第四章变形力学分析及变形机制

任一截面上的应力均可用正应力和剪应力表示
已知某方向的应力，求任意面应力
σxx 的作用
S xx , S AB xx 1 / cos N S cos xx cos T S sin xx sin
σ
yy
ห้องสมุดไป่ตู้
的作用
τ
xy和τ yx的作用
n yy sin 2 yy sin cos
共轴与非共轴递进变形中应变主轴物质（质点）线的变化 共轴变形中，组成应变主轴的物质（质点）线不变 非共轴变形中，组成应变主轴的质点线是不断变化的
纯剪切与简单剪切
纯剪切：一种均匀共轴变形，应变椭球体中主轴质点线 在变形前后保持不变且具有同一方位。 简单剪切：一种无体应变的均匀非共轴变形，由物体质 点沿彼此平行的方向相对滑动形成。

2

1 / 2( 1 2 )
P( , )
1
2
2
1 / 2 1 2 ,0
1

应力主平面上的正应力为最大和最小，剪应力 等于零；±45°方向上剪应力最大，大小等于 τ = (σ 1 –σ 2)/2；相互垂直的切面上，剪应力 大小相等，方向相反
1.线应变
伸长度：单位长度的改变量 长度比：变形后的长度 与原长之比 平方长度比 倒数平方长度比 e = (l - l0) / l0 S = l / l0 = 1 + e λ = （1 + e）2 λ ′ = 1/λ
xx yx zx
xy xz yy yz zy zz
xy yx , xz zx , yz zy
1 2 3
xx yx
xy yy
测量步骤：1.寻找三轴及主平面方向； 2.在XZ、XY和YZ面上测量标志体的长、短轴； 3.投图； 4.求斜率得X/Z、X/Y和Y/Z。 5.还可用线性回归及最小二乘法进行计算机处理
2. Rf /φ 法
原理：应变标志体变形前并非球体，而是随机分布的具有原始 轴比（ Ri ）的椭球体，变形后形态和长轴方位均发生变化。其 最终的形态（轴比， Rf ）和方位（长轴方向，υ ）取决于测量 标志初始轴比（Ri）、初始长轴方向（θ ）、及应变椭圆轴比 （Rs），关系如下： 2 2 2
第二节
岩石变形分析
一、变形
变形：当物体受力时发生的形态和位态的变化
变形
平移 转动 形态变化或形变 体积变化或体变
刚体运动 变形
变形：物体受外力作用，内部质点间距离发 生变化，导致物体形状或体积的变化
二、应 变
应变：岩石变形的度量，即岩石形变和体变程度的 定量表示 物体变形时内部各质点的相对位置发生变化 变化的两种方式：线段长度的变化，称为线应变 两线间的角度变化，称为剪应变 一般通过线应变和剪应变定量说明物体的变形程度
附加内力：物体在外力作用下保持平衡，外力作用 分配到物体的内部，使物体内部质点间关系发生变 化，即发生变形。这种使物体质点位置发生变化的 力称为附加内力。
二、应 力
应力（σ ）：受力物体表面或内部单位面积的附加内力
lim T A
A0
σ σ
n
τ
正应力（σ n）：与截面垂直的应力分量 剪应力（τ ）：与截面平行的应力分量
λ
λ 3 (Z)
(Y)
2
圆切面：应变椭球上各个方向线应变均相等的两个圆 形切面。它们相交于中间轴Y。 平面应变：应变椭球中间轴（λ 2，Y）不发生线应变 的应变，其中间轴Y（λ 21/2）＝1。 无伸缩面（无线应变面）：平面应变椭球的圆切面
样品CF06－014
四、 三维应变的弗林（Flinn）图解
第四章
变形力学分析及变形机制
第一节
力、应力和应力摩尔圆
一、外力和内力
外力：对于一个物体，其他物体施加于其上的力 力平衡 外力作用下物 体的平衡条件
∑Fx = 0 ∑Fy = 0 ∑Fz = 0
∑Mx = 0 力矩平衡 ∑My = 0 ∑Mz = 0
内力：物体内部各质点间相互作用（吸引和排斥） 达到平衡，各质点保持一定的相对位置，物体不发 生变形。这时内部的吸引力和排斥力称为内力。
共轴与非共轴递进变形
共轴递进变形（无旋转变形）：在递进变形过程中，各增量应 变椭球体主轴始终与有限应变椭球体主轴一致，即在变形过程 中有限应变主轴方向保持不变。 非共轴递进变形（旋转变形）：在递进变形过程中，增量应变 椭球体主轴与有限应变椭球体主轴不一致，即在变形过程中有 限应变主轴方向发生变化。
xy yx
1 2
三、应力摩尔圆
n xx cos2 yy sin 2 2 xy sin cos ...(1) 1 / 2( xx yy ) Sin2 xy cos2 .......... ......( 2)
应力椭圆和应力椭球
应力椭圆：二维情况下，平面某点各方向应力矢量形成的椭圆， 其长短轴分别为该点的最大和最小应力（主应力）。 应力椭球：三维情况下，某点各方向应力矢量形成的椭球，其 三轴代表该点的主应力。 1
1
2 2
3
应力状态：以某点为中心取无限小正方体，每个截面 上的正应力和剪应力为该点的应力分量，各截面 应力分量的集合为该点的应力状态。一般以三个 相互垂直截面上的应力分量的张量形式表示。

2
1 / 2( 1 2 )
P( , )

1
2
2
1 / 2 1 2 ,0
1

四、应力摩尔圆的应用
1.已知主应力，求某方向的应力（前图） 2.已知两个方向的应力，求主应力和主方向

P2 ( 2 , 2 )
P ( 1 , 2 ) 1
2
1
2

五、 三维应力摩尔圆
最大、最小应力，主应力
n xx cos2 yy sin 2 2 xy sin cos ...(1) 1 / 2( xx yy ) Sin2 xy cos2 .......... ......( 2)
对式（1）求导并令
得
d n / d o
De Paor 的Rf/ υ 网
3. 摩尔圆法
要求：应变标志体变形后可辨认变形前相互垂直的标志线。
tg 2 2 xy /( xx yy )......... .......... ......( 3)
将（3）式代入（1）式 得两个相互垂直的解，即最大与最小应力。 将（3）式代入（2）得τ = 0。
主应力：无剪切应力切面上的正应力。二维上记做σ 1 和σ 2（ σ 1 >σ 2）三维时则为σ 1>σ 2 > σ 3。 应力主方向：主应力的方向。 应力主平面：三维情况下，与主应力方向垂直的切面， 或是任意两个应力主方向确定的平面。
n 2 xy sin cos xy (sin 2 cos2 )
n N / S AB xx cos2 T / S AB xx sin cos
n xx cos2 yy sin 2 2 xy sin cos ...(1) 1 / 2( xx yy ) Sin2 xy cos2 .......... ......( 2)
将上两式进行三角变换，并进行平方后联立得
1 / 2 1 2 2 2 1 / 2 1 2 2
1 / 2 1 2 2 2 1 / 2 1 2 2
应力摩尔圆：利用摩尔圆表示点应力状态的应力分析图解法
2．剪应变
物体变形时，任意两条直线间的夹角一般会发生变 化。初始相互垂直的线，变形后一般不再垂直，这 种直角的改变量ψ [sai] 称为角剪应变。 剪应变：角剪应变的正切
γ = tgψ
γ
ψ
三、 应变椭圆与应变椭球
应变椭圆：二维变形中初始单位圆经变形形成的椭圆 应变主轴：应变椭圆的长、短轴方向，该方向上只有线应 变而无剪切应变。 最大应变与最小应变：应变主轴方向上的线应变，即应变 椭圆长、短轴半径的长度，其值分别为λ 11/2和λ 21/2 应变椭圆轴比：应变椭圆的长、短轴比Rs ＝λ 11/2/λ 21/2
最大有效差应力（σ 1–σ 3） 应力的正负规定
六、应力场
应力场：受力物体内每点都有其对应的点应力状态，物体内各 点的应力状态在物体占据的空间内组成的总体 构造应力场：构造作用引起的应力场 均匀应力场与非均匀应力场 图示方法：剪应力等值线，主应力迹线， 最大剪应力迹线：最大剪应力－摩尔圆两顶点，与最大主应力 成45度角
在简单剪切中，与剪切方向平行的方向上无线应变，三 维上剪切面上无应变，所以Y轴为无应变轴，故此简单 剪切属于平面应变。另外剪切带的厚度也保持不变。
剪切面 剪切方向 剪切带厚度
应变历史及应变椭圆分区
(1) 持续拉伸区 (2) 先压缩后拉伸，变形 后长度超过原长 (3) 先压缩后拉伸，变形 后长度未达到原长 (4) 持续压缩区
应变椭球：三维变形中初始单位球体经变形形成的椭球 应变主轴： 应变椭球的三主轴方向。分别称为最大、中间 和最小应变主轴。记做λ 1 (X) ，λ 2 (Y)，λ 3 (Z) 长度分别为X＝λ 11/2，Y＝λ 21/2，Z＝λ 31/2 应变主平面：应变椭球上包含任意两个应变主轴的切面。 XY，XZ，YZ面， λ 1 (X) 主轴、主平面的地质意义： X方向－拉伸线理 XY面－面理面
φ
Rf
测量方法：1）根据应变标志体长轴的统计方位， 在测量面上标一参考的应变主轴方向。
2）在透明纸上画上左上图的Rf和υ 轴并标上刻度，同时标上参考方向 3）测量标志体的长短轴比（Rf）及其与参考方向的夹角（ υ ） 4）将测量数据投到透明纸上 5）将带有测量数据的透明纸蒙在如左上图那样的曲线图上，使透明纸和曲线 图中的υ 轴重合，对不同Rs的曲线图逐个套用，直到找到一个曲线图，其上的 50％资料线和主轴将所有数据点四等分。此时该曲线图的Rs即为测量值 6）透明纸上的参考轴与曲线图主轴的夹角即为参考轴与实际应变主轴的夹角