水平面、斜面、竖直面的正交分解
正交分解高一物理必修1受力分析之正交分解.ppt
矢量的运算。
步骤
1、先对物体进行受力分析，画出受力示意图。 2、以力的作用点为坐标原点，恰当地建立直角坐 标系，标出x轴和y轴。 注意：坐标轴方向的选择虽具有任意性， 但原则是：使坐标轴与尽量多的力重合， 使需要分解的力尽量少和容易分解。 3、将不在坐标轴上的各力分解为沿两坐标轴方向 的分力，并在图上标明。
F3x
F1x
O
F3y
x
F
F
y
x
F1 F2 x F3x ...
F3 y
ΣF
F1y F2 y F3 y ...
ΣFy
2 2 F F x y
F
tan
Fy Fx
O
ΣFx
x
目的：
是化复杂的矢量运算为普通的代数运
算，将力的合成化简为同向或反向或垂直
方向。便于运用普通代数运算公式来解决
1．如图所示，用绳AO和BO吊起一个重 100N的物体，两绳AO、BO与竖直方向 的夹角分别为30o和45o，求绳AO和BO对 物体的拉力的大小。
2. 如图所θ＝370，sin370＝0.6 cos370 ＝0.8。箱子重G＝200N，箱子与地面的 动摩擦因数μ＝0.30。要匀速拉动箱子， 拉力F为多大？
Ff=μ FN
Ff Gsinα
Fcosα F Fsinα G Gcosα
x
例1：一个物体受到四个力的作用，已知
F1=1N，方向正东；F2=2N，方向东偏北 600，F3= 3 3 N，方向西偏北300；F4=4N， 方向东偏南600，求物体所受的合力。
y
F3 F2y
300
F3y F2
600
2x
F4x
A FAO FAOX O y FAOY B
牛顿第二定律十大题型分类汇总(详解版)
牛顿第二定律十大题型分类汇总(带详解）一、牛顿第二定律与斜面结合1．如图所示，一足够长的固定在水平面上的斜面，倾角37θ= ，斜面BC 与水平面AB 平滑连接，质量2kg m =的物体静止于水平面上的M 点，M 点与B 点之间的距离9m L =，物体与水平面和斜面间的动摩擦因数均为0.5μ=，现物体受到一水平向右的恒力14N F =作用，运动至B 点时撤去该力，B 点有一小圆弧，使得物体经过B 点时只有速度方向发生改变，速度大小不变，重力加速度210m/s g =，则：（1）物体到达B 点时的速度大小；（2）物体沿斜面向上滑行的最远距离。
（3）物体从开始运动到最后停止运动的总时间。
解得212m/s a =由M 到B 有212B v a L=解得6m/sB v =（2）沿斜面上滑时，根据牛顿第二定律得2sin37cos37mg mg ma μ︒+︒=解得2210m/s a =沿斜面运动的最远距离为（3）从M 点运动到B 点的时间为从B点运动到斜面最高点的时间为沿斜面下滑时的加速度为3sin37cos37mg mg ma μ︒-︒=解得232m/s a =沿斜面下滑的时间为解得下滑到B点时的速度为在水平面上运动的加速度大小为4mg ma μ=解得245m/s a =从B点到静止的时间为物体从开始运动到最后停止运动的总时间为1234t t t t t =+++解得2．一质量m =2kg 小物块从斜面上A 点由静止开始滑下，滑到斜面底端B 点后沿水平面再滑行一段距离停下来。
若物块与斜面、水平面间的动摩擦因数均为μ=0.25。
斜面A、B 两点之间的距离s =18m，斜面倾角θ=37°（sin37°=0.6；cos37°=0.8）斜面与水平面间平滑连接，不计空气阻力，g =10m/s 2。
求：（1）物块在斜面上下滑过程中的加速度大小；（2）物块滑到B 点时的速度大小；（3）物块在水平面上滑行的时间。
6-3-2平面向量的正交分解及坐标表示(教学课件)——高中数学人教A版(2019)必修第二册
如图，已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是
（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标.
解法１：设点D的坐标为（x,y） AB (1,3) (2,1) (1, 2) DC (3, 4) (x, y) (3 x, 4 y) 且AB DC
(1, 2) (3 x, 4 y) 13x
y
7
D4Biblioteka BCjx
o iA 3 5
（3）向量 CD 能否由 i, j 表示出来？可以的话，如何表示？
CD 2 i 3 j
（一）平面向量的坐标表示 y
D
i, j
a C
i, j
A
对于该平面内的任一向量
a
，
j
o
有且只有一对实数x、y，可使
i
B
x
a xi +y j
a
a (x, y)
显然， i 1,0, j 0,1,0 0,0.
【即时训练】
写出下列向量的坐标,其中 i，j 是与x轴，y轴方向相同的单位 向量.
(1)a =2i+3 j
(3)a =-i-3 j
(4)a=-5 j
(5)a =-4i
答案： (1)a (2, 3) (2)a (2, 3) (3)a (1, 3) (4)a (0, 5) (5)a (4, 0)
第6章 平面向量及其应用
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为 G， 下滑力为 F1，木块对斜面的压力为 F2.
问题：这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？
O F1
G F2
把一个向量分解为两个互相垂直的向量， 叫作把向量正交分解.
(完整)1力的正交分解法及其应用
又f =μN;
③
联立①②③得F=μGB+FA(cos θ-μsin θ). 可见,随着θ不断减小,水平力F将不断增大.
答案 随着θ不断减小,水平力F将不断增大
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练习8如图1所示,重物的质量为m,轻细绳AO和BO的 A端、B端是固定的,平衡时AO水平,BO与水平面的夹
角为θ,AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小是多少？
为θ3，绳子的张力为F3。不计摩擦。则（ A．θ1=θ2 =θ3 B．θ1= θ2＜θ3 C．F1＞F2＞F3 D．F1＝F2＜F3
）
θθ
θ
答案：BD
拓展练习1如图所示，质量为m的物体在与竖直方向成 θ角的恒力F作用下沿粗糙墙面向上匀速运动，求物 体与墙壁间的动摩擦因数。
F θ
F G cos - sin
正交分解力的目的： 化复杂的矢量运算为普通的代数运算。便于运
用普通代数运算公式来解决矢量的运算。
基本思想： 正交分解法求合力，运用了“欲合先分”的策
略，即先分解再合成，降低了运算的难度，是一种 重要物理思维方法。
五、典例 求合力
例1一个物体受到四个力的作用，已知F1=1N，方向
正东；F2=2N，方向东偏北600，F3= 3 3 N，方向西
解题步骤 1、画出物体的受力图 2、建立直角坐标系 3、正交分解各力
4、别写出x、y方向的方程
5、根据方程求解
练习2质量为m的物体在与水平方向成θ角的恒力F作 用下，沿水平天花板向右做匀速直线运动。物体与天 花板间动摩擦因数为μ。请写出物体受摩擦力大小的 表达式。
F mg sin cos
练习3如图所示，用绳AO和BO吊起一个重100N的物体， 两绳AO、BO与竖直方向的夹角分别为30o和40o，求绳 AO和BO对物体的拉力的大小。
正交分解法和矢量图解法
正交分解法和矢量图解法正交分解法和矢量图解法是解决力学问题最基本的解法，我们以教材第三章课后复习与提高B 组习题第4题为例，谈谈这两种解法的基本思路，希望对同学们有所帮助。
题目如下：如图1所示，重力为G 的木块，恰好能沿倾角为θ的斜面匀速下滑，那么要将木块沿斜面匀速向上推，必须加多大的水平推力F?1. 正交分解法题上共涉及两个过程，前者木块匀速下滑，后者木块被匀速向上推。
先看第一个过程，物体受重力、弹力和摩擦力三个力的作用，如图2所示，因为物体匀速下滑，所以合外力为0，也可以理解为，其中任何两个力的合力跟第三个力是一对平衡力，我们作支持力F N 和摩擦力F f 的合力Q ，Q 与重力是一对平衡力，即：Q=mg ，如图3所示，其中，支持力F N 和竖直方向间的夹角为θ。
由图可知：θcos θcos mg Q F N ==θsin θsin mg Q F f ==，又因图 1图 3图 2为木块和斜面间的滑动摩擦力F f 等于压力F N 乘以摩擦系数μ，所以有：θtan θcos θsin μ===mg mg F F Nf 。
再研究木块被水平恒力F 推着匀速向上运动的过程，此时木块受四个力的作用，如图4所示。
我们以木块的重心为原点，沿斜面向上为X 轴正向，垂直于斜面向上为Y 轴正向，建立平面直角坐标系，将物体所受的每一个力都沿两坐标轴的方向进行分解，如图5所示，其中，水平推力F 与斜面间的夹角为θ，有：θcos F F x =，θsin F F y -=；0='Nx F ，N Ny F F '='；θsin mg G x -=，θcos mg G y -=；f fxF F '-='，0='fy F 。
因为木块匀速向上运动，所以合外力为0，X 方向分量式为：0=+'+'+x fx Nx xG F F F ，即：0θsin 0cos θ=-'-+mg F F f ；Y 轴方向分量式为：0=++'+'y y fy NyF G F F ，即：0θsin θcos 0=--+'F mg F N 。
向量正交分解和斜交分解坐标运算
向量正交分解和斜交分解坐标运算示例文章篇一：《向量正交分解和斜交分解坐标运算：一场奇妙的数学之旅》嘿，小伙伴们！今天咱们来聊聊超级有趣的向量正交分解和斜交分解坐标运算。
你可能一听这名字就觉得好高深，可别被它吓着了，就像一只纸老虎，看着吓人，其实没那么难的。
先说说向量吧。
向量就像是个调皮的小箭头，它有大小，还有方向。
想象一下，你在操场上，从一个点跑到另一个点，你跑的这个路径就可以看成是一个向量呢。
那向量正交分解是啥呢？正交就是垂直的意思，就像咱们教室的墙角，两条边是垂直的。
我们把一个向量分解成在互相垂直方向上的几个向量，这就是正交分解啦。
比如说，我在一个平面上有个向量，我可以把这个平面想象成一个大棋盘。
这个向量就像一个小棋子要走到某个位置。
那我可以把这个向量沿着棋盘的横边和竖边分解。
这横边和竖边就像是两个互相帮助的小伙伴，一起把这个向量表示出来。
要是用坐标来表示的话，就特别方便。
就像我们在地图上找地方，经度和纬度一样，横的坐标和竖的坐标一确定，这个点就找到了，向量也一样，横方向的向量大小和竖方向的向量大小一确定，这个向量就确定下来了。
我给你们讲个我和我的小伙伴讨论向量正交分解的事儿。
那天，我和小明在课间讨论数学题。
我就跟他说：“小明啊，这个向量正交分解可太神奇了。
你看这个向量就像一个有魔法的小棍儿，我们把它在两个垂直方向上一分解，就像把一个大蛋糕切成两块，一块沿着长的方向，一块沿着宽的方向，然后每一块都能清楚地知道是多少。
”小明眼睛亮晶晶地说：“是啊，那坐标运算是不是就像把这两块蛋糕的大小用数字表示出来呀？”我一拍脑袋说：“哎呀，你可太聪明了！就像我们在超市里买东西，每个东西都有个价格标签，坐标就是向量在每个方向上的‘价格标签’呢。
”那斜交分解又是怎么回事呢？斜交分解不像正交分解那样是在垂直方向上分解，而是在不垂直的方向上分解。
这就有点像我们在一个斜着的山坡上走路。
我们不能像在平地上那样简单地用横和竖的方向来表示我们走的路，而是要根据山坡的斜度，找到合适的方向来分解我们走路的这个向量。
正交分解
建立原则： ａ、沿物体的运动方向和垂直于物体的运动方向； ｂ、沿力的方向，使尽量多的力在坐标轴上。
课堂练习
例1、一物体受到三个共点力的作用，如图所示。 求三力的Fra bibliotek力。 F1 =5N
F3=7N
370
F2 =6N
课堂练习
例2、一物体放在水平桌面上,现对物体施加一个斜 向上的拉力F,使物体在水平桌面上做匀速直线运动. 下面说法正确的是: A.物体不一定受摩擦力作用 B.物体所受的滑动摩擦力与F的合外力一定为0 C.物体所受的滑动摩擦力与F的合外力一定向前 D.物体所受的滑动摩擦力与F的合外力一定向上
三、几何图形关系简单，是直角三角形，解直角 三角形方法多，容易求解。
3、正交分解的一般步骤 ： （重点）
1、建立xOy直角坐标系（原则：尽可能方便的描述 物体的状态） 2、将所有力依次向x轴和y轴上分解为Fx1、Fx2 .......，
Fy1、Fy2 .......
3、分别求出x轴和y轴上的合力Fx、Fy
物体运动方向
课堂练习
例3 静止在斜面上的物体重力为100N,斜面夹角 =30o
求：挡板、斜面对木块的力
FN1
FN2
结论：物体受力平衡条件就是 F合 0
正交分解中即 Fx 0、Fy 0
G
重为150N的物体受到与水平方 向成30度斜向上的拉力F=60N， 在水平面内做匀速直线运动。 求物体与地面间的滑动摩擦系 F 数?
4、求出合力F，大小:F F F ；方向:tan
2 x 2 y
Fy Fx
------常见的物体情景的正交分解
1.斜面 ------常将平行于斜面方向和垂直于斜面方向作为x 轴和y轴,然后将其它力都分解在这两个方向上. 2.水平面(或竖直面),但可能存在与水平面(或竖直 面)成一定夹角的力. ------常将水平面和竖直面作为x轴和y轴,然后将 其它力都分解在这两个方向上.
抛体运动(原卷版)-2023年高考物理压轴题专项训练(全国通用)
压轴题02抛体运动考向一/选择题：平抛运动与斜面相结合的问题考向二/选择题：平抛运动的临界与极值的问题考向三/选择题：斜抛运动考向一：平抛运动与斜面相结合的问题图示方法基本规律运动时间分解速度，构建速度的矢量三角形水平v x ＝v 0竖直v y ＝gt 合速度v ＝v x 2＋v y 2由tanθ＝v 0v y ＝v 0gt 得t ＝v 0g tan θ分解位移，构建位移的矢量三角形水平x ＝v 0t 竖直y ＝12gt 2合位移x 合＝x 2＋y 2由tanθ＝y x ＝gt 2v 0得t ＝2v 0tan θg在运动起点同时分解v 0、g 由0＝v 1－a 1t,0－v 12＝－2a 1d 得t ＝v 0tan θg ，d ＝v 02sin θtan θ2g分解平行于斜面的速度v由v y ＝gt 得t ＝v 0tan θg考向二：平抛运动的临界与极值的问题擦网压线既擦网又压线由21122121⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-v x g gt h H 得：()h H g x v -=211由222122121⎪⎪⎭⎫⎝⎛+==v x x g gt H 得：()Hgx x v 2212+=由20122121⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-v x g gt h H 和202122121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==v x x g gt H 得：()22121x x x H hH +=-考向三：斜抛运动处理方法水平竖直正交分解化曲为直最高点一分为二变平抛运动逆向处理将初速度和重力加速度沿斜面和垂直斜面分解基本规律水平速度：θcos 0v v x =tv x ⋅=θcos 0竖直速度：gtv v y -=θsin 02021sin gt t v y -=θ最高点：()gv h m2sin 20θ=最高点：速度水平θcos 00v v x =垂直斜面：αcos 1g g =t g v v ⋅-=101cos θ21021cos t g t v y -=θ沿着斜面：αsin 2g g =t g v v ⋅+=202sin θ22021sin t g t v x +=θ最高点：()1202cos g v h mθ=1．如图，滑雪运动员从高度h 的A 点静止滑下，到达B 点后水平飞出，落到足够长的斜坡滑道C 点，已知O 点在B 点正下方，OC=CD ，不计全程的摩擦力和空气阻力，若运动员从高度4h处由静止开始滑下，则运动员（）A．可能落到CD之间B．落到斜面瞬间的速度大小可能不变C．落到斜面瞬间的速度方向可能不变D．在空中运动的时间一定小于原来的两倍2．为探究斜面上平抛运动的规律，第一次从平台上的P点，以不同水平初速抛出可视为质点的小球，小球分别落在平台下方倾角为 的斜面上的A、B两点，两落点处小球的速度方向与斜面间的夹角记为αA、αB，如图所示。
力的正交分解法
北京四中力的正交分解法在处理力的合成和分解的复杂问题时，有一种比较简便宜行的方法——正交分解法。
求多个共点力合成时，如果连续运用平行四边形法则求解，一般说来要求解若干个斜三角形，一次又一次地求部分的合力的大小和方向，计算过程显得十分复杂，如果采用力的正交分解法求合力，计算过程就简单多了。
正交分解法——把力沿着两个经选定的互相垂直的方向分解，其目的是便于运用普通代数运算公式来解决矢量运算。
利用力的正交分解法求合力：这是一种比较简便的求合力的方法，它实际上是利用了力的分解的原理把力都分解到两个互相垂直的方向上，然后就变成了在同一直线上的力的合成问题了.这样计算起来就简单多了。
力的正交分解法步骤如下：1、正确选定直角坐标系：通常选共点力的作用点为坐标原点，坐标轴的方向的选择则应根据实际问题来确定。
原则是使坐标轴与尽可能多的力重合，即是使需要向两坐标轴投影分解的力尽可能少，在处理静力学问题时，通常选用水平方向和竖直方向上的直角坐标，当然在其它方向较简便时，也可选用。
一般选水平和竖直方向上的直角坐标；也可以选沿运动方向和垂直运动方向上的直角坐标.在力学计算上，这两种选择可以使力的计算最简单，只要计算到互相垂直的两个方向就可以了，不必求总合力.2、分别将各个力投影到坐标轴上：分别求x轴和y轴上各力的投影的合力和其中：（式中的轴上的两个分量，其余类推。
）这样，共点力的合力大小可由公式：求出。
设力的方向与轴正方向之间夹角是。
∴通过数学用表可知数值。
注意：如果这是处理多个力作用下物体平衡问题的好办法。
计算方法举例：例：如图所示，物体A在倾角为θ的斜面上匀速下滑，求物体受到的摩擦力及动摩擦因数。
分析：选A为研究对象分析A受力作受力图如图，选坐标如图：将不在坐标轴上的重力在x,y坐标上分解：Gx=GžsinθGy=Gžcosθf在x轴(反向),N在y轴上(正向)∵物体匀速下滑则有则。
斜面正交分解
F
甲
（1）物体与斜面间的滑动摩擦因数； （2）拉力 F 大小； （3）物体离开斜面时的速度大小。
试卷第 1 页，总 1 页
2．如图所示，在表面粗糙、倾角为 37 的斜面上，有一质量为 m 的物块，被平行于斜 面的力 F 推着沿斜面向上运动，推力 F 与物块速度 v 随 时间 变化规律如图所示。 （ g 10m / s2 ,sin 370 0.6 ）求：
（1）物块的质量 m 。 （2）物块与斜面之间的动摩擦因数 。
0.5
3．（1）μ=0.5（2）F=30N（3）
【解析】 试题分析：（1）由速度时间图像得：物体向上匀减速时 a1=10m/s2 根据牛顿第二定律得：a1=gsinθ+μgcosθ，可得：μ =0.5 (2) 由速度时间图像得：物体向上匀加速时 a2=10m/s2 根据牛顿第二定律得：F-mgsinθ-mμgcosθ=ma2，可得：F=30N。 （3）由速度时间图像得：物体沿斜面上升的位移 X=30m 物体返回时的加速度 a3= gsinθ-μgcosθ=2m/s2
则此时摩擦力是滑动摩擦力，又弹力 FN 与重力另一分力平
衡，则此时摩擦力大小为 Ff FN G cos 12N
此时，沿斜面方向的平衡力可表示为 Ff G sin F
得 F 2N
（3）当沿斜面向上拉时，摩擦力方向沿斜面向下，则平衡力可表示为 Ff G sin F
得 F 22N 2．（1） m 10kg （2） 0.5
【解析】0—4s：物块做初速度为零的匀加速运动，速度达到 v=lm／s
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-1-
“水平面、坚直面、斜面”上平衡的处理
要求写出所有的过程
一、水 平 面
1. 重为G的物体与水平地面间的动摩擦因数为μ，拉力与水平方向成α角斜向右上方，如
果物体在水平方向做匀速直线运动，那么拉力的大小为F＝ ，拉力与
摩擦力的合力的方向是 。
2. 如图所示，重为G的木块A在与水平面成θ角斜向上的F拉力作用下做匀速直线运动，
物体受到的摩擦力大小为（ ）。
（A）Fsinθ （B）Fcosθ
（C）μG （D）μ（G－Fsinθ）
3. 如图所示，重为G的物体在大小为F、方向与水平地面成θ角斜向下的力作用下静止于
水平地面上，则物体所受支持力的大小为 ，摩擦力的大小为 。
-2-
4. 匀速拉动放在水平地面上质量为1kg的物体，需水平拉力为4N。若改用与水平方向成30°
角斜向上的拉力使物体仍做匀速运动，则此拉力的大小为 N。
5. 如图所示，物体所受重力为G，施以大小为F与水平方向间夹角为α的推力，则为使物
体沿天花板向右匀速运动，F必须满足的条件是 ，此时物体与天花板间的动
摩擦因数为 。
二、斜 面
1. 重为10N的物体放在倾角为30°的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为3 2 ，现用平
行于斜面的拉力作用于物体，为使物体沿斜面向下匀速运动，则拉力的大小为 N，方
向 。
-3-
2.质量为20kg的物体，放在倾角为30°的斜面上恰能匀速下滑，求：
（1）物体和斜面间的滑动摩擦系数，
（2）若要使物体沿斜面匀速向上运动，需对物体施加多大的沿斜面向上的力？（g取10N/kg）
（3）若使拉力改为水平向右，物体沿斜面匀速向上运动，F又为多大？
-4-
三、坚 直 面
1. 如图所示，物体重为G＝35N，用大小为F＝40N、与竖直方向成60°角斜向上的力推物
体，使物体沿竖直墙壁恰匀速下滑，则物体所受摩擦力的大小为 N，物体与墙面间的
动摩擦因数为 。
2. 如图所示，物体A重为10N，受到一个斜向上的力F作用，当F＝102 N时，物体A
静止不动，此时A受到的摩擦力大小为 N，当F＝202 N时，A正好沿竖直墙壁匀速
上滑，则A与墙壁间的动摩擦因数为 。