2013文科数学数列

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2013年高考试题及解析：文科数学(新课标Ⅰ卷)

绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x |x =n 2，n ∈A ｝，则A ∩B= （）（A ）｛0｝（B ）｛－1，,0｝（C ）{0，1} （D ）｛－1，,0，1} 【答案】A 【解析】【难度】容易【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系.在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算.在高考精品班数学（文）强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解. （2）1＋2i(1－i)2＝（）（A ）－1－12i（B ）－1＋12i（C ）1＋12i（D ）1－12i【答案】B 【解析】【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。

在高二数学（文）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。

在高考精品班数学（文）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。

（3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）（A ）12（B ）13（C ）14（D ）16【答案】B【难度】容易【点评】本题考查几何概率的计算方法。

在高二数学（文）强化提高班，第三章《概率》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对概率相关知识的总结讲解。

2013～2019年高考文科数学试题分类汇编第6章数列第1节等差数列与等比数列

第六章数列第1节等差数列与等比数列题型70 等差、等比数列的通项及基本量的求解1. (2013安徽文7)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，134S a =，22a =-，则9a =( ).A. 6B. 4C.2- D. 21.分析借助等差数列前n 项和公式及通项公式的性质，计算数列的公差，进而得到9a 的值. 【试题解析】由等差数列性质及前n 项和公式，得()18882a a S +=()36344a a a =+=，所以60a =.又72a =-，所以公差2d =-，所以9726a a d =+=-.故选A.2.(2013辽宁文14)已知等比数列{}n a 是递增数列，nS是{}n a 的前n 项和.若13a a，是方程2540x x -+=的两个根，则6S = .2.解析：因为1a ，3a 是方程2540x x -+=的两个根，且数列{}n a 是递增的等比数列，所以11a =，34a =，2q =，所以66126312S -==-. 3. (2013四川文16)在等比数列{}n a 中，212aa -=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和.3．分析由已知列出两个含1a 和q 的方程并求解，再借助等比数列求和公式得n S ．【试题解析】设该数列的公比为q ．由已知，得1121112,43,a q a a q a a q -=⎧⎨=+⎩所以()1212,430,a q q q ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩解得11,3.a q =⎧⎨=⎩(1q =舍去) 故首项11a =，公比3q =.所以数列的前n 项和312n n S -=.4. (2013山东文20)设等差数列{}n a 的前n 项和为nS，且424S S =，221n n a a =+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足1212112n n n b b b aa a ++⋅⋅⋅+=-，n *∈Ν，求数列{}nb 的前n 项和n T ． 4.分析 (1)由于已知{}n a 是等差数列，因此可考虑用基本量1,a d 表示已知等式，进而求出{}n a 的通项公式.(2)先求出nnb a ，进而求出{}n b 的通项公式，再用错位相减法求{}n b 的前n 项和.【试题解析】(1)设等差数列{}n a 的前项为1a，公差为d .由424S S =，221nn a a =+，得()()11114684,21221 1.a d a d a n d a n d +=+⎧⎪⎨+-=+-+⎪⎩ 解得11,2.a d =⎧⎨=⎩因此*21,n a n n =-∈N .(2)由已知*121211,2n n n b b b n a a a +++=-∈N ，当1n =时，1112b a =；当2n ≥时，111111=222n n n nn b a -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭.所以*1,2n n n b n a =∈N . 由(1)知*21,n a n n =-∈N ，所以*21=,2n n n b n -∈N .所以23135212222n nn T -=++++. 231113232122222n n n n n T +--=++++. 两式相减，得2311122221222222n n n n T +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭113121222n n n -+-=--，所以2332n nn T +=-. 5.(2013浙江19)在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a=，且1a ，222a +，35a 成等比数列. (1)求d ，n a ； (2)若0d <，求123 .n a a a a +++⋯+5.分析 (1)用1,a d 把23,a a 表示出来，利用123,22,5a a a +成等比数列列方程即可解出d ，进而根据等差数列的通项公式写出n a .(2)根据(1)及0d <确定数列的通项公式，确定n a的符号，以去掉绝对值符号，这需要对n 的取值范围进行分类讨论. 解析(1)由题意得，()2132522a a a ⋅=+，由110a =，{}n a 为公差为d 的等差数列得，2340d d --=，解得1d =-或4d =.所以()*11n a n n =-+∈N 或()*46n a n n =+∈N .(2)设数列{}n a 的前n 项和为n S .因为0d <，由(1)得1d =-，11n a n =-+，所以当11n ≤时，123n a a a a ++++=212122n S n n =-+；当12n ≥时，212311121211022n n a a a a S S n n ++++=-+=-+. 综上所述，123n a a a a ++++22121,11,22121110,12.22n n n n n n ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩≤≥ 6.(2014重庆文2)在等差数列{}n a 中，1352,10a a a =+=，则7a =( ).A.5B.8C.10D.147.(2014江苏7)在各项均为正数的等比数列{}n a 中，21a =，8642a a a =+，则6a 的值是．8.(2014新课标Ⅰ文17)(本小题满分12分)已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根.(1)求{}n a 的通项公式； (2)求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 9. (2014山东文19)(本小题满分12分)在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()12n n n b a +=，记()12341nn n T b b b b b =-+-+-+-…，求n T .10.(2014福建文17)(本小题满分12分) 在等比数列{}n a 中，253,81a a ==.(1)求n a ； (2)设3log nn b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .11.(2014浙江文19)已知等差数列{}n a 的公差0d >，设{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2336S S ⋅=.(1)求d 及n S ；(2)求,m k ()*,m k ∈N的值，使得1265mm m m k aa a a +++++++=.12.(2015北京文5)执行如果所示的程序框图，输出的k 值为( ). A.3 B. 4C.5D.612.【试题解析】解法一:执行程序框图，13322a =⨯=，1k =，3124a =<−−→否313224a =⨯=，2k =，3144a =<−−→否313428a =⨯=，3k =，3184a =<−−→否3138216a =⨯=，4k =，31164a =<−−→是输出4k =.故选B.解法二：由算法图知a 是一个以3为首项，12为公比的等比数列，即13()2k k a =，解得4k =. 13.(2015全国文7)已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =( ). A.172 B. 192C.10D.1213.【试题解析】解法一：由844S S =，1d =，知()()118814418144122a a --⎡⎤+⨯=+⨯⎢⎥⎣⎦，解得112a =.所以()10119101122a =+-⨯=.故选B. 解法二：由844S S =，即()()1814442a a a a +=⨯+，可得8142a a a =+. 又公差1d =，所以817a a =+，即427a =，解得472a =. 则1041962a a =+=.故选B. 14.(2015全国1文13)在数列{}n a 中，112,2n n a a a +==，n S 为{}n a 的前n 项和.若126n S =，则n = .14.【试题解析】由12n n a a +=，得12n na a +=，即数列{}n a 是公比为2的等比数列. ()()11212126112n n n a q S q--===--，得6n =.15.(2015全国Ⅱ文9)已知等比数列{}n a 满足411=a ，()35441a a a =-，则=2a ( ). A.2 B.1 C.21 D.81 15.【试题解析】由等比数列的性质得2354a a a =，即()24441a a =-，则42a = .所以有3418a q a ==，所以2q =.故2112a a q ==.故选C. 16.(2015陕西文13)中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________.16.【试题解析】若这组数有21n +个，则11010n a +=，212015n a +=，又12112n n a a a +++=，所以15a =；若这组数有2n 个，则1101022020n n a a ++=⨯=，22015n a =，又121n n n a a a a ++=+，所以15a =.17.(2016江苏8)已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和.若2123a a +=-，510S =，则9a 的值是 .17.20【试题解析】设公差为d ，则由题意可得()2111351010a a d a d ⎧++=-⎪⎨+=⎪⎩，解得143a d =-⎧⎨=⎩，则948320a =-+⨯=.18.(2016全国甲文17)等差数列{}n a 中，344a a +=，576a a +=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设[]nn b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]2.62=.18.【试题解析】(1)3415712542106a a a d a a a d +=+=⎧⎨+=+=⎩，解得1125a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以()2231155n n a n +=+-=(*n ∈N ). (2)[]121079111555b b b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++=++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L []1317192123355555⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦111223334424+++++++++=.19.(2017江苏9)等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知374S =，6634S =，则8a = ．19.【试题解析】解法一：由题意等比数列公比不为1，由()()313616171416314a q S q a q S q ⎧-==⎪-⎪⎨-⎪==⎪-⎩，因此36319S q S =+=，得2q =．又3123S a a a =++()2117174a q qa=++==，得114a =，所以78132a a q ==．故填32．解法二(由分段和关系)：由题意3363374634S S S q S ⎧=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，所以38q =，即2q =．下同解法一．20.(2017全国1文17)记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.已知22S =，36S =-. (1)求{}n a 的通项公式；(2)求n S ，并判断1n S +，n S ，2n S +是否成等差数列.20.【试题解析】 (1)由题意设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则2112311126S a a q S a a q a q =+=⎧⎨=++=-⎩，从而2131q q q ++=-+，即()2131q q q ++=-+，整理得()220q +=，因此2q =-，所以12a =-，数列{}n a 的通项公式为()2nn a =-．(2)由(1)知()()()()212212123nn nS ⎡⎤-⨯--⎣⎦⎡⎤==---⎣⎦--，因此()()+121222121233n n n n S S +++⎡⎤⎡⎤+=------=⎣⎦⎣⎦()()+1222223n n +⎡⎤-----⎣⎦()()2222423n n ⎡⎤=-+⨯--⨯-⎣⎦()41223nn S ⎡⎤=---=⎣⎦．所以1n S +，n S ，2n S +成等差数列．21.(2017全国2文17)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11a =-，11b =，222a b +=.(1)若335a b +=，求{}n b 的通项公式； (2)若321T =，求3S .21.【试题解析】(1)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为()0q q ≠.由等差数列、等比数列的通项公式可得212125d q d q -++=⎧⎨-++=⎩，解得12d q =⎧⎨=⎩，故{}n b 的通项公式为12n n b -=.(2)由(1)及已知得2122121d q q q -++=⎧⎨++=⎩，解得41q d =⎧⎨=-⎩或58q d =-⎧⎨=⎩. 所以31336S a d =+=-或313321S a d =+=.22.(2017北京文15)已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，2410a a +=，245b b a =．(1)求{}n a 的通项公式； (2)求和：13521n b b b b -++++．22【试题解析】 (1)设{}n a 的公差为d ， 10311=+++d d ，所以2=d ，所以1(1)21n a a n d n =+-=-()*n ∈N . （2）设{}n b 的公比为q ，24b b ⋅=5a ⇒93=qq ，所以32=q ，所以{}2-1n b 是以11=b 为首项，23q =为公比的等比数列，所以1352-11(13)31132n n n b b b b ⋅--==-＋＋＋＋. 2018年1.(2018全国Ⅰ文17)(12分)已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=． (1)求123b b b ，，； (2)判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； (3)求{}n a 的通项公式．【试题解析】 (1)由条件可得a n +1=2(1)n n a n+．将n =1代入，得a 2=4a 1，而a 1=1，所以a 2=4．将n =2代入，得a 3=3a 2，所以a 3=12．从而b 1=1，b 2=2，b 3=4．(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列．理由：由条件可得121n na a n n+=+，即b n +1=2b n ，又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得12n na n-=，所以a n =n ·2n -1． 2.(2018全国Ⅱ文17)(12分)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．(1)求{}n a 的通项公式； (2)求n S ，并求n S 的最小值．【试题解析】(1)设{}n a 的公差为d ，由题意得1133157a d a +=-⎧⎨=-⎩，解得2d =，所以{}n a 的通项公式为29n a n =-．(2)由(1)得228(4)16n S n n n =-=--．所以当4n =时，n S 取得最小值，最小值为16-．3.(2018全国Ⅲ文17)(12分)等比数列{}n a 中，15314a a a ==，． (1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．【试题解析】(1)设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=．由已知得424q q =，解得0q =(舍去)，2q =-或2q =．故1(2)n n a -=-或12n n a -=． (2)若1(2)n n a -=-，则1(2)3nn S --=．由63m S =得(2)188m -=-，此方程没有正整数解．若12n n a -=，则21n n S =-．由63m S =得264m =，解得6m =．综上，6m =．4.(2018北京文5) “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( ).(C)(D)【试题解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以()*12,n na n n-=≥∈N，又1a f=，则7781a a q f===.故选D.5.(2018北京文15)设{}n a是等差数列，且123ln2,5ln2a a a=+=.(1)求{}n a的通项公式；(2)求12e e e n aa a+++.解析(1)设等差数列{}na的公差为d，因为235ln2a a+=，所以1235ln2a d+=，又1ln2a=，所以ln2d=.所以1(1)ln2na a n d n=+-=.(2)由(1)知ln2na n=，因为ln2ln2e e e=2nna n n==，所以{e}n a是以2为首项，2为公比的等比数列.所以212ln2ln2ln2e e e e e e nnaa a+++=+++2=222n+++1=22n+-.所以12e e e n aa a+++1=22n+-.6.(2018上海6)记等差数列{}n a的前几项和为n S，若30a=，6714a a+=，则7S=.【试题解析】由题意得671312111420a a a da a d+=+=⎧⎨=+=⎩，解得2d=，所以42a=，74714S a==.2019年1.(2019全国Ⅰ文14)记S n为等比数列{a n}的前n项和.若13314a S==，，则S4=___________．【试题解析】由题意可得，()3312311111a q qS q qq q--===++=--12=-.所以()44141115211812a q S q⎛⎫-- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 2. (2019全国Ⅰ文18)记S n 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知95S a =－． (1)若34a =，求{}n a 的通项公式；(2)若10a >，求使得n n S a ≥的n 的取值范围．解析(1)设{}n a 的公差为d ．由95S a =-得140a d +=．由a 3=4得124a d +=．于是18,2a d ==-．因此{}n a 的通项公式为102n a n =-．(2)由(1)得14a d =-，故(9)(5),2n n n n da n d S -=-=. 由10a >知0d <，故n n S a …等价于211100n n -+…，解得110n ≤≤．所以n 的取值范围是{|110,}n n n ∈N 剟．3.(2019全国Ⅱ文18)已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+. (1)求{}n a 的通项公式；(2)设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和. 解析(1)设{}n a 的公比为q ，由题设得22416q q =+，即2280q q --=.解得2q =-(舍去)或q =4.因此{}n a 的通项公式为121242n n n a --=⨯=.(2)由(1)得2(21)log 221n b n n =-=-，因此数列{}n b 的前n 项和为21321n n +++-=.4.(2019全国Ⅲ文6)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3= A ． 16B ． 8C ．4D ． 2【试题解析】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，则由前4项和为15，且53134a a a =+，有()4142111115134a q qa q a q a ⎧-⎪=⎨-⎪=+⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩. 所以2324a ==. 故选C ． 5. (2019全国Ⅲ文14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.【试题解析】在等差数列{}n a 中，由35a =，713a =，得731352734a a d --===-，所以132541a a d =-=-=，则1010910121002S ⨯=⨯+⨯=．6.(2019北京文16)设{a n }是等差数列，a 1=–10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列． (Ⅰ)求{a n }的通项公式；(Ⅱ)记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值．解析(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ．因为110a =-，所以23410,102,103a d a d a d =-+=-+=-+．因为23410,8,6a a a +++成等比数列，所以()()()23248106a a a +=++，即2(22)(43)d d d -+=-+．化简得2440d d -+=，解得2d =．所以()*1(1) 212n a a n d n n =+-=-∈N．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，212n a n =-，且60a =．所以，当7n …时，0n a >；当6n …时，0n a …．所以，n S 的最小值为5630S S ==-．7.(2019天津文18)设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0，已知113a b ==，23b a = ，3243b a =+.(Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(Ⅱ)设数列{}n c 满足21,,,n n n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩奇偶为数为数求()*112222n na c a c a c n N +++∈.解析(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q 依题意，得23323154q d q d =+⎧⎨=+⎩，解得33d q =⎧⎨=⎩，故33(1)3n a n n =+-=，1333n nn b -=⨯=. 所以，{}n a 的通项公式为3n a n =()n *∈N ，{}n b 的通项公式为3nn b =()n *∈N .(Ⅱ)112222n n a c a c a c ++⋯+()()135212142632n n n a a a a a b a b a b a b -=+++⋯++++++()123(1)3663123183...632n n n n n -⎡⎤=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯⎢⎥⎣⎦()2123613233n n n =+⨯+⨯++⨯1213233n n T n =⨯+⨯+⋯+⨯. ① 2331313233n T n +=⨯+⨯++⨯， ②②-①得，()12311313(21)3323333..3313.2n n nn n n n T n n +++--+=----+=-⨯=-+⨯-，故()121334n n n T +-+=.所以，()122112222213336332n n n n n a c a c a c n T n +-+++=+=+⨯()22*(21)3692n n n n N +-++=∈. 8.(2019江苏8)已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是 .【试题解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1111()(4)70989272a d a d a d a d ++++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得152a d =-⎧⎨=⎩．所以818786(5)152162dS a ⨯=+=⨯-+⨯=.题型71 等差、等比数列的求和问题的拓展1.(2013广东文11) 设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234a a a a +++= ．1.分析由首项和公比写出等比数列的前4项，然后代入代数式1234a a a a +++求值.也可以构造新数列，利用其前n 项和公式求解.【试题解析】方法一：()()()231234112121215a a a a +++=+⨯-+⨯-+⨯-=. 方法二：因为12341234a a a a a a a a +++=+++，数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为4121512-=-. 2.(2015安徽理13) 已知在数列{}n a 中，11a =，()1122n n a a n -=+…，则数列{}n a 的前9项和等于 .2.【试题解析】由题意可得112n n a a --=，又11a =，所以{}n a 是以1为首项，12为公差的等差数列，所以()()*11112,22n n a n n n +=+-⨯=∈N ….又11a =满足上式，所以()*12n n a n +=∈N ，所以95a =.所以()9159272S +⨯==.2018年1.(2018浙江10)设等比数列{}n a 的通项公式为()1*n n a qn +=∈N ，前n 项和为nS.若11lim2n n n S a →∞+=，则q =____________.【试题解析】根据等比数列通项公式1n n a q -=可得，11a =，公比为q .(1)当1q =时，1n a =，n S n =，则lim1n n→∞=+∞，故不符合题意； (2)当1q ≠时，()111lim 111lim lim lim 111n n n n n n n n n n q S q q a q q q q →∞→∞→∞→∞+⎛⎫-- ⎪-⎝⎭===---.①当1q >时，1lim 11n n q →∞⎛⎫-→- ⎪⎝⎭，即1112q -=-，解得3q =； ②当1q <时，1lim 1n n q →∞⎛⎫-→+∞ ⎪⎝⎭，则11lim 2n n n S a →∞+≠，故不符合题意. 综上所述，3q =.题型72 等差、等比数列的性质及其应用1. (2013辽宁文4 )下面是关于公差>0d 的等差数列{}n a 的四个命题：1:p 数列{}n a 是递增数列； 2:p 数列{}n na 是递增数列；3:p 数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列；4:p 数列{}3n a nd +是递增数列；其中的真命题为A. 12p p ，B. 34p p ，C. 23p p ，D. 14p p ， 1.分析根据等差数列的性质判定.【试题解析】因为0d >，所以1n n a a +>，所以1p 是真命题．因为1n n +>，但是n a 的符号不知道，所以2p 是假命题.同理3p 是假命题．由13(1)340n n a n d a nd d +++--=>，所以4p 是真命题．故选D.2.(2013江西文12)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n *∈Ν)等于 .2.【试题解析】每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n 项和 ()()11121222112n n n n a q S q+--===---.由122100n +-≥，得12102n +≥.由于67264,2128==，则17n +≥，即6n ≥.3.(2013江苏14) 在正项等比数列}{n a 中，215=a ，376=+a a ，则满足n n a a a a a a 2121>+++的最大正整数n 的值为 .3.分析首先由已知条件求出{}n a 的公比与首项，然后根据求和公式和通项公式将不等式的两边求出，用n 表示，得到关于n 的不等式，然后对不等式进行转化，求得n 的取值范围并进行估算和验证，从而得到n 的最大值.【试题解析】设{}n a 的公比为()0q q >，则由已知可得()4121,213,2a q q q ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,322.a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩于是()()12112132211232n n n a a a -+++==--，()()11221211232nn n n n n n a a a a q--⎛⎫== ⎪⎝⎭.由1212n n a a a a a a +++>可得()()12112123232nn n n -⎛⎫- ⎪⎝⎭>，整理得2111522212n n n-+->.由211152222n n n-+>可得2111522n n n -+>，即213100n n -+<， n <，即12n =，可以验证当12n =时满足1212n n a a a a a a +++>，13n ≥时不满足1212n n a a a a a a +++>，故n 的最大值为12.4.(2013重庆文12) 若29a b c ，，，，成等差数列，则c a -= . 4.分析利用等差数列的有关知识先求出公差再运算求解. 【试题解析】由题意得该等差数列的公差927514d -==-，所以722c ad -==. 5. (2013陕西文17)设n S 表示数列{}n a 的前n 项和.(1)若{}n a 是等差数列，推导n S 的计算公式；(2)若111a q =≠，，且对所有正整数n ，有11nn q S q-=-.判断{}n a 是否为等比数列，并证明你的结论.5.分析利用等差数列的性质倒序相加求和；等比数列的证明通过定义进行. 【试题解析】 (1)方法一：设{}n a 的公差为d ，则12n n S a a a =++…+()()1111a a d a n d =+++⋅⋅⋅++-⎡⎤⎣⎦.又()()1n n n n S a a d a n d =+-+⋅⋅⋅+--⎡⎤⎣⎦，所以()12n n S n a a =+，所以()12n n n a a S +=．方法二：设{}n a 的公差为d ，则()1211n n S a a a a a d =++=+++…+()11a n d ⋅⋅⋅++-⎡⎤⎣⎦．又11n n n S a a a -=++⋅⋅⋅+()()11112a n d a n d a =+-++-+⋅⋅⋅+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦, 所以()()1122121n S a n d a n d =+-++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()112121a n d na n n d ++-=+-⎡⎤⎣⎦，所以()112n n n S na d -=+. (2){}n a 是等比数列.证明如下：因为11n n q S q -=-，所以1111111n n n n n q q a S S q q +++--=-=---()11nn q q q q-==-．因为11a =，0q ≠，所以当1n ≥时，有11nn n n a q q a q+-==.因此，{}n a 是首项为1且公比为()0q q ≠的等比数列． 6.(2014辽宁文9)设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列{}12na a 为递减数列，则( )A ．0d >B ．0d <C ．10a d >D ． 10a d < 7.(2014陕西文8)原命题为“若12n n n a a a n ++<∈+N ，，则{}n a 为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ).A.真，假，真B.假，假，真C.真，真，假D.假，假，假 8. (2014广东文13)等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122332425log log log log log a a a a a ++++=________.9.(2014江西文13)在等差数列{}n a 中，71=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8=n 时n S 取得最大值，则d 的取值范围是 . 10.(2014陕西文16)(本小题满分12分)ABC △的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，.(1)若c b a ，，成等差数列，求证：()C A C A +=+sin 2sin sin ； (2)若c b a ，，成等比数列，且2c a =，求B cos 的值.11.(2015广东文13)若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中5a =+5c =-则b = ．11.【试题解析】因为三个正数a ，b ，c 成等比数列，所以(2551b ac ==+-=.因为0b >，所以1b =.12.(2015全国Ⅱ文5) 设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5S ( ). A.5 B.7 C.9 D.11 12.【试题解析】由已知1353a a a ++=，则333a =，31a =. 又因为()15353552=5=522a a a S a +⨯== .故选A. 13.(2017江苏19)对于给定的正整数k，若数列{}n a 满足111+n k nkn nn k a a a a a --+-++-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+2n k n a k a +=对任意正整数n ()n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”． (1)证明：等差数列{}n a 是“()3P 数列”；(2)若数列{}n a 既是“()2P 数列”，又是“()3P 数列”，证明：{}n a 是等差数列． 13.【试题解析】 (1)因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则()11n a a n d =+-，从而当4n …时，()()1111=n k n k a a a n k d a n k d -++=+--+++- ()12212n a n d a +-=，1,2,3k =，所以321123+++6n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=，因此等差数列{}n a 是“()3P 数列”． (2)由数列{}n a 既是“()2P 数列”，又是“()3P 数列”，因此，当3n …时，21124n n n n n a a a a a --+++++= ① 当4n …时，3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++= ② 由①知，()()321144n n n n n a a a a a n ---++=-+≥ ③()()231142n n n n n a a a a a n +++-+=-+≥ ④将③④代入②，得112n n n a a a -++=，其中4n …，所以345,,,a a a ⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为d '．在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d '=-，在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以312a a d '=-，从而数列{}n a 是等差数列．评注这是数列新定义的问题，其实类似的问题此前我们也研究过，给出仅供参考． (2015南通基地密卷7第20题)设数列{}n a 的各项均为正数，若对任意的*n ∈N ，存在*k ∈N ，使得22n k n n k a a a ++=成立，则称数列{}n a 为“k J 型”数列．(1)若数列{}n a 是“2J 型”数列，且28a =，81a =，求2n a ；(2)若数列{}n a 既是“3J 型”数列，又是“4J 型”数列，证明数列{}n a 是等比数列．【试题解析】 (1)由题意得，2468,,,,a a a a ⋅⋅⋅成等比数列，且公比138212a q a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以412212n n n a a q --⎛⎫== ⎪⎝⎭．(2)由{}n a 是“4J 型”数列得159131721,,,,,,a a a a a a ⋅⋅⋅成等比数列，设公比为t ，由{}n a 是“3J 型”数列得1471013,,,,,a a a a a ⋅⋅⋅成等比数列，设公比为1α；2581114,,,,,a a a a a ⋅⋅⋅成等比数列，设公比为2α； 3691215,,,,,a a a a a ⋅⋅⋅成等比数列，设公比为3α；则431311a t a α==，431725a t a α==，432139a t a α==，所以123ααα==，不妨令123αααα===，则43t α=．所以()32113211k k k a a a α----==，()2311223315111k k k k k a a a t a a ααα------====，所以131323339111k k k k k a a a t a a ααα----====，综上11n n a a -=，从而{}n a 是等比数列．题型73 判断或证明数列是等差、等比数列1.(2014江苏20)设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．(1)若数列{}n a 的前n 项和2n n S = ()*n ∈N，求证：{}na 是“H 数列”；(2)设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <．若{}n a 是“H 数列”，求d 的值； (3)求证：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得n n n a b c =+()*n ∈N 成立．2.(2015广东文19)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n ∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n …时，211458n n n n S S S S ++-+=+． (1)求4a 的值； (2)求证：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； (3)求数列{}n a 的通项公式．2.【试题解析】(1)当2n =时，4231458S S S S +=+，即435335415181124224a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得478a =.(2)因为211458n n n n S S S S ++-+=+(2n …)，所以21114444n n n n n n S S S S S S ++-+-+-=-(2n …)，即2144n n n a a a +++=(2n …)，亦即()2114222n n n n a a a a n +++-=-…，则()2111112222n n n n a a a a n +++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭…. 当1n =时，3221111222a a a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，满足上式. 故数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列. (3)由(2)可得111122n n n a a -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1141122n n n na a ++-=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列12n na ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是以1212a =为首项，4为公差的等差数列，所以()2144212nn a n n =+-⨯=-⎛⎫⎪⎝⎭，即()11214222nn n n a n --⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式是()*1212n n n a n --=∈N . 3.(2015湖南文19)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，22a =，且()*1133,n n n a S S n +-=-+∈N . (1)证明：23n n a a +=； (2)求n S .3.解析(1)由条件，对任意*n ∈N ，有2133n n n a S S ++=-+，因而对任意*,2n n ∈N …，有1133n n n a S S +-=-+，两式相减，得2113n n n n a a a a +++-=-，即()*232,n n a a n n +=∈N …，又121,2a a ==，所以()3121121333333a S S a a a a =-+=-++==，故对一切*n ∈N ，23n n a a +=.(2)由(I)知，0n a ≠，所以23n na a +=，于是数列{}21n a -是首项11a =，公比为3的等比数列，数列{}2n a 是首项22a =，公比为3的等比数列，所以112123,23n n n n a a ---==⨯，于是()()21221321242.........n n n n S a a a a a a a a a -=+++=+++++++=()()()()11133113...3213...3313 (32)n n n n ----+++++++=+++=，从而2122n n n S S a -=-()1331232n n --=-⨯()235312n -=⨯-，综上所述，()()*3*22353121,23312,2n n n n k k S n k k -⎧⎛⎫⨯-=+∈⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-=∈ ⎪⎪⎝⎭⎩N N .4.(2015湖南文21)函数()()e cos [0,)x f x a x x =∈+∞，记n x 为()f x 的从小到大的第n ()*n ∈N 个极值点.(1)证明：数列(){}nf x 是等比数列；(2)若对一切()*,n n n x f x ∈N …恒成立，求a 的取值范围. 4.解析(1)()π'e cos e sin e cos 4xxx f x a x a x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，令()'0f x =，由0x …，得πππ42x m +=-，即*3ππ4x m m =-∈N ，若πππ2π2π242k x k -<+<+，即3ππ2π2π44k x k -<<+，则πcos 04x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭；若ππ3π2π2π242k x k +<+<+，即π5π2π2π44k x k +<<+，则πcos 04x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭. 因此，在区间()3π1π,π4m m ⎛⎫--⎪⎝⎭与3πππ,π44m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上，()'f x 的符号总相反，于是当*3ππ4x m m =-∈N 时，()f x 取得极值，所以*3ππ,4n n x n =-∈N ，此时，()()3π3πππ1443πecos π1e42n n n n f x a n a --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，易知()0n f x ≠，而()()()()3π1π241π1e e 2n n n n f x f x +-++-==-是常数，故数列(){}n fx 是首项为()π41e f x =，公比为πe -的等比数列. (2)对一切*n ∈N 恒成立，即3π43πe 4n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫-⎪⎝⎭…恒成立，亦即3π4e3π4n a n ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭…恒成立(因为0a >).设()()e 0tg t t t=>，则()()2e 1't t g t t -=，令()'0g t =得1t =，当01t <<时，()'0g t <，所以()g t 在区间()0,1上单调递减；当1t>时，()'0g t >，所以()g t 在区间()1,+∞上单调递增；因为()0,1n x ∈，且当2n …时，()11,,n n n x x x +∈+∞<，所以()()(){}12minπ5πmin ,min ,44n g x g x g x g g ⎧⎫⎛⎫⎛⎫==⎡⎤⎨⎬ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎩⎭π4π4e 4πg ⎛⎫== ⎪⎝⎭，因此()*,n n n xf x ∈N 刦恒成立，当且仅当π44e πa ，解得π4e 4a -…，故实数a 的取值范围是π4e ,4-⎫+∞⎪⎪⎣⎭. 5.(2016浙江文8)如图所示，点列{}{},n n A B 分别在某锐角的两边上，且1n n A A +=*122,,n n n n A A A A n +++≠∈N ，*1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈N (P Q ≠表示点P 与Q 不重合) .若n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +△的面积，则().•••A .{}n S 是等差数列 B.{}2n S 是等差数列 C.{}n d 是等差数列 D.{}2n d 是等差数列5.A 【试题解析】设点n A 到对面直线的距离为n h ，则112n n n n +S h B B =.由题目中条件可知1n n B B +的长度为定值，则1212n n S h B B =.那么我们需要知道n h 的关系式，过点1A 作垂直得到初始距离1h ，那么1,n A A 和两个垂足构成了直角梯形，那11tan n n h h A A θ=+⋅，其中θ为两条线的夹角，那么11121(tan )2n n S h A A B B θ=+⋅，由题目中条件知112n n n n A A A A +++=，则()1121n A A n A A =-.所()1121211tan 2n S h n A A B B θ=⎡+-⋅⎤⎣⎦，其中θ为定值，所以n S 为等差数列.故选A.6.(2017全国1文17)记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.已知22S =，36S =-. (1)求{}n a 的通项公式；(2)求n S ，并判断1n S +，n S ，2n S +是否成等差数列.6.【试题解析】 (1)由题意设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则2112311126S a a q S a a q a q =+=⎧⎨=++=-⎩，从而2131q q q ++=-+，即()2131q q q ++=-+，整理得()220q +=，因此2q =-，所以12a =-，数列{}n a 的通项公式为()2nn a =-．(2)由(1)知()()()()212212123nn nS ⎡⎤-⨯--⎣⎦⎡⎤==---⎣⎦--，因此()()+121222121233n n n n S S +++⎡⎤⎡⎤+=------=⎣⎦⎣⎦()()+1222223n n +⎡⎤-----⎣⎦()()2222423n n ⎡⎤=-+⨯--⨯-⎣⎦()41223nn S ⎡⎤=---=⎣⎦．所以1n S +，n S ，2n S +成等差数列．2018年17．(12分)已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=．(1)求123b b b ，，； (2)判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； (3)求{}n a 的通项公式．17．【试题解析】 (1)由条件可得a n +1=2(1)n n a n+．将n =1代入，得a 2=4a 1，而a 1=1，所以a 2=4．将n =2代入，得a 3=3a 2，所以a 3=12．从而b 1=1，b 2=2，b 3=4．(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列．理由：由条件可得121n na a n n+=+，即b n +1=2b n ，又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得12n na n-=，所以a n =n ·2n -1．。

2013年高考文科数学真题及答案全国卷1-(7646)

2013 年高考文科数学真题及答案全国卷 1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150 分，考试时间120 分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60 分）一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013 课标全国Ⅰ，文1) 已知集合A＝ {1,2,3,4} ，B＝ { x| x＝n2，n∈A} ，则A∩B＝( ) ．A．{1,4} B ．{2,3} C ．{9,16} D ．{1,2}【答案】A【考点】本题主要考查集合的基本知识。

【解析】∵B＝{ x| x＝ n2， n∈A}＝ {1,4,9,16} ，∴A∩ B＝{1,4} ．2．(2013 课标全国Ⅰ，文2) 1 2i21 i＝( ) ．A. - 1 - 12 ??B ．11+i2C．1 +12 ??D．1 -12 ??【答案】B【考点】本题主要考查复数的基本运算。

【解析】1 2i 1 2i 1 2i i 2 i21 i 2i2 2 ＝ 11+i2.3．(2013 课标全国Ⅰ，文3) 从1,2,3,4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是( ) ．1 1 1 1A．2 B ．3 C ．4D ．6【答案】B【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。

【解析】由题意知总事件数为6，且分别为(1,2) ，(1,3) ，(1,4) ，(2,3) ，(2,4) ，(3,4) ，满足条件的事13件数是2，所以所求的概率为.4．(2013 课标全国Ⅰ，文4) 已知双曲线C：2 2x y2 2 =1( a＞0，b＞0) 的离心率为a b52，则C的渐近线方程为() ．1 A．y = ± 4 1 3?? B ．y = ±??C．1y x D ．y = ±??2【答案】C【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。

【解析】∵ 5e ，∴2 ca52，即22ca54.1∵c2＝a2＋b2，∴2＝a2＋b2，∴2b2a14. ∴ba12.∵双曲线的渐近线方程为 by xa，∴渐近线方程为 1y x . 故选C.2x x 3 2 5．(2013 课标全国Ⅰ，文5) 已知命题p：? x∈R, 2 ＜ 3 ；命题q：? x∈R，x ＝1－x，则下列命题中为真命题的是() ．A．p∧q B．p∧qC．p∧q D ．p∧q【答案】B【考点】本题主要考查常用逻辑用语等基本知识。

2013高考数学一轮同步训练(文科) 5.2等差数列及其前n项和

2013高考数学一轮强化训练 5.2等差数列及其前n 项和文新人教A版1.等差数列{n a }的前n 项为为n S ,且3164S a =,=,则公差d 等于( ) A.1 B.53C.2D.3答案:C解析:∵31336()2S a a ==+且31124a a d a =+,=,∴d=2.故选C.2.已知{n a }为等差数列,且743210a a a -=-,=,则公差d 等于( ) A.-2 B.12- C.12D.2答案:B解析:7433242()21a a a d a d d -=+-+==-,解得12d =-. 3.如果等差数列{n a }中34512a a a ,++=,那么1a + 2a +…+ 7a 等于( )A.14B.21C.28D.35答案:C解析:345443124a a a a a ++==,=,∴12a a ++…747()177282a a a a ++===. 4.设等差数列{n a }的前n 项和为n S ,若972S =,则2a +49a a += .答案:24解析:∵{n a }是等差数列,由972S =,得959S a =,5a =8, ∴24929456()()a a a a a a a a ++=++=++ 4a =5324a =. 5.在等差数列{n a }中35276a a a ,=,=+,则6a = . 答案:13解析:设等差数列{n a }的公差为d,则由已知得 1112746a d a d a d +=,⎧⎨+=++.⎩ 解得 132a d =,⎧⎨=.⎩ 所以61a a =+5d= 13.6.已知曲线C:xy-4x+4=0,数列{n a }的首项14a =, 且当 2n ≥时,点1()n n a a -,恒在曲线C 上,且n b =12an,-试判断数列{nb }是否是等差数列?并说明理由.解:∵当2n ≥时,点1()n n a a -,恒在曲线C 上,∴11440n n n a a a ---+=. 由12n b an=-得: 当2n ≥时111122422111a a n nb b n n a a a a a an n n n n n --,-=-=-----+--- 11142244222111a a a a n n n n a a a a a n n n n n ----===---+--+---.∴数列{n b }是公差为12-的等差数列.题组一等差数列的基本运算1.在等差数列{n a }中,已知12411039n a a a a =,+=,=,则n 等于( ) A.19 B.20 C.21 D.22 答案:B解析:∵2411310a a a d a d +=+++=,∴d=2. 由1(1)n a a n d =+-=39,解得n=20.2.等差数列{n a }的公差不为零,首项121a a =,是1a 和5a 的等比中项,则数列的前10项和是( ) A.90 B.100 C.145 D.190 答案:B解析:设公差为d,则2(1)1(14)d d +=⋅+. 因为0d ≠,解得d=2,∴10100S =.3.等差数列{n a }的前n 项和为n S ,且53655S S -=,则4a = . 答案:13解析:∵513151033S a d S a d =+,=+,∴5311653060(1515)S S a d a d -=+-+= 115a + 144515(3)155d a d a =+==, ∴413a =.4.已知数列{n a }是等差数列3410118a a a ,=,+=,则首项1a = . 答案:-3解析:∵41033()(7)28a a a d a d d +=+++=+=18, ∴d=2.∴1323a a d =-=-.另解,∵7410218a a a =+=,∴79a =.∴公差137391223734a ad a a d --===,=-=--. 题组二等差数列性质的应用5.等差数列{n a }的前n 项和为n S ,若2812a a +=,则9S 等于( ) A.54 B.45 C.36 D.27答案:A解析:99()9()19285422a a a a S ++===.6.已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ,若4518a a =-,则8S 等于( )A.68B.72C.54D.90 答案:B解析:∵4518a a =-,∴4518a a +=.∴88()8()18457222a a a a S ++===.7.已知{n a }是等差数列67782028a a a a ,+=,+=,则该数列前13项和13S 等于( )A.156B.132C.110D.100 答案:A解析:由67782028a a a a +=,+=知7448a =,∴712a =,故13713156S a ==,选A. 8.已知{n a }是等差数列451555a S ,=,=,则过点34(3)(4)P a Q a ,,,的直线的斜率为( ) A.4B.14C.-4D.-14 答案:A解析:∵{n a }是等差数列451555a S ,=,=, ∴153********a a a a +=,=,=.∴43443PQ a ak -==,-选A. 9.若等差数列{n a }的前5项和525S =,且23a =,则7a 等于( )A.12B.13C.14D.15答案:B解析:535S a =,∴35a =,∴d=2. ∴773213a =+⨯=,故选B.10.设等差数列{n a }的前n 项和为n S ,若981S =,则 2a + 58a a += . 答案:27解析:∵99()9()19288122a a a a S ++===, ∴285218a a a +==.即2585327a a a a ++==.题组三证明数列是等差数列11.已知数列{n a }和{n b }满足1121(1)1n n n n n a a a a b a +=,-=-,=-.求数列{n b }的通项公式.解:由1n n b a =-得1n n a b =+代入11(1)n n n a a a +-=-得1(1)n n n b b b +=+, 整理得11n n n n b b b b ++-=,∵0(n b ≠否则1n a =,与12a =矛盾),从而得1111b b n n-=,+ ∵1111b a =-=,∴数列{1nb }是首项为1,公差为1的等差数列.∴1n b n=,即1n b n=.12.已知{n a }是以a 为首项,q 为公比的等比数列n S ,为它的前n 项和. (1)当134S S S ,,成等差数列时,求q 的值;(2)当m n l S S S ,,成等差数列时,求证:对任意自然数m k n k l k k a a a +++,,,也成等差数列. 解:(1)由已知1n n a aq -,=,因此13(1S a S a =,=+ 2q q + 234)(1)S a q q q ,=+++. 当134S S S ,,成等差数列时1432S S S ,+=,可得32aq aq aq =+.化简得210q q --=.解得q =.(2)证明:若q=1,则{n a }的每项n a a =,此时m k a +、n k a +、l k a +显然成等差数列. 若1q ≠,由m n l S S S ,,成等差数列可得m S +l S =2n S ,即(1)(1)2(1)111m l n a q a q a q q q q ---+=---. 整理得2m l n q q q +=.因此11()22k m l n k m k l k n k a a aq q q aq a -+-+++,+=+==. 所以m k a +,、n k a +、l k a +也成等差数列.高考学习网－中国最大高考学习网站 | 我们负责传递知识！。

2013-2015全国卷(文)真题汇编-数列学生版

高考全国卷文科真题汇编_数列(2013 全国1 文科)6.设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）（A ）21n n S a =- （B ）32n n S a =- （C ）43n n S a =- （D ）32n n S a =-(2013 全国1 文科)17.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-。

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列21211{}n n a a -+的前n 项和。

(2013 全国2 文科)17.已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.(2014 全国1 文科)17.已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。

（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.(2014 全国2 文科)5.等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n s =( )（A ） ()1n n + （B ）()1n n - （C ）()12n n + (D) ()12n n -(2014 全国2 文科)16.数列满足=，=2，则=_________.(2015 全国1 文科)7.已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和。

则S 8=4S 4，a 10=（A ）172 （B ）192 （C ）10 （D ）12(2015 全国1 文科)13.在数列{a n }中， a 1=2,a n+1=2a n , S n 为{a n }的前n 项和。

若-S n =126，则n=. {}n a 1+n a n a -112a 1a(2015 全国2 文科)5.n S 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若a 1+ a 3+ a 5=3，则=5S（A ）5 （B ）7 （C ）9 （D ）11(2015 全国2 文科)9.已知等比数列{}n a 满足114a =，()35441a a a =-，则2a = （A ）2 （B ）1 （C ）21 （D ）81。

数列【2007——2013湖北高考数学(文科真题分类整理)独自整理,附带答案】

20、（2007•湖北文）已知数列{a x}和{b x}满足：．且{bx}是以a为公比的等比数列．（Ⅰ）证明：a a+2=a1a2；（Ⅱ）若a3n﹣1+2a2，证明数例{c x}是等比数例；（Ⅲ）求和：…．考点：数列递推式；等比关系的确定；数列的求和。

专题：计算题；证明题。

分析：（I）由，知，由此可得a n+2=a n q2（n∈N*）．（II）由题意知a2n﹣1=a1q2n﹣2，a2n=a2q n﹣2，所以c n=a2n﹣1+2a2n=5q2n﹣2．由此可知{c n}是首项为5，以q2为公比的等比数列．（III）由题设条件得，，所以=．由此可知解答：解：（I）证：由，有，∴a n+2=a n q2（n∈N*）．（II）证：∵a n=q n﹣2q2，∴a2n﹣1=a2n﹣3q2═a1q2n﹣2，a2n=a2n﹣2q2═a2q n﹣2，∴c n=a2n﹣1+2a2n=a1q2n﹣2+2a2q 2n﹣2=（a1+2a2）q2n﹣2=5q2n﹣2．∴{cn}是首项为5，以q2为公比的等比数列．（III）由（II）得，，于是==．当q=1时，=．当q≠1时，==．故点评：本题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力． 21.(08湖北文)（本小题满分14分）已知数列12{}{},13n n x a b a an a λ=+=和满足：4,(1)(321)n n n n n b a n +-=--+,其中λ为实数，n 为正整数.（Ⅰ）证明：当18{}n b λ≠-时，数列是等比数列；（Ⅱ）设n S 为数列{}n b 的前n 项和，是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有 12?n S >-若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.即3220(18)[1()]1218.2531()3nnλλ-+-->⇔--- 令2()1(),3nf n =--则当n 为正奇数时，51():3f n <≤当n 为正偶数时，5()1,9f n ≤< 5()(1).3f n f ∴=的最大值为于是可得32018 6.5λ<⨯-=- 综上所述，存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有12;n S >-λ的取值范围为(,6).-∞-9. （09湖北文）设,R x ∈记不超过x 的最大整数为[x ],令{x }=x -[x ]，则{215+}，[215+],215+A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列【答案】B【解析】可分别求得515122⎧⎫+-⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，51[]12+=.则等比数列性质易得三者构成等比数列10. （09湖北文）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16，…这样的数成为正方形数。

高考文科数学真题大全数列高考题老师版

15.（2015 年新课标 2 理）等比数列｛an｝满足 a1=3，a1 a3 a5 =21，则 a3 a5 a7 (
)
（A）21
（B）42
（C）63 （D）84
【答案】B
16．（2012
大纲理）已知等差数列an 的前
n
项和为
Sn , a5
5,
S5
15 ，则数列
1
an
an
1
的
前 100 项和为
＝－12.又 a1＝32，所以等比数列{an}的通项公式为 an＝32×－12n－1＝(－1)n－1·23n.
35、（2016 年山东高考）已知数列an 的前 n 项和 Sn 3n2 8n ，bn是等差数列，且
an bn bn1 .
（I）求数列 bn 的通项公式；
【解析】（Ⅰ）由题意得 aa12
b1 b2 b2 b3
，解得 b1
4, d
3 ，得到 bn
3n 1。
36.（2015 北京文）已知等差数列an 满足 a1 a2 10 ， a4 a3 2 ．
（Ⅰ）求an 的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列bn 满足 b2 a3 ， b3 a7 ，问： b6 与数列an 的第几项相等？
（II）由（I）和 anbn1 bn1 nbn
，得 bn1
bn 3
，因此 bn 是首项为
1，公比为
1 3
的
等比数列.记bn的前 n 项和为 Sn ，则 Sn
1 (1)n 3
1 1
3 2
1. 2 3n1
3
38 、（ 2016 年全国 III 卷）已知各项都为正数的数列 an 满足 a1 1 ，

高考数学(文)复习：2013-高考分类汇编第六章数列第3节数列的综合 Word版含解析

第3节数列的综合题型76 等差数列与等比数列的综合1.（2013江苏19）设{}n a 是首项为，公差为d 的等差数列)0(≠d ，nS是其前项和.记cn nS b n n +=2，n *∈Ν，其中为实数. （1）若0=c ，且421b b b ，，成等比数列，证明：k nk S n S 2=（,k n *∈Ν）；（2）若{}n b 是等差数列，证明：0=c .1.分析（1）利用,a d 将n b 表示出来，然后根据124,,b b b 成等比数列，得到与的关系，可验证2nk k S n S =；（2）先由123,,b b b 成等差数列，得到关于的等式，求得的值后再代入验证.解析（1）由0c =，得12n n S n b a d n -==+. 又因为124,,b b b 成等比数列，所以2214b b b =，即2322d a a a d ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，化简得220.d ad -=因为0d ≠，所以2d a =.因此，对于所有的*m ∈N ，有2m S m a=.从而对于所有的,*k n ∈N ，有()2222nk k S nk a n k a n S ===. （2）设数列{}n b 的公差是1d，则()111nb b n d =+-，即()1121,*n nS b n d n n c=+-∈+N ，代入n S 的表达式，整理得，对于所有的*n ∈N ，有31111122d d n b d a d ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2111n cd n c d b +=-. 令()1111111,,22A d dB b d a d D c d b =-=--+=-，则对于所有的*n ∈N ，有321An Bn cd n D ++=. （*）在（*）式中分别取1,2,3,4,n =得11842A B cd A B cd ++=++11279364164A B cd A B cd =++=++，从而有111730,1950,2150,A B cd A B cd A B cd ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩①②③由②③得0,5A cd B ==-，代入方程①，得0B =，从而10cd =，即110,2d d -=11110,02b d a d cd --+==.若10d =，则由1102d d -=，得0d =，与题设矛盾，所以0d ≠.又因为10cd =，所以0c =. 2．(2013福建文17）已知等差数列}{na 的公差1d =，前项和为nS.（1）若131,,a a 成等比数列，求1a ；（2）若519S a a >，求1a 的取值范围.2.分析（1）利用等比中项求解；（2）利用通项公式与求和公式将不等式转化为含有首项的不等式求解. 解析（1）因为数列{}n a 的公差1d =，且131,,a a成等比数列，所以()21112a a =⨯+，即21120a a --=，解得1112a a =-=或.（2）因为数列{}n a 的公差1d =，且519Saa >，所以21115108a a a +>+，即2113100a a +-<，解得152a -<<.3.(2013天津文19）已知首项为32的等比数列{}n a 的前项和为()n S n *∈Ν，且234,2,4S S S -成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）证明()1361n n S n S *+∈…Ν. 3.分析（1）利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；（2）求出前项和，根据函数的单调性证明.解析（1）设等比数列{}n a 的公比为q .因为23424S S S -,，成等差数列，所以324324S S S S +=-，即4324S S S S -=-,可得432a a =-，于是431.2a q a ==-又因为132a =，所以等比数列{}n a 的通项公式为n a =()113131.222n n n --⎛⎫⋅-=-⋅⎪⎝⎭（2）1111,122n nn n n S S S ⎛⎫⎛⎫=--+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()12,2211112,12212n n nn nn n ⎧+⎪+⎪=⎨⎛⎫⎪+-- ⎪⎪-⎝⎭⎩为奇数,为数.偶当n 为奇数时，1n n S S +随n 的增大而减小，所以111113.6n n S S S S ++=≤ 当n 为偶数时，1n n S S +随n 的增大而减小，所以221125.12n n S S S S ++=≤ 故对于*,n ∈N 有113.6n n S S +≤ 4.（2013湖北文19）已知n S 是等比数列{}n a 的前项和，4S ，2S ，3S 成等差数列，且23418a a a ++=-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数，使得2013n S …？若存在，求出符合条件的所有的集合；若不存在，说明理由．4.分析首先由423,,S S S 成等差数列，且23418a a a ++=-，求得1a 和公比q ，进而得通项公式；然后根据等比数列的前n 项和公式列出关于n 的不等式，通过解不等式进而做出判断.解析（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则10,0a q ≠≠.由题意得2432234,18,S S S S a a a -=-⎧⎨++=-⎩即()23211121,118,a q a q a q a q q q ⎧--=⎪⎨++=-⎪⎩解得13,2.a q =⎧⎨=-⎩ 故数列{}n a 的通项公式为()132n n a -=⨯-.（2）由（1）有()()()3121212nn n S ⎡⎤--⎣⎦==----.假设存在n ，使得2013nS ≥，则()122013n --≥，即()22012n--≤.当n 为偶数时，()20n->，上式不成立；当n 为奇数时，()222012nn -=--≤，即22012n ≥，即11n ≥.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{}21,,5n n k k k =+∈N ≥. 5.（2014天津文5）设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（）. A. B.2- C.21 D . 12- 6.（2014新课标Ⅱ文5）等差数列{}n a 的公差为2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（）.A.(1)n n +B.(1)n n -C.(1)2n n + D.(1)2n n - 7.（2014北京文15）（本小题满分13分）已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和.7. 解析（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得41123333a a d --===.所以()()1131,2,n a a n d n n =+-==.设等比数列{}n n b a -的公比为q ，由题意得344112012843b a q b a --===--，解得2q =.所以()11112n n n n b a b a q ---=-=.从而()1321,2,n n b n n -=+=. （II ）由（I ）知()1321,2,n n b n n -=+=.数列{}3n 的前n 项和为()312n n +，数列{}12n -的前n 项和为1212112nn -⨯=--.所以数列{}n b 的前n 项和为()31212n n n ++-.评注本题主要考查等差数列与等比数列通项同时及前项和公式，考查数列综合应用.属基础题. 8．（2014湖北文19）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前项和，是否存在正整数，使得n S 60800n >+？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.9.（2014重庆文16）（本小题满分13分.（I ）小问6分，（II ）小问5分）已知{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 表示{}n a 的前项和. （I ）求n a 及n S ；（II ）设{}n b 是首项为2的等比数列，公比满足()01442=++-S q a q ，求{}n b 的通项公式及其前项和n T .10.（2016北京文15）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前项和. 10.解析（1）等比数列{}n b 的公比32933b q b ===，所以211bb q==，4327b b q ==. 设等差数列{}n a 的公差为d .因为111a b ==，14427a b ==，所以11327d +=，即2d =.所以()211,2,3,n a n n =-=⋅⋅⋅. （2）由（1）知，21n a n =-，13n n b -=.因此1213n n n n c a b n -=+=-+.从而数列{}n c 的前项和()113521133n n S n -=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=()12113213n n n +--+=-2312n n -+.11.（2016全国乙文17）已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足12111==3n n n n b b a b b nb +++=1，，.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n b 的前n 项和.11.解析（1）由题意令11n n n n a b b nb +++=中1n =，即1221a b b b +=，解得12a =，故()*31n a n n =-∈N.（2）由（1）得()1131n n n n b b nb ++-+=，即113n n b b +=()*n ∈N ，故{}n b 是以11b =为首项，13q =为公比的等比数列，即()1*13n n b n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，所以{}n b 的前n 项和为1111313122313n n n S -⎛⎫- ⎪⎝⎭==-⋅-.12.（2016四川文19）已知数列{}n a 的首项为，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS +=+，其中0q >，*n ∈N .（1）若2a ，3a ，23+a a 成等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（2）设双曲线2221ny x a -=的离心率为n e ，且22e =，求22212n e e e ++⋅⋅⋅+.12.解析（1）由已知，11n n S qS +=+，211n n S qS ++=+，两式相减得到21n n a qa ++=，1n …. 又由211S qS =+，11a =得到21a qa =，故1n n a qa +=对所有1n …都成立. 所以数列{}n a 是首项为，公比为q 的等比数列.从而()1*=n n a qn -∈N .由2a ，3a ，23a a +成等差数列，可得32232=a a a a ++，所以32=2a a ，故=2q .所以()1*2n n a n -=∈N .（2）由（1）可知，1n n a q-=.所以双曲线2221ny x a -=的离心率n e =.由22e ==，解得q =所以22212n e e e ++⋅⋅⋅+=()()22(1)111+1n q q -⎡⎤+++⋅⋅⋅++=⎣⎦()22(1)1n n q q-+++⋅⋅⋅+=()221131.12n n q n n q -+=+-- 13.（2016天津文18）已知{}n a 是等比数列，前项和为()*n S n ∈N ，且6123112,63S a a a -==. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若对任意的*n ∈N ，n b 是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列(){}21nnb -的前2n 项和.13.解析（1）数列{}n a 的公比为，由已知有2111112a a q a q-=，解得2,1q q ==-. 又由61(1)631n a q S q -==-知1q ≠-，所以61(12)6312a -=-，解得11a =，所以()1*2n n a n -=∈N . （2）由题意得21)2log 2(log 21)log (log 21212122-=+=+=-+n a a b n n n n n ，即数列}{n b 是首项为21，公差为的等差数列.设数列})1{(2n n b -的前项和为n T ，则222221234()()n T b b b b =-++-++⋅⋅⋅+222122121222()()22n n n n n b b b b b b b n -+-+=++⋅⋅⋅+==. 14.（2017天津文18）已知{}n a 为等差数列，前项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-，11411S b =. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}2n n a b 的前n 项和()n *∈N .14.解析（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为.由已知，2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=.又因为0q >，解得2q =，所以2n n b =()*n ∈N .由3412b a a =-，可得138d a -=①由11411S b =，可得1516a d +=②联立式①②，解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-()*n ∈N .所以{}n a 的通项公式为32n a n =-()*n ∈N ，{}n b 的通项公式为2nn b =()*n ∈N .（2）设数列2{}n n a b 的前项和为n T ，由262n a n =-()*n ∈N ，有2342102162(62)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，2341242102162(68)2(62)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，上述两式相减，得23142626262(62)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯=1212(12)4(62)2(34)21612n n n n n ++⨯----⨯=--⨯--，得2(34)216n n T n +=-⨯+.所以数列2{}n n a b 的前项和为2(34)216n n +-⨯+.题型77 数列与函数、不等式的综合1.（2014四川文19）(本小题满分12分)设等差数列{}n a 的公差为d ，点(),n n a b 在函数()2xf x =的图像上()*n ∈N.（1）求证：数列{}n b 为等比数列；（2）若11a =，函数()f x 的图像在点()22,a b 处的切线在轴上的截距为12ln 2-，求数列{}2n na b 的前项和nS.2.（2015陕西文21）设2()1,0,, 2.nn f x x x x x n n =++⋅⋅⋅+-∈N 厖（1）求()2n f '.（2）证明：()n f x 在203⎛⎫⎪⎝⎭，内有且仅有一个零点（记为n a ），且1120233nn a ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭.2.解析 (1)由题设()112n n f x x nx -'=+++，所以()212122322n n f n -'=+⨯+⨯++，所以()23221222322n n f n '=⨯+⨯+⨯++，由错位相减法求得： ()()2311122112121222212n n n n n f n n -⨯-'-=+⨯+⨯+⨯++-⨯=-⨯-，所以()()2121nn f n '=-+；(2)因为()010f =-<，222212120333n n f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…，所以()n f x 在203⎛⎫ ⎪⎝⎭，内至少存在一个零点.又()()110nn f x n x '=-+>，所以()n f x 在203⎛⎫ ⎪⎝⎭，内单调递增，因此，()n f x 在203⎛⎫ ⎪⎝⎭，内有且只有一个零点n a ，由于()()111n n x x f x x-=--，所以()()1011nn n n n na a f a a -==--，由此可得1111222n n n a a +=+>，故1223n a <<，所以111112120222333n nn n n a a ++⎛⎫⎛⎫<-=<⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 3.（2016上海文14）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意*n ∈N ，{}2,3n S ∈，则k 的最大值为.3.4解析由题意12S =或13S =，22S =或23S =，依此类推，又12S =与13S =具备等价性，因此不妨考虑设12S =，若22S =，则20a =；若23S =，则21a =.按照这种逻辑，可以出现序列2,0,0,⋅⋅⋅，或者序列2,1,1,1,1,--⋅⋅⋅ 因此最大化处理可以出现2,1,1,0,-⋅⋅⋅，所以最大值为4.4.（2016上海文22）对于无穷数列{}n a 与{}n b ，记{}*,n A xx a n ==∈N ，{}*,n B x x b n ==∈N ，若同时满足条件：①{}n a ，{}n b 均单调递增； ②AB =∅且*AB =N ，则称{}n a 与{}n b 是无穷互补数列.（1）若21n a n =-，42n b n =-，判断{}n a 与{}n b 是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若n a =2n 且{}n a 与{}n b 是无穷互补数列，求数列{}n b 的前16项的和；（3）若{}n a 与{}n b 是无穷互补数列，{}n a 为等差数列且1636a =，求{}n a 与{}n b 的通项公式.4.解析（1）易知{}1,3,5,7,9,11,A =⋅⋅⋅，{}2,6,8,12,B =⋅⋅⋅，而4A ∉，4B ∉，所以4AB ∉，从而{}n a 与{}n b 不是无穷互补数列.（2）由题意{}2,4,8,16,32,A =⋅⋅⋅，因为416a =，所以1616420b =+=. 数列{}n b 的前16项的和为()()23412202222++⋅⋅⋅+-+++=()512020221802+⨯--=. （3）设{}n a 的公差为d ，d *∈N ，则1611536a a d =+=.由136151a d =-…，得1d =或. 若1d =，则121a =，20n a n =+，与“{}n a 与{}n b 是无穷互补数列”矛盾，因为此时{}n b 不是无穷数列；若2d =，则16a =，24n a n =+，,525,5n n n b n n ⎧=⎨->⎩….综上所述，24n a n =+，,525,5n n n b n n ⎧=⎨->⎩….5.（2016江苏20）记{}1,2,,100U =.对数列{}n a ()*n ∈N 和U 的子集T ，若T =∅，定义0T S =；若{}12,,,k T t t t =，定义12k T t t t S a a a =+++.假如：{}1,3,66T =时，1366T S a a a =++.现设{}n a ()*n ∈N 是公比为的等比数列，且当{}2,4T =时，30T S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数k ()1100k 剟，若{}1,2,,T k ⊆，求证：1T k S a +<；（3）设C U ⊆，D U ⊆，C D S S …，求证：2C C D D S S S +…. 5.解析（1）当{}2,4T =时，2422930T S a a a a =+=+=，因此23a =，从而2113a a ==，()1*3n n a n -=∈N .（2）12T k S a a a ++ (21)1333k -=++++13132k k k a +-=<=.（3）下面分三种情况给予证明. ①若D 是C 的子集，则2C C DC D D D D S S S S S S S +=++=…. ②若C 是D 的子集，则22C CDC C CD S S S S S S +=+=….③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集. 令U E CD =ð，U F D C =ð，则E ≠∅，F ≠∅，EF =∅.于是C E C D S S S =+，D F CDS S S =+，进而由C D S S …得E F S S …. 设k 为E 中的最大数，为F 中的最大数，则1k …，1l …，k l ≠. 由（2）知，1E k S a +<.于是1133l k l F E k a S S a -+=<=剟，所以1l k -<，即l k ….又k l ≠，故1l k -….从而123F l S a a a a +++⋅⋅⋅+ (1)133l -=++⋅⋅⋅+1313122l k ---= (11)22k E a S --=…，故21E F S S +…，所以()21C C D D CDS S S S --+…，即21C CDD S S S ++….综合①②③得，2C CDD S S S +….6.（2017浙江22）已知数列{}n x 满足：11x =，()()*11ln 1n n n x x x n ++=++∈N .证明：当*n ∈N 时.（1）10n n x x +<<；（2）1122n n n n x x x x ++-…；（3）1-21122n n n x -剟. 6.解析（1）用数学归纳法证明：0n x >.当1n =时，110x =>，假设n k =时，0k x >，那么1n k =+时，若10k x +…，则()110ln 10k k k x x x ++<=++…，矛盾，故10k x +>. 因此()*0n x n >∈N ，所以()111ln 1n n n n x x x x +++=++>. 因此()*10n n x x n +<<∈N.（2）由()111ln 1n n n n x x x x +++=++>，得()()21111114222ln 1n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++.记函数()()()()222ln 10f x x x x x x =-+++…. ()()()()()222122222ln 1ln 1ln 10111x x x x x f x x x x x x x x -++++'=-+++=++=+++++…，知函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，所以()()00f x f =…，因此()()()21111122ln 10n n n n n x x x x f x +++++-+++=…，即()*1122n n n n x x x x n ++-∈N ….（3）因为()()*11111ln 12n n n n n n x x x x x x n +++++=+++=∈N …，得112n n x x +…，以此类推，21111,,22n n x x x x -厖，所以112112112n n n n n n x x x x x x x x ----⎛⎫=⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭=x ?，故112n n x -…. 由（2）知，()*1122n n n n x x x x n ++-∈N …，即111112022n n x x +⎛⎫--> ⎪⎝⎭…，所以1211111111222222n n n n x x x ---⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭厖?，故212n n x -…. 综上，()*121122n n n x n --∈N 剟. 题型80 数列的应用题——暂无。

2013年高考文科数学真题及答案全国卷1

2013年高考文科数学真题及答案全国卷1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2013课标全国Ⅰ,文1）已知集合A ＝{1,2，3，4｝，B ＝{x ｜x ＝n 2，n ∈A ｝,则A ∩B ＝（ )．A ．{1,4｝B ．{2，3｝C ．｛9，16}D ．｛1，2｝【答案】A【考点】本题主要考查集合的基本知识.【解析】∵B ＝｛x ｜x ＝n 2,n ∈A ｝＝｛1，4,9，16｝， ∴A ∩B ＝｛1，4｝． 2．（2013课标全国Ⅰ，文2)212i1i +(-)＝( )．A.B ．11+i 2- C ． D ．【答案】B【考点】本题主要考查复数的基本运算. 【解析】212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝11+i 2-.3．（2013课标全国Ⅰ，文3)从1，2，3，4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）．A ．12B ．13C ．14D ．16【答案】B【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。

【解析】由题意知总事件数为6，且分别为（1，2），（1，3),（1，4）,（2，3)，（2，4)，(3，4），满足条件的事件数是2，所以所求的概率为13。

4．（2013课标全国Ⅰ,文4）已知双曲线C :2222=1x y a b-（a ＞0，b ＞0）的离心率为52,则C 的渐近线方程为（）．A ．B ．C ．12y x =±D ．【答案】C【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。

【解析】∵52e =52c a =，即2254c a =.∵c 2＝a 2＋b 2，∴2214b a =。

∴12b a =。

∵双曲线的渐近线方程为by x a=±，∴渐近线方程为12y x =±。

2013年高考文科数学四川卷试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(四川卷)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．(2013四川，文1)设集合A ＝{1,2,3}，集合B ＝{－2,2}．则A ∩B ＝( )．A ．∅B ．{2}C ．{－2,2}D ．{－2,1,2,3}2．(2013四川，文2)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是( )．A ．棱柱B ．棱台C ．圆柱D ．圆台3．(2013四川，文3)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )．A ．AB ．BC ．CD ．D4．(2013四川，文4)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )．A ．⌝p ：∃x ∈A,2x ∈B B ．⌝p ：∃x ∉A,2x ∈BC ．⌝p ：∃x ∈A,2x ∉BD ．⌝p ：∀x ∉A,2x ∉B5．(2013四川，文5)抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x＝0的距离是( )．A．．2 C．1 6．(2013四川，文6)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)ππ0,22ωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )．A ．2，π3-B ．2，π6-C ．4，π6-D ．4，π37．(2013四川，文7)某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是( )．8．(2013四川，文8)若变量x ，y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )．A ．48B ．30C ．24D ．169．(2013四川，文9)从椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )．A．4 B ．12 C．2 D．210．(2013四川，文10)设函数f (x )a ∈R ，e 为自然对数的底数)，若存在b ∈[0,1]使f (f (b ))＝b 成立，则a 的取值范围是( )．A ．[1，e]B ．[1,1＋e]C ．[e,1＋e]D ．[0,1]第二部分(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(2013四川，文11)__________．12．(2013四川，文12)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD交于点O ，AB ＋AD＝λAO .则λ＝__________.13．(2013四川，文13)已知函数f (x )＝4x ＋ax(x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝__________.14．(2013四川，文14)设sin 2α＝－sin α，α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，则tan 2α的值是__________．15．(2013四川，文15)在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是__________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(2013四川，文16)(本小题满分12分)在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项、公比及前n 项和．17．(2013四川，文17)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos(A －B )cosB －sin(A －B )sin(A ＋C )＝35-.(1)求sin A 的值；(2)若a =b ＝5，求向量BA 在BC方向上的投影．18．(2013四川，文18)(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i (i ＝1,2,3)．(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．当n ＝2 100的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．19．(2013四川，文19)(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ＝AC ＝2AA 1＝2，∠BAC ＝120°，D ，D 1分别是线段BC ，B 1C 1的中点，P 是线段AD 上异于端点的点．(1)在平面ABC 内，试作出过点P 与平面A 1BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面ADD 1A 1； (2)设(1)中的直线l 交AC 于点Q ，求三棱锥A 1－QC 1D 的体积．(锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)20．(2013四川，文20)(本小题满分13分)已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点，直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)设Q (m ，n )是线段MN 上的点，且222211||||||OQ OM ON =+，请将n 表示为m 的函数．21．(2013四川，文21)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝22,0,ln,0,x x a xx x⎧++<⎨>⎩其中a是实数，设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图象上的两点，且x1＜x2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，证明：x2－x1≥1；(3)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(四川卷)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．答案：B解析：{1,2,3}∩{－2,2}＝{2}． 2．答案：D解析：从俯视图可看出该几何体上下底面为半径不等的圆，正视图与侧视图为等腰梯形，故此几何体为圆台．3．答案：B解析：设z ＝a ＋b i ，则共轭复数为z ＝a －b i ， ∴表示z 与z 的两点关于x 轴对称．故选B ． 4．答案：C解析：原命题的否定是∃x ∈A,2x ∉B ． 5．答案：D解析：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，它到直线x ＝0的距离d1.故选D ． 6．答案：A解析：由图象知函数周期T ＝211π5π1212⎛⎫- ⎪⎝⎭＝π， ∴ω＝2ππ＝2，把5π,212⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解析式，得5π22sin 212ϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，即5πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，φ＝π3-＋2k π(k ∈Z )．又ππ22ϕ-<<，∴φ＝π3-.故选A ．7．答案：A解析：由分组可知C ，D 一定不对；由茎叶图可知[0,5)有1人，[5,10)有1人， ∴第一、二小组频率相同，频率分布直方图中矩形的高应相同，可排除B ．故选A ． 8．答案：C解析：画出可行域，如图．联立8,24,x y y x +=⎧⎨-=⎩解得4,4.x y =⎧⎨=⎩即A 点坐标为(4,4)，由线性规划可知，z max ＝5×4－4＝16，z min ＝0－8＝－8，即a ＝16，b ＝－8，∴a －b ＝24.故选C ． 9．答案：C解析：由题意知A (a,0)，B (0，b )，P 2,b c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵AB ∥OP ，∴2b bac a-=-.∴b ＝c .∵a 2＝b 2＋c 2，∴22212c e a ==.∴2e =.故选C ．10．答案：A解析：当a ＝0时，f (x )∴b ∈[0,1]时，f (b )∈[1．∴f (f (b 1.∴不存在b ∈[0,1]使f (f (b ))＝b 成立，故D 错；当a ＝e ＋1时，f (x )b ∈[0,1]时，只有b ＝1时，f (x )才有意义，而f (1)＝0， ∴f (f (1))＝f (0)，显然无意义，故B ，C 错．故选A ．第二部分(非选择题共100分)注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．答在试题卷上无效．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．答案：1解析：1===.12．答案：2 解析：由平行四边形法则知AB ＋AD ＝AC＝2AO ，∴λ＝2. 13．答案：36解析：由基本不等式可得4x ＋a x ≥4x ＝ax即2x =∴32=，a ＝36.14．解析：∵sin 2α＝－sin α，α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭， ∴2sin αcos α＝－sin α，cos α＝12-.∵α∈π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴2π3α=，4π23α=.∴tan 2α＝4πtan3. 15．答案：(2,4)解析：由题意可知，若P 为平面直角坐标系内任意一点，则 |PA |＋|PC |≥|AC |，等号成立的条件是点P 在线段AC 上； |PB |＋|PD |≥|BD |，等号成立的条件是点P 在线段BD 上，所以到A ，B ，C ，D 四点的距离之和最小的点为AC 与BD 的交点．直线AC 方程为2x －y ＝0，直线BD 方程为x ＋y －6＝0， ∴20,60,x y x y -=⎧⎨+-=⎩解得2,4.x y =⎧⎨=⎩即所求点的坐标为(2,4)．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．解：设该数列的公比为q ，由已知，可得 a 1q －a 1＝2,4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以，a 1(q －1)＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝1. 由于a 1(q －1)＝2，因此q ＝1不合题意，应舍去．故公比q ＝3，首项a 1＝1.所以，数列的前n 项和S n ＝312n -.17．解：(1)由cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin(A ＋C )＝35-，得 cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝35-. 则cos(A －B ＋B )＝35-，即cos A ＝35-.又0＜A ＜π，则sin A ＝45.(2)由正弦定理，有sin sin a bA B =，所以，sin B ＝sin 2b A a =. 由题知a ＞b ，则A ＞B ，故π4B =.根据余弦定理，有2＝52＋c 2－2×5c ×35⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得c ＝1或c ＝－7(负值舍去)．故向量BA 在BC 方向上的投影为|BA |cos B ＝2.18．解：(1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13；当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16. 所以，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16. (2)当n ＝2 10019．解：(1)如图，在平面ABC 内，过点P 作直线l ∥BC ，因为l 在平面A 1BC 外，BC 在平面A 1BC 内，由直线与平面平行的判定定理可知，l ∥平面A 1BC ．由已知，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，所以，BC ⊥AD，则直线l ⊥AD ．因为AA 1⊥平面ABC，所以AA 1⊥直线l .又因为AD ，AA 1在平面ADD 1A 1内，且AD 与AA 1相交，所以直线l ⊥平面ADD 1A 1. (2)过D 作DE ⊥AC 于E ，因为AA 1⊥平面ABC ，所以DE ⊥AA 1.又因为AC ，AA 1在平面AA 1C 1C 内，且AC 与AA 1相交，所以DE ⊥平面AA 1C 1C ．由AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，有AD ＝1，∠DAC ＝60°，所以在△ACD 中，DE AD . 又11A QC S ∆＝12A 1C 1·AA 1＝1，所以11A QC D V -＝11D A QC V -＝13DE ·11A QC S ∆＝11326⨯⨯=.因此三棱锥A 1－QC 1D 的体积是6.20．解：(1)将y ＝kx 代入x 2＋(y －4)2＝4中，得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0.(*)由Δ＝(－8k )2－4(1＋k 2)×12＞0，得k 2＞3.所以，k 的取值范围是(－∞，∪(2)因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1)，(x 2，kx 2)，则|OM |2＝(1＋k 2)x 12，|ON |2＝(1＋k 2)x 22，又|OQ |2＝m 2＋n 2＝(1＋k 2)m 2. 由222211||||||OQ OM ON =+，得22222212211111k m k x k x =+(+)(+)(+)，即212122222212122211x x x x m x x x x (+)-=+=. 由(*)式可知，x 1＋x 2＝281k k +，x 1x 2＝2121k+，所以223653m k =-.因为点Q 在直线y ＝kx 上，所以n k m =，代入223653m k =-中并化简，得5n 2－3m 2＝36. 由223653m k =-及k 2＞3，可知0＜m 2＜3，即m ∈(0)∪(0．根据题意，点Q 在圆C 内，则n ＞0，所以n ==于是，n 与m的函数关系为n =m ∈(0)∪(0))．21．解：(1)函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1,0)，(0，＋∞)． (2)由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为f ′(x 1)，点B 处的切线斜率为f ′(x 2)，故当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时，有f ′(x 1)f ′(x 2)＝－1. 当x ＜0时，对函数f (x )求导，得f ′(x )＝2x ＋2. 因为x 1＜x 2＜0，所以，(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1. 所以2x 1＋2＜0,2x 2＋2＞0.因此x 2－x 1＝1[－(2x 1＋2)＋2x 2＋2] 1.(当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即132x =-且212x =-时等号成立) 所以，函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直时，有x 2－x 1≥1.(3)当x 1＜x 2＜0或x 2＞x 1＞0时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)，故x 1＜0＜x 2.当x 1＜0时，函数f (x )的图象在点(x 1，f (x 1))处的切线方程为y －(x 12＋2x 1＋a )＝(2x 1＋2)(x －x 1)，即y＝(2x 1＋2)x －x 12＋a .当x 2＞0时，函数f (x )的图象在点(x 2，f (x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝21x (x －x 2)，即y ＝21x ·x ＋ln x 2－1.两切线重合的充要条件是12221122,ln 1.x x x x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩①② 由①及x 1＜0＜x 2知，0＜21x ＜2. 由①②得，a ＝ln x 2＋22112x ⎛⎫-⎪⎝⎭－1＝222111ln 214x x ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭. 令21t x =，则0＜t ＜2，且a ＝14t 2－t －ln t ，设h(t)＝14t2－t－ln t(0＜t＜2)，则h′(t)＝12t－1－1t＝2132tt(-)-＜0.所以h(t)(0＜t＜2)为减函数，则h(t)＞h(2)＝－ln 2－1，所以a＞－ln 2－1.而当t∈(0,2)且t趋近于0时，h(t)无限增大．所以a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．故当函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．2013 四川文科数学第11页。

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2013年文科数学数列
1 ．（2013年高考大纲卷（文））已知数列{}n a 满足{}124
30,,103
n n
n a a a a ++==-则的前项和等于
（）
A ．(
)
-10
-61-3
B ．
()-101
1-39
C ．(
)-10
31-3
D ．(
)-10
31+3
2 ．（2013年高考安徽（文））设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,8
374,2S a a ==-,则9a =
（）
A ．6-
B ．4-
C ．2-
D ．2
3 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））设首项为1,公比为
2
3
的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则（） A ．21n n S a =- B ．32n n S a =- C ．43n n S a =-
D ．32n n S a =-
4 ．（2013年高考辽宁卷（文））下面是关于公差0d
>的等差数列()n a 的四个命题:
{}1:n p a 数列是递增数列； {}2:n p na 数列是递增数列；
3:n a p n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
数列是递增数列；
{}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为（）
A ．12,p p
B ．34,p p
C ．23,p p
D ．14,p p
5 ．（2013年高考重庆卷（文））若2、a 、b 、c 、9成等差数列,则c a -=____________.
6 ．（2013年高考北京卷（文））若等比数列{}n a 满足243520,40a a a a +=+=,则公比q =__________;前n 项
和n S =_____.
7 ．（2013年高考广东卷（文））设数列{}n a 是首项为1,公比为2-的等比数列,则1234||||a a a a +++=________ 8 ．（2013年高考江西卷（文））某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵树是
前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N *
)等于_____________.
9 ．（2013年高考辽宁卷（文））已知等比数列{}n a 是递增数列,n S 是{}n a 的前n 项和,若13a a ，是方程
2540x x -+=的两个根,则6S =____________.
10．（2013年上海高考数学试题（文科））在等差数列{}n a 中,若123430a a a a +++=,则23a a +=_________. 11．（2013年高考福建卷（文））已知等差数列{}n a 的公差1d
=,前n 项和为n S .
(1) 若131,,a a 成等比数列,求1a ;(2)若519S a a >,求1a 的取值范围.
12．（2013年高考大纲卷（文））等差数列{}n a 中,71994,2,a a a ==
(I)求{}n a 的通项公式;(II)设{}1
,.n n n n
b b n S na =求数列的前项和
13．（2013年高考湖北卷（文））已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和,4S ,2S ,3S 成等差数列,且23418a a a ++=-.
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)是否存在正整数n ,使得2013n S ≥?若存在,求出符合条件的所有n 的集合;若不存在,说明理由.
14．（2013年高考湖南（文））设n S 为数列{n a }的前项和,已知01
≠a ,2n n S S a a ∙=-11,∈n N *
(Ⅰ)求1a ,2a ,并求数列{n a }的通项公式;(Ⅱ)求数列{n na }的前n 项和.
15．（2013年高考重庆卷（文））设数列{}n a 满足:1
1a =,13n n a a +=,n N +∈.
(Ⅰ)求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ;(Ⅱ)已知{}n b 是等差数列,n T 为前n 项和,且
12b a =,3123b a a a =++,求20T .
16．（2013年高考天津卷（文））已知首项为
3
2
的等比数列{}n a 的前n 项和为(*)n S n ∈N , 且234,2,4S S S -成等差数列. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 证明13
*)6
1(n n S n S +≤∈N .
17．（2013年高考山东卷（文））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且24
4S S =,122+=n n a a
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式 (Ⅱ)设数列{}n b 满足*12121
1,2
n n n b b b n N a a a +++=-∈ ,求{}n b 的前n 项和n T
18．（2013年高考浙江卷（文））在公差为d 的等差数列{a n }中,已知a 1=10,且a 1,2a 2+2,5a 3成等比数列.
(Ⅰ)求d,a n ; (Ⅱ) 若d<0,求|a 1|+|a 2|+|a 3|++|a n | .
19．（2013年高考四川卷（文））在等比数列{}n a 中,212a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,求数列{}n a 的
首项、公比及前n 项和.
20．（2013年高考广东卷（文））设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足2
1441,,
n n S a n n N *
+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列.(1) 证明
:2a =;(2) 求数列{}n a 的通项公式;
(2) 证明:对一切正整数n ,有122311111
2
n n a a a a a a ++++< .
21．（2013年高考安徽（文））设数列{}n a 满足1
2a =,248a a +=,且对任意*n N ∈,函数
1212()()cos -sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++⋅⋅ 满足'()02
f π
=
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)若1
22
n
n n a b a =+（）,求数列{}n b 的前n 项和n S .
22．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知等差数列{}n a 的公差不为零,a 1=25,且a 1,a 11,a 13成等比数列.
(Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求14732n a a a a -++++ .
23．（2013年高考江西卷（文））正项数列{a n }满足2
(21)20n n a n a n ---=.
(1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)令1
(1)n n
b n a =+,求数列{b n }的前n 项和T n .
24．（2013年高考陕西卷（文））
设S n 表示数列{}n a 的前n 项和.
(Ⅰ) 若{}n a 为等差数列, 推导S n 的计算公式;
(Ⅱ) 若11,0a q =≠, 且对所有正整数n, 有11n
n q S q
-=-. 判断{}n a 是否为等比数列.
25．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足3
0S =,55S =-.
(Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求数列2121
1
{}n n a a -+的前n 项和.。