研究生入学考试数学知识点
福州大学硕士研究生入学考试考试大纲—000610高等数学
福州大学
2016年硕士研究生入学考试专业课考试大纲
(考试大纲是考研学生复习的重要参考资料，是关于考试科目、题型设置及知识点要求的指导性文件，目的是为便于报考者了解、准备和参加考试，它指出了所考科目的大致考试范围，也是考研命题的重要参考依据。
)
一、课程名称:高等数学
注意：
1、考试基本内容：一般包括基础理论、实际知识、综合分析和论证等几个方面的内容。
有些课程还应有基本运算和实验方法等方面的内容。
2、难易程度：根据大学本科的教学大纲和本学科、专业的基本要求，一般应使大学本科毕业生中优秀学生在规定的三个小时内答完全部考题，略有一些时间进行检查和思考。
排序从易到难。
3、考试题型：可分填空题、选择题、计算题、简答题、论述题等。
说明：1、考试基本内容：一般包括基础理论、实际知识、综合分析和论证等几个方面的内容。
有些课程还应有基本运算和实验方法等方面的内容。
2、难易程度：根据大学本科的教学大纲和本学科、专业的基本要求，一般应使大学本科毕业生中优秀学生在规定的三个小时内答完全部考题，略有一些时间进行检查和思考。
3、考试题型：可分填空题、选择题、计算题、简答题、论述题等。
1992考研数一真题答案及详细解析
1992年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】sin()sin()x y x ye y xy e x xy ++---【解析】函数()y y x =是一个隐函数,即它是由一个方程确定,写不出具体的解析式.方程两边对x 求导,将y 看做x 的函数,得(1)sin()()0x yey xy xy y +''+++=.解出y ',即sin()sin()x y x ydy e y xy y dx e x xy ++-'==--.【相关知识点】1.复合函数求导法则：如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dyf ug x dx''=⋅或dy dy du dx du dx=⋅.2.两函数乘积的求导公式：[]()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=⋅+⋅.(2)【答案】{}21,2,29-【解析】对函数u 求各个分量的偏导数,有2222u x x x y z ∂=∂++；2222u y y x y z ∂=∂++；2222u zz x y z∂=∂++.由函数的梯度(向量)的定义,有{}2221,,2,2,2u u u gradu x y z x y z x y z ⎧⎫∂∂∂==⎨⎬∂∂∂++⎩⎭,所以{}{}222122,4,41,2,212(2)9Mgradu=-=-++-.【相关知识点】复合函数求导法则：如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dyf ug x dx''=⋅或dy dy du dx du dx=⋅.(3)【答案】212π【解析】x π=是[,]ππ-区间的端点,由收敛性定理—狄利克雷充分条件知,该傅氏级数在x π=处收敛于22111[(0)(0)][11]222f f ππππ-++-=-++=.【相关知识点】收敛性定理—狄利克雷充分条件：函数()f x 在区间[,]l l -上满足：(i)连续,或只有有限个第一类间断点；(ⅱ)只有有限个极值点.则()f x 在[,]l l -上的傅里叶级数收敛,而且01(cossin )2n n n a n n a x b x l l ππ∞=++∑[][] (),(,)()1(0)(0),(,)()21(0)(0),.2f x x l l fx f x f x x l l f x f l f l xl ⎧⎪∈-⎪⎪=++-∈-⎨⎪⎪-++-=±⎪⎩若为的连续点,若为的第一类间断点,若(4)【答案】cos cos ,y x x C x C =+为任意常数【解析】这是标准形式的一阶线性非齐次方程,由于tan 1|cos |xdxe x ⎰=,方程两边同乘1cos x,得111cos cos y y x C xx '⎛⎫=⇒=+⎪⎝⎭积分.故通解为cos cos ,y x x C x C =+为任意常数.(5)【答案】1【解析】因为矩阵A 中任何两行都成比例(第i 行与第j 行的比为ija a ),所以A 中的二阶子式全为0,又因0,0i i ab ≠≠,知道110a b ≠,A 中有一阶子式非零.故()1r A =.【相关知识点】矩阵秩的定义：如果矩阵中存在r 阶子式不为零,而所有的1r +阶子式全为零时,则此矩阵的秩为r.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(D)【解析】对于函数在给定点0x 的极限是否存在需要判定左极限0x x -→和右极限0x x +→是否存在且相等,若相等,则函数在点0x 的极限是存在的.11211111lim lim(1)01x x x x x e x e x ----→→-=+=-,11211111lim lim(1)1x x x x x e x e x ++--→→-=+=∞-,0≠∞,故当1x →时函数没有极限,也不是∞.故应选(D).(2)【答案】(C)【解析】对原级数的通项取绝对值后,再利用等价无穷小2111cos()2n n n-→+∞ ,22(1)(1cos )1cos )2nn n n nααα --=-→+∞ ,又因为p 级数：11p n n ∞=∑当1p >时收敛；当1p ≤时发散.所以有22112n nα∞=∑收敛.1(1)(1cos )n n n α∞=⇒-- ∑收敛.所以原级数绝对收敛.应选(C).注：对于正项级数1n n a ∞=∑,确定无穷小n a 关于1n的阶(即与p 级数作比较)是判断它的敛散性的一个常用方法.该题用的就是这个方法.(3)【答案】B【解析】先求出切线的方向向量,再利用方向向量与平面的法向量的数量积为0得切点对应的t 值.求曲线上的点,使该点处的切向量τ与平面24x y z ++=的法向量{}1,2,1n =垂直,即可以让切线与平面平行.曲线在任意点处的切向量{}{}2(),(),()1,2,3x t y t z t t tτ'''==-,0n n ττ⊥ ⇔⋅=,即31430t t -+=,解得11,3t t ==.(对应于曲线上的点均不在给定的平面上)因此,只有两条这种切线,应选(B).(4)【答案】(C)【解析】因33x 处处任意阶可导,只需考查2||()x x x ϕ ,它是分段函数,0x =是连接点.所以,写成分段函数的形式,有33,0,(), 0,x x x x x ϕ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩对分段函数在对应区间上求微分,223,0,()3, 0,x x x x x ϕ⎧-<⎪'⇒=⎨>⎪⎩再考查()x ϕ在连接点0x =处的导数是否存在,需要根据左导数和右导数的定义进行讨论.30(0)()0x x ϕ++=''==,30(0)()0(0)0x x ϕϕ--='''=-=⇒=,即223,0,()3, 0.x x x x x ϕ⎧-≤⎪'=⎨>⎪⎩同理可得6,0,()6, 0,x x x x x ϕ-<⎧''=⎨>⎩(0)0ϕ''=,即6,0()6||6, 0x x x x x x ϕ-≤⎧''==⎨>⎩.对于y x =有(0)1,(0) 1.y y +-''==-所以y x =在0x =不可导,(0)ϕ'''⇒不存在,应选(C).(5)【答案】(A)【解析】1ξ,2ξ向量对应的分量不成比例,所以1ξ,2ξ是0Ax =两个线性无关的解,故()2n r A -≥.由3n =知()1r A ≤.再看(A)选项秩为1；(B)和(C)选项秩为2；而(D)选项秩为3.故本题选(A).【相关知识点】对齐次线性方程组0Ax =,有定理如下:对矩阵A 按列分块,有()12n A ,,,ααα= ,则0Ax =的向量形式为11220n n x x x .ααα+++= 那么,0Ax =有非零解12n ,,,ααα⇔ 线性相关()12n r ,,,nααα⇔< ()r A n.⇔<三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.)(1)【解析】由等价无穷小有0x →时,22111()22x x ---= ,原式=0021sin lim 12x x x x e xx →→--=,上式为“0”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有原式00cos sin lim lim1x x x x e x e x x →→-+洛必达洛必达1011+==.(2)【解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数,重要的是要分清函数是如何复合的.由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,所以本题可以先求z x ∂∂,再求()z y x∂∂∂∂.由复合函数求导法则得221212(sin )()sin 2x x z f e y f x y f e y f x x x x ∂∂∂''''=++=⋅+⋅∂∂∂,212(sin 2)x z f e y f x x y y∂∂''=+∂∂∂111212122(cos 2)sin cos (cos 2)2x x x x f e y f y e y f e y f e y f y x '''''''''=++++21112221sin cos 2(sin cos )4cos x x x f e y y f e y y x y f xy f e y '''''''=⋅+⋅++⋅+⋅.【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数(,),(,)u x y v x y ϕψ==都在点(,)x y 具有对x 及对y 的偏导数,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 的两个偏导数存在,且有12z z u z v u vf f x u x v x x x ∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂；12z z u z v u v f f y u y v y y y∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂.(3)【解析】分段函数的积分应根据积分可加性分段分别求积分.另外,被积函数的中间变量非积分变量,若先作变量代换,往往会简化计算.令2x t -=,则.dx dt =当1x =时,1t =-；当3x =时,1t =,于是()31121110(2)()1t f x dx f t dt t dt e dt ----=++⎰⎰⎰⎰分段01301171.33t t t e e --⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭四、(本题满分6分.)【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程,所对应的齐次方程的特征方程223(1)(3)0r r r r +-=-+=有两个根为11,r =23r =-,而非齐次项2,3x e r αα=-=为单特征根,因而非齐次方程有如下形式的特解3xY x ae -=⋅,代入方程可得14a =-,故所求通解为33124xxx xy C e C ee --=+-,其中12,C C 为常数.【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设*()y x 是二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解.()Y x 是与之对应的齐次方程()()0y P x y Q x y '''++=的通解,则*()()y Y x y x =+是非齐次方程的通解.2.二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解()Y x ,可用特征方程法求解：即()()0y P x y Q x y '''++=中的()P x 、()Q x 均是常数,方程变为0y py qy '''++=.其特征方程写为20r pr q ++=,在复数域内解出两个特征根12,r r ；分三种情况：(1)两个不相等的实数根12,r r ,则通解为1212;rx r x y C eC e =+(2)两个相等的实数根12r r =,则通解为()112;rxy C C x e =+(3)一对共轭复根1,2r i αβ=±,则通解为()12cos sin .xy e C x C x αββ=+其中12,C C 为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解*()y x ,可用待定系数法,有结论如下：如果()(),xm f x P x e λ=则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()kxm y x x Q x eλ=的特解,其中()m Q x 是与()m P x 相同次数的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果()[()cos ()sin ]xl n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为*(1)(2)[()cos ()sin ]k x mm y x e R x x R x x λωω=+,其中(1)()m R x 与(2)()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.五、(本题满分8分)【解析】将原式表成I Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑=++⎰⎰,则2223()P Q R x y z x y z∂∂∂++=++∂∂∂.以考虑用高斯公式来求解,但曲面∑不是封闭的,要添加辅助面.如果本题采用投影法计算是比较复杂的,故不采用.添加辅助面222:0()S z x y a =+≤,法向量朝下,S 与∑围成区域Ω,S 与∑取Ω的外法向量.在Ω上用高斯公式得323232222()()()3()SI x az dydz y ax dzdx z ay dxdy x y z dV Ω++++++=++⎰⎰⎰⎰⎰.用球坐标变换求右端的三重积分得222222203()3sin ax y z dV d d d ππθϕϕρρρΩ++=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰4552001632sin 32155a d d a a ππϕϕρρππ=⨯=⨯⨯⨯=⎰⎰.注意S 垂直于平面yOz 与平面xOz ,将积分投影到xOy 平面上,所以左端S 上的曲面积分为SPdydzdx Qdzdx Rdxdy++⎰⎰2200(,,0)xySSD R x y dxdy ay dxdy a y dxdy=++==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2220sin aa d r rdrπθθ=-⋅⎰⎰(极坐标变换)422350sin 44aa a d r dr a ππθθπ=-=-⨯⨯=-⎰⎰.因此5556295420I a a a ππ=+=.【相关知识点】1.高斯公式：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成,函数(,,)P x y z 、(,,)Q x y z 、(,,)R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数,则有,P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z Ω∑⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰或()cos cos cos ,P Q R dv P Q R dS x y z αβγΩ∑⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧,cos α、cos β、cos γ是∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式.2.对于球面坐标与直角坐标的关系为：sin cos ,sin sin ,cos ,x r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩其中ϕ为向量与z 轴正向的夹角,0ϕπ≤≤；θ为从正z 轴来看自x 轴按逆时针方向转到向量在xOy 平面上投影线段的角,02θπ≤≤；r 为向量的模长,0r ≤<+∞.球面坐标系中的体积元素为2sin ,dv r drd d ϕϕθ=则三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式是：2(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin .f x y z dxdydz f r r r r drd d ϕθϕθϕϕϕθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰六、(本题满分7分)【解析】证法一:用拉格朗日中值定理来证明.不妨设210x x >>,要证的不等式是1221()()()(0)f x x f x f x f +-<-.在1[0,]x 上用中值定理,有111()(0)(),0f x f f x x ξξ'-=<<；在212[,]x x x +上用中值定理,又有1221212()()(),f x x f x f x x x x ηη'+-=<<+由()0,f x ''<所以()f x '单调减,而12x x ξη<<<,有()()f f ξη''>,所以12211()()()(0)()f x x f x f x f f x +-<-=,即1212()()()f x x f x f x +<+.证法二：用函数不等式来证明.要证11()()(),0f x x f x f x x +<+>,构造辅助函数11()()()()x f x f x f x x ϕ=+-+,则1()()()x f x f x x ϕ'''=-+.由()0,()f x f x '''<单调减,1()(),()0f x f x x x ϕ'''>+>.由此,11()(0)()(0)()0(0)x f x f f x x ϕϕ>=+-=>.改x 为2x 即得证.【相关知识点】拉格朗日中值定理:如果函数()f x 满足在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(),a b 内可导,那么在(),a b 内至少有一点()a b ξξ<<,使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立.七、(本题满分8分)【解析】(1)先求出在变力F 的作用下质点由原点沿直线运动到点(,,)M ξηζ时所作的功W 的表达式.点O 到点M 的线段记为L ,则LLW F ds yzdx zxdy xydz =⋅=++⎰⎰.(2)计算曲线积分：L 的参数方程是,,,x t y t z t ξηζ===t 从0到1,1122220()3W t t t dt t dt ηζξξζηξηζξηζξηζ⇒=⋅+⋅+⋅==⎰⎰.化为最值问题并求解：问题变成求W ξηζ=在条件2222221(0,0,0)a b cξηζξηζ++=≥≥≥下的最大值与最大值点.用拉格朗日乘子法求解.拉格朗日函数为222222(,,,)1F a b c ξηζξηζλξηζλ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭,则有22222222220,20,20,10.Fa Fb F cF a b cξηζλξηξζληζξηλγξηζλ∂⎧=+=⎪∂⎪∂⎪=+=⎪∂⎪⎨∂⎪=+=⎪∂⎪∂⎪=++-=⎪∂⎩解此方程组：对前三个方程,分别乘以,,ξηζ得222222,a b cξηζ==(0λ≠时)代入第四个方程得,,ξηζ===.相应的39W abc ==.当0λ=时相应的,,ξηζ得0W =.因为实际问题存在最大值,所以当(,,),ξηγ=时W 取最大值39abc .【相关知识点】拉格朗日乘子法：要找函数(,)z f x y =在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数(,)(,)(,),L x y f x y x y λϕ=+其中λ为参数.求其对x 与y 的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：(,)(,)0,(,)(,)0,(,)0.x x y y f x y x y f x y x y x y λϕλϕϕ⎧+=⎪+=⎨⎪=⎩由这方程组解出,x y 及λ,这样得到的(,)x y 就是函数(,)f x y 在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点.八、(本题满分7分)【解析】(1)1α能由23αα、线性表出.因为已知向量组234ααα、、线性无关,所以23αα、线性无关,又因为123ααα、、线性相关,故1α能由23αα、线性表出.(2)4α不能由123ααα、、线性表出,反证法：若4α能由123ααα、、线性表出,设4112233k k k αααα=++.由(1)知,1α能由23αα、线性表出,可设11223l l ααα=+,那么代入上式整理得411221233()()k l k k l k ααα=+++.即4α能由23αα、线性表出,从而234ααα、、线性相关,这与已知矛盾.因此,4α不能由123ααα、、线性表出.【相关知识点】向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数12m k ,k ,,k ,使11220m m k k k ααα+++= ,则称12m ,,,ααα 线性相关；否则,称12m ,,,ααα 线性无关．九、(本题满分7分)【解析】(1)设112233x x x βξξξ=++,即是求此方程组的解.对增广矩阵123(,,,)ξξξβ作初等行变换,第一行乘以()1-分别加到第二行和第三行上,再第二行乘以()3-加到第三行上,第三行自乘12,有111111111111123101200120149303820011 ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,第三行乘以()2-、()1-分别加到第二行和第一行上,再第二行乘以()1-加到第一行上,有增广矩阵10020102001 1 ⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭.解出31x =,22x =-,12x =,故12322βξξξ=-+.(2)由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端左乘A ,得22()()A A A A A ααλαλαλα====,再一直这样操作下去,有n n A αλα=.因为0α≠,故0λ≠.按特征值定义知nλ是nA 的特征值,且α为相应的特征向量.所以有,(1,2,3)nni i i i i i A A i ξλξξλξ===,据(1)结论12322βξξξ=-+,有123123(22)22A A A A A βξξξξξξ=-+=-+,于是123123112233(22)2222n n n n n n n n A A A A A βξξξξξξλξλξλξ=-+=-+=-+121322231112122233223149223n n n n n n n n +++++⎡⎤-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⋅+=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)【解析】由条件概率和乘法公式：从()0P AB =,可知()()(|)P ABC P AB P AB C =0=,由加法公式：()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+ 1111150044416168=++---+=,故3()()1()8P ABC P A B C P A B C ==-=.(2)【解析】依题意,随机变量X 服从参数为1λ=的指数分布,故X 的概率密度为,0,()0,0,x e x f x x -⎧ >=⎨≤⎩根据连续型随机变量函数的数学期望的求法,得出2220()()()()X x x x E X e x e f x dx x e e dx+∞+∞-----∞+=+=+⎰⎰3014133xx xe dx e dx +∞+∞--=+=+=⎰⎰.十一、(本题满分6分)【解析】方法一：利用分布函数求密度函数：首先,因2(,)X N μσ ,所以X 的密度函数为22()()x X f x μσ--=,因Y 服从[,]ππ-上的均匀分布,故Y 的密度函数为11()()2Y f y πππ==--.因为随机变量X 与Y 相互独立,所以二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为(,)()()X Y f x y f x f y =.要求Z 的密度函数,先求Z 的分布函数()()()Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤(,)x y zf x y dxdy+≤=⎰⎰()()X Y x y zf x f y dxdy+≤=⎰⎰22()12x x y zμσπ--+≤=⋅⎰⎰.2222()()1122x x z yz ydy dx dy dxμμππσσππππ--------∞--∞=⋅=⎰⎰⎰⎰12z y dy ππμπσ---⎛⎫=Φ ⎪⎝⎭⎰(由标准正态分布来表示一般正态分布)求出Z 的分布函数,因此,对分布函数求导得密度函数,Z 的密度函数为11()()2Z Z z y f z F z dy ππμϕπσσ---⎛⎫'==⎪⎝⎭⎰其中()x ϕ 是标准正态分布的概率分布密度.由于()x ϕ 是偶函数,故有z y y z μμϕϕσσ--+-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是111()22Z y z z z f z dy ππμπμπμϕπσσπσσ-+-⎡+--+-⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==Φ-Φ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰.最终用标准正态分布函数()x Φ表示出来Z X Y =+的概率分布密度.方法二：用卷积公式直接计算：直接应用相互独立随机变量之和密度的卷积公式,求()Z f z 更为简单.因为随机变量X 与Y 相互独立,由卷积公式1()()()2Z X Y f z f z y f y dyπ+∞-∞=-⎰2222()()1122z y z y dy dyμμππσσππππ--------==⎰⎰22()12y z μπσππ+---=⎰12y z dy ππμπσ-+-⎛⎫=Φ ⎪⎝⎭⎰112y z dy ππμϕπσσ-+-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰12z z πμπμπσσ⎡+--+-⎤⎛⎫⎛⎫=Φ-Φ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.最终用标准正态分布函数()x Φ表示出来Z X Y =+的概率分布密度.。
2022-2023年研究生入学《数学一》预测试题14(答案解析)
2022-2023年研究生入学《数学一》预测试题（答案解析）全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！第壹卷一.综合考点题库(共50题)1.B.见图BC.见图CD.见图D正确答案：B本题解析：2.设A为四阶实对称矩阵，且A^2+A=O.若A的秩为3，则A 相似于A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：D本题解析：这是一道常见的基础题，由Aα=λα，α≠0知A^nα=λ^nα，那么对于A^2+A=0(λ^2+λ)α=0λ^2+λ=0所以A的特征值只能是0或-1再由A是实对称必有A～A，而A即是A的特征值，那么由r(A)=3，可知(D)3.将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：D本题解析：设木棒截成两段的长度分别为X和Y.显然X+Y=1，即Y=1-X，然后用公式【求解】Y=1-X，则DY=D(1-X)=DX.Cov(X，Y)=Cov(X，1-X)=Cov(X，1)=Cov(X，X)=0-DX=-DX.答案应选(D).4.设函数z=f(xy，yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在x=1处取得极值g(1)=1.求正确答案：本题解析：所以，令x=y=1，且注意到g(1)=1，g'(1)=0，得5.下列积分发散的是A.见图A C.见图CD.见图D正确答案：D 本题解析：6.A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：B本题解析：7.若，则a1cosx+b1sinx=A.A2sinxB.2cosxC.2πsinxD.2πcosx 正确答案：A 本题解析：8.设随机变量X~U（0，1)，Y~E（1），且X,Y相互独立，求Z=X+Y的密度函数正确答案：本题解析：9.设A，B，C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则A.A矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价B.矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价C.矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价D.矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价正确答案：B本题解析：对矩阵A，C分别按列分块，记A=(α1，α2，…，αn)，C=(γ，γ，…，γ).由AB=C有可见即C的列向量组可以由A的列向量组线性表出.因为B可逆，有CB^-1=A.类似地，A的列向量组也可由C的列向量组线性表出，因此选(B).10.设，.已知线性方程组Ax=b存在2个不同的解.(Ⅰ)求λ，a；(Ⅱ)求方程组Ax=b的通解.正确答案：本题解析：【解】(Ⅰ)因为方程组Ax=b有2个不同的解，所以r(A)=r(A)故知λ=1或λ=-1当λ=1时显然r(A)=1，r(=2，此时方程组无解，λ=1舍去.当λ=-1时，对Ax=b的增广矩阵施以初等行变换：因为Ax=b有解，所以a=-2.(Ⅰ)当λ=-1，a=-2时，所以Ax=b的通解为，其中k为任意常数11.某企业生产某种商品的成本函数为a,b,c,l,s都是正常数，Q为销售量，求：（I）当每件商品的征税额为t时，该企业获得最大利润时的销售量；（II）当企业利润最大时，t为何值时征税收益最大.正确答案：本题解析：12.设随机变量X ~ N(0.1),在X=x条件下随机变量Y ~ N(x，1)，则X与Y的相关系数为（）A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：D 本题解析：13.A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：C 本题解析：A.①③B.①②C.②③D.②④正确答案：D 本题解析：15.若函数z=z(x，y)由方程确定，则=_________.正确答案：1、-dx.本题解析：暂无解析16.设f1(x)为标准正态分布的概率密度，f2(x)为［-1，3］上均匀分布的概率密度，若为概率密度，则a，b应满足A.A2a+3b=4B.3a+2b=4C.a+b=1D.a+b=2正确答案：A本题解析：17.设随机事件A与B相互独立，且P(B)=0.5，P(A-B)=0.3，则P(B-A)=A.A0.1B.0.2C.0.3D.0.4正确答案：B本题解析：18.设总体X的概率密度为其中θ为未知参数，X1，X2，…，Xn，为来自该总体的简单随机样本.(Ⅰ)求θ的矩估计量；(Ⅱ)求θ的最大似然估计量.正确答案：本题解析：19.A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：B本题解析：20.C.见图CD.见图D正确答案：D本题解析：21.设∑为曲面z=x^2+y^2(z≤1)的上侧，计算曲面积分正确答案：本题解析：【分析】本题考查第二类曲面积分的基本计算，可补曲面后用高斯公式；投影轮换法；直接投影法(较复杂).22.设F1(x)与F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x)与f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是A.Af1(x)f2(x)B.2f2(x)F1(x)C.f1(x)F2(x)D.f1(x)F2(x)+f2(x)f1(x) 正确答案：D本题解析：23.设函数z=z(x，y)由方程确定，其中F为可微函数，且F'2≠0，则=A.AxB.zC.-xD.-z正确答案：B本题解析：24.已知二次型f(x1，x2，3x)=x^TAx 在正交变换x=Qy 下的标准形为，且Q 的第3列为.(Ⅰ)求矩阵A ；(Ⅱ)证明A+E 为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵.正确答案：本题解析：25.下列反常积分中，收敛的是A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：B 本题解析：26.若二次曲面的方程经正交变换化为，则a=________.正确答案：1、1本题解析：暂无解析27.A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D本题解析：28.设P为椭球面S：x^2+y^2+z^2-yz=1上的动点，若S在点P处的切平面与xOy面垂直，求点P的轨迹C，并计算曲面积分，其中∑是椭球面S 位于曲线C上方的部分.正确答案：本题解析：29.A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：C 本题解析：30.A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：D 本题解析：31.设有界区域Ω由平面2x+y+2z=2与三个坐标平面围成，∑为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分.正确答案：本题解析：【解】由高斯公式得.【评注】在三重积分的计算中，用先二后一积分较为简单，当然也可化为三次积分计算.32.设函数f(u)具有二阶连续导数，z=f(e^xcosy)满足若f(0)=0，f'(0)=0，求f(u)的表达式.正确答案：本题解析：【分析】根据已知的关系式，变形得到关于f(u)的微分方程，解微分方程求得f(u).33.关于函数的极值个数，正确的是A.有2个极大值，1个极小值B.有1个极大值，2个极小值C.有2个极大值，没有极小值D.没有极大值，有2个极小值正确答案：A 本题解析：34.A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：B本题解析：画出积分区域，用极坐标把二重积分化为二次积分.曲线2xy=1，4xy=1的极坐标方程分别为35.曲面x^2+cos(xy)+yz+x=0在点(0，1，-1)处的切平面方程为A.Ax-y+z=-2B.x+y+z=0C.x-2y+z=-3D.x-y-z=0正确答案：A本题解析：36.A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：D本题解析：37.A.见图AB.见图BD.见图D正确答案：A本题解析：38.设总体X的概率密度为其中θ∈(0,+∞)为未知参数，X1，X2，X3为来自总体X的简单随机样本，令T=max(X1，X2，X3).(Ⅰ)求T的概率密度；(Ⅱ)确定a，使得aT为θ的无偏估计.正确答案：本题解析：39.设二维随机变量(X ，Y)的概率密度为求常数A 及条件概率密度.正确答案：本题解析：40.A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D 正确答案：D本题解析：41.设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则P{XA.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：A本题解析：X～E(1)，Y～E(4)且相互独立，所以(X，Y)的概率密度利用公式可以计算出结果.【求解】42.设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解，则A.Aa=-3，b=2，c=-1B.a=3,b=2,c=-1C.a=-3，b=2，c=1D.a=3，b=2，c=1正确答案：A本题解析：44.【评注】其实，我们可看出齐次线性微分方程的特征根为1和2，非齐次线性微分方程的一个特解可为y=xe^x，进一步求得a，b，c.43.设随机变量X的概率分布为，则EX^2=________.正确答案：1、2本题解析：暂无解析A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D 正确答案：D 本题解析：45.A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D 正确答案：A本题解析：本题考查过渡矩阵的概念，用观察法易见46.设，当a，b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B，并求所有矩阵C正确答案：本题解析：由题意可知矩阵C为2×2阶矩阵，故可设求所有矩阵C，即求出方程组①的通解。
考研数学公式大全数三
导数公式：基本积分表：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ三角函数的有理式积分：一些初等函数： 两个重要极限：·和差角公式： ·和差化积公式：·倍角公式：·半角公式：·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+= 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：中值定理与导数应用：定积分的近似计算：定积分应用相关公式：多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμ多元函数的极值及其求法：常数项级数：级数审敛法：绝对收敛与条件收敛：幂级数：函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数：微分方程的相关概念：一阶线性微分方程：全微分方程：二阶微分方程：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：二阶常系数非齐次线性微分方程。
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案与解析
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案与解析一、填空题（本题5小题，每小题3分，满分15分。
把答案填在题中横线上。
） （1）曲线sin 2,cos x e t y e t'=⎧⎨'=⎩在点()0,1处的法线方程为___________。
【思路点拔】本题的考点是曲线的法线方程。
欲求曲线的法线方程，需先求曲线法线斜率，即与曲线方程的一阶导数值乘积为-1的数，然后由直线的点斜式即可求曲线的法线方程。
【解题分析】cos sin sin 22cos 2x y t t ty x t t t'-'=='+。
()(),0,1x y =对应0t =，012xt y ='=，所求法线方程为12y x -=-。
即21x y +=。
（2）设函数()y y x =由方程()23ln sin x y x y x +=+确定，则x dy dx==_________。
【思路点拔】本题的考点是隐函数求导。
隐函数求导有两种方法：解法一，直接求导法；解法二，利和我函数的求导公式求解。
【解题分析】解法一：方程两边对x 求导得32223cos x y x y x y x x y'+'=+++。
以0x =代入原方程得ln 0y =，1y =；以0x =，1y =代入32223cos x y x y x y x x y'+'=+++。
得01x y ='=。
解法二：令()()23ln sin F x y x y x y x ⋅=+--22123sin Fx x x y x x y=⋅--+ 321Fy x x y=-+ dy Fxdx Fy=()()()2223223cos 1x x y x y x x y x x y -+-+=--+由题意：0x =时，1y =∴1x dy dx==。
（3）25613x dx x x +=-+⎰______________。
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)函数1()(2(0)xF x dt x =>⎰的单调减少区间为_____________.(2)由曲线223212x y z +==绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为_____________.(3)设函数2()()f x x x x πππ=+-<<的傅里叶级数展开式为01(cos sin ),2n n n a a nx b nx ∞=++∑则其中系数3b 的值为_____________. (4)设数量场u =则div(grad )u =_____________.(5)设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且A 的秩为1,n -则线性方程组=AX 0的通解为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设sin 2340()sin(),(),xf x t dtg x x x ==+⎰则当0x →时,()f x 是()g x 的(A)等价无穷小 (B)同价但非等价的无穷小 (C)高阶无穷小(D)低价无穷小(2)双纽线22222()x y x y +=-所围成的区域面积可用定积分表示为(A)402cos 2d πθθ⎰(B)404cos 2d πθθ⎰(C)2θ(D)2401(cos 2)2d πθθ⎰(3)设有直线1158:121x y z l --+==-与2:l 623x y y z -=+=则1l 与2l 的夹角为 (A)6π(B)4π (C)3π(D)2π(4)设曲线积分[()e ]sin ()cos x Lf t ydx f x ydy --⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)0,f =则()f x 等于(A)e e 2x x --(B)e e 2x x --(C)e e 12x x-+-(D)e e 12x x-+-(5)已知12324,369t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q P 为三阶非零矩阵,且满足0,=PQ 则 (A)6t =时P 的秩必为1(B)6t =时P 的秩必为2 (C)6t ≠时P 的秩必为1(D)6t ≠时P 的秩必为2三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求21lim(sincos ).x x x x →∞+(2)求.x(3)求微分方程22,x y xy y '+=满足初始条件11x y ==的特解.四、(本题满分6分)计算22,xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰其中∑是由曲面z =与z =.五、(本题满分7分)求级数20(1)(1)2n nn n n ∞=--+∑的和. 六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)设在[0,)+∞上函数()f x 有连续导数,且()0,(0)0,f x k f '≥><证明()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点.(2)设,b a e >>证明.b aa b >七、（本题满分8分）已知二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>通过正交变换化成标准形22212325,f y y y =++求参数a 及所用的正交变换矩阵.八、（本题满分6分）设A 是n m ⨯矩阵,B 是m n ⨯矩阵,其中,n m <I 是n 阶单位矩阵,若,=AB I 证明B 的列向量组线性无关. 九、（本题满分6分）设物体A 从点(0,1)出发,以速度大小为常数v 沿y 轴正向运动.物体B 从点(1,0)-与A 同时出发,其速度大小为2,v 方向始终指向,A 试建立物体B 的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.(2)设随机变量X 服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量2Y X =在(0,4)内的概率分布密度()Y f y =____________. 十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率分布密度为1()e ,.2xf x x -=-∞<<+∞ (1)求X 的数学期望EX 和方差.DX(2)求X 与X 的协方差,并问X 与X 是否不相关? (3)问X 与X 是否相互独立?为什么?1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】104x <≤【解析】由连续可导函数的导数与0的关系判别函数的单调性. 将函数1()(2,xF x dt =⎰两边对x 求导,得 ()2F x '=-.若函数()F x 严格单调减少,则()20F x'=-<,12<.所以函数()F x 单调减少区间为104x <≤. 【相关知识点】函数的单调性：设函数()y f x =在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导.(1) 如果在(,)a b 内()0f x '>,那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； (2) 如果在(,)a b 内()0f x '<,那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少.(2)【解析】先写出旋转面S 的方程：2223()212x z y ++=. 令 222(,,)3()212F x y z x z y =++-. 则S 在点(,,)x y z 的法向量为{},,6,4,6F F F n x y z x y z ⎧⎫∂∂∂=±=±⎨⎬∂∂∂⎩⎭,所以在点处的法向量为{{0,42n =±=±. 因指向外侧,故应取正号,单位法向量为()0220,0,||0nn n ====. (3)【答案】23π【解析】按傅式系数的积分表达式 1()sin n b f x nxdx πππ-=⎰,所以 22311()sin 3sin 3sin 3b x x xdx x xdx xxdx πππππππππ---=+=+⎰⎰⎰.因为2sin 3x x 为奇函数,所以2sin 30xxdx ππ-=⎰；sin3x xdx 为偶函数,所以30sin 32sin 3b x xdx x xdx πππ-==⎰⎰01222(cos3)cos3cos3333x xd x x xdx πππ⎡⎤=-=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰22sin 323333x πππ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦. (4)【答案】2221x y z ++【解析】先计算u 的梯度,再计算该梯度的散度. 因为 grad u u u u i j k x y z∂∂∂=++∂∂∂, 所以 222222(grad ),,u u u u u udiv u div x y z x y z ⎧⎫∂∂∂∂∂∂==++⎨⎬∂∂∂∂∂∂⎩⎭.数量场u =,,x y z 求偏导数,得222uxxx y z∂==∂++, 由对称性知222u y y x y z ∂=∂++, 222u zz x y z∂=∂++, 将,,u u ux y z∂∂∂∂∂∂分别对,,x y z 求偏导,得 2222222222222222()2()()u x y z x x y z x x x y z x y z ∂++-⋅+-==∂++++, 222222222()u z x y y x y z ∂+-=∂++, 222222222()u x y z z x y z ∂+-=∂++, 因此, 2222222221(grad )u u u div u x y z x y z ∂∂∂=++=∂∂∂++.(5)【答案】(1,1,,1)T k【解析】因为()1r A n =-,由()1n r A -=知,齐次方程组的基础解系为一个向量,故0Ax =的通解形式为k η.下面根据已知条件“A 的各行元素之和均为零”来分析推导0Ax =的一个非零解,它就是0Ax =的基础解系.各行元素的和均为0,即111212122212000n n n n nn a a a a a a a a a ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩,而齐次方程组0Ax =为111122121122221122000n n n nn n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩. 两者比较,可知121n x x x ====是0Ax =的解.所以应填(1,1,,1)T k .二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(B) 【解析】0()lim()x f x g x →为“0”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在, 运用洛必达法则,有sin 22203423230000sin()()sin(sin )cos sin(sin )limlim lim lim lim cos ()3434xx x x x x t dt f x x x x x g x x x x x x x →→→→→===⋅+++⎰洛2230sin(sin )lim 34x x x x →=+.因为当0x →,sin 0,x →所以222sin(sin )sin x x x ,所以222323000sin(sin )11lim lim lim 3434343x x x x x x x x x x →→→===+++, 所以()f x 与()g x 是同阶但非等价的无穷小量.应选(B). 【相关知识点】无穷小的比较：设在同一个极限过程中,(),()x x αβ为无穷小且存在极限 ()lim ()x l x αβ=, (1) 若0,l ≠称(),()x x αβ在该极限过程中为同阶无穷小； (2) 若1,l =称(),()x x αβ在该极限过程中为等价无穷小,记为()()x x αβ；(3) 若0,l =称在该极限过程中()x α是()x β的高阶无穷小,记为()()()x o x αβ=.若()lim()x x αβ不存在(不为∞),称(),()x x αβ不可比较. (2)【答案】(A)【解析】由方程可以看出双纽线关于x 轴、y 轴对称,(如草图) 只需计算所围图形在第一象限部分的面积； 双纽线的直角坐标方程复杂,而极坐标方程 较为简单：2cos 2ρθ=.显然,在第一象限部分θ的变化范围是[0,]4πθ∈.再由对称性得2441001442cos 22S S d d ππρθθθ==⋅=⎰⎰,应选(A). (3)【答案】(C)【解析】这实质上是求两个向量的夹角问题,1L 与2L 的方向向量分别是12(1,2,1),110(1,1,2)021i j k l l =- =-=--,1L 与2L 的夹角ϕ的余弦为121212||1cos |cos(,)|2||||66l l l l l l ϕ⋅====,所以3πϕ=,应选(C).(4)【答案】(B)【解析】在所考察的单连通区域上,该曲线积分与路径无关⇔((())sin )(()cos )x f x e y f x y y x∂∂-=-∂∂, 即 (())cos ()cos xf x e y f x y '-=-,化简得 ()()xf x f x e '+=, 即 2()x x e f x e '⎡⎤=⎣⎦, 解之得 21()2xx e f x e C =+, 所以 21()()2x x f x e e C -=+.由(0)0f = 得12C =-,因此 1()()2x xf x e e -=-,故应选(B). 【相关知识点】曲线积分LPdx Qdy +⎰在单连通区域内与路径无关的充分必要条件是P Qy x∂∂=∂∂. (5)【答案】(C)【解析】若A 是m n ⨯矩阵,B 是n s ⨯矩阵,0AB =,则()()r A r B n +≤.当6t =时,矩阵的三行元素对应成比例,()1r Q =,有()()3r P r Q +≤,知()2r P ≤, 所以,()r P 可能是1,也有可能是2,所以(A)、(B)都不准确；当6t ≠时,矩阵的第一行和第三行元素对应成比例,()2r Q =,于是从()()3r P r Q +≤得()1r P ≤,又因0P ≠,有 ()1r P ≥,从而()1r P =必成立,所以应当选(C).三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.) (1)【解析】令1t x=,则当x →∞时,0t →, 1021lim(sin cos )lim(sin 2cos )xt x t t t x x→∞→+=+, 这是1∞型未定式,11sin 2cos 1sin 2cos 10lim(sin 2cos )lim(1sin 2cos 1)t t t t t tt t t t t t +-⋅+-→→+=++-,而1sin 2cos 1lim(1sin 2cos 1)t t t t t +-→++-是两个重要极限之一,即1sin 2cos 1lim(1sin 2cos 1)t t t t t e +-→++-=.所以 01sin 2cos 1sin 2cos 1limlim(sin 2cos )lim t t t t t t ttt t t t ee→+-+-→→+==.而 00sin 2cos 12cos 2sin lim lim 21t t t t t tt →→+--=洛,故 221lim(sin cos )x x e x x→∞+=.(2)【解析】方法一：222x==⎰.t =,则 222ln(1),1tdtx t dx t =+=+,所以22222122(1)111tdt t t dt dt t t t =⋅==-+++⎰⎰⎰22arctan t t C C =-+=, 所以22x=2C =. 方法二t =,则 22221,ln(1),1xtdte t x t dx t =+=+=+, 所以2222(1)ln(1)22ln(1)1xt t t dt t dt t t ++=⋅=++⎰⎰222222ln(1)2ln(1)2ln(1)41t t t td t t t dt t =+-+=+-+⎰⎰. 关于221t dt t +⎰的求解同方法一,所以22ln(1)4(arctan )xt t t t C =+--+2C =. (3)【解析】解法一：所给方程为伯努利方程,两边除以2y 得2211x y y xy --'+=,即211()1x y xy --'-+=.令1yz -=,则方程化为21x z xz '-+=,即211z z x x'-=-, 即 31()z x x '=-,积分得 212z x C x -=+.由1yz -=得2112x C xy -=+, 即 2212xy Cx =+,代入初始条件1|1x y ==,得 12C =,所以所求方程的特解是221x y x =+.解法二：所给方程可写成 2()y yy xx'=-的形式,此方程为齐次方程. 令yu x=,则,y xu y u xu ''==+,所以方程可化为 2u xu u u '+=-,分离变量得(2)du dxu u x=-,积分得112ln ln ||2u x C u -=+, 即22u Cx u-=. 以yu x=代入上式,得22y x Cx y -=.代入初始条件1|1x y ==,得1C =-, 故特解为221xy x =+.四、(本题满分6分) 【解析】将I 表成I Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑=++⎰⎰,则22P Q R z z z z x y z∂∂∂++=+-=∂∂∂. 又∑是封闭曲面,可直接用高斯公式计算.记∑围成区域Ω,见草图,∑取外侧,由高斯公式得P Q R I dV zdV x y z ΩΩ⎛⎫∂∂∂=++= ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰.用球坐标变换求这个三重积分.在球坐标变换下,Ω为：02,0,024πθπϕρ≤≤≤≤≤≤,于是22240cos sin I zdV d d d ππθϕρϕρϕρΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰2342sin sin d d ππϕϕρρ=⋅⎰⎰242401112sin 212442πππϕρπ⎡⎤⎡⎤=⋅⋅=⋅⋅=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.五、(本题满分7分) 【解析】先将级数分解,2000(1)(1)(1)(1)1()222n n nn nn n n n n n n A ∞∞∞===--+--==+-∑∑∑.第二个级数是几何级数,它的和已知112()1231()2n n ∞=-==--∑. 求第一个级数的和转化为幂级数求和.考察1(1)(||1)1nn n x x x∞=-=<+∑. 2()(1)(1)((1))nn n n n n S x n n xx ∞∞-==''=--=-∑∑312()1(1)x x ''==++, 所以 230(1)(1)11124()1222427(1)2n n n n n S ∞=--===+∑. 因此原级数的和 422227327A =+=.六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)(1)【解析】证法一：由拉格朗日中值定理可知,在(0,)x 存在一点ξ,使得()(0)()(0)()f x f f x xf ξξ''-=-=,即 ()()(0)f x xf f ξ'=+.因为()0f k ξ'≥>,所以当x →+∞时,()xf ξ'→+∞,故()f x →+∞. 由(0)0f <,所以在(0,)x 上由介值定理可知,必有一点(0,)x η∈使得()0f η=.又因为()0f k ξ'≥>,故()f x 为严格单调增函数,故η值唯一. 证法二：用牛顿-莱布尼兹公式,由于()(0)()(0)(0)xxf x f f t dt f kdt f kx '=+≥+=+⎰⎰,以下同方法1.(2)【解析】先将不等式做恒等变形:因为b a e >>,故原不等式等价于ln ln b a a b >或ln ln a ba b>. 证法一：令()ln ln ,()f x x a a x x a e =- >>,则 ()ln af x a x'=-.因为x a e >>,所以ln 1,1a a x ><,故()ln 0af x a x'=->.从而()f x 在x a e >>时为严格的单调递增函数,故 ()()0,()f x f a x a e >= >>. 由此 ()ln ln 0f b b a a b =->,即 baa b >. 证法二：令ln ()()x f x x e x =>,则 21ln ()xf x x-'=. 当(,)x e ∈+∞时,()0f x '<,所以()f x 为严格的单调递减函数,故存在b a e >>使得ln ln ()()b af b f a b a=<=成立.即baa b >.七、(本题满分8分)【解析】写出二次型f 的矩阵为2000303A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,它的特征方程是22200||03(2)(69)003E A a a aλλλλλλλ--=--=--+-=--.f 经正交变换化成标准形22212325f y y y =++,那么标准形中平方项的系数1,2,5就是A 的特征值.把1λ=代入特性方程,得240a -=2a ⇒=±.因0a >知2a =.这时 200032023A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.对于11λ=,由()0E A x -=, 100100022011022000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,得 1(0,11)TX =-.对于22λ=,由(2)0E A x -=,000012012003021000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,得2(1,0,0)TX =.对于35λ=,由(5)0E A x -=,300300022011022000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,得3(0,1,1)TX =.将123,,X X X 单位化,得1230101,0,1101γγγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪===⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪-⎭⎝⎭⎭. 故所用的正交变换矩阵为123010(,,)00P γγγ⎛⎫⎪ ⎪ ==⎝. 【相关知识点】二次型的定义：含有n 个变量12,,,n x x x 的二次齐次多项式(即每项都是二次的多项式)()1211,,,,n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑ 其中ij ji a a =,称为n 元二次型.令()12,,,Tn x x x x =,()ij A a =,则二次型可用矩阵乘法表示为()12,,,,T n f x x x x Ax =其中A 是对称矩阵()T A A =,称A 为二次型()12,,,n f x x x 的矩阵.八、(本题满分6分)【解析】证法一：对B 按列分块,记12(,,)n B βββ=,若11220n n k k k βββ+++=,即 1212(,,,)0n n k k k βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭, 亦即 120n k k Bk ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 两边左乘A ,得 120n k k AB k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,即 120n k k E k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,亦即 120n k k k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.所以12,,n βββ线性无关.证法二：因为B 是m n ⨯矩阵,n m <,所以()r B n ≤.又因()()()r B r AB r E n ≥==,故()r B n =.所以12,,n βββ线性无关.【相关知识点】1. 向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数12m k ,k ,,k ,使11220m m k k k ααα+++=,则称12m ,,,ααα线性相关；否则,称12m ,,,ααα线性无关．2. 矩阵乘积秩的结论：乘积的秩小于等于单个矩阵的秩九、(本题满分6分)【解析】如图,设当A 运动到(0,)Y 时,B 运动到(,)x y . 由B 的方向始终指向A ,有0dy y Ydx x -=-,即 .dyY y xdx=- (1) 又由dYv dt =,222()()dy dx v dt dt =+,得22()()2dy dx dY dt dt dt+=. 由题意,()x t 单调增,0dxdt>,所以 21()2dx dy dY dt dx dt +=.亦即 21()2dy dY dx dx+=. (2) 由(1),(2)消去Y ,dY dx,便得微分方程 2210xy y '''++=. 初始条件显然是(1)0,(1)1y y '-=-=.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分,把答案填在题中横线上.) (1)【解析】可以用古典概型,也可以用抽签原理.方法一：从直观上看,第二次抽出次品的可能性与第一次抽到正品还是次品有关,所以考虑用全概率公式计算.设事件i B =“第i 次抽出次品”1,2,i =由已知得11210(),(),1212P B P B == 121212(|),(|)1111P B B P B B ==.应用全概率公式 1121212211021()()(|)()(|)121112116P B P B P B B P B P B B =+=⨯+⨯=.方法二：对填空题和选择题可直接用抽签原理得到结果.由抽签原理(抽签与先后次序无关),不放回抽样中第二次抽得次品的概率与第一次抽得次品的概率相同,都是21126=. (2)【解析】方法一：可以用分布函数法,即先求出分布函数,再求导得到概率密度函数.由已知条件,X 在区间(0,2)上服从均匀分布,得X 的概率密度函数为1,02()20,X x F x ⎧ <<⎪=⎨⎪ ⎩其它. 先求F 的分布函数2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤.当0y ≤时,()0Y F y =；当4y ≥时,()1Y F y =；当04y <<时,{}{}{2()Y F y P Y y P X y P X =≤=≤=≤≤1()2X x dx dx dx ==+=⎰. 即0,0()04,1, 4.Y y F y y y ≤ ,⎧=<<⎪ ≥⎪⎩于是,对分布函数求导得密度函数04()()0,Y Y y f y F y <<'== ⎩其他.故随机变量2Y X =在(0,4)内的概率分布密度()Y f y =方法二：也可以应用单调函数公式法.由于2y x =在(0,4)内单调,反函数()x h y =(0,2)内可导,且导数()h y '=恒不为零,因此,由连续型随机变量函数的密度公式,得到随机变量Y 的概率密度为[]1,04,04,()(),042()0,0,0,X Y y y h y f h y y f y << <<'⎧ <<⎪===⎨ ⎪⎩ ⎩⎩其他其他,其他.故随机变量2Y X =在(0,4)内的概率分布密度()Y f y =十一、(本题满分6分)【解析】(1)第一问是常规问题,直接运用公式对其计算可得期望与方差.||()()02x x E X xf x dx e dx +∞+∞--∞-∞===⎰⎰. (因为被积函数||2x x e -是奇函数,积分区域关于y 轴对称,所以积分值为0.) 22||2||20()()211222x x x x D X x f x dx e dx x e dx x e dx +∞+∞--∞-∞+∞+∞---∞===⋅⎰⎰⎰⎰偶函数积分的性质220222() 2.x xx x x xx e dx x e xe dxxe e dx e +∞+∞--+∞-+∞-+∞--+∞==-+=-=-=⎰⎰⎰（+）(2) 根据协方差的计算公式(,)(||)()(||)cov X Y E X X E X E X =-来计算协方差.因为||()()02x x E X xf x dx e dx +∞+∞--∞-∞===⎰⎰,所以 ||(,)(||)0(||)(||)1||()||0.2x Cov X Y E X X E X E X X x x f x dx x x e dx +∞+∞--∞-∞=-====⎰⎰(因为被积函数||||2x xx e -是奇函数,积分区域关于y 轴对称,所以积分值为0.) 所以X 与||X 不相关. (3) 方法一：对于任意正实数(0)a a <<+∞,事件{}||X a <含于事件{}X a <,且{}01P X a <<<,所以 {}{},||||P X a X a P X a <<=<,{}{}{}||||P X a P X a P X a <<<<, 可见 {}{}{},||||P X a X a P X a P X a <<≠<<, 因此X 与||X 不独立.方法二：因为11111111{1}()1112222x x x P X f x dx e dx e dx e e+∞---+∞-∞-∞≤===-=+=-⎰⎰⎰； 又1111011011{1}()12x x xP X f x dx e dx e dx e e-----≤====-=-⎰⎰⎰，显然有{,}{}{}{}P X X P X P X P X ≤≤=≤≠≤≤11111，因此X 与||X 不独立.。
考研数学(二)真题解析反常积分敛散性的判定
1 / 1 考研数学（二）真题解析：反常积分敛散性的判定来源：文都教育研究生入学考试大纲数学二对反常积分这个知识点的要求是：了解反常积分的概念，会计算反常积分。
从大纲要求看出，大纲对反常积分敛散性的判定要求比较低，但是近些年数二经常考敛散性的判定，所以考研的同学对此知识点不可小觑。
下面文都老师把数二近三年考到的这个知识点的两道真题帮大家分析一下。
【数二】下列反常积分中收敛的是（ ） （）21d x x+∞⎰ （）2ln d x x x +∞⎰ （）21d ln x x x +∞⎰ （）2d x x x e +∞⎰ 解析：221d 2x x x +∞+∞==∞⎰，所以21d x x+∞⎰发散 ()222ln 1d ln 2x x x x +∞+∞==∞⎰，所以2ln d x x x +∞⎰发散 221d ln ln ln x x x x +∞+∞==∞⎰，所以21d ln x x x +∞⎰发散22222|3,x x x x x dx xde xe e dx e e+∞+∞+∞--+∞--=-=-+=⎰⎰⎰收敛. 应选（）本题主要是应用牛顿—莱布尼兹公式的推广来判定反常积分的敛散性，题目比较简单。
【数二】设函数()111,1,(1)1,.ln x e x x e x x αα-+⎧<<⎪-⎪⎨⎪≥⎪⎩若反常积分()1f x dx +∞⎰收敛，则（ ）() 2α<- () 2α>() 20α-<< () 02α<< 解析：1111()(1)ln e e dx dx f x dx x x x αα+∞+∞-+=+-⎰⎰⎰ 1111lim(1)1(1)x x x αα--→-=-，因为11(1)e dx x α--⎰收敛，所以11α-<，即2α< 又因为1111(ln )(ln )|ln ln e e e dx d x x x x x αααα+∞+∞-+∞++==-⎰⎰ 因为1ln e dx x x α+∞+⎰收敛，所以0α>，因此02α<<。
四川大学硕士研究生入学考试大纲
【川大金榜考研】四川大学硕士研究生入学考试大纲全球500所高校指定报名中心--四川大学硕士研究生入学考试(单考)数学大纲单考数学分工学类和经济管理类。
一、工学类数学考试范围：1、高等数学（约120分）：函数、极限、连续；导数的定义、几何意义；导数的应用；微分用于近似计算；不定积分的概念和性质；不定积分的换元积分法和分部积分法，简单有理函数的积分；定积分的概念、性质和几何意义；定积分的计算；定积分的应用；平面图形的面积，旋转体的体积；偏导数的概念；复合函数和隐函数的偏导数；高阶偏导数；多元极值和条件极值；重积分的概念和计算；一阶和二阶常微分方程。
2、线性代数（约30分）：行列式的性质和计算；矩阵的运算和运算律；有关逆矩阵的计算和证明；向量组的线性相关和线性无关；线性方程组解的结构；解线性方程组；特征值和特征向量的计算。
二、经济管理类数学考试范围：1、微积分（约74分）：函数、极限、连续；导数的定义、几何意义；导数的应用；边际分析与弹性；微分用于近似计算；不定积分的概念和性质；不定积分的换元积分法和分部积分法，简单有理函数的积分；定积分的概念、性质和几何意义；定积分的计算；定积分的应用；平面图形的面积，旋转体的体积。
偏导数的概念；复合函数和隐函数的偏导数；高阶偏导数；多无极值和条件极值；直角坐标系下二重积分的计算。
一阶和二阶常微分方程。
2 2、线性代数（约38分）：行列式的性质和计算；矩阵的运算和运算律；有关逆矩阵的计算和证明；向量组的线性相关和线性无关；线性方程组解的结构；解线性方程组；特征值和特征向量的计算。
特征值和特征向量的概念、性质。
3、概率论（约38分）：古典概率的计算；加法公式，乘法公式，全概公式，贝叶斯公式；一维随机变量的分布；随机变量函数的分布；数学期望与方差的定义、性质和计算；协方差与相关系数；二维随机变量的联合分布，边际分布、条件分布；中心极限定理。
四川大学硕士研究生入学考试（单考）英语考试大纲一、考试时间：180分钟，总分100分。
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研究生入学考试数学知识点
随着社会的发展和竞争的加剧，越来越多的人选择进入研究生院深造。
而研究生入学考试是他们迈向研究生生涯的第一道门槛。
而数学
作为研究生入学考试的一项重要内容，考察了考生在数学方面的基本
素养和解决问题的能力。
本文将重点介绍研究生入学考试数学知识点。
一、高等数学
研究生入学考试的数学部分通常会涉及到高等数学，从微积分、数
学分析、线性代数、概率论与数理统计等多个领域选取考题。
以下是
高等数学中的一些重要知识点：
1. 微积分
微积分是数学的重要分支，其基础概念和计算方法都是研究生入学
考试的必考内容。
如导数、积分、微分方程、多元函数等。
2. 数学分析
数学分析是对极限、连续性、可导性等概念进行严格研究的学科，
也是研究生入学考试的重要考点。
考生需要熟悉极限的定义与性质、
函数的连续性与可导性以及一些基本的数学分析方法和技巧。
3. 线性代数
线性代数是研究向量空间和线性变换等问题的学科。
在研究生入学
考试中，线性代数经常涉及到向量、矩阵、特征值与特征向量、线性
方程组等知识点。
考生需要掌握线性代数的基本概念和性质，并能够
运用其解决实际问题。
4. 概率论与数理统计
概率论与数理统计是数学的一个分支，研究随机事件的概率和统计
规律。
在研究生入学考试中，常出现一些概率与统计的考题，考生需
要了解概率的基本概念、随机变量、概率分布、统计方法等，并能够
运用概率论与数理统计的方法解决实际问题。
二、离散数学
除了高等数学，研究生入学考试还会涉及到离散数学。
离散数学是
研究不连续性和非无限集合数学结构的学科，其内容较为抽象。
以下
是离散数学中的一些重要知识点：
1. 集合论
集合论是数学的基础，也是离散数学的重要组成部分。
在研究生入
学考试中，经常会出现一些集合的性质与运算、集合之间的关系以及
集合的基本证明等问题。
2. 图论
图论是研究图的性质与图的相关问题的学科。
在研究生入学考试中，图论常常会出现一些基本概念，如连通度、最短路径、哈密顿回路等，考生需要掌握图论的基本知识和算法。
3. 代数系统
代数系统是研究具有代数结构的数学对象的学科。
研究生入学考试通常会涉及到代数系统的基本概念和理论，如群、环、域等，考生需要熟悉代数系统的定义与性质，并能够运用代数系统解决实际问题。
三、数学建模
数学建模是将数学理论和方法应用于实际问题求解的学科。
研究生入学考试中，通常会出现一些数学建模的题目，考生需要具备一定的数学建模能力，能够将实际问题抽象成数学模型，并应用已学的数学知识进行求解。
四、解答技巧
在研究生入学考试中，除了掌握各个知识点，还需要具备一定的解答技巧。
考生在做题时要注重思路的清晰和逻辑的严谨，合理利用已知条件进行推导和证明，并合理运用数学方法和工具。
总结起来，研究生入学考试数学知识点主要包括高等数学和离散数学的内容，考生需要熟悉这些领域的基本概念和理论，并能够灵活运用其解决实际问题。
此外，数学建模和解答技巧也是研究生入学考试的重要内容。
考生通过系统学习和大量练习，不断提升数学水平，将有更多机会在研究生入学考试中取得好成绩。