问题的概率是1﹣（1﹣P1）（1﹣P2），故选：D点评：本题主要考查独立事件同时发生的概率的计算，根据对立事件的概率关系先求出都不能解决问题的概率是解决本题的关键．8．ξ～B（n，P），Eξ=15，Dξ=11.25，则n=（）A． 60 B． 55 C． 50 D． 45考点：二项分布与n次独立重复试验的模型．专题：计算题；概率与统计．分析：根据变量符合二项分布，得到变量的期望和方差的公式，做出关于n，P的关系式，即可得到n，P的值．解答：解：∵ξ～B（n，P），Eξ=15，Dξ=11.25，∴nP=15，①nP（1﹣P）=11.25 ②∴1﹣P=0.75∴P=0.25∴n=60，故选：A．点评：本题考查二项分布，解题的关键是记住二项分布的期望和方差公式，在解题的时候注意对两个方程的处理，这里可以通过作比得到结果．9．已知F2、F1是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A． 3 B．C． 2 D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：首先求出F2到渐近线的距离，利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得直角三角形MF1F2，运用勾股定理，即可求出双曲线的离心率．解答：解：由题意，F1（0，﹣c），F2（0，c），一条渐近线方程为y=x，则F2到渐近线的距离为=b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M的中点，又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选C．点评：本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．10．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=（）A． 1 B．C．﹣1 D．﹣考点：函数的周期性；奇偶函数图象的对称性．专题：计算题．分析：根据对数函数的单调性，我们易判断出log220∈（4，5），结合已知中f（﹣x）=﹣f （x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，利用函数的周期性与奇偶性，即可得到f （log220）的值．解答：解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数又∵f（x﹣2）=f（x+2）∴函数f（x）为周期为4是周期函数又∵log232＞log220＞log216∴4＜log220＜5∴f（log220）=f（log220﹣4）=f（log2）=﹣f（﹣log2）=﹣f（log2）又∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，∴f（log2）=1故f（log220）=﹣1故选C点评：本题考查的知识点是函数的周期性和奇偶函数图象的对称性，其中根据已知中f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）判断函数的奇偶性，并求出函数的周期是解答的关键．11．小赵和小王约定在早上7：00至7：30之间到某公交站搭乘公交车去上学．已知在这段时间内，共有3班公交车到达该站，到站的时间分别为7：10，7：20，7：30，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：设甲到达汽车站的时刻为x，乙到达汽车站的时刻为y，利用满足条件的不等式，求出对应的平面区域的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论．解答：解：如图，设甲到达汽车站的时刻为x，乙到达汽车站的时刻为y，则7≤x≤7，7≤y≤7，甲、乙两人到达汽车站的时刻（x，y）所对应的区域在平面直角坐标系中画出（如图所示）是大正方形．将3班车到站的时刻在图形中画出，则甲、乙两人要想乘同一班车，必须满足{（x，y）|，或或}，即（x，y）必须落在图形中的3个带阴影的小正方形内，如图所以由几何概型的计算公式得P=；故选A．点评：本题主要考查几何概型的概率计算，求出对应的区域面积是解决本题的关键．12．定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对任意x∈R都有f′（x），则不等式f（x2）＞的解集为（）A．（1，2）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣1，1）考点：导数的运算；其他不等式的解法．专题：计算题．分析：所求解的不等式是抽象不等式，是与函数有关的不等式，函数的单调性和不等关系最密切．由f′（x），构造单调递减函数h（x）=f（x）﹣，利用其单减性求解．解答：解：∵f′（x），∴f′（x）﹣＜0，设h（x）=f（x）﹣，则h′（x）=f′（x）﹣＜0，∴h（x）是R上的减函数，且h（1）=f（1）﹣=1﹣=．不等式f（x2）＞，即为f（x2）x2＞，即h（x2）＞h（1），得x2＜1，解得﹣1＜x＜1，∴原不等式的解集为（﹣1，1）．故选：D．点评：本题考查抽象不等式求解，关键是利用函数的单调性，根据已知条件和所要解的不等式，找到合适的函数作载体是关键．二、填空题：每小题5分，共20分．13．设随机变量X～N（μ，σ2），且P（X＜1）=，P（X＞2）=p，则P（0＜X＜1）= ．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：概率与统计．分析：直接利用正态分布的性质求解即可．解答：解：随机变量X～N（μ，σ2），可知随机变量服从正态分布，X=μ，是图象的对称轴，可知P（X＜1）=，P（X＞2）=p，P（X＜0）=p，则P（0＜X＜1）=．故答案为：．点评：本题考查正态分布的简单性质的应用，基本知识的考查．14．以模型y=ce kx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，其变换后得到线性回归方程z=0.3x+4，则c= e4．考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：我们根据对数的运算性质：log a（MN）=log a M+log a N，log a N n=nlog a N，即可得出结论．解答：解：∵y=ce kx，∴两边取对数，可得lny=ln（ce kx）=lnc+lne kx=lnc+kx，令z=lny，可得z=lnc+kx，∵z=0.3x+4，∴lnc=4，∴c=e4．故答案为：e4．点评：本题考查的知识点是线性回归方程，其中熟练掌握对数的运算性质，是解答此类问题的关键．15．观察下列一组等式：①sin230°+cos260°+sin30°cos60°=，②sin215°+cos245°+sin15°cos45°=，③sin245°+cos275°+sin45°cos75°=，…，那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是：sin2（30°+x）+sin（30°+x）cos （30°﹣x）+cos2（30°﹣x）=．考点：类比推理．专题：压轴题；规律型．分析：观察所给的等式，等号左边是sin230°+cos260°+sin30°cos60°，3sin215°+cos245°+sin15°cos45°…规律应该是sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x），右边的式子：，写出结果．解答：解：观察下列一组等式：①sin230°+cos260°+sin30°cos60°=，②sin215°+cos245°+sin15°cos45°=，③sin245°+cos275°+sin45°cos75°=，…，照此规律，可以得到的一般结果应该是sin2x+sinx）cos（30°+x）+cos2（30°+x），右边的式子：，∴sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x）=．证明：sin2x+sinx（）+（）2=sin2x+﹣+﹣+==．故答案为：sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x）=．点评：本题考查类比推理，考查对于所给的式子的理解，从所给式子出发，通过观察、类比、猜想出一般规律，不需要证明结论，该题着重考查了类比的能力．16．已知f（x）=x3﹣x2+2x+1，x1，x2是f（x）的两个极值点，且0＜x1＜1＜x2＜3，则实数a的取值范围为（3，）．考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数f（x）的导数，结合二次函数的性质，得到不等式组，解出即可．解答：解：f′（x）=x2﹣ax+2，∴x1，x2是f′（x）=0的两个根，由0＜x1＜1＜x2＜3，结合二次函数的性质得：，解得：3＜a＜，故答案为：（3，）．点评：本题考查了导数的应用，考查二次函数的性质，是一道中档题．三、解答题：共6小题，70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，且c=3．（1）求角C；（2）若向量与共线，求a、b的值．考点：余弦定理；三角函数的恒等变换及化简求值；正弦定理．专题：计算题．分析：（1）利用二倍角公式及辅助角公式对已知化简可得sin（2C﹣30°）=1，结合C 的范围可求C（2）由（1）C，可得A+B，结合向量共线的坐标表示可得sinB﹣2sinA=0，利用两角差的正弦公式化简可求解答：解：（1）∵，∴∴sin（2C﹣30°）=1∵0°＜C＜180°∴C=60°（2）由（1）可得A+B=120°∵与共线，∴sinB﹣2sinA=0∴sin（120°﹣A）=2sinA整理可得，即tanA=∴A=30°，B=90°∵c=3．∴a=，b=2点评：本题主要考查了二倍角公式、辅助角公式及两角和的正弦公式、锐角三角函数的综合应用18．为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期4月1日4月7日4月15日4月21日4月30日温差x/℃10 11 13 12 8发芽数y/颗23 25 30 26 16（Ⅰ）从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率．（Ⅱ）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另3天的数据，求出y关于x的线性回归方程=x+．（参考公式：=，=﹣）考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）用数组（m，n）表示选出2天的发芽情况，用列举法可得m，n的所有取值情况，分析可得m，n均不小于25的情况数目，由古典概型公式，计算可得答案；（Ⅱ）根据所给的数据，先做出x，y的平均数，即做出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．解答：解：（Ⅰ）用数组（m，n）表示选出2天的发芽情况，m，n的所有取值情况有：（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（30，26），共有10个设“m，n均不小于25”为事件A，则包含的基本事件有（25，30），（25，26），（30，26）所以P（A）=，故m，n均不小于25的概率为；（Ⅱ）由数据得=12，=27，3•=972，x i y i=977，x i2=434，32=432．由公式，得==，=27﹣×12=﹣3．所以y关于x的线性回归方程为=x﹣3．点评：本题考查回归直线方程的计算与应用，涉及古典概型的计算，是基础题，在计算线性回归方程时计算量较大，注意正确计算．19．在一个盒子里放有6张卡片，上面标有数字1，2，3，4，5，6，现在从盒子里每次任意取出一张卡片，取两张．（1）若每次取出后不再放回，求取到的两张卡片上数字之积大于12的概率；（2）在每次取出后再放回和每次取出后不再放回这两种取法中，得到的两张卡片上的最大数字的期望值是否相等？请说明理由．考点：离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）设第一、第二次所取得的数字分别为X，Y，列表如下：由表格可知：基本事件的总数为30，其中取到的两张卡片上数字之积大于12的共有10种，利用古典概率计算公式即可得出；（2）（i）在每次取出后再放回：设第一、第二次所取得的数字分别为X，Y，列表如下：由表格可知：基本事件的总数为36，设两次取得的最大数为ξ，分别求出P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），P（ξ=5），P（ξ=6），即可得出数学期望．（ii）在每次取出后不再放回：设第一、第二次所取得的数字分别为X，Y，列表如下：由表格可知：基本事件的总数为30，设两次取得的最大数为η，可得P（η=2），P（η=3），P（η=4），P（η=5），P（η=6），即可得出数学期望．解答：解：（1）设第一、第二次所取得的数字分别为X，Y，列表如下：X•Y 1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 62 2 6 8 10123 3 61215184 4 8 12 20245 5 1015 20 306 6 1218 2430由表格可知：基本事件的总数为30，其中取到的两张卡片上数字之积大于12的共有10种，∴取到的两张卡片上数字之积大于12的概率P==．（2）（i）在每次取出后再放回：设第一、第二次所取得的数字分别为X，Y，列表如下：{X，Y}max 1 23 4561 1 23 4562 2 23 4563 3 33 4564 4 44 4565 5 55 5566 6 66 666由表格可知：基本事件的总数为36，设两次取得的最大数为ξ，则P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，P（ξ=4）=，P（ξ=5）=，P（ξ=6）=，其数学期望为E（ξ）=1×+2×+3×+4×+5×+6×=．（ii）在每次取出后不再放回：设第一、第二次所取得的数字分别为X，Y，列表如下：{X，Y}max（X表示列数字，Y表示横行数字） 1 23 4561 23 4562 23 4563 3 34 564 4 44 565 5 55 5 66 6 66 66由表格可知：基本事件的总数为30，设两次取得的最大数为η，则P（η=2）=，P（η=3）=，P（η=4）=，P（η=5）=，P（η=6）=，其数学期望为E（η）=2×+3×+4×+5×+6×=．因此在每次取出后再放回和每次取出后不再放回这两种取法中，得到的两张卡片上的最大数字的期望值不相等，其中E（ξ）＜E（η）．点评：本题考查了古典概率计算公式、分布列及其数学期望、有放回与不放回抽取的区别，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）．如图所示茎叶图为甲、乙两班（每班均为20人）学生的数学期末考试成绩．（1）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请画出下面的2×2列联表．（2）判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．甲班乙班合计优秀不优秀合计下面临界值表仅供参考：P（x2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式：K2=．考点：独立性检验的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）由所给数据，结合40，即可补全2×2列联表；（2）根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，即可得出结论．解答：解：（1）甲班乙班合计优秀 6 14 20不优秀14 6 20合计20 20 40…（6分）（2）K2==6.4＞5.024 …（10分）因此，我们有97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关．…（12分）点评：本题考查了由茎叶图求分类变量的列联表，及根据列联表计算相关指数K2的观测值，考查概率知识的运用，属于中档题．21．已知椭圆C：=1的左焦点F1的坐标为（﹣，0），F2是它的右焦点，点M是椭圆C上一点，△MF1F2的周长等于4+2．（1）求椭圆C的方程；（2）过定点P（0，2）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且OA⊥OB（其中O为坐标原点），求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知得，由此能求出椭圆C的方程．（2）当直线l的斜率不存在时，不满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx﹣2，联立，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，由此利用根的判别式、根与系数关系、向量知识，结合已知条件能求出直线l的方程．解答：解：（1）∵椭圆C：=1的左焦点F1的坐标为（﹣，0），F2是它的右焦点，点M是椭圆C上一点，△MF1F2的周长等于4+2，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆C的方程为．（2）当直线l的斜率不存在时，不满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，△=（﹣16k）2﹣48（1+4k2）＞0，由根与系数关系得x1+x2=，x1•x2=，∵y1=kx1﹣2，y2=kx2﹣2，∴y1y2=k2x1•x2﹣2k（x1+x2）+4．∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，∴（1+k2）x1x2﹣2k（x1+x2）+4=0，∴﹣+4=0，解得k=±2，∴直线l的方程是y=2x﹣2或y=﹣2x﹣2．点评：本题考查椭圆方程和直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、根与系数关系、向量知识的合理运用．22．已知函f（x）=ax2﹣e x（a∈R）．（Ⅰ）a=1时，试判断f（x）的单调性并给予证明；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．（i）求实数a的取值范围；（ii）证明：﹣．（注：e是自然对数的底数）考点：利用导数研究函数的单调性；函数的值域；函数在某点取得极值的条件．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）把a=1代入函数解析式，求出函数的导函数，把导函数二次求导后，求出导函数的最大值，得到导函数的最大值小于0，从而得到原函数是实数集上的减函数；（Ⅱ）（i）把函数f（x）=ax2﹣e x有两个极值点转化为其导函数f′（x）=2ax﹣e x有两个根，分离变量a后分析右侧函数的单调性，该函数先减后增有极小值，然后根据图象的交点情况得到a的范围；（ii）由x1是原函数的导函数的根，把x1代入导函数解析式，用x1表示a，然后把f（x1）的表达式中的a替换，得到关于x1的函数式后再利用求导判断单调性，从而得到要征得结论．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2﹣e x，f（x）在R上单调递减．事实上，要证f′（x）=x2﹣e x在R上为减函数，只要证明f′（x）≤0对∀x∈R恒成立即可，设g（x）=f′（x）=2x﹣e x，则g′（x）=2﹣e x，当x=ln2时，g′（x）=0，当x∈（﹣∞，ln2）时，g′（x）＞0，当x∈（ln2，+∞）时，g′（x）＜0．∴函数g（x）在（﹣∞，ln2）上为增函数，在（ln2，+∞）上为减函数．∴f′（x）max=g（x）max=g（ln2）=2ln2﹣2＜0，故f′（x）＜0恒成立所以f（x）在R上单调递减；（Ⅱ）（i）由f（x）=ax2﹣e x，所以，f′（x）=2ax﹣e x．若f（x）有两个极值点x1，x2，则x1，x2是方程f′（x）=0的两个根，故方程2ax﹣e x=0有两个根x1，x2，又因为x=0显然不是该方程的根，所以方程有两个根，设，得．若x＜0时，h（x）＜0且h′（x）＜0，h（x）单调递减．若x＞0时，h（x）＞0．当0＜x＜1时h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞1时h′（x）＞0，h（x）单调递增．要使方程有两个根，需2a＞h（1）=e，故且0＜x1＜1＜x2．故a的取值范围为．（ii）证明：由f′（x1）=0，得：，故，x1∈（0，1）=，x1∈（0，1）设s（t）=（0＜t＜1），则，s（t）在（0，1）上单调递减故s（1）＜s（t）＜s（0），即．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数在某点取得极值的条件，解答此题的关键是利用二次求导判断函数导函数的符号，这也是此类问题经常用到的方法．此题是有一定难度题目．。