材料力学组合变形的强度问题.
材料力学组合变形习题
材料力学组合变形习题L1AL101ADB （3）偏心压缩时，截面的中性轴与外力作用点位于截面形心的两侧，则外力作用点 到形心之距离ｅ和中性轴到形心距离ｄ之间的关系有四种答案：（A ） ｅ＝ｄ； （B ） ｅ＞ｄ；（C ） ｅ越小，ｄ越大； （D ） ｅ越大，ｄ越小。
正确答案是＿＿＿＿＿＿。
答案（C ）1BL102ADB （3）三种受压杆件如图。
设杆１、杆２和杆３中的最大压应力（绝对值）分别用 max1σ、max 2σ和max3σ表示，现有下列四种答案：（A ）max1σ＝max 2σ＝max3σ； （B ）max1σ＞max 2σ＝max3σ；（C ）max 2σ＞max1σ＝max3σ； （D ）max 2σ＜max1σ＝max3σ。
正确答案是＿＿＿＿＿＿。
答案（C ）1BL103ADD （1）在图示杆件中，最大压应力发生在截面上的哪一点，现有四种答案：（A ）Ａ点； （B ）Ｂ点； （C ）Ｃ点； （D ）Ｄ点。
正确答案是＿＿＿＿＿＿。
答案（C ）1AL104ADC （2）一空心立柱，横截面外边界为正方形， 内边界为等边三角形（二图形形心重 合）。
当立柱受沿图示ａ－ａ线的压力时，此立柱变形形态有四种答案：（A ）斜弯曲与中心压缩组合； （B ）平面弯曲与中心压缩组合；（C ）斜弯曲； （D ）平面弯曲。
正确答案是＿＿＿＿＿＿。
答案（B ）1BL105ADC （2）铸铁构件受力如图所示，其危险点的位置有四种答案：（A ）①点； （B ）②点； （C ）③点； （D ）④点。
正确答案是＿＿＿＿＿＿。
答案（D ）1BL106ADC （2）图示矩形截面拉杆中间开一深度为ｈ／２的缺口，与不开口的拉杆相比，开口处的最大应力的增大倍数有四种答案：（A ）２倍； （B ）４倍； （C ）８倍； （D ）１６倍。
正确答案是＿＿＿＿＿＿。
答案（C ）1BL107ADB （3）三种受压杆件如图，设杆１、杆２和杆３中的最大压应力（绝对值）分别用 max1σ、max 2σ和max3σ表示，它们之间的关系有四种答案：（A ）max1σ＜max 2σ＜max3σ； （B ）max1σ＜max 2σ＝max3σ；（C ）max1σ＜max3σ＜max 2σ； （D ）max1σ＝max3σ＜max 2σ。
工程力学(静力学和材料力学)第2版课后习题答案 范钦珊主编 第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
解：危险截面在 A 处，其上之内力分量为： 弯矩： M y = FP1 a ， M z = FP2 H 扭矩： M x = FP2 a 轴力： FNx = FP1 在截面上垂直与 M 方向的垂直线 ab 与圆环截 求得 M y 与 M z 的矢量和 M 过截面中心， 面边界交于 a、b 两点，这两点分别受最大拉应力和最大压应力。但由于轴向压力的作用，最 大压应力值大于最大拉应力值，故 b 点为危险点，其应力状态如图所示。 10－7 试求图 a 和 b 中所示之二杆横截面上最大正应力及其比值。 解： （a）为拉弯组合
7
y
y
A
O
0.795
B
14.526
+13.73MPa
z
(a)
O O
+14.43MPa
(b)
C
y
A
C
B B
y
A
O O
B
z
12.6mm
14.1mm
zC
−15.32MPa
16.55MPa
zC
z
(c)
(d)
习题 10－9 解图
∴
+ σ max
= 14.526 − 0.795 = 13.73 MPa
− σ max = −14.526 − 0.795 = −15.32 MPa
Ebh
由此得
2 FP 6e
e=
10－9
ε1 − ε 2 h × ε1 + ε 2 6
图中所示为承受纵向荷载的人骨受力简图。试：
1．假定骨骼为实心圆截面，确定横截面 B－B 上的应力分布； 2．假定骨骼中心部分(其直径为骨骼外直径的一半)由海绵状骨质所组成，忽略海绵状承受 应力的能力，确定横截面 B－B 上的应力分布；
材料力学第10章 组合变形
因此，截面O为危险截面。
危险截面上，由轴力引起的正应力均匀分布，其值
为
，由弯矩引起的正应力线性分布，其值为
。利用叠加原理，将拉伸及弯曲正应力叠加
后，危险截面上正应力沿截面高度的变化情况如图10.5
（e）所示，仍为线性分布。而且可以看出，最大拉应
力和最大压应力分别发生在O截面上、下边缘各点，其
值为
（10.4）
图10.5
依据上述分析，弯拉（压）组合变形时危险点处于单向应力状态，所以可将 截面上的σmax与材料的许用应力相比较建立其强度条件。对于拉压强度相等 的材料，强度条件为
对于抗拉与抗压性能不同的材料，强度条件为
下面举例说明弯拉（压）组合变形的强度计算。 例10.2如图10.6（a）所示的钢支架，已知载荷F=45 kN，尺寸如图。 （1）如材料为钢材，许用应力［σ］=160 MPa，试选择AC杆的工字钢型号。 （2）如材料为铸铁，许用拉应力［σt］=30 MPa，许用压应力［σc］=160 MPa，且AC杆截面形式和尺寸如图10.6（e）所示，A=15×10－3 m2，z0=75mm ，Iy=5.31×10－5 m4。试校核AC杆的强度。
其力矩矢量分别与y轴和z轴的正向一致（见图10.2（b））。 为了确定横截面上最大正应力点的位置，先求截面中性轴位置。记中性轴上 任一点的坐标为(y0，z0)，由于中性轴上各点处的正应力均为零，所以由式 可得中性轴方程为
（10.2） 可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线（见图10.2（c）），其与y轴的 夹角θ为
图10.3 例10.1如图10.4（a）所示，20a号工字钢悬臂梁承受均布载荷q和集中力
。已知钢的许用弯曲正应力［σ］=160 MPa，a=1 m。试求梁的许可 载荷集度［q］。 解由于梁所受到的横向力不在梁的两个纵向对称面内，此时可以将横向力向 两个纵向对称面分解（向y和z轴分解），从而将其看成是梁在其两个相互垂
大学材料--2组合变形
xy
第七章
一、解析法
y
y
应力状态分析
已知： x , y , x y , 求：任意斜截面上应力
§7-2 平面应力状态分析
y x
x
α：截面外法线 n 与 x 轴之间的夹 角，x 到 n 逆针向转动为正。
x
A x A cos , A y A sin
45 Y 45
( 45 , 45 )
2 2 3 ( ) 2 2
X
第七章
y 40 z 30 50
第七章
应力状态分析
§7-2 平面应力状态分析
一、画应力圆的一般步骤： 1、根据三个已知应力的大小，建立σ~τ直角坐标系； 2、在σ~τ坐标系中，确定x 、y 面所对应的两点Dx、Dy ； 3、连接两点Dx、Dy ，交横轴得圆心C点； 4、以C点为圆心，以CDx为半径画圆，即为应力圆； 5、证明。 y Dx ( x , x )
y
y x
x
C
x
Dy ( y , y )
第七章
y x x
应力状态分析
x 从Dx 点出发， 根据单元体α D Dx ( x , x ) 角的转向，沿 圆周转动2α圆 2 20 心角，得到Dα C 点，该点的坐 标即为α截面 上的应力。
§7-2 平面应力状态分析
第七章
应力状态分析
x
§7-1 应力状态的概念
应力状态的分类：（不严格定义） 单向应力状态：某两对面上的应力为零 平面应力状态：某一对面上的应力为零 三向应力状态：各对面上的应力均不为零
14-1组合变形-材料力学
Fz F sin
五、自由端的变形
z
A
y
y
FL3 cos
3EI z
z
B y
x
B z
FL3 sin
3EI y
B
z
y
查表7-1（3）
在 Fz B点的位移 z ：
例题14.1 图所示屋架结构。已知屋面坡度为1：2， 两屋架之间的距离为4m，木檩条梁的间距为1.5m， 屋面重（包括檩条）为1.4kN/m2。若木檩条梁采
"
Iy
Iy
'
M z y M y z
Iz
Iy
cos sin
M ( y z)
Iz
Iy
四、斜弯曲时的强度条件
1、中性轴的位置
M (
Iz
yo
sin
Iy
zo )
0
tan yo Iz tan
zo
和扭矩图如图c、d
危险截面在杆的根部（固定端）
（3）应力分析
B
M W
T
T Wp
在杆的根部取一单元体分析
y 0, x B , xy T
计算主应力
1
3
B
2
( B
2
)2
2 T
2 0
（4）强度分析
选择第三、第四强度理论
r3
入偏心拉伸的强度条
4
32
件校核
32.4106 32.4MPa 35MPa
满足强度条件，最后选用立柱直 d = 12.5cm
材料力学 第11章 组合变形习题集
横截面m-m上任一点C(y，z)处由 弯矩Mz和My引起的正应力分别为
M z y M cos y M y z M sin z
Iz
Iz
Iy
Iy
38
C点的正应力
' ''
M
cos
Iz
y
sin
Iy
z
悬臂梁固定端截面A的弯矩Mz和My 均达到最大值，故该截
面是危险截面。设yo、zo为中性轴上任一点的坐标，并令σ
算 圆轴表面上与轴线成30°方位上的正应变。
32
解: (1)由内力图知，所有截面均为危险截面，危险点为靠近
轴表面的各点，应力状态如图。计算危险点的主应力。轴力
引起的正应力
FN 4F
A πd 2
扭矩引起的切应力
T M 8F
Wp Wp 5πd 2
危险点处的主应力为
1
2
(
)2
( )2
它在y、z两轴上的截距分别为
y* z* h / 2
该截面惯性半径的平方为
iy2
Iy A
h2 12
iz2
Iz A
b2 12
28
中性轴①对应的核心边界上点1的坐标为
ey1
iz2 y*
0
ez1
iy2 z*
h 6
按上述方法可求得与它们对应的截面核
心边界上的点2、3、4，其坐标依次为：
ey2
b 6
ez2 0
车臂的直径d。
18
解：两个缆车臂各承担缆车重量的一半，如 图。则缆车臂竖直段轴力为FN=W/2=3kN 弯矩为M=Wb/2=540N·m 危险截面发生在缆车臂竖直段左侧，由强度条件
材料力学组合变形的强度计算第2节 拉压与弯曲的组合变形
=
+
=
1
F1 A
+
2
M max Wz
4）强度计算
因危险点的应力是单向应力状态，所以其强度
条件为：
max
F1 A
M max Wz
[ ]
若为F1 压力，则危险截面上、下边缘处的正应
力分别为：
max
F1 A
M max Wz
，
m
in
F1 A
M max Wz
此时，危险截面的下边缘上的各点是危险点，
查附表，选两 根 18a 槽钢
注意 检验： max 144 MPa [ ] 140 MPa
虽然最大应力大于许用应力，但其值不超过许 用应力的5%，在工程上是允许的。
补充例 如图所示的钩头螺栓中，若已知螺纹内径 d =10mm，偏心距e =12mm，载荷F =1kN，许用应力
[ ]=140MPa 。试校核螺栓杆的强度。
为压应力。它的强度条件为：
max min
F1 A
Mmax Wz
[ ]
例9-1 夹具如图示，已知 F 2.0 kN ，l 60 mm ， b 10 mm，h 22 mm。材料许用正应力[ ] 160 MPa 。
试校核夹具竖杆的强度。
解：（1）外力分析
竖
夹具竖杆所受载荷是偏心载荷， 杆
F e Wz
135MPa
[ ]
b=1.0m，F=36.0kN，AB梁材料的许用应力[ ]=140
MPa。试确定AB梁槽钢的型号。
解： 1）外力分析
n
材料力学第六版答案第10章
第十章 组合变形的强度计算10-1图示为梁的各种截面形状，设横向力P 的作用线如图示虚线位置，试问哪些为平面弯曲？哪些为斜弯曲？并指出截面上危险点的位置。
（a ） (b) (c) (d) 斜弯曲 平面弯曲 平面弯曲 斜弯曲弯心（）（）弯心弯心（）（）斜弯曲 弯扭组合 平面弯曲 斜弯曲“×”为危险点位置。
10-2矩形截面木制简支梁AB ，在跨度中点C 承受一与垂直方向成ϕ＝15°的集中力P ＝10 kN 作用如图示，已知木材的弹性模量MPa 100.14⨯=E 。
试确定①截面上中性轴的位置；②危险截面上的最大正应力；③C 点的总挠度的大小和方向。
解：66.915cos 10cos =⨯==οϕP P y KN59.215sin 10sin =⨯==οϕP P z KN4310122015=⨯=z J 4cm 3310cm W z =335625121520cm J y =⨯=3750cm W y =25.74366.94max =⨯==l P M y z KN-M 94.14359.24m ax =⨯==l P M z y KN-MMPaW M W M yy z z 84.9107501094.110101025.763633maxmax max=⨯⨯+⨯⨯=+=--σ 中性轴：οο47.2515tan 562510tan tan tan 411=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--ϕαy z J J 2849333105434.0101010104831066.948--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==z y y EJ l P f m28933310259.010562510104831059.248--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==y z z EJ l P f m 602.0259.05434.022=+=f cm方向⊥中性轴：ο47.25=α10-3 矩形截面木材悬臂梁受力如图示，P 1＝800 N ，P 2＝1600 N 。
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z
中性轴
y
强度计算
1）危险截面：当x=0时，M Z M Y 同时取最大
故固定端截面为危险面
2）危险点：危险截面上 D1 D2 点 强度计算式：
max M (
cos sin
Iz
y1, 2
sin cos z1, 2 ) Iy
故中性轴的方程为
cos sin y0 z0 0 Iz Iy
中性轴是一条通过截面形心的直线
y0 I z tan tan z0 Iy
为中性轴与z轴夹角
D1
z z y
D2
y
中性轴
注：
1）中性轴仍过截面形心； 2）中性轴把截面分为受拉、 受压两个区域； 3）同一横截面上 发生在 max 离中性轴最远处点D1、D2。
对于周边具有棱角的截面，如矩形和工字形截面， 最大拉、压应力必然发生在截面的棱角处。可直接根据 梁的变形情况，确定截面上的最大拉、压应力所在位置，
无需确定中性轴位置。
max
M y max M z max ymax z max Iz Iy
M z max M y max Wz Wy
③将各基本变形应力进行叠加(主要对危险截面的危险点)
④对危险点进行应力分析(1≥2≥3) ⑤用强度准则进行强度计算
将组合变形分解成若干个基本变形，分别计算出每个基本变
形下的内力和应力，然后进行应力叠加。
求解步骤 ①外力分解和简化。 ②内力分析——确定危险面。 ③应力分析：确定危险面上的应力分布， 建立危险点的强度条件。
曾经请同学们复习2-6章关于基本变形的论述，并自行总结： 1、轴向拉（压）
2、扭转 3、弯曲 4、剪切 这四种基本变形的： 内力的名称及符号、内力及内力图； 应力的计算公式和分布规律； 最大应力的公式和强度条件； 变形和应变的公式和刚度条件。
第8章
组合变形
§8-1 组合变形的概念
一、概念
1.组合变形：
max
M z max M y max [ ] Wz Wy
例1 矩形截面的悬臂梁受荷载如图示。试确定危险截面、危 险点所在位置；计算梁内最大正应力及AB段的中性轴位 置；若将截面改为直径 D=50mm 的圆形，试确定危险点 的位置，并计算最大正应力。
例作用的独立性原理出发，在线弹性范围 内，可以假设作用在体系上的诸载荷中的任一个所 引起的变形对其它载荷作用的影响忽略不计。 实验表明，在小变形情况下这个原理是足够精
确的。因此，可先分别计算每一种基本变形情况下
的应力和变形，然后采用叠加原理计算所有载荷对 弹性体系所引起的总应力和总变形。
重申基本研究步骤
1、分解：简化荷载：用静力等效的载荷， 使每一组只引起一种基本变形。 2、分别计算：按基本变形求解每组载荷作 用下的应力、位移。
3、叠加：按叠加原理叠加求出组合变形的 解。
§8-2 非对称弯曲（斜弯曲） 教材12-1
平面弯曲：对于横截面具有对称轴的梁，当横向外力或
外力偶作用在梁的纵向对称面内时，梁发生对称弯曲。这时， 梁变形后的轴线是一条位于外力所在平面内的平面曲线。
杆件在外力作用下，同时发生两种或两种以上基本变形的组合。 2.分类------①两个平面弯曲的组合(斜弯曲)
②拉伸(或压缩)与弯曲的组合，以及偏心拉、压
③扭转与弯曲或扭转与拉伸(压缩)及弯曲的组合 3.一般不考虑剪切变形；含弯曲组合变形，一般以弯曲为主，
其危险截面主要依据Mmax，一般不考虑弯曲剪应力。
Myz Iy
M z Iy
sin
z
y
Py Mz
z
y
Pz
My
C点总应力：
y z c M cos sin I I y z
确定中性轴的位置
设中性轴上某一点的坐标为 y0 、 z0，则由 中性轴上
0即
y0 z 0 0M cos sin I I y z
梁在P1作用下绕z轴 弯曲（平面弯曲），在 P2作用下绕y轴弯曲 （平面弯曲），故此梁 的弯形为两个平面弯曲 的组合——斜弯曲。受 力简图如图示。
受力简图
（二）内力分析
受力简图
分别绘出Mz(x) 和My(x)图如图示。 两个平面内的最大 弯矩都发生在固定 端A截面上，A截面 为危险截面。
二、组合变形工程实例
烟囱， 传动轴 吊车梁的立柱
烟囱：自重引起轴向压缩 + 水平方向的风力而引起弯曲； 传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生弯曲 + 扭转 立柱：荷载不过轴线，为偏心压缩 = 轴向压缩 + 纯弯曲
组合变形工程实例----以下是什么组合？
三、基本解法(叠加法)
1.叠加原理：在线弹性、小变形下，每一组载荷引起 的变形和内力彼此不受影响，可采用代数相加； 2.基本解法： ①外力分解或简化：使每一组力只产生一个方向的一 种基本变形 ②分别计算各基本变形下的内力及应力
斜弯曲：双对称截面梁在水平和垂直两纵向对称平面内
同时承受横向外力作用的情况，这时梁分别在水平纵对称面 和铅垂纵对称面内发生对称弯曲。（也称为两个相互垂直平 面内的弯曲）
当外力作用面不通过主惯 性平面时,则弯曲变形后,梁
Fx F y Fy
z
的轴线不在外力作用面内。
斜弯曲——荷载不作用在构件的纵向对称面内， 梁的轴线变形后不在位于外力所在平面内。
矩形截面梁的斜弯曲
应力计算
中性轴的位置
1、简化外力：
Pz P sin Py P cos
z
Pz
C
x面上的弯矩： M ( x) P(l x)
Py
y
如何求C点的正 应力？
x面上的弯矩： M ( x) P(l x)
Pz P sin 以y为中性轴弯曲 Py P cos 以z为中性轴弯曲
sin M y Pz (l x) P cos (l x) M cos sin
cos cos M z Py (l x) P sin (l x) M sin
2、按基本变形求各自应力：
M z y My cos Iz Iz