高三文科数学数列专题
2024年高考数学专项复习数列中的奇偶项问题(微专题)(解析版)
数列中的奇偶项问题(微专题)题型选讲题型一、分段函数的奇偶项求和1(深圳市罗湖区期末试题)已知数列a n中，a1=2，na n+1-n+1a n=1n∈N*.(1)求数列a n的通项公式；(2)设b n=a n+1,n为奇数,2a n+1,n为偶数，求数列bn的前100项和.1(2023·黑龙江大庆·统考三模)已知数列a n满足a1+3a2+⋯+2n-1a n=n．(1)证明：1a n是一个等差数列；(2)已知c n=119a n,n为奇数a n a n+2,n为偶数，求数列c n 的前2n项和S2n．2024年高考数学专项复习数列中的奇偶项问题（微专题）（解析版）2(2023·吉林·统考三模)已知数列a n满足a n=2n-2,n为奇数3n-2,n为偶数an的前n项和为S n．(1)求a1，a2，并判断1024是数列中的第几项；(2)求S2n-1．3(2023·安徽蚌埠·统考三模)已知数列a n满足a1=1，a2n+1=a2n+1，a2n=2a2n-1.(1)求数列a n的通项公式；(2)设T n=1a1+1a2+⋯+1a n，求证：T2n<3.4(2023·湖南邵阳·统考三模)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 3=5,S 9=81，数列{b n }满足a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =n -1 ⋅3n +1+3.(1)求数列{a n }与数列{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n =b n ,n 为奇数1a n a n +2,n 为偶数，n 为偶数，求{c n }前2n 项和T 2n .5(2023·湖南岳阳·统考三模)已知等比数列a n 的前n 项和为S n ，其公比q ≠-1，a 4+a 5a 7+a 8=127，且S 4=a 3+93．(1)求数列a n 的通项公式；(2)已知b n =log 13a n ,n 为奇数a n,n 为偶数，求数列b n 的前n 项和T n ．2【2020年新课标1卷文科】数列{a n}满足a n+2+(-1)n a n=3n-1，前16项和为540，则a1=1(2021·山东济宁市·高三二模)已知数列{a n}是正项等比数列，满足a3是2a1、3a2的等差中项，a4=16．(1)求数列{a n}的通项公式；log，求数列{b n}的前n项和T n．(2)若b n=-1n⋅2a2n+12【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】已知等差数列{a n}前n项和为S n，a5=9，S5=25.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；(2)设b n=(-1)n S n，求{b n}前n项和T n.n n+13(2023·广东深圳·统考一模)记S n，为数列a n的前n项和，已知S n=a n2+n2+1，n∈N*．(1)求a1+a2，并证明a n+a n+1是等差数列；(2)求S n．1(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n满足a1=1，a n+a n+1=2n；数列b n前n项和为S n，且b1=1，2S n=b n+1-1.(1)求数列a n和数列b n的通项公式；(2)设c n=a n⋅b n，求c n前2n项和T2n.2(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n前n项和满足a1=1，a n+a n+1=2n；数列b n为S n，且b1=1，2S n=b n+1-1.(1)求数列a n的通项公式；和数列b n(2)设c n=a n⋅b n，求c n前2n项和T2n.数列中的奇偶项问题(微专题)题型选讲题型一、分段函数的奇偶项求和1(深圳市罗湖区期末试题)已知数列a n中，a1=2，na n+1-n+1a n=1n∈N*.(1)求数列a n的通项公式；(2)设b n=a n+1,n为奇数,2a n+1,n为偶数，求数列bn的前100项和.【解析】【小问1详解】∵na n+1-n+1a n=1,∴a n+1n+1-a nn=1n-1n+1,a n+1+1n+1=a n+1n，所以a n+1n是常数列，即a n+1n=a1+11=3,∴a n=3n-1；【小问2详解】由(1)知，a n是首项为2，公差为3等差数列，由题意得b2n-1=a2n-1=6n-4，b2n=2a2n+1=12n+4，设数列b2n-1，b2n的前50项和分别为T1，T2，所以T1=50b1+b992=25×298=7450，T2=50×b2+b1002=25×620=15500，所以b n的前100项和为T1+T2=7450+15500=22950；综上，a n=3n-1，b n的前100项和为T1+T2=7450+15500=22950.1(2023·黑龙江大庆·统考三模)已知数列a n满足a1+3a2+⋯+2n-1a n=n．(1)证明：1a n是一个等差数列；(2)已知c n=119a n,n为奇数a n a n+2,n为偶数，求数列c n 的前2n项和S2n．【答案】(1)证明见详解(2)S2n=2n-1n19+n34n+3【详解】(1)当n=1时，可得a1=1，当n≥2时，由a1+3a2+⋯+2n-1a n=n，则a1+3a2+⋯+2n-3a n-1=n-1n≥2，上述两式作差可得a n=12n-1n≥2，因为a1=1满足a n=12n-1，所以a n的通项公式为a n=12n-1，所以1a n=2n-1，因为1a n-1a n-1=2n-1-2n-3=2(常数)，所以1a n是一个等差数列．(2)c n=2n-119,n为奇数12n-12n+3,n为偶数 ，所以C1+C3+⋯C2n-1=1+5+9+⋯4n-319=2n-1n19，C2+C4+⋯C2n=1413-17+17-111+⋯+14n-1-14n+3=n34n+3所以数列c n的前2n项和S2n=2n-1n19+n34n+3．2(2023·吉林·统考三模)已知数列a n满足a n=2n-2,n为奇数3n-2,n为偶数an的前n项和为S n．(1)求a1，a2，并判断1024是数列中的第几项；(2)求S2n-1．【答案】(1)a1=12，a2=4；1024是数列a n的第342项(2)S2n-1=4n6+3n2-5n+116【详解】(1)由a n=2n-2,n为奇数3n-2,n为偶数可得a1=12，a2=4．令2n-2=1024=210，解得：n=12为偶数，不符合题意，舍去；令3n-2=1024，解得：n=342，符合题意．因此，1024是数列a n的第342项．(2)S2n-1=a1+a2+a3+a4+⋅⋅⋅+a2n-2+a2n-1=12+4+2+10+⋅⋅⋅+6n-8+22n-3=12+2+⋅⋅⋅+22n-3+4+10+⋅⋅⋅+6n-8=121-4n1-4+n-14+6n-82=164n-1+n-13n-2=4n6+3n2-5n+116．另解：由题意得a2n-1=22n-3，又a2n+1a2n-1=4，所以数列a2n-1是以12为首项，4为公比的等比数列．a2n=6n-2，又a2n+2-a2n=6，所以数列a2n是以4为首项，6为公差的等差数列．S2n-1为数列a2n-1的前n项和与数列a2n的前n-1项和的总和．故S2n-1=121-4n1-4+n-14+6n-82=164n-1+n-13n-2=4n6+3n2-5n+116.3(2023·安徽蚌埠·统考三模)已知数列a n满足a1=1，a2n+1=a2n+1，a2n=2a2n-1.(1)求数列a n的通项公式；(2)设T n=1a1+1a2+⋯+1a n，求证：T2n<3.【答案】(1)a n=2n+12-1,n为奇数, 2n2+1-2,n为偶数.(2)证明见解析.【详解】(1)由题意a2n+1=a2n+1=2a2n-1+1,所以a2n+1+1=2a2n-1+1,因为a1+1=2≠0,所以数列a2n-1+1是首项为2,公比为2的等比数列,所以a2n-1+1=2n,即a2n-1=2n-1,而a2n=2a2n-1=2n+1-2,所以a n=2n+12-1,n为奇数, 2n2+1-2,n为偶数.(2)方法一：由(1)得T2n=ni=11a2i-1+1a2i=32ni=112i-1=32ni=12i+1-12i-12i+1-1<32ni=12i+12i-12i+1-1=3ni=12i2i-12i+1-1=3ni=112i-1-12i+1-1=31-12n+1-1<3方法二：因为2n-1≥2n-1n∈N*,所以T2n=∑ni=11a2i-1+1a2i=32∑n i=112i-1≤32∑n i=112i-1=31-12n<34(2023·湖南邵阳·统考三模)记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a3=5,S9=81，数列{b n}满足a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =n -1 ⋅3n +1+3.(1)求数列{a n }与数列{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n =b n ,n 为奇数1a n an +2,n 为偶数，n 为偶数，求{c n }前2n 项和T 2n .【答案】(1)a n =2n -1,b n =3n (2)T 2n =3⋅9n 8-116n +12-724【详解】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3=5S 9=81 ，即a 1+2d =59a 1+9×82d =81 ，∴a 1=1,d =2，∴a n =2n -1.∵a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =n -1 ⋅3n +1+3，①∴a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n -1b n -1=n -2 ⋅3n +3n ≥2 ，②所以①-②得，a n b n =2n -1 ⋅3n ，∴b n =3n n ≥2 .当n =1时，a 1b 1=3,b 1=3，符合b n =3n .∴b n =3n .(2)T 2n =c 1+c 2+c 3+⋯+c 2n ，依题有：T 2n =b 1+b 3+⋯+b 2n -1 +1a 2a 4+1a 4a 6+⋯+1a 2n a 2n +2.记T 奇=b 1+b 3+⋯+b 2n -1，则T 奇=3(1-32n )1-32=32n +1-38.记T 偶=1a 2a 4+1a 4a 6+⋯+1a 2n a 2n +2，则T 偶=12d 1a 2-1a 4 +1a 4-1a 6 +⋯+1a 2n -1a 2n +2=12d 1a 2-1a 2n +2=1413-14n +3 .所以T 2n =32n +1-38+1413-14n +3 =3⋅9n 8-116n +12-7245(2023·湖南岳阳·统考三模)已知等比数列a n 的前n 项和为S n ，其公比q ≠-1，a 4+a 5a 7+a 8=127，且S 4=a 3+93．(1)求数列a n 的通项公式；(2)已知b n =log 13a n ,n 为奇数a n,n 为偶数，求数列b n 的前n 项和T n ．【答案】(1)a n =3n (2)T n =18×3n +1-98-n +1 24,n 为奇数983n -1-n 24,n 为偶数【详解】(1)因为a n 是等比数列，公比为q ≠-1，则a 4=a 1q 3,a 5=a 1q 4，a 7=a 1q 6,a 8=a 1q 7，所以a 4+a 5a 7+a 8=a 1q 3+a 1q 4a 1q 6+a 1q 7=1q 3=127，解得q =3，由S 4=a 3+93，可得a 11-34 1-3=9a 1+93，解得a 1=3，所以数列a n 的通项公式为a n =3n ．(2)由(1)得b n =-n ,n 为奇数3n ,n 为偶数，当n 为偶数时，T n =b 1+b 2+⋅⋅⋅+b n =b 1+b 3+⋅⋅⋅+b n -1 +b 2+b 4+⋅⋅⋅+b n =-1+3+⋅⋅⋅+n -1 +32+34+⋅⋅⋅+3n=-n2⋅1+n -12×+91-9n 21-9=983n -1 -n 24；当n 为奇数时T n =T n +1-b n +1=983n +1-1 -n +1 24-3n +1=18×3n +1-98-n +1 24；综上所述：T n =18×3n +1-98-n +1 24,n 为奇数983n -1-n 24,n 为偶数.题型二、含有(-1)n 类型2【2020年新课标1卷文科】数列{a n }满足a n +2+(-1)n a n =3n -1，前16项和为540，则a 1=【答案】7【解析】a n +2+(-1)n a n =3n -1，当n 为奇数时，a n +2=a n +3n -1；当n 为偶数时，a n +2+a n =3n -1.设数列a n 的前n 项和为S n ，S 16=a 1+a 2+a 3+a 4+⋯+a 16=a 1+a 3+a 5⋯+a 15+(a 2+a 4)+⋯(a 14+a 16)=a 1+(a 1+2)+(a 1+10)+(a 1+24)+(a 1+44)+(a 1+70)+(a 1+102)+(a 1+140)+(5+17+29+41)=8a 1+392+92=8a 1+484=540，∴a 1=7.故答案为：7.1(2021·山东济宁市·高三二模)已知数列{a n }是正项等比数列，满足a 3是2a 1、3a 2的等差中项，a 4=16．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n =-1 n ⋅2a 2n +1log ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3是2a 1、3a 2的等差中项，所以2a 3=2a 1+3a 2，即2a 1q 2=2a 1+3a 1q ，因为a 1≠0，所以2q 2-3q -2=0，解得q =2或q =-12，因为数列{a n }是正项等比数列，所以q =2．因为a 4=16，即a 4=a 1q 3=8a 1=16，解得a 1=2，所以a n =2×2n -1=2n ；(2)解法一：(分奇偶、并项求和)由(1)可知，a 2n +1=22n +1，所以，b n =-1 n ⋅2a 2n +1log =-1 n ⋅222n +1log =-1 n ⋅2n +1 ，①若n 为偶数，T n =-3+5-7+9-⋯-2n -1 +2n +1 =-3+5 +-7+9 +⋯+-2n -1 +2n +1 =2×n2=n ；②若n 为奇数，当n ≥3时，T n =T n -1+b n =n -1-2n +1 =-n -2，当n =1时，T 1=-3适合上式，综上得T n =n ,n 为偶数-n -2,n 为奇数(或T n =n +1 -1 n -1，n ∈N *)；解法二：(错位相减法)由(1)可知，a 2n +1=22n +1，所以，b n =-1 n ⋅2a 2n +1log =-1 n ⋅222n +1log =-1 n ⋅2n +1 ，T n =-1 1×3+-1 2×5+-1 3×7+⋯+-1 n ⋅2n +1 ，所以-T n =-1 2×3+-1 3×5+-1 4×7+⋯+-1 n +1⋅2n +1 所以2T n =3+2[-1 2+-1 3+⋯+-1 n ]--1 n +12n +1 ，=-3+2×1--1 n -12+-1 n 2n +1 =-3+1--1 n -1+-1 n 2n +1=-2+2n +2 -1 n ，所以T n=n+1-1n-1，n∈N*2【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】已知等差数列{a n}前n项和为S n，a5=9，S5=25.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；(2)设b n=(-1)n S n，求{b n}前n项和T n.【答案】(1)a n=2n-1，S n=n2；(2)T n=(-1)n n(n+1)2.【解析】【分析】(1)利用等差数列的基本量，列方程即可求得首项和公差，再利用公式求通项公式和前n项和即可；(2)根据(1)中所求即可求得b n，对n分类讨论，结合等差数列的前n项和公式，即可容易求得结果.【详解】(1)由S5=5(a1+a5)2=5×2a32=5a3=25得a3=5.又因为a5=9，所以d=a5-a32=2，则a3=a1+2d=a1+4=5，解得a1=1；故a n=2n-1，S n=n(1+2n-1)2=n2.(2)b n=(-1)n n2.当n为偶数时：T n=b1+b2+b3+b4+⋯+b n-1+b n=-12+22+-32+42+⋯+-(n-1)2+n2=(2-1)×(2+1)+(4-3)×(4+3)+⋯+[n-(n-1)]×[n+(n-1)] =1+2+3+⋯+(n-1)+n=n(n+1)2.当n为奇数时：T n=b1+b2+b3+b4+⋯+b n-2+b n-1+b n=-12+22+-32+42+-(n-2)2+(n-1)2-n2=(2-1)×(2+1)+(4-3)×(4+3)+⋯+[(n-1)-(n-2)]×[(n-1)+(n-2)]-n2 =1+2+3+⋯+(n-2)+(n-1)-n2=(n-1)(1+n-1)2-n2=-n(n+1)2.综上得T n=(-1)n n(n+1)2题型三、a n+a n+1类型3(2023·广东深圳·统考一模)记S n，为数列a n的前n项和，已知S n=a n2+n2+1，n∈N*．(1)求a1+a2，并证明a n+a n+1是等差数列；(2)求S n．【解析】(1)已知S n=a n2+n2+1，n∈N*当n=1时，a1=a12+2，a1=4；当n=2时，a1+a2=a22+5，a2=2，所以a1+a2=6．因为S n=a n2+n2+1①，所以S n+1=a n+12+n+12+1②．②-①得，a n+1=a n+12-a n2+n+12-n2，整理得a n+a n+1=4n+2，n∈N*，所以a n+1+a n+2-a n+a n+1=4n+1+2-4n+2=4(常数)，n∈N*，所以a n+a n+1是首项为6，公差为4的等差数列．(2)由(1)知，a n-1+a n=4n-1+2=4n-2，n∈N*，n≥2．当n为偶数时，S n=a1+a2+a3+a4+⋯+a n-1+a n=n26+4n-22=n2+n；当n为奇数时，S n=a1+a2+a3+a4+a5+⋯+a n-1+a n=4+n-1210+4n-22=n2+n+2．综上所述，S n=n2+n,当n为偶数时n2+n+2,当n为奇数时1(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n满足a1=1，a n+a n+1=2n；数列b n前n项和为S n，且b1=1，2S n=b n+1-1.(1)求数列a n和数列b n的通项公式；(2)设c n=a n⋅b n，求c n前2n项和T2n.【答案】(1)a n=n,n=2k-1,k∈Zn-1,n=2k,k∈Z，bn=3n-1；(2)58n-59n8.【分析】(1)根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；(2)利用错位相减法进行求解即可.(1)n ≥2，a n -1+a n =2n -1 ，∴a n +1-a n -1=2，又a 1=1，a 2=1，n =2k -1(k 为正整数)时，a 2k -1 是首项为1，公差为2的等差数列,∴a 2k -1=2k -1，a n =n ，n =2k (k 为正整数)时，a 2k 是首项为1，公差为2的等差数列.∴a 2k =2k -1，∴a n =n -1，∴a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，∵2S n =b n +1-1，∴n ≥2时，2S n -1=b n -1，∴2b n =b n +1-b n ，又b 2=3，∴n ≥2时，b n =3n -1，b 1=1=30，∴b n =3n -1；(2)由(1)得c n =n 3n -1,n =2k -1,k ∈Zn -1 3n -1,n =2k ,k ∈Z ，T 2n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -2 +1×31+3×33+5×35+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -1 =41×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 设K n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 ①则9K n =1×32+3×34+5×36+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n ②①-②得-8K n =1+232+34+⋅⋅⋅+32n -2-2n -1 ⋅32n=5+8n -5 9n-4，K n =5+8n -5 9n 32，∴T 2n =58n -5 9n82(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n 满足a 1=1，a n +a n +1=2n ；数列b n 前n 项和为S n ，且b 1=1，2S n =b n +1-1.(1)求数列a n 和数列b n 的通项公式；(2)设c n =a n ⋅b n ，求c n 前2n 项和T 2n .【答案】(1)a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，b n =3n -1；(2)58n -5 9n8.【解析】(1)根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；(2)利用错位相减法进行求解即可.(1)n ≥2，a n -1+a n =2n -1 ，∴a n +1-a n -1=2，又a 1=1，a 2=1，n =2k -1(k 为正整数)时，a 2k -1 是首项为1，公差为2的等差数列,∴a 2k -1=2k -1，a n =n ，n =2k (k 为正整数)时，a 2k 是首项为1，公差为2的等差数列.∴a 2k =2k -1，∴a n =n -1，∴a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，∵2S n =b n +1-1，∴n ≥2时，2S n -1=b n -1，∴2b n =b n +1-b n ，又b 2=3，∴n ≥2时，b n =3n -1，b 1=1=30，∴b n =3n -1；(2)由(1)得c n =n 3n -1,n =2k -1,k ∈Zn -1 3n -1,n =2k ,k ∈Z ，T 2n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -2 +1×31+3×33+5×35+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -1 =41×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 设K n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 ①则9K n =1×32+3×34+5×36+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n ②①-②得-8K n =1+232+34+⋅⋅⋅+32n -2-2n -1 ⋅32n=5+8n -5 9n-4，K n =5+8n -5 9n 32，∴T 2n =58n -5 9n8。
高考文科数学数列经典大题训练(附答案)
1.〔此题总分值14 分〕设数列a的前n项和为S n,且S n4a n3(n1,2,)，n〔1〕证明: 数列a n是等比数列；〔2〕假设数列b满足b n1a n b n(n1,2,)，b12，求数列b n的通项公n式．2.〔本小题总分值12分〕等比数列a的各项均为正数，且n2 2a3a1,a9aa.123261.求数列a n的通项公式.2.设blogaloga......loga,求数列n31323n 1bn的前项和.3.设数列a满足n2n1 a12,a1a32nn〔1〕求数列a的通项公式；n〔2〕令b n na n，求数列的前n项和S n3.等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．〕，求数列{b n}的前n项和S n．〔Ⅰ〕求数列{a n}的通项公式；n﹣1*〔Ⅱ〕设b n=〔4﹣a n〕q〔q≠0，n∈N× 5.数列{a n}满足，，n∈N．〔1〕令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列；〔2〕求{a n}的通项公式．...4.解：〔1〕证：因为S n4a n3(n1,2,)，那么S n14a n13(n2,3,)，所以当n2时，a SS14a4a1，nnnnn4整理得aa1．5分nn3由S43，令n1，得a14a13，解得a11．n an所以分a是首项为1，公比为n43的等比数列．7〔2〕解：因为4n1 a()，n3由b1ab(n1,2,)，得nnn4n1 bb()．9分n1n3由累加得()()()b n bbbbbbb12`132nn14n11()43n1＝23()1，〔n2〕，43134n1 当n=1时也满足，所以)1b3(．n35.解：〔Ⅰ〕设数列{a n}的公比为q，由 2a39a2a6得32a39a4所以21q。
有条件9可知a>0,故1q。
311a。
故数列{a n}的通项式为a n=33由2a13a21得2a13a2q1，所以1n。
〔Ⅱ〕b logaloga...logan111111(12...n)n(n1)2故12112() bn(n1)nn1n111111112n ...2((1)()...()) bbb223nn1n1 12n...所以数列1{}bn2n 的前n 项和为n16.解：〔Ⅰ〕由，当n≥1 时，a1[(a1a)(a a1)(a2a1)]a1nnnnn2n12n33(222)222(n1)1。
高三数列知识点与题型总结文科
数列考点总结第一部分求数列的通项公式一、数列的相关概念与表示方法见辅导书 二、求数列的通项公式四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式;等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘,这二种方法是求数列通项公式的最基本方法;求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形,代换转化为等差数列或等比数列;求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法; 一、累加法1．适用于：1()n n a a f n +=+----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一;若1()n n a a f n +-=(2)n ≥,则21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，,求数列{}n a 的通项公式; 例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，,求数列{}n a 的通项公式;练习1.已知数列{}n a 的首项为1,且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.答案：12+-n n练习2.已知数列}{n a 满足31=a ,)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ,求此数列的通项公式.答案：裂项求和n a n 12-=评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+,其中fn 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项na .①若fn 是关于n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; ②若fn 是关于n 的二次函数,累加后可分组求和;③若fn 是关于n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; ④若fn 是关于n 的分式函数,累加后可裂项求和;例3.已知数列}{n a 中,0>n a 且)(21n n n a n a S +=,求数列}{n a 的通项公式.练习3已知数列{}n a 满足112,12nn n a a a a +==+,求数列{}n a 的通项公式;二、累乘法 1、适用于：1()n na f n a +=累乘法是最基本的二个方法之二;若1()n n a f n a +=,则31212(1)(2)()n na aa f f f n a a a +===，，，两边分别相乘得,1111()nn k a a f k a +==⋅∏例4已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，,求数列{}n a 的通项公式;例5.设{}n a 是首项为1的正项数列,且()011221=+-+++n n n n a a na a n n=1,2,3,…,则它的通项公式是n a =________. 三、待定系数法适用于1()n n a qa f n +=+基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数; 1．形如(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1型1若c=1时,数列{n a }为等差数列; 2若d=0时,数列{na }为等比数列;3若01≠≠且d c 时,数列{na }为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.待定系数法：设)(1λλ+=++n n a c a ,得λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+比较系数得d c =-λ)1(,所以)0(,1≠-=c cd λ所以有：)1(11-+=-+-c d a c c d a n n 因此数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1c d a n 构成以11-+c da 为首项,以c 为公比的等比数列,所以11)1(1-⋅-+=-+n n c c d a c d a 即：1)1(11--⋅-+=-c d c c d a a n n . 规律：将递推关系dca a n n +=+1化为)1(11-+=-++c da c c d a n n ,构造成公比为c 的等比数列}1{-+c d a n 从而求得通项公式)1(1111-++-=-+c da c c d a n n逐项相减法阶差法：有时我们从递推关系dca a n n +=+1中把n 换成n-1有dca a n n +=-1,两式相减有)(11-+-=-n n n n a a c a a 从而化为公比为c 的等比数列}{1n n a a -+,进而求得通项公式.)(121a a c a a n n n -=-+,再利用类型1即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.例6、已知数列{}n a 中,111,21(2)n n a a a n -==+≥,求数列{}n a的通项公式;2．形如：nn n q a p a +⋅=+1其中q 是常数,且n ≠0,1①若p=1时,即：nn n q a a +=+1,累加即可.②若1≠p 时,即：n n n q a p a +⋅=+1,求通项方法有以下三种方向：i.两边同除以1+n p .目的是把所求数列构造成等差数列即：nnn n n qp p q a p a )(111⋅+=++,令n n n p a b =,则n n n q p p b b )(11⋅=-+,然后类型1,累加求通项.ii.两边同除以1+n q .目的是把所求数列构造成等差数列;即：qq a q p q a n n n n 111+⋅=++,令n nn q a b =,则可化为q b q p b n n 11+⋅=+.然后转化为类型5来解,iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设)(11n n n n p a p q a ⋅+=⋅+++λλ.通过比较系数,求出λ,转化为等比数列求通项.注意：应用待定系数法时,要求p ≠q,否则待定系数法会失效; 例7、已知数列{}n a 满足1112431n n n a a a -+=+⋅=，,求数列{}n a的通项公式;练习3.2009陕西卷文已知数列{}n a 满足,*11212,,2n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝＝.()I 令1n n n b a a +=-,证明：{}n b 是等比数列；Ⅱ求{}n a 的通项公式;答案：1{}n b 是以1为首项,12-为公比的等比数列;21*521()()332n n a n N -=--∈;总结：四种基本数列 1．形如)(1n f a a n n =-+型等差数列的广义形式,见累加法;2.形如)(1n f a a n n =+型等比数列的广义形式,见累乘法;3.形如)(1n f a a n n =++型1若da a n n =++1d 为常数,则数列{na }为“等和数列”,它是一个周期数列,周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论;2若fn 为n 的函数非常数时,可通过构造转化为)(1n f a a n n =-+型,通过累加来求出通项;或用逐差法两式相减得)1()(11--=--+n f n f a a n n ,,分奇偶项来分求通项.4.形如)(1n f a a n n =⋅+型1若pa a n n =⋅+1p 为常数,则数列{na }为“等积数列”,它是一个周期数列,周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论;2若fn 为n 的函数非常数时,可通过逐差法得)1(1-=⋅-n f a a n n ,两式相除后,分奇偶项来分求通项. 例8.数列{na }满足01=a ,na a n n 21=++,求数列{an}的通项公式.例9.已知数列满足}{n a )(,)21(,3*11N n a a a n n n ∈=⋅=+,求此数列的通项公式.第二部分数列求和一、公式法1．如果一个数列是等差数列或等比数列,则求和时直接利用等差、等比数列的前n 项和公式,注意等比数列公比q 的取值情况要分q ＝1或q ≠1.2．一些常见数列的前n 项和公式： 11＋2＋3＋4＋…＋n ＝； 21＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2；32＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n.二、非等差、等比数列求和的常用方法1．倒序相加法如果一个数列{a n},首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,等差数列的前n项和即是用此法推导的．2．分组转化求和法若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组转化法,分别求和而后相加减．3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,等比数列的前n项和就是用此法推导的．4．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和．小题能否全取1．2012·沈阳六校联考设数列{－1n}的前n项和为S n,则对任意正整数n,S n＝2．等差数列{a n}的通项公式为a n＝2n＋1,其前n项的和为S n,则数列的前10项的和为A．120 B．70C．75 D．1003．数列a1＋2,…,a k＋2k,…,a10＋20共有十项,且其和为240,则a1＋…＋a k＋…＋a10的值为A．31 B．120C．130 D．1854．若数列{a n}的通项公式为a n＝2n＋2n－1,则数列{a n}的前n项和为________．5．数列,,,…,,…的前n项和为________．例1等比数列{a n}中,a123,且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列.1求数列{a n}2若数列{b n}满足：b n＝a n＋－1n ln a n,求数列{b n}的前2n项和S2n...例2 已知数列{a n}n2a6＝8a3.1求a n；2求数列{na n}的前n项和T n.2．已知等比数列{a n}的前n项和为S n,且满足S n＝3n＋k.1求k的值及数列{a n}的通项公式；2若数列{b n}满足＝4＋ka n b n,求数列{b n}的前n项和T n.T n＝.例3 已知数列{a n}n1n n1求数列{a n}的通项公式；2设b n＝,求数列{b n}的前n项和T n.3．在等比数列{a n}中,a1>0,n∈N,且a3－a2＝8,又a1、a5的等比中项为16.1求数列{a n}的通项公式；2设b n＝log4a n,数列{b n}的前n项和为S n,是否存在正整数k,使得＋＋＋…＋<k对任意n∈N恒成立．若存在,求出正整数k的最小值；不存在,请说明理由．课后练习题1．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2－6n,则{|a n|}的前n项和T n＝A．6n－n2B．n2－6n＋182．若数列{a n}满足a1＝2且a n＋a n－1＝2n＋2n－1,S n为数列{a n}的前n项和,则log2S2012＋2＝________.3．已知递增的等比数列{a n}满足：a2＋a3＋a4＝28,且a3＋2是a2,a4的等差中项．1求数列{a n}的通项公式；2若b n＝a n log a n,S n＝b1＋b2＋…＋b n,求S n.4．已知{a n}是公差不为零的等差数列,a1＝1,且a1,a3,a9成等比数列．1求数列{a n}的通项；2求数列{2a n}的前n项和S n.S n＝2n＋1－2.2．设函数fx＝x3,在等差数列{a n}中,a3＝7,a1＋a2＋a3＝12,记S n＝f,令b n＝a n S n,数列的前n项和为T n.1求{a n}的通项公式和S n；2求证：T n<.3．已知二次函数fx＝x2－5x＋10,当x∈n,n＋1n∈N时,把fx在此区间内的整数值的个数表示为a n.1求a1和a2的值；2求n≥3时a n的表达式；3令b n＝,求数列{b n}的前n项和S n n≥3．5－.。
高考文科数学大题专题练习 (3)
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3．(2019·长郡中学月考)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝ n2－n＋1，在正项等比数列{bn}中，b2＝a2，b4＝a5.
(1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)设cn＝anbn，求数列{cn＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－n＋1)－[(n－1)2－(n－1)＋1]
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b1＝3对上式也成立，所以bn＝n(n＋2)，即
1 bn
＝
1 n（n＋2）
＝
121n－n＋1 2，
所以Tn＝
1 2
[
1－13
＋
12－14
＋
13－15
＋…＋
n－1 1－n＋1 1
＋
1n－n＋1 2]＝12(1＋12－n＋1 1－n＋1 2)＝34－2（n＋21n）＋（3n＋2）.
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5．(2019·郑州市第一次质量预测)已知数列{an}为等比数 列，首项a1＝4，数列{bn}满足bn＝log2an，且b1＋b2＋b3＝12.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)令cn＝bn·4bn＋1＋an，求数列{cn}的前n项和Sn.
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解析 (1)由bn＝log2an和b1＋b2＋b3＝12，得log2(a1a2a3)＝ 12，∴a1a2a3＝212.
设等比数列{an}的公比为q，∵a1＝4，∴a1a2a3＝4·4q·4q2＝ 26·q3＝212，解得q＝4，∴an＝4·4n－1＝4n.
高三文科数学第一轮复习数列专题.docx
数列专题姓名： _____________ （一）数列求和学号： _____________1．公式法。
（直接用等差、等比数列的求和公式求和）n(a 1a n )n(n 1)na 1 (q 1)na 1 ； S nn ) (q 1)S n22da 1 (1 q公比含字母时一定要讨论1 q例 1（1）：已知等差数列．．．． { a n } 满足 a 1 1, a 23 ，求前 n 项和 S n ．例 1（2）：已知等比数列．．．． { a n } 满足 a 11, a 2 3 ，求前 n 项和 S n ．练习 1（ 1） .设 f (n)2 2427210L23 n 10 ( nN ) ，则 f (n) 等于（）A. 2(8n1) B.2 (8n 1 1) C.2(8n 3 1)D. 2 (8n 41)777 7练习 1（ 2） . 求和： 1+ 3 + 7 + 9 + K + (2 n - 1)2．分组求和法c n = a n + b n ， a n 、 b n 是等差或等比数列，则采用分组求和法1111 例 3：求数列1， 2+， 3+ ， 4++⋯ + nn 1 的前 n 项和 S n ．2 482练习 2（1）：已知数列 { a n } 是 3＋ 2－1,6＋ 22－ 1,9＋ 23－ 1,12＋24 －1，⋯，写出数列 { a n } 的通项公式并求其前 n 项和 S n ．练习 2（ 2）：求和： (2 - 3? 5- 1 ) (4 - 3? 5- 2 ) L + (2 n - 3? 5- n ) ．3．错位相减法：（乘以式中的公比q ，然后再进行相减） a n等差 , b n等比 , 求 a1b1 a 2b2a n b n的和 .例 3．求和S n 1 2x 3x2L nx n 1（ x 1 0 ）（提示：分类讨论， x1和 x 1 两种情况）练习 3（ 1）化简：S n 1 21 2 2 2n2n123n练习 3(2) ．求和：S n23na a a a练习3(3). 设{ a n}是等差数列，{b n } 是各项都为正数的等比数列，且a1b1 1 ， a3b521 ，a5 b3 13 （Ⅰ）求 { a n} ， { b n } 的通项公式；（Ⅱ）求数列a n的前 n 项和S n．b n4．裂项相消法 ( 把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项)常见拆项：1 11；1 1 ( 1 1 ) 1= 1 ( 1- 1 )n(n 1) nn 1n(n2)2 n n 2 ； n(n + k) k n n + k11111111]()[(2n 1)( 2n 1) 2 2n 1 2n 1 ； n(n 1)( n2) 2 n(n 1) ( n 1)(n2)例 4（1）．数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 a n1，则 S 5 等于（ ）n(n 1)A ． 1B ．5C ．1D ．16630例 4（2） . 已知数列 { a n } 的通项公式为 a n1，求前 n 项的和．nn11，求前 n 项的和．练习 4（ 1）．已知数列 { a n } 的通项公式为 a nn(n 1)练习 4（ 2）．若数列的通项公式为 b n1n 项和为 _________．,则此数列的前 (2n1) (2n 1)练习 4（ 3）已知数列a n: 1 ,12 , 1 23 , ⋯ , 1 2 3 L 9, ⋯ , 若 b n 1，23 34 4410 10 1010a nan 1那么数列 b n 的前 n 项和 S n 为（）A ．n B． 4n C.3n D． 5n n1n 1n 1n 1练习 4（ 4）．已知数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝n1，设 T n11 L1 ，求 T n ．2a 1 a 3a 2 a 4a nan 2练习 4（ 5）．求 11 1 14 1,(n N * ) 。
高考文科数学数列专题复习(附答案及解析)
高考文科数学数列专题复习数列常用公式数列的通项公式与前n 项的和的关系a n s , n 11s s ,n 2n n 1( 数列{a n} 的前n 项的和为s n a1 a2 a n ).等差数列的通项公式*a a1 (n 1)d dn a1 d(n N ) ；n等差数列其前n 项和公式为n(a a ) n(n 1)1 ns na1 d n2 2 d 12n (a d)n .12 2等比数列的通项公式an 1 1 n *a a1q q (n N )nq；等比数列前n 项的和公式为na (1 q )1s 1 qn , q 1或sna a q1 n1 q,q 1na ,q 1 1 na ,q 1 1一、选择题1.( 广东卷) 已知等比数列{a n} 的公比为正数，且a3 ·a9 =2 2a ，a2 =1，则a1 =5A. 12B.22C. 2D.22.（安徽卷）已知为等差数列，，则等于A. -1B. 1C. 3D.7 3（. 江西卷）公差不为零的等差数列{a n} 的前n项和为S n .若a4 是a3与a7 的等比中项, S8 32, 则S等于10A. 18B. 24C. 60D. 904（湖南卷）设S n 是等差数列a n 的前n 项和，已知a2 3，a6 11，则S7 等于【】第1页/ 共8页A ．13 B．35 C．49 D．633.（辽宁卷）已知a为等差数列，且a7 －2 a4 ＝－1, a3 ＝0, 则公差d＝n（A）－2 （B）－12 （C）12（D）24.（四川卷）等差数列｛a n ｝的公差不为零，首项a1 ＝1，a2 是a1 和a5 的等比中项，则数列的前10 项之和是A. 90B. 100C. 145D. 1905.（湖北卷）设x R, 记不超过x 的最大整数为[ x ], 令{x }= x -[ x ]，则{ 52 1} ，[ 521],521A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列6.（湖北卷）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1 中的1，3，6，10，⋯，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16⋯这样的数成为正方形数。
高三数学数列文科知识点和高考题专练
数列一、基本概念：1、数列：一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数。
数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
有穷数列：_____________________________； 无穷数列：___________________________． 递增数列：_____________________________； 递减数列：___________________________． 常数列：_______________________________． 摆动数列：___________________________． 数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式．数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式．2、等差数列：从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。
这个常数称为等差数列的公差．定义1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥,其中d 为公差.等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a b A +=通项公式的变形：①()n m a a n m d =+-；②()11n a a n d =--；③11n a a d n -=-；④11n a a n d -=+；⑤nm a a d n m-=-．等差数列的前n 项和：①()12n n n a a S +=；②()112n n n S na d -=+． 3、等差数列的性质：1) 当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和1(1)2n n n S na d -=+21()22d d n a n =+-是关于n 的二次函数常数项0.2)若项数为()*2n n ∈N ，则()21nn n S n a a +=+，且S S nd -=偶奇，1nn S a S a +=奇偶．3) 若项数为()*21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶，1S nS n =-奇偶（其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）．4) 当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a += 4、等比数列：从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比． 定义1(n n a q q a +=为常数），其中0,0n q a ≠≠或11n n n n a aa a +-=(2)n ≥，其中q 为公比.等比中项：在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项．若2G ab =，则称G 为a 与b 的等比中项．通项公式的变形：①n m n m a a q -=；②()11n na a q --=；③11n na q a -=；④n m n m a q a -=．等比数列{}n a 的前n 项和：()()()11111111n n n na q S a q a a q q qq =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩．6、等比中项的性质： 1) 若项数为()*2n n ∈N ，则S q S =偶奇．2)n n m n m S S q S +=+⋅．3) n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列．4) 若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a ⋅=⋅；若{}n a 是等比数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2np q a a a =⋅．二、基本运算：1、数列的通项的求法：1) 公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
高三数列知识点与题型总结(文科)说课讲解
数列考点总结第一部分求数列的通项公式一、数列的相关概念与表示方法（见辅导书）二、求数列的通项公式四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。
求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
一、累加法1．适用于：1()nna a f n ----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。
若1()nn a a f n (2)n ，则21321(1)(2)()nna a f a a f a a f n 两边分别相加得111()nnk a a f n 例1已知数列{}n a 满足11211nn a a n a ，，求数列{}n a 的通项公式。
例2已知数列{}n a 满足112313nnn a a a ，，求数列{}n a 的通项公式。
练习1.已知数列n a 的首项为1，且*12()nna a n n N 写出数列n a 的通项公式.答案：12n n练习 2.已知数列}{n a 满足31a ，)2()1(11n n n a a nn ，求此数列的通项公式.答案：裂项求和na n12评注：已知a a 1,)(1n f a a nn，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。
例3.已知数列}{n a 中, 0n a 且)(21nnna n a S ,求数列}{n a 的通项公式.练习3 已知数列{}n a 满足112,12nnn a a a a ，求数列{}n a 的通项公式。
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2008届高三文科数学第二轮复习资料
——《数列》专题
1.等差数列}{n a 的前n 项和记为n S ，已知50,302010==a a .
（1）求通项n a ；
（2）若242=n S ，求n ；
（3）若20-=n n a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T 的最小值.
2.等差数列}{n a 中，n S 为前n 项和，已知75,7157==S S .
（1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）若n S b n n =
，求数列}{n b 的前n 项和n T .
3.已知数列}{n a 满足11=a ，)1(211
1>+=--n a a a n n n ，记n n a b 1=. （1）求证:数列}{n b 为等差数列；
（2）求数列}{n a 的通项公式.
4.在数列{}n a 中，0≠n a ，2
11=a ，且当2≥n 时，021=⋅+-n n n S S a . （1）求证数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n S 1为等差数列；
（2）求数列{}n a 的通项n a ；
（3）当2≥n 时，设n n a n n b 1--
=，求证：n
b b b n n n 1)(12)1(2132<+⋅⋅⋅++-<+.
5.等差数列}{n a 中，2,841==a a .
（1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ；
（3）设*)()
12(1N n a n b n n ∈-=，*)(21N n b b b T n n ∈+++= ，是否存在最大的整数m 使得对任意*N n ∈，均有32m T n >
成立，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.
6.已知数列)}1({log 2-n a 为等差数列，且9,331==a a .
（1）求}{n a 的通项公式；
（2）证明：
11...1112312<-++-+-+n n a a a a a a .
7.数列{}n a 满足*1129,21(2,)n n a a a n n n N -=-=-≥∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设n n a b n =
，则n 为何值时，{}n b 的项取得最小值，最小值为多少？
8.已知等差数列}{n a 的公差d 大于0,且52,a a 是方程027122=+-x x 的两根,数列}{n b 的前n 项和为n T ,且n n b T 211-=.
（1）求数列}{n a ,}{n b 的通项公式；
（2）记n n n b a c =，求证:对一切+∈N n ,有3
2≤
n c .
9.数列{}n a 的前n 项和n S 满足23n n S a n =-.
（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（2）数列{}n a 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，
请说明理由.
10. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，设n a 是n S 与2的等差中项，数列{}n b 中，11b =，点1(,)n n P b b +在
直线2y x =+上.
（1）求数列}{n a ,}{n b 的通项公式
（2）若数列{}n b 的前n 项和为n B ，比较12111n
B B B +++ 与2的大小； （3）令1212n n n
b b b T a a a =+++ ，是否存在正整数M ，使得n T M <对一切正整数n 都成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，请说明理由.
11. 设数列{}n a .}{n b 满足：3,4,6332211======b a b a b a ，且数列}{1n n a a -+
*)(N n ∈是等差数列，{b n －2}是等比数列．
（Ⅰ）求数列}{n a ,}{n b 的通项公式；
（Ⅱ）是否存在*N k ∈，使)2
1,0(∈-k k b a ．若存在，求出k ；若不存在，说明理由.
12. 将等差数列{}n a 的项按如下次序和规则分组，第一组为1a ，第二组为23,a a ，第三组为4567,,,a a a a ，
第四组 ，第n 组共有12n -项组成，并把第n 组的各项之和记作n P (1,2,3,)n = ，已知236P =-，40.P =
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若以123,,,,n P P P P 为项构成数列{}n P ，试求{}n P 的前8项之和8A （写出具体数值）.
13. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：n n n a S )1(2-+=,1≥n .
⑴写出求数列{}n a 的前3项321,,a a a ；
⑵求数列{}n a 的通项公式；
⑶证明：对任意的整数m >4，有4511178
m a a a +++< . 参考答案
1．102+=n a n ；11=n ；n T 的最小值为：-20．
2.3-=n a n ； 4
92n n T n -=．
3.121-=
n a n ．
4.)2(2212≥--
=n n
n a n ．
5.⎩⎨⎧>+-≤-=)
5(409)5(922n n n n n n S n ； 7=m ．
6.12+=n n a ．
7. 282+=n a n ；5=n 时，最小为553．
8.12-=n a n ，1)3
1(32-⋅=
n n b ．
9.3261-⋅=-n n a ；不存在．
10.n n a 2=；12-=n b n ；存在3=m ．
11.2
672+-=n n a n ；2)21(41+=-n n b ；不存在．
12.232-=n a n ； 59415．
13. （1）2,0,1321===a a a ；
（2）])1(2[3
212---+=n n n a （3）由已知得：232451113111[]221212(1)m m
m a a a -+++=+++-+-- 23111111[]2391533632(1)m m -=++++++-- 11111[1]2351121
=+++++ 11111[1]2351020
<+++++ 511(1)1452[]12312
m --=+-514221[]23552m -=+- 51311131041057()1552151201208
m -=-<=<= . 故4511178
m a a a +++< ( m >4).。