弹塑性力学第09章弹性力学的能量原理
(完整word版)弹塑性力学总结
弹塑性力学总结弹塑性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。
并且弹塑性力学是以后有限元分析、解决具体工程问题的理论基础，这就要求我们掌握其必要的基础知识和具有一定的计算能力。
通过一学期的弹塑性力学的学习，对其内容总结如下：一、弹性力学1、弹性力学的基本假定求解一个弹性力学问题，通常是已知物体的几何形状（即已知物体的边界），弹性常数，物体所受的外力，物体边界上所受的面力，以及边界上所受的约束；需要求解的是物体内部的应力分量、应变分量与位移分量。
求解问题的方法是通过研究物体内部各点的应力与外力所满足的静力平衡关系，位移与应变的几何学关系以及应力与应变的物理学关系，建立一系列的方程组；再建立物体表面上给定面力的边界以及给定位移约束的边界上所给定的边界条件；最后化为求解一组偏分方程的边值问题。
在导出方程时，如果考虑所有各方面的因素，则导出的方程非常复杂，实际上不可能求解。
因此，通常必须按照研究对象的性质，联系求解问题的范围，做出若干基本假定，从而略去一些暂不考虑的因素，使得方程的求解成为可能。
（1）假设物体是连续的。
就是说物体整个体积内，都被组成这种物体的物质填满，不留任何空隙。
这样，物体内的一些物理量，例如：应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示。
（2）假设物体是线弹性的。
就是说当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原来形状，不留任何残余变形。
而且，材料服从虎克定律，应力与应变成正比。
（3）假设物体是均匀的。
就是说整个物体是由同一种质地均匀的材料组成的。
这样，整个物体的所有部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性模量和泊松比才不随位置坐标而变。
（4）假设物体是各向同性的。
也就是物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。
（5）假设物体的变形是微小的。
即物体受力以后，整个物体所有各点的位移都小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1。
工程弹塑性力学课件
目 录
• 弹塑性力学基础 • 弹性力学基本理论 • 塑性力学基本理论 • 工程应用实例 • 工程弹塑性力学展望
01
弹塑性力学基础
弹塑性力学定义
弹塑性力学
弹塑性力学是一门研究材料在弹 性极限和塑性极限内应力、应变 行为的科学。它广泛应用于工程 领域，为各种结构设计和分析提
供理论基础。
有限差分法
将物体的位移表示为离散的点的 差分形式，通过求解这些点的位 移来近似求解整个物体的位移。
边界元法
将物体的边界离散化为有限个小 的单元，通过求解这些单元的力 学行为来近似求解整个物体的边 界力学行为。
03
塑性力学基本理论
塑性力学基本概念
01
02
03
塑性力学
塑性力学是研究材料在达 到屈服点后，发生不可逆 变形时行为和特性的学科 。
边界元法
通过在边界上离散化求解微分方程的方法，可以减少未知数的数量 ，提高求解效率。
有限差分法
将微分方程转化为差分方程，通过迭代求解的方法得到近似解。
04
工程应用实例
桥梁工程弹塑性分析
总结词
桥梁结构稳定性
详细描述
桥梁工程弹塑性分析主要关注桥梁结构的稳定性，通过分 析桥梁在不同载荷下的弹塑性响应，评估其承载能力和安 全性。
总结词
材料非线性
详细描述
桥梁工程中的材料多为金属或复合材料，这些材料的弹塑 性行为呈现出非线性特征。在分析过程中，需要考虑材料 在不同应力水平下的弹塑性变形和破坏。
总结词
结构优化设计
详细描述
基于弹塑性分析的结果，可以对桥梁结构进行优化设计， 提高其承载能力和稳定性，同时降低制造成本和维护成本 。
弹塑性力学第九章弹性力学的能量原理
∫+∫=∫
(σε
2)(1)(2)(1)(2)(1)
VFbiuidVfudSdV
SsiiVijij
σij=λεδ+2Gε
kkij
ij
()
∫=∫+
σ(ελεδεε
2)(1)(2)(2)(1)
VijijdV2GdV
Vkkijijij
()
λε(2)ε(1)ε(2)ε(1)
∫+
=
Vkkss2GijijdV
σ(ελεδεε
1)(2)(1)(1)(2)
()
∫=∫+
VijijdV2GdV
Vkkijijij
=()
∫+
λε1)((1)2
(ε2)εε()
Vkkss2GijijdV
相
等
∫+∫=∫
(σε
1)(2)(1)(2)(1)(2)
VFbiuidVfudSdV
SsiiVijij
∫+∫=∫
(2)(1)(2)(1)σ(2)ε(1)
iuuijijii
σ=取真实的应力作为静力可能的应力
isjσ
ij
∫+∫=∫
Fkddσεd
biuVfuSV
sksk isiiijij
VSV
∫∫
()()
FuudVfuudS
+δ++δ
VbiiiSsiii
σ
()
∫
σε+δε
dV
Vijijij
+
∫
σ
nudS
Sijji
u
=
∫+∫+∫=∫
VFbiuidVfudSnudVdV
弹塑性力学PPT课件
早期研究： • 1773年Coulomb提出土质破坏条件，其后推广为
Mohr- Coulomb准则； • 1857年Rankine研究半无限体的极限平衡，提出滑移
面概念； • 1903年Kötter建立滑移线方法； • 1929年Fellenius提出极限平衡法； • 1943年Terzaghi发展了Fellenius的极限平衡法； • 1952~1955年Drucker和Prager发展了极限分析方法； • 1965年Sokolovskii发展了滑移线方法。
.
5
1.1 基本概念
• 弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是 研究弹性和弹塑性物体变形规律的一门科学。 应用于机械、土木、水利、冶金、采矿、建 筑、造船、航空航天等广泛的工程领域。
• 目的：（1）确定一般工程结构受外力作用时 的弹塑性变形与内力的分布规律；（2）确定 一般工程结构物的承载能力；（3）为进一步 研究工程结构物的振动、强度、稳定性等力 学问题打下必要的理论基础。
在加载过程中必须对其历史进行记录。
.
18
1.4 塑性力学的研究方法
• 宏观塑性理论 • 以若干宏观实验数据为基础，提出某些假设
和公设，从而建立塑性力学的宏观理论。特 点是： • 数学上力求简单，力学上能反映试验结果的 主要特性。 • 实验数据加以公式化，并不深入研究塑性变 形过程的物理化学本质。
.
.
6
弹塑性力学的基本假设
• （1）物体是连续的，其应力、应变、位移 都可用连续函数表示。
• （2）变形是微小的，忽略变形引起的几何 变化。
• 即连续介质和小变形假设。
.
7
弹性和塑性变形的特点
弹性变形的特点:
• 应力－应变之间具有一一对应的关系，
【全版】绪论弹塑性力学内容推荐PPT
物理(本构)关系：应力 (内力)与应变 (变形)之间的关系，根据 材料的不同性质来建立，最常见的为各向同性材料。
平衡方程和几何方程都与材料无关，塑性 力学与弹性力学的主要区别在于本构方程
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在研究方法上的不同。材料力学为简化计算，对构件的应 力分布和变形状态作出某些假设，因此得到的解答是粗略 和近似的；而弹塑性力学研究通常不引入上述假设，从而 所得结果比较精确，并可验证材料力学结果的精确性。
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01 绪 论
第2节 基本假设和基本规律
弹塑性力学的定义：弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是研究弹性体和弹塑性体在载荷作用下应力分布规律和变形规律的一门
学◆科新。理论－实损伤际、混问沌等题； 由多方面因素构成，分析极为复杂。应按照物体
的性质，以及求解范围，忽略一些暂时可不考虑的因素， 混合法（同时以应力和位移为未知量）
19世纪70年代，建立了各种能量原理，并提出了这些原理的近似计算方法。
第混2合节法（基同本使时假以设我应和力基们和本位规研移律为究未知的量）问题限定在一个方便可行的范围内。
对工科来说，弹性力学的任务，和材料力学、结构力学 的任务一样，是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应 力和应变，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性， 并寻求或改进它们的计算方法。
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01 绪 论
弹塑性力学是根据固体材料受外因作用时所呈现的弹性与 塑性性质而命名。它们是固体材料变化过程的两个阶段。
（2）在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二 次以上的高阶微量；
弹塑性力学部分习题
第六章 弹性力学平面问题的直 坐标系解答
§6-1平面问题的分类
§6-2平面问题的基本方程和边界条件
§6-3平面问题的基本解法
§6-4多项式应力函数运用举例
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第七章弹性力学平面问题的极坐 标系解答
§7-1平面极坐标下的基本公式 §7-2轴对称问题 §7-3轴对称应力问题——曲梁 的纯弯曲 §7-4圆孔的孔边应力集中问题 §7-5曲梁的一般弯曲 §7-6楔形体在楔顶或楔面受力
弹塑性力学
第 六 章 弹性力学平面问题的直角坐标系解答 第 七 章 弹性力学平面问题的极坐标系解答 第 八 章 等截面直杆的扭转 第 九 章 空间轴对称问题 第 十 章 弹性力学问题的能量原理 第 十一 章 塑性力学基础知识
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参考书目
1.徐芝纶， 弹性力学：上册 .第三版,高等教育
w k x, y
其中 k 为待定常数，(x‚y)为待定函数， 试写出应力分量的表达式和位移法方程。
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题1-6 半空间体在自重 g 和表面均布压力 q 作用下的位移解为 u = v = 0,
1 g 2 2 w q h z h z 2G 2
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在 V上
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题1-4 等截面柱体在自重作用下，应力解为
x=y=xy=yz=zx=0 , z=gz，试求位移。
z l y
Fbz g
x
x
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题1-5 等截面直杆（无体力作用），杆轴 方向为 z 轴,已知直杆的位移解为
u kyz
v kxz
弹塑性力学之弹性力学的能量原理
WdV =
V
V
W
(ε
(k ij
)
)dV
∫ ∫ V (k)
=− V
fiui(k ) dV −来自SσXi
u
( i
k
)
dS
（1） fi 和 X i 给定;
（2）已将几何关系引入 εij =(ui,j +uj,i )/2 ;
（3）ui(k)为可能位移： ui = ui
在su上 ;
（4）在各向同性线性材料应变能 U 的表达式为徐芝纶（上册）P.345
∫ ∫ ∫ W12 =
V
f
i
(1)
u (2) i
dV
+
S
X
(1) i
u (2) i
dS
=
σ ε dV (1) (2)
V ij ij
第二种状态外力在第一种状态的相应弹性位移上做功
∫ ∫ ∫ W21 =
V
f
i
(
2)
u (1) i
dV
+
S
X
(2) i
u (1) i
dS
=
σ ε dV (2) (1)
V ij ij
δui =0 在su上
虚设状态
根据虚功方程，真实的外力与应力状态在虚设的齐次可能位移上
做功
∫ ∫ ∫ V fiδui dV + Sσ X iδui dS = V σ ijδε ij dV
弹性体应力与外力处于平衡状态，对于任意虚设的齐次微小位移
及应变，则外力在虚位移上做的虚功等于应力在虚应变上做的虚功—
Q x
第一：一对力 P 作用在直杆的垂直方向，局部效应，在两端点
弹塑性力学第09章
dSij 2Gdeij
（9-6）
d ii 1-E d ii 2
（9-7）
9-3 全量理论-弹塑性小变形理论
全量理论是直接用一点的应力分量和应变分量表 示的塑性本构关系，其数学表达式比较简单，认为 应力和应变之间存在着一一对应的关系。 历史上，全量理论以伊柳辛的弹塑性小变形理论 应用最为广泛。弹塑性小变形意味着离弹性状态不 远，进入塑性状态后，其变形也是小的。它描述了 强化材料在小变形情况下的塑性应力-应变关系，其 中应变包括弹性应变和塑性应变部分，这是全量理 论一个简单常用的理论，是广义胡克定律的一个自 然推广。
i 2G 1 2 2 3 3 1 3G i
2 2 2
即
式中
i 3G i
i为应变强度， i 应力强度
（9-2）
类似 因有 2 1 2 3 ,2 1 2 3 ; 2 2 3 1 ,2 2 3 1 ; 2 3 1 2 ,2 3 1 2
故有：
i G i
（9-3）
式中 i 和 i 分别为剪应力强度和剪应变强度。 如果将应力张量和应变张量分解为球张量和偏张量 两部分，则广义胡克定律可表示为如下的张量关系：
1 2v ii ii E
（9-4）
上式表示应力球张量和应变球张量之间的关系
由（9-1）和（9-4）式，
ij
e ij
p ij
因体积变化始终是弹性的，塑性变形部分的体积 变化恒为零，即
1 2 ii ii E
（a）
（2）应变偏量与应力偏量成正比
即
eij S ij
（b）
这里只是在形式上和广义Hooke定律相似，和广义 Hooke定律表达式（9-5）不同，这里的比例系数λ 不是一个常数，它和点的位臵以及荷载水平有关， 即对物体的不同的点，不同的荷载水平，λ都不相 同，但对同一点，同一荷载水平，λ是常数。所以 这是一个非线性关系。由应力强度和应变强度的表 达，需要考虑三个要素： 1.初始屈服条件：根据这个条件可以判断材料何时 进入塑性，并进一步确定弹性区和塑性区的边界， 在弹性区采用弹性本构关系，在塑性区则采用塑 性本构关系。 2.塑性流动法则：指的是与加载面相关联的应力应 变或其增量之间的定量关系，实质上是应力偏量 与应变偏量或其增量之间的关系。 3.硬化条件：即描述材料硬化特性的关系式，或称 加载函数。 在研究上述因素基础上，下面建立塑性本构关系。
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弹塑性力学第09章弹性力学的能量原理弹性力学的能量原理是通过对变形体系的能量进行分析，来描述和研
究材料的力学行为。
根据能量守恒定律，能量在各种形式之间的转换是相
互平衡的，因此可以通过能量原理来推导出材料的力学性质。
弹性力学的
能量原理主要包括两个方面：弹性能量原理和稳定性能量原理。
弹性能量原理是指在弹性变形的情况下，变形体系的总能量保持不变。
变形体系的总能量包括弹性应变能和应力对变形体系所做的功。
具体来说，在弹性变形情况下，变形体系的总应变能等于外力所做的功，而不会发生
能量的损失。
这一原理反映了材料在弹性变形情况下能量的守恒性质。
稳定性能量原理是指在塑性变形的情况下，材料的变形体系的总能量
沿着最稳定方向变化。
塑性变形是指当材料受到较大应力时，会发生永久
性变形的情况。
稳定性能量原理通过分析塑性变形对变形体系的总能量的
影响，来得出变形体系的稳定性和塑性变形的机制。
在弹塑性力学中，能量原理被广泛应用于力学问题的求解和工程实践中。
通过能量原理，可以解释材料的弹性和塑性特性，研究和设计材料的
力学性能。
同时，能量原理也为工程实践中的结构设计和材料选择提供了
理论依据。
总之，弹塑性力学的能量原理是研究材料力学行为的重要原理之一、
弹性能量原理和稳定性能量原理通过分析变形体系的能量转换来描述材料
的弹性和塑性变形特性。
能量原理的应用可以解释材料的力学性质，为工
程实践中的结构设计和材料选择提供理论支持。