浅析沥青混合料的永久变形

浅析沥青混合料的永久变形
摘要：本文根据沥青路面的永久变形产生原因的不同对其进行了类别的划分，并且分析了半刚性基层下沥青混合料永久变形的形成，以及提出了永久变形的形成机理。

为沥青混合料的高温稳定性研究奠定了基础。

关键词：沥青混合料永久变形半刚性基层车辙
引言
在高温条件下，沥青路面在车辆荷载的反复作用下，在轮迹处路面各结构层将会出现不可恢复变形，随着变形的不断积累导致车辙产生。

ASTM标准E867将永久变形定义成“一种由横向交叉斜面和纵剖面限定的偏离水平面的相邻竖向凹陷”。

沥青混合料永久变形分类
在沥青路面的各种破坏现象中，车辙问题显得尤为重要。

因为它除了降低行车舒适性外，还会对交通安全产生直接影响。

路面车辙会增加司机变换车道的难度，阴雨天导致的车辙内的路面积水极易使高速行驶的汽车产生漂移，在恶劣气候条件下造成制动距离不足等问题。

国际上通常将沥青路面车辙分为以下五种类型：
1. 结构型车辙
主要是基层等路面结构层或路基强度不足，即施加在路面上的行车荷载超出路面结构层的总强度，故发生在沥青面层以及路基在内的永久变形，称为结构型车辙。

该类车辙宽度较大，两侧无隆起现象，横断面为浅盆状的U形[1]。

2. 失稳型车辙
也就是沥青混合料的侧向流动变形，在高温及车轮反复碾压作用下，交通荷载产的应力超过沥青混合料自身的抗剪强度，即稳定度极限。

此种情况下，沥青混合料中的自由沥青以及沥青与矿料之间的胶浆将会首先产生流动，促成沥青混合料产生流动变形，流动变形的不断积累形成车辙，叫做沥青的流动型车辙即失稳型车辙。

失稳型车辙的特点是车轮荷载作用处下凹，然而车轮荷载作用较少的行车道两侧则会向上隆起，内外侧成非对称状态。

主要发生在车速慢、车胎接地时间较长、横向应力较大的地方，如爬坡路段、道路交叉口附近等，其横断面呈W型[2]。

失稳型车辙在我国发生的较多，对于此类车辙目前并未有有效的维修方法，唯有将路面车辙受损部位刨除再用新的混合料进行修补，是当今研究的主要对
象。

3. 再压实型车辙
在沥青路面碾压不足的情况下，开放交通后经历车轮荷载的再碾压，使路面受到再压实，导致沥青路面厚度的减薄，在车轮荷载集中的地方出现凹陷，形成车辙。

在这样的路段下，只有在交通车辆反复碾压作用下，沥青层孔隙率不断减小，达到极限的残余孔隙率后才能稳定。

这类车辙一般两侧没有隆起，只有下凹。

4. 磨耗型车辙
在车辆轮胎磨损和环境的综合作用下，路面出现磨损，面层内集料颗粒逐渐脱落，形成车辙。

在冬季路面铺撒防滑料时，磨损型车辙则加速发展。

此类车辙在北欧国家较常见，而在我国几乎是没有的，研究过程中暂不考虑。

5. 水损害型车辙
由于沥青路面的中下层产生明显的水损害继而失去了沥青膜的粘结作用，因此在荷载的作用下出现了因变形累积而形成的车辙。

二、沥青混合料永久变形的形成机理
1.国内半刚性基层沥青路面
在我国，基层基本上采用半刚性材料，使得基层、路基产生的永久变形极小。

据道路使用的实际情况调查和研究表明，半刚性基层高等级沥青路面的永久变形，90%产生在沥青面层[3] ，由基层变形导致的车辙变形所占比例较小，因此发生在沥青路面面层的沥青混合料永久变形成为研究的重点。

沥青混合料是松散的矿料骨架和沥青结合料共同构成的。

沥青混合料的力学强度主要来自矿料颗粒之间的互相摩擦与嵌挤作用以及沥青对矿料的胶结力。

在车辆荷载的不断作用下，在沥青膜粘结力不足的区域，就会出现微观粒子的流动，从而引发部分团粒之间的相互错动现象。

外来荷载的不间断碾压作用，促使团粒之间的错动范围在更深、更广的范围继续传播，引起路面结构的微变形，经过一段时间的积累形成宏观的永久变形。

带来的直接后果就是沥青面层混合料向车轮两侧流动，从而产生推移、拥抱以及波浪等路面病害[4]。

2.国外对永久变形的分析
国外对于沥青混合料永久变形的研究较早，总体上来说，对沥青路面的车辙形成机理主要有两种见解：沥青路面在外来荷载作用下的剪切变形和压密变形。

①剪切变形
路面的剪切变形是由于作用在路面上的车辆荷载对路面施压而产生的剪应力超过了沥青路面自身的抗剪切能力而产生的变形，长此以往，形成车辙。

②压密变形
Patterson研究表明，在建立沥青路面永久变形预估模型时，需要同时考虑沥青混合料的压密和塑性流动变形。

压密主要包括材料的体积变化，由于压密，引起了材料颗粒之间更紧密的排列；塑性流动则是由材料的迁移产生的，不包括材料的体积变化，一旦荷载作用超过材料的剪切强度或者承受了足够的蠕变，永久变形就会发生。

压密和流动变形是绝大多数路面遭遇的变形行为。

3.永久变形的形成过程
在行车荷载的反复作用下，永久变形的形成过程可简单地分为以下三个阶段：
①开始阶段的后续压实：道路开放的初期，沥青混合料内部存在空隙，沥青层在车辆荷载反复碾压作用下，空隙将不断减小，沥青面层厚度减薄，甚至在荷载集中部位出现凹槽，其中不可恢复的部分成为永久变形。

在空隙率不断减少的情况下，集料在外力作用下排列成具有一定骨架的结构，以至于压密变形不再发生。

②沥青混合料的流动：由沥青混合料自身的粘弹性可知，在高温季节，沥青路面在外来荷载的反复作用下，沥青混合料变成以粘性为主的半固体，在外来荷载对路面施力形成的剪应力超过了沥青混合料各结构层总的抗剪强度的情况下，沥青混合料将产生流动变形，经不断积累形成永久变形。

这种变形主要表现为车轮部位下凹的同时并伴有两侧隆起现象。

③矿质骨料的重排和破坏：高温条件下，沥青混合料将处于半固态，在车辆荷载的不断碾压下，沥青混合料中的自由沥青以及沥青胶浆将会继续流动，在这样的情况下，就会导致沥青混合料组分的不均匀分布。

沥青混合料中矿料相互嵌挤组成的骨架结构就会出现松动，再加上其中沥青的润滑作用，松动就会愈演愈烈，再加上外来荷载的施力，部分矿料就会出现滑移，这时候沥青及沥青胶浆就会不断地流向其富集区域，最后流向沥青混合料的自由面。

三、总结
沥青混合料的永久变形，可以根据产生原因的不同，划分为结构型车辙、失稳型车辙等几类。

通过对沥青混合料永久变形形成机理的分析，可知，需从两个方面来分析永久变形：首先是路面铺筑过程中压实度的控制上，开放交通前是否达到了要求的压实度；另一方面则是，开放交通后，路面使用过程中的高温作用下，沥青混合料的流动以及混合料骨架结构的稳定性，所以沥青合料高温稳定性的研究将集中在沥青混合料在高温下抗流动变形的能力上。

参考文献：
[1] 方杨.高抗车辙沥青路面材料开发及应用[D].武汉.武汉理工大学.2008
[2] 张登良.沥青路面工程手册[M].北京.人民交通出版社.2003
[3] 李静.沥青混合料路用性能预测模型的研究[D].西安.长安大学.2004
[4] 李志刚.高速公路沥青路面养护决策及实施技术研究[D].南京.东南大学.2000
[5] 张宏.沥青路面数值模拟及单轴贯入蠕变试验研究[D].重庆.重庆交通大学.2008。

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重轴载条件下沥青路面竖向永久变形分析

表１有限元计算路面结构组成
害口．车辆重复轴载作用下，］在沥青路面车辙变形是轮迹带部位沥青混合料产生的竖向变形和轮迹带外侧沥青混合料产生向上隆起变形引起的，若以原来的路表为基准，包的最大高度可以达到拥
（汉市和平至左岭高速公路建设管理部 ” 武汉武
４０７）（汉理工大学交通学院３０１武
摘要：择几种典型的沥青路面结构，虑沥青混合料的粘弹性特性，用ＣｓｓＭ软件进行有选考利ｏｍｏ／限元分析，算出各沥青路面的竖向变形和侧向隆起变形．析不同路面结构在重载条件下的变计分形的规律，路面设计根据不同的条件采用合理的路面结构提供参考．为
型为黄河Ｊ１０Ｎ一５．
１路面结构有限元模型建立和相关参数确定
本文为了分析不同路面结构在重轴载车辆荷
本文有限元分析以我国现行沥青路面设计规
范中标准轴载ｉ０ｋ轮载５Ｎ）０Ｎ（０ｋ为基准，考虑
轮胎内压／ａＭＰ
中心区轮压／ａＭＰ边缘区轮压／ａＭＰ
虑水平向接触应力．轮胎与路面为矩形接触形式，荷载分布在宽度方向上将接触面整个面积分为３
个区域：边２宽度范围的边缘区和中间６６两０Ｏ／９

基于动态蠕变试验的沥青混合料永久变形研究

中图分类号：１．１Ｕ４６２７文献标识码：Ａ
Ｅｖｌａｉｎｏｅｍａｅｅｏｍａｉｎｏｓａｔａｕｔｏｆｐｒｎｎｔｄｆｒｔｏｆａｐｈｌ
ｍｉｔｒｓｕｉｇｄｎｍｉｒｅｅｔｘｕｅｓｎｙａｃｃｅｐｔｓ
第２卷第１７期２１１年３月０
交
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Ｖｏ．ＮＯ１２７．１
Ｍａ．ｒ２１０１
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＴＲＡＮＳＰＯＲＴＣＩＳＥＮＣＥＡＮＤＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ
文章编号：６４５９２１）１０３－０１７ — ９Ｘ（０１０－０７４
Ａｂｔａｔｓｒｃ：Ｄｙｍｉｒｅｅｔｗａｏｄｕｔｄｏｎｍｏｄｆｅｎｄｆｂｒｍｏｄｆｅａｎａｃｃｅｐｔｓｓｃｎｃｅｎｕｉｉｄａｉｅｉｉｄｓｍｐｌｓ，ｅ
ｕｉｇＵＴＭ一ａｈｉ．Ｄｕｒｎｈｉｏｋ，ｉａｔｅｐｔｄｔｏｐａｅｔｅｍａｅｓｎ２５ｍｃｎｅｉｇｔｓｗｒｔｗｓａｔｍｅｏｃｍｒｈｅｐｒｎｎｔ
基于动态蠕变试验的沥青混合料永久变形研究
李雪连，陈宇亮，周志刚
（．１公路工程省部共建教育部重点实验室（沙理工大学）湖南长沙长，２华东交通大学，木建筑学院，西南昌３０１）．土江３０３４００；１０４

无机结合料稳定类基层沥青路面永久变形影响因素分析

无机结合料稳定类基层沥青路面永久变形影响因素分析摘要：车辙是高等级道路沥青路面的主要病害之一。

我国的沥青路面，基层主要采用无机结合料稳定类，对于这类基层沥青路面，车辙主要是沥青混合料层永久变形产生的。

《公路沥青路面设计规范》（JTGD50—2017）经过多年的研究，提出了沥青混合料层永久变形的计算方法。

本文采用这一方法，对影响永久变形量的各因素作详细分析，从中找出最关键的因素，供道路设计人员参考。

关键词：无机结合料稳定；基层沥青路面；永久变形；影响因素；分析1永久变形量计算方法《公路沥青路面设计规范》（JTGD50—2017）依据多种沥青混合料，在不同温度、压力等条件下的大量有效车辙试验结果，建立了包含荷载作用次数、温度、竖向压应力、层厚和车辙试验永久变形量等参数的沥青混合料层永久变形预估模型，并利用国内10余条公路多年车辙数据和5个试验路段车辙数据对该模型进行了修正和验证。

考虑到沥青路面不同深度处应力分布和不同沥青混合料层抗车辙性能的差异，规定分层计算永久变形量。

首先对各沥青混合料层进行分层：（1）表面层，采用10~20mm为一分层。

（2）第二层沥青混合料层，每一分层厚度应不大于25mm。

（3）第三层沥青混合料层，每一分层厚度应不大于100mm。

（4）第四层及以下沥青混合料层，作为一个分层。

然后，根据标准条件下的车辙试验，得到各层沥青混合料的车辙试验永久变形量，按式（1）和式（2）计算沥青混合料层总的永久变形量和各分层的永久变形量。

式中：Ra为沥青混合料层永久变形量，mm；Rai为第分层永久变形量，mm；n为分层数；Tpef为沥青混合料层永久变形等效温度，℃；Ne3为设计使用年限内或通车至首次针对车辙维修的期限内，设计车道上当量设计轴载累计作用次数；hi为第分层厚度，mm；h0为车辙试验件的厚度，mm；R0i为第i分层沥青混合料在试验温度为60℃，压强为0.7MPa，加载次数为2520次时，车辙试验永久变形量，mm；kRi为综合修正系数，按式（3）~式（5）计算：式中：zi为沥青混合料层第i分层深度，mm，第一分层取15mm，其他分层为路表距分层中点的深度；ha为沥青混合料层厚度，mm，大于200mm时，取200mm；pi为沥青混合料层第分层顶面竖向压应力，MPa，根据弹性层状体系理论进行计算。

重复荷载作用下沥青混合料的永久变形_张久鹏

成 . 研究沥青混合料变形特性的模型有很多 , 包括各种经验性模型和力学模型 . 根据大量统计分析得到的经验性模型 , 一般可以准确描述特定混合料的变形规律 , 但是其广泛适用性较差 , 力学计算存在困难 . 而一些研究者将粘弹性理论应
. 重复荷载作用下 ,
沥青混合料的永久变形则由残余粘弹性变形和粘
( S c h o o l o f T r a n s p o r t a t i o n , S o u t h e a s t U n i v e r s i t y , N a n j i n g210096, C h i n a )
A b s t r a c t : T h e s e r i e s w o u n d d a s h p o t o f B u r g e r s m o d e l w a s m o d i f i e d a n dt h e n c o n s i d e r e d a s a c o m b i n a t i o n o f m o d i f i e d d a s h p o t a n d V a n D e r P o e l m o d e l . P u l s e l o a d c o n s i s t i n g o f a h a v e r s i n e l o a d i n ga n d a r e s t p e r i o d w a s s e l e c t e d t os i m u l a t e t h e d y n a m i c v e h i c l e l o a d , a n d a n e wm e c h a n i c a l m o d e l w a s d e r i v e dt od e s c r i b et h e p e r m a n e n t d e f o r m a t i o no f a s p h a l t m i x t u r e u n d e r r e p e a t e dl o a d .S u b s e q u e n t l y , t r i a x i a l r e p e a t e dl o a dt e s t sw e r ec o n d u c t e df o r m o d e l v a l i d a t i o n .I t i si n d i c a t e dt h a t t h ep r o p o s e d m o d e l c a nd e s c r i b et h et h r e ep h a s e s p e r m a n e n t d e f o r m a t i o nw e l l .T h eh i g h e r t h et e m p e r a t u r ea n d s t r e s s , t h e b i g g e r t h e p e r m a n e n t d e f o r m a t i o na n dt h e s m a l l e r t h e f l o wn u m b e r .R e s i d u a l v i s c o e l a s t i c d e f o r m a t i o nt e n d s t oa f i x e dv a l u e w i t ht h ei n c r e a s eo f l o a dc y c l e s , a n di t s p r o p o r t i o nt op e r m a n e n t d e f o r m a t i o nd e c r e a s e s g r a d u a l l yw i t ht h el o a dc y c l e s ;t h ef i x e dv a l u eb e c o m e s b i g g e r i f s t r e s s a n d t e m p e r a t u r e a r e h i g h e r a n dt h el o a dr e s t p e r i o di s s h o r t e r .I t sp r o p o r t i o nt op e r m a n e n t d e f o r m a t i o n d e c r e a s e s r a p i d l yf i r s t a n dt h e ns l o w l yw i t ht h ei n c r e a s eo f r e s t p e r i o d , a n dal o n g e r r e s t p e r i o di s n e e d e df o r t h e r e s i d u a l v i s c o e l a s t i cd e f o r m a t i o n r e c o v e r yw h e ns t r e s s a n dt e m p e r a t u r ea r e h i g h e r . K e yw o r d s : a s p h a l t m i x t u r e ;p e r m a n e n t d e f o r m a t i o n ;m e c h a n i c a l m o d e l ;t r i a x i a l r e p e a t e dl o a dt e s t 沥青混合料是一种粘弹性材料 , 其变形包括瞬时弹性变形、粘弹性变形和粘性流动变形 . 卸载后 , 瞬时弹性变形立即恢复 , 粘弹性变形随时间逐渐恢复 , 粘性流动变形不能恢复

AC—20沥青混合料在三轴重复荷载试验下的永久变形分析

AC—20沥青混合料在三轴重复荷载试验下的永久变形分析【摘要】永久变形是长期困扰热拌沥青混合料路面的问题。

而研究沥青混合料永久变形性能的试验方法和沥青路面的永久变形预估与控制方法已成为当前研究的热点。

本文选定三轴重复荷载蠕变试验分析AC20沥青混合料的永久变形性能，它能较好的模拟沥青混合料中面层在路面的实际受力状态。

通过室内试验，研究在不同温度和不同应力作用下，沥青混合料永久变形的规律，利用最小二乘法进行曲线拟合得到沥青混合料的力学模型拟合参数和不同温度下的沥青混合料永久变形曲线。

建立基于试验数据的永久变形规律，为将其应用于实际路面永久变形的计算奠定了基础。

【关键词】永久变形；三轴重复荷载试验；力学模型1 引言本文以AC20沥青混合料为例，对沥青路面中面层的永久变形进行分析，研究由于受试验条件的限制，只能在特定的，具有代表性的温度下进行试验，所得的数据也只是在代表性温度下的数据点。

本文的三轴重复荷载蠕变试验，是在20℃、30℃、40℃、50℃四种温度和0.4Mpa、0.7Mpa和1Mpa三种应力的条件下对沥青混合料AC20的试验。

2 AC20沥青混合料的三轴重复荷载蠕变试验结果图1 AC20沥青混合料在20℃下的变形规律图2 AC20沥青混合料在30℃下的变形规律图3 AC20沥青混合料在40℃下的变形规律图4 AC20沥青混合料在50℃下的变形图5 AC20沥青混合料在0.4Mpa偏应力下的变形规律图6 AC20沥青混合料在0.7Mpa偏应力下的变形规律图7 AC20沥青混合料在1Mpa偏应力下的变形规律对材料施加一定水平的荷载和应力，材料将产生变形，若变形不随时间而增大，则撤销外力后，变形立即恢复，那么这种材料就是弹性材料。

若变形随荷载的增大而增大，外力撤消后，变形也不能恢复，那么这种材料成为粘性材料。

沥青混合料在外力长时间作用下，作为响应的变形或者应变会随时间的增加而不断增大，在消除外力之后，变形随时间的增加而逐渐恢复，至一部分变形永久保持。

沥青混合料永久变形模型研究

加载过程０．１Ｓ，卸载过程０．９Ｓ，如图１所示。图２为ＡＣ一１６和ＡＣ一２５两种沥青混合料的蠕变规律。
单景松等
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｈａｎｄｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
形状为圆柱体，直径为１００ｍｍ，高度为１５０ｍｍ。施
加的荷载形式为半正弦波，１ｓ作为一个循环周期，
图１间歇式荷载加载方式图
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沥青混合料永久变形模型研究
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图２蠕变实验结果图
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一时，为１０Ｈｚ２０℃ 的动态模量是４０℃ 的２．６倍，是５５℃ 的８．５倍。因此，在使用沥青混合料的动态模量值
时必须说明温度和频率。
表１沥青混合料ＡＣ－１６。ＡＣ一２５的级配及最佳油石比表
在２Ｏ，４０，５５℃ 下进行，每一个温度分别测试７个不同频率（２５，１０，５，１，０．５，０．１，０．０１Ｈｚ）的动态模量。采用沥

沥青混合料车辙试验永久变形量

沥青混合料车辙试验永久变形量
沥青混合料车辙试验永久变形量是指在进行道路沥青混合料施工时，对所使用的沥青混合料进行车辙试验后，得到的材料的永久变形量。

这个指标是评估沥青混合料抗变形性能的重要参数之一。

车辙试验是通过在实际道路上模拟车轮荷载作用下，测量材料表面产生的压缩和剪切应力来评估材料的抗变形性能。

具体来说，车辙试验会在道路上铺设一层厚度为50mm左右的沥青混合料，并在其表面放置一个直径为300mm、宽度为50mm、重量为40kg的钢轮模拟车轮荷载作用。

然后，通过测量钢轮所产生的压缩和剪切应力以及材料表面沉降情况，计算出材料受到荷载作用后的永久变形量。

永久变形量是指在经过一定时间和荷载作用后，材料发生不可逆转化而导致的形变。

对于道路建设来说，永久变形量是评估沥青混合料抗变形性能的重要指标。

较小的永久变形量意味着沥青混合料在长期使用过程中不易发生变形，从而保证道路的平稳度和舒适度，并延长道路使用寿命。

总之，沥青混合料车辙试验永久变形量是评估沥青混合料抗变形性能的重要参数之一，通过车辙试验可以模拟车轮荷载作用下材料的实际
情况，从而得到材料受到荷载作用后的永久变形量。

较小的永久变形量可以保证道路平稳度和舒适度，并延长道路使用寿命。

浅谈计算沥青路面永久变形的新方法

北方交通
２０１５年
第ｌ１期
文章编号：１６７３～６０５２（２０１５）１１— ００８０— ０４
ＤＯＩ：１０．１５９９６／ｊ．ｃｎｋｉ．ｔ．２０１５．１１．０２１
结构的应变和温度的变化。如图１所示，测量中心波长，它是光纤光栅技术的核心传感原理。
射光
传感技术最开始应用于军事领域，如航空、航天、通信和传感等方面。近年来，随着光纤光栅传感技术
的日益成熟，它在商业工程领域也具有了广阔的应用前景。最新的研究表明一些重要的土木工程项目，诸如桥梁、隧道和水坝都采用了该技术来建立实
用还处于起步阶段，为了分析研究沥青路面结构方
面的监测数据和应变以及温度的关系问题，本研究中，提出了一个与光纤布拉格光栅和改进的粘弹性模型相结合的新方法来探索应用的可行性。２光纤光栅传感特性
变形值同样得到控制。因此这种方法只适用于路面
最终，在一定温度下的永久变形可推导为：
１
８Ｄ８ｍ丑ｘ ‘
１
・
詈
击＋击（一ｅＥ１）＋１ｔｏ＋１，・詈３
考虑到温度Ｔ的变化，永久变形模型可这样
写：
８。＝ｆ（８，Ｔ，Ｅｉ（Ｔ），ｉ（Ｔ），ｔ０）

沥青路面永久变形的非线性本构模型研究

中国科学G辑物理学力学天文学 2006, 36(4): 415~426 415沥青路面永久变形的非线性本构模型研究彭妙娟*许志鸿(上海大学土木工程系, 上海 200072) (同济大学交通运输工程学院, 上海 200092)摘要为了合理地预估沥青路面的车辙, 建立了一个新的非线性粘弹-弹塑性本构模型. 此模型是由广义的Maxwell模型串联一个弹塑性模型而组成. 然后, 从蠕变的角度详细推导了广义的Maxwell模型的线性和非线性的粘弹性本构方程. 采用非线性有限元法对4种沥青混合料的车辙深度进行了计算, 并与SHRP的有限元结果以及SWK/UN的实验结果进行了比较, 说明所建立的非线性粘弹－弹塑性本构模型是有效的. 此模型可以体现沥青混凝土材料的非线性弹性、塑性、粘弹性、非线性粘弹性对沥青路面车辙的影响, 较为全面地反映沥青路面永久变形的特性.关键词沥青路面永久变形非线性粘弹-弹塑性本构模型广义的Maxwell模型蠕变柔量随着交通量、轮载和轴压的不断增大, 车辙已成为沥青路面的主要破坏形式之一. 国内外的许多研究者在这方面做了大量的研究, 车辙也已成为目前道路工程的热点和难点之一[1]. 近年来开始使用粘弹性理论来研究沥青路面的车辙, 尤其使用线性粘弹性理论较为普遍. 沥青路面车辙的产生表明沥青材料不是完全的粘弹性, 因为卸载后, 沥青混凝土不能恢复到原先未变形的状态而产生了永久变形, 所以线性的粘弹性材料不能合理地描述沥青路面的车辙行为. 使用非线性粘弹性理论和弹塑性有限变形理论可以更好地描述混合料的车辙行为, 因为它们包含了卸载后没有恢复的塑性变形. 国外, Lu等[2]把沥青混合料描述为粘弹塑材料, 使用了Perzyna的理论建立了一个粘弹塑的本构模型. Judycki对常规和改性沥青混凝土在蠕变实验条件下的非线性的粘弹性行为进行了研究, 建立了一个非线性的粘弹性模型[3]. SHRP建立了一个粘弹塑模型来计算沥青混凝土的永久变形特性, 此模型由广义Maxwell模型和弹塑性模型并联而成, 此模型的弹塑收稿日期: 2005-12-02; 接受日期: 2006-07-06*E-mail: mjpeng@416中国科学G辑物理学力学天文学第36卷性模型和实验数据不符合, 需要改进[4]. Erkens等建立了沥青混凝土的本构模型, 讨论了沥青混凝土的三维有限元法[5]. Blab等对三维沥青路面进行了粘弹性有限元分析[6]. 国内, 许志鸿等采用粘弹性层状体系理论对沥青路面永久变形问题进行了研究[7]；徐世法、朱照宏等人采用粘弹性理论, 提出了一个“四单元五参数”模型来分析沥青路面的永久变形[8]；封基良等应用粘弹性理论, 得到了沥青混合料有限元模型, 并利用非线性有限元软件ABAQUS分析了沥青路面的车辙[9]；王后裕等通过分析沥青混合料加载时的固结效应和卸载时的永久变形等流变学特征, 提出了一个流变学模型[10] .从力学理论来讲, 沥青混凝土材料为非线性粘弹塑性材料. 沥青路面的车辙是路面在车轮荷载作用下的永久变形, 因此在沥青路面的车辙分析中采用的本构关系应该既要考虑沥青混凝土材料的非线性粘弹性特性, 又要考虑材料塑性的影响. 目前对沥青路面车辙分析的非线性本构模型的研究还很少, 采用现有力学理论中的一般的非线性粘弹性本构关系显然是不够的.本文利用非线性粘弹性理论和弹塑性有限变形理论, 建立了一个新的沥青路面车辙分析的非线性粘弹-弹塑性本构模型. 此模型是由广义的Maxwell流变模型串联一个弹塑性模型而组成. 然后从蠕变的角度详细推导了广义的Maxwell 模型线性和非线性粘弹性本构方程. 采用非线性有限元法对4种沥青混合料的车辙深度进行了计算, 并与SHRP的有限元结果以及SWK/UN的实验结果进行了比较, 说明本文所建立的非线性粘弹-弹塑性模型是有效的.1 沥青路面永久变形的本构模型根据沥青路面永久变形的特性, 本文提出了一个新的非线性的粘弹-弹塑性的本构模型, 此模型是由非线性广义的Maxwell模型串联一个弹塑性模型而组成(见图1). 下面我们依次建立各部分元件的本构模型.图1 沥青路面永久变形的模型1.1 非线性弹性元件的本构理论首先, 我们考虑弹塑性元件中的非线性弹性部分.考虑各向同性材料, 对变形前的构形, 根据应变能密度函数的定义可将非线性弹性的本构方程写为第4期彭妙娟等: 沥青路面永久变形的非线性本构模型研究 417,ij ijWS E ∂=∂ (1) 其中123(,,)W I I I 为应变能密度函数.将应变能密度函数123(,,)W I I I 用Taylor 级数展开, 则有1231231232123123312312341231231(,,)(0,0,0)(0,0,0)1!1 (0,0,0)2!1 (0,0,0)3!1 (0,0,0) ,4!W I I I W I I I W I I I I I I WI I I I I I W I I I I I I WI I I ⎛⎞∂∂∂=+++⎜⎟∂∂∂⎝⎠⎛⎞∂∂∂+++⎜⎟∂∂∂⎝⎠⎛⎞∂∂∂+++⎜⎟∂∂∂⎝⎠⎛⎞∂∂∂++++⎜⎟∂∂∂⎝⎠" (2)其中1I , 2I 和3I 分别为第一、第二和第三应变不变量, 即 1112233,I E E E =++ (3)2222112222333311122313(),I E E E E E E E E E =++−++ (4)22231122331223311123221333122().I E E E E E E E E E E E E =+−++ (5)若认为物体无初始应力, 即当0ij E =时0ij S =, 则 0(0,0,0)()|0,ij ij E W W E === (6)0|0.ij E ijWE =∂=∂ (7) 将(6)和(7)式代入方程(2), 并且略去大于四次的级数项, 则有2311223141253422617128139211()26111,2422e W C I C I C I C I I C I C I C I I C I I C I =++++++++E(8)其中i C , 1,2,...,9i =为材料常数, e E 为弹性应变张量. 1.2 塑性本构模型为了更好地反映沥青混合料的特性, 描述沥青路面车辙的本构方程应包含塑性应变项. 本文在建立塑性本构方程时使用了V on Mises 屈服准则和随动强化理论[11].在材料进入塑性后, 当应力产生一无限小增量时, 应变的增量可分成弹性应变分量的增量和塑性应变分量的增量两部分, 即418 中国科学 G 辑物理学力学天文学第36卷d d d ,e pij ij ij εεε=+ (9)其中弹性应变分量的增量d eij ε与应力增量d ij σ之间的关系可写为d d ,e eij ijkl kl D σε= (10)而塑性应变分量的增量服从流动法则d ,p ij ijfελσ∂=∂ (11) 其中λ为比例常数, f 为屈服曲面.增量形式的塑性本构关系为d d ,epij kl ijkl D σε= (12)其中epijkl D 称为弹塑性矩阵,,ep e ee ijkl ijklpqrs ijkl pq rsf fD D D D A σσ∂∂=−∂∂ (13)2.e ijkl pij kl kl f f fA D σσε⎛⎞∂∂∂=−⎜⎟⎜⎟∂∂∂⎝⎠(14) 1.3 广义Maxwell 模型的线性本构方程 1.3.1 一维线性广义Maxwell 模型本构方程一维线性Maxwell 模型的本构方程为.E σσεη=+(15) 一维线性Maxwell 模型的蠕变型本构方程为01()1.t t E εστ⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠(16) 蠕变函数为1()1.t J t E τ⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠(17) 将有限个Maxwell 模型并联而形成广义的Maxwell 模型(见图2). 图2也是本文所建立的沥青路面车辙分析的非线性粘弹-弹塑性模型(如图1)的粘弹性分析部分.本文以下将从蠕变的角度推导广义Maxwell 模型的本构方程. 对广义的Maxwell 模型, 有,e v εεε=+ (18)第4期彭妙娟等: 沥青路面永久变形的非线性本构模型研究 419图2 广义的Maxwell 模型()1,Ni i σσ==∑ (19)其中e ε和v ε分别表示广义的Maxwell 模型中弹性元件和粘性元件的应变,()i σ(1,2,,i N =")表示第i 个Maxwell 模型的应力, N 为Maxwell 模型的数目.由(16)式, 对广义的Maxwell 模型的每一个Maxwell 模型, 有()(),i iii E t t τσετ=+ (20) 其中i E (1,2,,i N =")表示第i 个Maxwell 模型的弹性元件的弹性模量为,ii iE ητ=(21)其中i η(1,2,,i N =")表示第i 个Maxwell 模型的粘性元件的粘性常数.对广义的Maxwell 模型, 将(20)代入(19)式, 有01()(),()Nj jj j t E t J t tτεσετ===+∑ (22)则1001()(),N j j j j t E J t t τεσστ−=⎛⎞==⎜⎟⎜⎟+⎝⎠∑ (23)其中11()N j j j j J t E t ττ−=⎛⎞=⎜⎟⎜⎟+⎝⎠∑ (24)为广义Maxwell 模型的蠕变函数.粘弹性本构方程即可以用微分形式表达, 也可以用卷积积分形式来表达. 下面将推导广义Maxwell 模型的积分形式的本构方程.420 中国科学 G 辑物理学力学天文学第36卷考虑一个蠕变实验, Maxwell 材料在0t t ≥时加载, 加载恒定的应力0σ, 应变是时间的函数, 即000()()(),t J t t H t t εσ=−− (25)其中0()H t t −为Heaviside 函数, 即单位阶跃函数.利用Boltzmann 叠加原理, 对如下的组合荷载历史1()(),Mi i i t H t t σσ==−∆∑ (26)其中M 为加载步数. 那么总应变可通过单个应变的响应叠加来计算, 即11()()()().M Mi i i i i i i t t t J t t H t t εεσ===−=−−∆∑∑ (27)当荷载步长i σ∆为无限小时, 总应变可通过积分来表达, 即()()()d (),t t J t H t εττστ−∞=−−∫(28)写成遗传积分形式为()()()d .t t J t tστεττ−∞∂=−∂∫(29) 方程(29)即为广义Maxwell 模型的积分形式的本构方程, 即本文所建立的沥青路面车辙分析的非线性粘弹-弹塑模型的粘弹性部分的本构方程, 它能直接反映沥青材料的基本实验特性—— 记忆特性.为了研究交变荷载下沥青路面的车辙, 下面推导广义Maxwell 模型的复模量.交变荷载下的应力状态为0exp(),i t σσω= (30)其相应的应变为0exp[()].i t εεωδ=− (31)可见, 在同样的振动频率下, 应变相对于应力的滞后量为相位角δ. δ也叫做损失角, 它是描述粘弹性体耗散特性的一个重要量.将(30)和(31)式代入(15)式, 得000exp[()]exp()exp().E i i t i i t i t τεωωδτσωωσω⋅−=⋅+ (32)即00exp()(1),E i i i τεωσδωτ⋅=+ (33)(33)式可写成0011exp(),i i E i εωτδστω+−= (34)第4期彭妙娟等: 沥青路面永久变形的非线性本构模型研究 421则Maxwell 模型的复蠕变柔量为*0()11exp().t i J i E i εωτδστω+=−= (35) 将Maxwell 模型的复蠕变柔量*J 分成两部分*111,J J iJ i E ωτ⎛⎞′′′=+=−⎜⎟⎝⎠(36) 其中J ′称为储存柔量, J ′′称为损耗柔量. 损耗柔量的部分或全部将转化为热量而损耗掉, 因而是不可恢复的.对广义的Maxwell 模型, 由(19)式可得220*222211()()()11NNj jj j j j j j E E t i t J t ωτωτεσεωτωτ==⎡⎤⎢⎥==+++⎢⎥⎣⎦∑∑, (37)则广义的Maxwell 模型的复蠕变柔量为122*22221,11N j j j j j j j E E J iωτωτωτωτ−=⎛⎞⎡⎤⎜⎟⎢⎥=+⎜⎟++⎢⎥⎣⎦⎝⎠∑ (38) 令22221,1Nj j j jE A ωτωτ==+∑ (39) 221,1Nj jj jE B ωτωτ==+∑(40) 则有*1222222(),A iB A B J J iJ A iB iA BA BA B−−′′′=+=+==−+++ (41)其中J ′为广义的Maxwell 模型的储存柔量, J ′′为广义的Maxwell 模型的损耗柔量.1.3.2 三维线性广义Maxwell 粘弹性本构方程本节将推导三维线性广义Maxwell 粘弹性本构方程. 将应力张量和应变张量分别分解为球张量和偏张量:111213111213212223212223313233313233000000σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦, (42)422 中国科学 G 辑物理学力学天文学第36卷111213111213212223212223313233313233000000e e e e e e εεεεεεεεεεεεεεεεεε−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦. (43) 在三维情况下, 有两个蠕变柔量1()J t 和2()J t , 分别描述变形的畸变部分(即偏量部分)和体积变化部分(即球量部分)的蠕变特性.在三维情况下, 流变性质主要表现在剪切变形方面, 以下我们假设其体积变化是弹性的.对Maxwell 模型, 其三维本构方程为2,3.ij ij ij e G Ke ησσησ⎧′′+=⎪⎨⎪=⎩ (44) 与一维Maxwell 模型的推导类似, 可得其积分型本构方程12d ()()()d ,d d ()()()d ,d tij ij t e t J t e t J t σττττσττττ−∞−∞⎧′⎪=−⎪⎨⎪=−⎪⎩∫∫ (45) 其中111(),2t J t G η⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠(46)21().3J t K=(47) 与一维广义的Maxwell 模型的推导类似, 可得广义的Maxwell 模型的三维积分型本构方程12d ()()()d ,d d ()()()d ,d tij ij t e t J t e t J t σττττσττττ−∞−∞⎧′⎪=−⎪⎨⎪=−⎪⎩∫∫ (48) 其中1()J t 和2()J t 分别为描述变形的畸变部分和体积变化部分的蠕变柔量, 即111(),N j j j j j G J t G t ηη−=⎡⎤=⎢⎥+⎢⎥⎣⎦∑ (49)21().3J t K=(50) 1.4 广义的Maxwell 模型的非线性本构方程以下推导广义的Maxwell 模型的有限变形问题的本构方程.第4期彭妙娟等: 沥青路面永久变形的非线性本构模型研究 423由广义的Maxwell 模型的三维积分型本构方程(48), 以Kirchhoff 应力S 代替σ, 以Green 应变E 代替小应变, 则有12d ()()()d ,d d ()()()d ,d tij ij t S E t J t S E t J t ττττττττ−∞−∞⎧′′⎪=−⎪⎨⎪=−⎪⎩∫∫ (51) 其中1,3ijij kk ij S S S δ′=− (52) 1,3ijij kk ij E E E δ′=− (53) 11223311(),33kk S S S S S =++= (54)11223311(),33kk E E E E E =++= (55)在TL 列式法中,()()t t t ∆=+∆−S S S , (56)()()t t t ∆=+∆−E E E , (57)则增量型的本构方程为111()[()()]d ()d ,t t t ij ij ijtS S E t J t t J t J t t τττττττ+∆−∞′′∂∂′∆=+∆−−−++∆−∂∂∫∫(58)222()[()()]d ()d .tt t t S SE t J t t J t J t t τττττττ+∆−∞∂∂∆=+∆−−−++∆−∂∂∫∫ (59)2 沥青路面车辙计算与分析考虑如图3的路面体系, 其几何尺寸为: 长度300 cm, 宽度365.76 cm, 深度140 cm, 沥青面层厚度为38 cm, 路基厚度为102 cm, 轮压p = 730 kPa, 轮和轮之间的距离见图3.在有限元分析时, 本文采用了4种沥青混合料: AAK-1-RD(V a = 3.7%, V a =6.5%)和AAC-1-RD(V a = 3.8%, V a = 6.5%), 其中AAK-1和AAC-1为沥青粘结料, RD(石灰石, 碎石)为骨料, V a 为空隙率[4]. 沥青混合料面层的本构模型为本文建立的非线性粘弹-弹塑性模型, 其计算参数见表1~3. 路基为线性弹性材料, 杨氏模量E = 138 MPa, 泊松比µ = 0.45. 计算时采用的位移边界条件为: 模型底部边界在垂直和水平方向均固定, 左右两侧的边界均为在垂直方向为自由, 而在水平方向为固定.424中国科学G辑物理学力学天文学第36卷图3 路面结构图表1 非线性弹性常数/MPaAAK-1-RD AAC-1-RD 材料常数V a = 3.7% V a = 6.5% V a = 3.8% V a = 6.5%C1 5.06×102 5.06×102 4.36×103 1.28×103C2−2.53×102−5.06×102−1.64×102−3.22×102C3−5.06×104−5.06×104−2.73×106−2.96×104C4 5.06×104 2.02×105 1.09×105 2.96×105C5 0.00 0.00 0.00 0.00C6 1.26×108 2.53×108 5.46×106 4.74×108C7−5.06×107−3.79×107−7.64×107−2.37×107C8 5.06×107 5.06×107 1.09×107 5.92×107C9 5.06×105 5.06×105 1.09×106 8.88×106表2 塑性常数AAK-1-RD AAC-1-RD 材料常数V a = 3.7% V a = 6.5% V a = 3.8% V a = 6.5%σy/MPa 1.00 1.00 2.00 1.00×10−3H′ 1.00×103 1.00×103 5.00×102 5.00×102表3 粘弹性材料常数/MPaAAK-1-RD AAC-1-RD 元件iV a = 3.7% V a = 6.5% V a = 3.8% V a = 6.5%E iηi E iηi E iηi E iηi1 3.67×10−4 8.25×10−1 3.67×10−48.25×10−1 3.89×10−48.64×10−1 1.81×10−3 8.69×10−12 6.24×10−4 1.42×10−1 6.34×10−4 1.42×10−1 6.28×10−4 1.17×10−1 2.37×10−3 1.13×10−13 1.10×10−3 2.47×10−2 1.10×10−3 2.47×10−27.20×10−4 1.60×10−2 3.11×10−3 1.49×10−24 2.61×10−3 5.86×10−3 2.61×10−3 5.86×10−39.70×10−4 2.15×10−3 4.02×10−3 1.93×10−35 4.23×10−3 9.51×10−4 4.23×10−39.51×10−4 1.40×10−3 3.10×10−4 4.98×10−3 2.39×10−46 1.92×102 4.31×10−4 1.92×10−2 4.31×10−4 5.53×10−3 1.23×10−4 4.16×10−2 1.99×10−47 1.71×10−1 3.86×10−4 1.72×103 3.86×10−48.92×10−2 1.98×10−49.36×103 4.49×10−48 8.00×10−1 1.80×10−4 8.00×10−1 1.80×10−49.00×10−1 2.00×10−40.00 0.00×104第4期彭妙娟等: 沥青路面永久变形的非线性本构模型研究 425采用多荷载步来模拟运动的荷载. 每个轮载持续作用的时间为0.1 s. 当车轮沿路面长度方向从网格的一端开始, 移动至网格的另一端时, 一个简单的重复荷载完成.计算所得的4种沥青混合料路面的车辙深度见表4, 并与SHRP 的有限元分析结果[4]进行了比较.表4 4种沥青混合料路面的车辙深度/mm沥青混合料粘结料骨料空隙率/%本文计算结果 (300次循环) SHRP 计算结果 (300次循环) AAK-1 RD 3.70.8562 0.71 AAK-1 RD 6.50.9102 0.61 AAC-1 RD 3.80.8365 0.89 AAC-1 RD 6.5 0.8632 0.81从表4的计算结果可以看出:(ⅰ) 对AAK-1-RD(V a = 3.7%, V a = 6.5%)和AAC-1-RD(V a = 3.8%, V a =6.5%)4种沥青混合料, 本文的计算结果和SHRP 的计算结果吻合较好.(ⅱ) 本文的计算结果比SHRP 的计算结果普遍偏大, 主要是由于本文采用的非线性粘弹-弹塑性模型考虑了粘弹性有限变形等非线性的因素, 本文的计算结果更接近实际情况. 为了进一步说明本文方法的有效性和计算结果的可靠性, 本文对沥青混合料AAG-1-RH-V a = 4.7%在5000次荷载循环时的车辙深度进行了计算, 计算所得的车辙深度为1.3526 mm, 而SWK/UN 实验结果为1.44 mm [4], 相对误差为6.069%. 本文计算结果和SWK/UN 实验结果吻合较好.(ⅲ) 本文所建立的本构模型可以考虑轮迹边缘的隆起和两轮胎之间的隆起, 也就是说使用本文本构模型计算的结果和实际情况较为符合. 由于本文同时考虑非线性弹性、非线性粘弹性和塑性, 较好地反映了沥青路面的变形特性. 3 结论本文根据沥青路面的蠕变特性, 从蠕变的角度详细推导了广义的Maxwell 模型的本构方程及其有限变形的本构方程.本文提出了一种新的沥青路面车辙分析的粘弹-弹塑性本构模型, 可以体现沥青混凝土材料的非线性弹性、塑性、粘弹性、非线性粘弹性对沥青路面车辙的影响, 较为全面地反映沥青路面永久变形的特性.本文所建立的本构模型可以考虑轮迹边缘的隆起和两轮胎之间的隆起, 也就是说使用本文本构模型计算的结果和实际情况较为符合.本文的计算结果明显优于SHRP 的计算结果, 与SWK/UN 实验结果相吻合, 说明了本文所提出的沥青路面车辙分析的非线性粘弹-弹塑性本构模型是有效的.426中国科学G辑物理学力学天文学第36卷参考文献1 彭妙娟, 许志鸿. 沥青路面车辙预估方法. 同济大学学报, 2004, 32(11): 1457―14602 Lu Y, Wright P J. 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重复荷载作用下沥青混合料的永久变形

维普资讯
第３８卷第３期２００８年５月
东南大学学报（自然科学版）
ＪＵＲＡＬＦＳＵＥＴＳＮＩＥＲＩＮｔａＳｉｃｄｔｎｕｅｉ
ｓｒｓ，ｔｅｂｇｅｅｐｒａｅｔｄｆｒａｉｄｔｅｓａｌｒｔｅｆｏｎｕｂｒＲｅｉｕｌｖｓｏｌｓｉｔｅｓｈｉｇｒｔｅｈｍｎｎｅｏｍｔｏｎａｍｌｅｌｗｍｅ．ｎｈｈｓｄａｉｃｅａｔｃｄｆｒａｉｎｔｎｄｏａｆｘｄｖａｕｔｈｅｉｃｅｓｆｌａｙｌｓ，ａｄｉｓｐｏｏｔｏｎｔｅａｅｔｅｏｍｔｏｅｓｔｅｌｅｗｉｔｎｒａｅｏｏｄｃｃｅｉｈｎｔｒｐｒｉｏｐｒｎｎｍ
（ｃｏｌｆＴａｓｏｔｔｎＳｕｅｓＵｎｖｒｔ，ｎｉｇ２０９ＣｉａＳｈｏｏｒｐｒｉ，ｏｔａｔｉｅｓｙＮａｊ１０６，ｈｎ）ｎａｏｈｉｎ
Ａｂｓｒｃｔａｔ：Ｔｈｅｅ．ｅｓｒｓｗｏｕｄｄｓｐｔｏｒｅｓｍｏｅｓｍｏｉｅｎｈｎｃｎｉｅｅｓａｃｍｂ．ｉｎａｈｏｆＢｕｇｒｄｌｗａｄｆｄａｄｔｅｏｓｄｒｄａｏｉｉｎｔｎｏｏｉｅａｈｏｄＶａｒＰｏｌｍｏｅ．ＰｓｏｄｃｎｉｔｎｆａｈａｅｓｎｏｄｉｄａｉｆｍｄｆｄｄｓｐｔａｎＤｅｅｄ１ｕｌｅｌａｏｓｓｉｇｏｖｒｉｅｌａｎｇａｏｉｎｎａｒｓｒｏｄｗａｅｅｔｄｔｉｌｔｅｄｙａｃｖｈｃｅｌａｎｄａｎｗｃａｉａｄｌｗａｅｅｔｐｅｉｓｓｌｃｅｏｓｍｕａｅｔｎｍｉｅｉｌｏｄ，ａｅｍｅｈｃｌｍｏｅｓｄ．ｈｎｒｖｄｔｅｃｉｅｔｅｐｒａｅｔｄｆｒｔｏｆａｐｌｍｉｔｒｎｅｅｅｔｄｌａ．Ｓｂｅｕｎｔｉｅｏｄｓｒｂｅｍｎｎｅｏｍａｉｎｏｓｈａｔｘｕｅｕｄｒｒｐａｅｏｄｈｕｓｑｅｌｙ，ｔｉｘｉｌｒｐａｅｏｄｔｔｒｏｎｕｔｄｏｄｅａｉｔｏｒａａｅｅｔｄｌａｅｓｓｗｅｅｃｄｃｅｆｒｍｏｌＶｌｄａｉｎ．Ｉｉｉｄｉａｅａｈｒｐｓｄｔｓｎｃｔｄｔｔｔｅｐｏｏｅｈｍｏｅａｅｃｉｅｔｅｔｒｅｐｓｓｅａｅｔｄｆｒａｉｎｗｅ１ＴｈｇｅｅｔｍｐｒｔｒｄｄｌＣｎｄｓｒｂｈｅｈａｅ ’ｐｒｎｎｅｏｈｍｍｔｏｌ．ｅｈｉｈｒｔｅｅａｕｅａｈｎ

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