全国初中数学竞赛各省市试题汇编

初中数学竞赛题汇编

2012年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案（河南赛区） 一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分.

1．在1,3,6,9四个数中，完全平方数、奇数、质数的个数分别是【 】

（A ）2,3,1 （B ）2,2,1 （C ）1,2,1 （D ）2,3,2 【答】A ．解：完全平方数有1,9；奇数有1,3,9；质数有3．

2．已知一次函数(1)(1)y m x m =++-的图象经过一、二、三象限，则下列判断正确的是【 】（A ）

1m >- （B ）1m <- （C ）1m > （D ）1m <

【答】C ．解：一次函数(1)(1)y m x m =++-的图象经过一、二、三象限，说明其图象与y 轴的交点位于

y 轴的正半轴，且y 随x 的增大而增大，所以10,

10.

m m ->??+>? 解得1m >．

3．如图，在⊙O 中，CD DA AB ==，给出下列三个 结论：（1）DC =AB ；（2）AO ⊥BD ；（3）当∠BDC =30° 时，∠DAB =80°．其中正确的个数是【 】

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

【答】D ．解：因为CD AB =，所以DC =AB ；因为AD AB =，

AO 是半径,所以AO BD ；设∠DAB =x 度，则由△DAB 的内角和为180°得：2(30)180x x -?+=?，解得80x =?． 4. 有4张全新的扑克牌，其中黑桃、红桃各2张，它们的背面都一样，将它们洗匀后，背面朝上放到桌面

上，从中任意摸出2张牌，摸出的花色不一样的概率是【 】

（A ）

34 （B ）23 （C ）13 （D ）2

1

【答】B ．解：从4张牌中任意摸出2张牌有6种可能，摸出的2张牌花色不一样的有4种可能，所以摸出花色不一样的概率是

3

2

64=. 5．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(1,0)，点B 的坐标是(3,3)--，点C 是y 轴上一动点，要使△ABC 为等腰三角形，则符合要求的点C 的位置共

有【 】（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 【答】D ．解：由题意可求出AB =5，如图，以点A 为圆心AB

的长为半径画弧，交y 轴于C 1和C 2，利用勾股定理可求 出OC 1=OC 2225126-=)62,0(),62,0(21-C C ，

第3题图 O

D C B

A

以点B 为圆心BA 的长为半径画弧，交y 轴于点C 3和C 4， 可得34(0,1),(0,7)C C -，AB 的中垂线交y 轴于点C 5，利用 三角形相似或一次函数的知识可求出)6

17,0(5-

C ． 6．已知二次函数2

21y x bx =++（b 为常数），当b 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，图中的实线型抛物线分别是b 取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型 抛物线），这条抛物线的解析式是【 】

（A ）2

21y x =-+ （B ）2

112y x =-+

（C ）2

41y x =-+ （D ）2114

y x =-+

【答】A ．解：2

21y x bx =++的顶点坐标是???

? ?

?--8

8,42

b b ，设4b x -=，882b y -=，由4b x -=得x b 4-=，所以22

2218

)4(888x x b y -=--=-=． 二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）

7．若2=-n m ，则12422

2-+-n mn m 的值为 ． 【答】7．解：71221)(212422

2

2

2

=-?=--=-+-n m n mn m ．

8．方程

112

(1)(2)(2)(3)3

x x x x +=++++的解是 ．

【答】120,4x x ==-．解：11(1)(2)(2)(3)x x x x +++++1111

1223

x x x x =-+-++++

112

13(1)(3)x x x x =-=++++.∴

22(1)(3)3x x =++，解得 120,4x x ==-. 9．如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标是（1,0），

若点A 的坐标为（a ，b ），将线段BA 绕点B 顺时针旋转

90°得到线段BA '，则点A '的坐标是 ．

【答】(1,1)b a +-+．解：分别过点A 、A '作x 轴的垂线，垂足分别 为C 、D ．显然Rt △ABC ≌Rt △B A 'D ． 由于点A 的

坐标是(,)a b ，所以OD OB BD =+1OB AC b =+=+，1A D BC a '==-，所以点的A '坐标是

(1,1)b a +-+．

10．如图，矩形ABCD 中，AD =2，AB =3，AM =1，DE 是以点A 为圆心2为半径的4

1

圆弧，NB 是以点M 为圆心2为半径的

41

圆弧，则图中两段弧之间的阴影部分的面积为 ． 【答】2．解：连接MN ，显然将扇形AED 向右平移

可与扇形MBN 重合，图中阴影部分的面积等于 矩形AMND 的面积，等于221=?．

11．已知α、β是方程2210x x +-=的两根，则3

510α++的值为 ． 【答】2-．解：∵α是方程2210x x +-=的根，∴2

12αα=-．

∴ 322

(12)22(12)52αααααααααα=?=-=-=--=-，又 ∵2,αβ+=-

∴ 3

510(52)5105()8αβαβαβ++=-++=++=5(2)82?-+=-．

12．现有145颗棒棒糖，分给若干小朋友，不管怎样分，都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上，这些小朋友的人数最多有 个．

【答】36．解：利用抽屉原理分析，设最多有x 个小朋友，这相当于x 个抽屉，问题变为把145颗糖放进x 个抽屉，至少有1个抽屉放了5颗或5颗以上,则41x +≤145，解得x ≤36，所以小朋友的人数最多有

y

x

O

第6题图

C

D N 第10题图

D C A'

B A

O

y

x 第9题图

36个．

三、解答题（第13题15分，第14题15分，第15题18分，共48分）

13．王亮的爷爷今年（2012年）80周岁了，今年王亮的年龄恰好是他出生年份的各位数字之和，问王亮今年可能是多少周岁？

解：设王亮出生年份的十位数字为x ，个位数字为y （x 、y 均为0 ~ 9的整数）．∵王亮的爷爷今年80周岁了，∴王亮出生年份可能在2000年后，也可能是2000年前．故应分两种情况： …………………2分

（1）若王亮出生年份为2000年后，则王亮的出生年份为200010x y ++，依题意，得

2012(200010)20x y x y -++=+++，

整理，得 1011,2

x

y -=

x 、y 均为0 ~ 9的整数， ∴0.x = 此时 5.y =

∴王亮的出生年份是2005年，今年7周岁．…………………8分

（2）若王亮出生年份在2000年前，则王亮的出生年份为190010x y ++，依题意，得 2012(190010)19x y x y -++=+++，

整理，得 111022x y =-，故x 为偶数，又1021110211,09,22

x x

y --=≤≤

∴ 7

79,11

x ≤≤ ∴ 8.x = 此时7.y =

∴王亮的出生年份是1987年，今年25周岁． …………………14分 综上，王亮今年可能是7周岁，也可能是25周岁．……………15分

14．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A 、B 的坐标分别是(5,0)、(3,2)，点D 在线段OA 上，BD =BA ， 点Q 是线段BD 上一个动点，点P 的坐标是(0,3)，设直线PQ 的解析式为y kx b =+．

（1）求k 的取值范围；

（2）当k 为取值范围内的最大整数时，若抛物线2

5y ax ax =-的顶点在直线PQ 、OA 、AB 、BC 围成的四边形内部，求a 的取值范围．

解：（1）直线y kx b =+经过P (0,3)，∴ 3b =． ∵B (3,2)，A (5,0)，BD =BA ，∴ 点D 的坐标是(1,0)， ∴ BD 的解析式是1y x =-, 1 3.x ≤≤ 依题意，得 1,3.

y x y kx =-??=+?，∴4,1x k =- ∴ 41 3.1k -≤≤解得13.3k --≤≤

（2） 1

3,3

k --≤≤且k 为最大整数，∴1k =-.

则直线PQ 的解析式为3y x =-+.……………………………………………9分

又因为抛物线2

5y ax ax =-的顶点坐标是525,2

4a ??-

???，对称轴为52x =． 解方程组?????=+-=.25

,3x x y 得???

????

==.21,25y x 即直线PQ 与对称轴为52x =的交点坐标为51(,)22，

∴125224a <-

<．解得 82

2525

a -<<-．……………………………………15分 15. 如图，扇形O M N 的半径为1，圆心角是90°．点B 是MN 上一动点，

BA ⊥OM 于点A ，BC ⊥ON 于点C ，点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点，GF 与CE 相交于点P ，DE 与AG 相交于点Q ．（1）求证：四边形EPGQ 是平行四边形；（2）探索当OA 的长为何值时，四边形EPGQ

是矩形；（3）连结PQ ，试说明22

3PQ OA +是定值．

解：（1）证明：如图①， ∵∠AOC =90°，BA ⊥OM ，BC ⊥ON ，

∴四边形OABC 是矩形．

∴OC AB OC AB =,//．

∵E 、G 分别是AB 、CO 的中点，

∴.,//GC AE GC AE = ∴四边形AECG 为平行四边形. ∴.//AG CE ……………………………4分 连接OB ，

∵点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点，

∴ GF ∥OB ，DE ∥OB ， ∴ PG ∥EQ ，

∴四边形EPGQ 是平行四边形．………………………………………………6分

（2）如图②，当∠CED =90°时，□EPGQ 是矩形． 此时 ∠AED +∠CEB =90°．

又∵∠DAE =∠EBC =90°，∴∠AED =∠BCE ．

∴△AED ∽△BCE ．………………………………8分 ∴

AD AE

BE BC

=． 设OA =x ，AB =y ，则2x ∶2y =2

y ∶x ，得22

2y x =．…10分

又 222

OA AB OB +=，即2221x y +=．

∴2

2

21x x +=

，解得3

x =． ∴当OA

的长为3

时，四边形EPGQ 是矩形．………………………………12分

（3）如图③，连结GE 交PQ 于O '，则.,E O G O Q O P O '=''='．过点P 作OC 的平行线分别交BC 、GE 于

点B '、A '．

由△PCF ∽△PEG 得，2

,1

PG PE GE PF PC FC ===

∴ PA '=23A B ''=13AB ， GA '=13GE =13OA ，

∴ 11

26

A O GE GA OA '''=-=． 在Rt △PA O ''中，222PO PA A O ''''=+，

即 222

4936

PQ AB OA =+， 又 221AB OA +=， ∴ 22133

PQ AB =+， ∴ 222214

3()33

OA PQ OA AB +=++=．……………………………………18分

2012年北京市初二数学竞赛试题 ．选择题(每小题5分，共25分)

．方程|2x －4|＝5的所有根的和等于( )． A ．－0.5 B ．4.5 C ．5 D ．4

．在直角坐标系xOy 中，直线y ＝ax ＋24与两个坐标轴的正半轴形成的三角形的面积等于72，则不在直线y ＝ax ＋24上的点的坐标是( )． A ．(3，12) B ．(1，20) C ．(－0.5，26) D ．(－2.5，32)

．两个正数的算术平均数等于

，则期中的大数比小数大( )．A ．4

B

．

C ．6

D ．

A

B C O

D

E

F G

P Q

M N 图②

A B C

O D E

F G P Q M N 图① B'N M A'Q P O'G F E D C B A O 图③

．在△ABC 中，M 是AB 的中点，N 是BC 边上一点，且CN ＝2BN ，连接AN 与MC 交于点O ，四边形BMON 的面积为14cm2，则△ABC 的面积为( )． A ．56cm2 B ．60cm2 C ．64cm2 D ．68cm2

．当a ＝1.67，b ＝1.71，c ＝0.46时，222

121

a ac a

b b

c b ab bc ac c ac bc ab ++--+--+--+等于( )． A ．20 B ．15 C ．10 D ．5.55 ．填空题(每小题7分，共35分)

．计算：1×2－3×4＋5×6－7×8＋…＋2009×2010－2011×2012＝＿＿＿．

．由1到10这十个正整数按某个次序写成一行，记为a1，a2，…，a10，S1＝a1，S2＝a1＋a2，…，S10＝a1＋a2＋…＋a10，则在S1，S2，…，S10中，最多能有＿＿个质数．

．△ABC 中，AB ＝12cm ，AC ＝9cm ，BC ＝13cm ，自A 分别作∠C 平分线的垂线，垂足为M ，作∠B 的平分线的

垂线，垂足为N ，连接MN ，则AMN

ABC S S ??=＿＿＿＿．

．实数x 和y 满足x2＋12xy ＋52y2－8y ＋1＝0，则x2－y2＝＿＿＿．

．P 为等边△ABC 内一点，AP ＝3cm ，BP ＝4cm ，CP ＝5cm ，则四边形ABCP 的面积等于＿＿cm2．

(满分10分)．求证：对任意两两不等的三个数a ，b ，c ，222

()()()()()()()()()

a b c b c a c a b a c b c b a c a c b a b +-+-+-++

------是常数．

(满分15分)．已知正整数n 可以表示为2011个数字和相同的自然数之和，同时也能表示为2012个数字和相同的自然数之和，试确定n 的最小值．

(满分15分)．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝∠BAC ＝70°，P 为形内一点，∠PAB ＝40°，∠PBA ＝20°，求证：PA ＋PB ＝PC ．

2012年全国初中数学竞赛（海南赛区）初 赛 试 卷

（本试卷共4页，满分120分，考试时间：3月11日8:30——10:30）

一、选择题（本大题满分50分，每小题5分） 1、下列运算正确的是（ ）

A ．x 2?x 3=x 6

B ． 2x +3x =5x 2

C ．(x 2)3=x 6

D ． x 6÷x 2=x 3

2、有大小两种游艇，2艘大游艇与3艘小游艇一次可载游客57人，3艘大游艇与2艘小游艇一次可载游客68人，则3艘大游艇与6艘小游艇一次可载游客的人数为（ ）

A ．129

B ．120

C ．108

D ．96 3、实数a ＝20123

－2012，下列各数中不能整除a 的是（ ）

A ．2013

B ．2012

C ．2011

D ．2010

4、如图1所示的两个圆盘中，指针落在每一个数所在的区域上的机会均等，则两个指针同时落在数“1”所在的区域上的概率是（ ）

A ．251

B ．252

C ．256

D ．25

24

P C

B

A

5、一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后匀速行驶，过了一段时间，汽车到达下一个车站．乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，下面可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的图象是（ ）

6、要使1

213-+-x x 有意义，则x 的取值范围为 A ．32

1　x ≤≤ B ．32

1　＜x ≤ C ．32

1x ＜≤ D ． 32

1＜x＜

7、菱形的两条对角线之和为L 、面积为S ，则它的边长为（ ）

A ．S L 4212-

B ．S L 2212-

C ．S L 4221-

D ．2421L S - 8、如图2，将三角形纸片ABC 沿D

E 折叠，使点A 落在BC 边上的点

F 处， 且DE ∥BC ，下列结论中，一定正确的个数是（ ） ①△CEF 是等腰三角形 ②四边形ADFE 是菱形

③四边形BFED 是平行四边形 ④∠BDF +∠CEF ＝2∠A

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

9、如图3，直线x ＝1是二次函数 y ＝ax 2

＋bx ＋c 的图象的对称轴，则有

A ．a ＋b ＋c ＝0

B ．b ＞a ＋c

C ．b ＝2a

D ．abc ＞0

10、铁板甲形状为直角梯形，两底边长分别为4cm ，10cm ，且有一内角为60形，其顶角为45°，腰长12cm ．在不改变形状的前提下，试图分别把它们从一个直径为8.5cm 的圆洞中穿过，结果是（ ）

A

．甲板能穿过，乙板不能穿过 B ．甲板不能穿过，乙板能穿过

C ．甲、乙两板都能穿过

D ．甲、乙两板都不能穿过 二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）

11、x 与y 互为相反数，且3=-y x ，那么122

++xy x 的值为__________. 12、一次函数y =ax +b 的图象如图4所示，则化简1++

-b b a 得________.

13、若x=－1是关于x

的方程a 2x 2

+2011ax －2012=0的一个根，则a 的值为__________.

14

、一只船从A 码头顺水航行到B 码头用6小时，由B 码头逆水航行到A

码头需8小时，则一块塑料泡沫从A 码头顺水漂流到B 码头要用______小时（设水流速度和船在静水中的速度不变）．

15、如图5，边长为1的正方形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 、BC 于E 、F ，则阴影部分的面积是 ．

16、如图6，直线l 平行于射线AM ，要在直线l 与射线AM 上各找一点B 和C ，使得以A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰直角三角形，这样的三角形最多能画_______个．

17、如图7均是等边三角形，若∠AEB =145°，则∠DBE 的度数是

________. 18、如图8所示，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4cm

，BC ＝3cm ， 把∠B 、∠D 分别沿CE 、AG 翻折，点B 、D 分别落在对角线

AC 的点B ＇和D ＇上，则线段EG 的长度是________. 三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)

19、某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要30天完成，如果让乙工程队单独工作，则需要60天方可完成；甲工程队施工每天需付施工费2.5万元，乙工程队施工每天需付施工费1万元.请解答下列问题：

（1）甲、乙两个工程队一起合作几天就可以完成此项工程？

图3

A

B C D E F 图7 A

B C

D E 图5 图6 M l

图8

B ＇ E

D ＇

A

B

C D G A

B C D

（2）甲、乙两个工程队一起合作10天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，请问共需多少天才能完成此项工程？

（3）如果要使整个工程施工费不超过65万元，甲、乙两个工程队最多能合作几天？

（4）如果工程必须在24天内（含24天）完成，你如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费.

20、如图9，四边形ABCD 是矩形，点P 是直线AD 与BC 外的任意一点，连接PA 、PB 、PC 、PD ．请解答下列问题：

（1）如图9（1），当点P 在线段BC 的垂直平分线MN 上（对角线AC 与BD 的交点Q 除外）时，证明△PAC ≌△PDB ；

（2）如图9（2），当点P 在矩形ABCD 内部时，求证：PA 2+PC 2=PB 2+PD 2

；

（3）若矩形ABCD 在平面直角坐标系xoy 中，点B 的坐标为（1，1），点D 的坐标为（5，3），如图9（3）所示，设△PBC 的面积为y ，△PAD 的面积为x ，求y 与x 之间的函数关系式．

2012年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷参考答案 一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）

79、分析:由函数的图象可知:当x=1时有a ＋b ＋c ＜0,当x=-1时有a-b ＋c ＞0,即a ＋c ＞b,即b ＜a ＋c ，函数的对称轴为12=-=a

b x ，则b ＝－2a ，因为抛物线的开口向上，所以a ＞0，抛物线与y 轴的交点在负半轴，所以

c ＜0，由b ＝－2a 可得b ＜0．所以abc ＞0，因而正确答案为D

10、分析：分别计算铁板的最窄处便可知，如图Ａ，直角梯形，AD=4cm ，BC=10cm ，∠C=60°，过点A 过AE//CD ，交BC 于点E ，过点B 作BE ⊥CD 于点F

，可求得AB=36cm ＞8.5cm ，BE=35

cm ＞8.5cm 铁板甲不能穿过，如图Ｂ，等腰三角形ABC 中，

顶角∠A=45°，作腰上的高线BD ，可求得BD=26cm ＜8.5cm ， 所以铁板乙可以穿过； 所以选择Ｂ

二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）

11、 45- 12、a +1 13、 a 1=2012, a 2=－1 14、48

15、41单位面积 16、3个 17、85° 18、10

图9 （2） 图9（1） M

N Q A B C D P 图Ａ

A B D E F 图Ｂ A

B C

D

A

17、分析：易证△CEA 与△CDB 全等，从而有∠DBC=∠EAC ，因为，

∠ABE+∠BAE=180°-145°=35°所以有∠EAC+∠EBC=120°-35°=85°， 所以∠EBD=∠EBC+∠DBC=85°

18、分析：AB ＝4cm ，BC ＝3cm ，可求得AC=5cm ，由题意可知

C B ＇=BC=3cm ，A B ＇=2cm 设BE=x ，则AE=4-x ，则有(4-x )2-x 2 =22,

x =1.5cm ，即BE=DG=1.5cm ，过点G 作GF ⊥AB 于点F ，则 可求出EF=1 cm ，所以EG=103122=+ 三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)

19、本题满分15分，第（1）、（2）、（3）小题，每小题4分，第（4）小题3分. 解：（1）设甲、乙两个工程队一起合作x 天就可以完成此项工程，依题意得：

1)60

1

30

1(=+x ，解得：x =20 答：甲、乙两个工程队一起合作20天就可以完成此项工程.

（2）设完成这项道路改造工程共需y 天，依题意得：160

1030

1=+?y ，解得y =40 。

答：完成这项道路改造工程共需40天.另：也可列方程：1

)10(60

1)60

130

1(10=-++y

（3）因为甲工程队单独完成工程需2.5×30=75万元，乙工程队单独完成工程需1×60=60万元，要想使施工费尽可能少，甲工程队要少参与，即合作的时间要尽可能少，剩下的由乙单独完成，设甲、乙两个工程队合作a 天，则由题意可知乙工程队还需单独做（60-3a ）天，得： （1+2.5）a ＋1×（60-3a ）≤65

3.5 a ＋60-3 a ≤65 a ≤10 答：甲、乙两个工程队最多能合作10天.

（4）由题意知，甲、乙两个工程队单独做都不可能在规定时间内完成，必须合作，又甲工程队单独完成工程需2.5×30=75万元，乙工程队单独完成工程需1×60=60万元，75＞60，因而应安排乙工程队在工程期限内尽可能多做，即做满24天。设应安排他们合作m 天，由题意可得：

12460

1301=?+m 解得：m =18. 即，安排甲、乙两工程队合作18天，剩下的部分乙工程队单独做6天. 施工费为：2.5×18+1×24=69（万元）.

20、本题满分15分，第（1）、（2）、（3）小题各5分.

解：（1）作BC 的中垂线MN ，在MN 上取点P ，连接PA 、PB 、PC 、PD ， 如图9（1）所示，∵MN 是BC 的中垂线，所以有PA=PD ，PC=PB ，

又四边形ABCD 是矩形，∴AC=DB ∴△PAC ≌△PDB （SSS ）

（2）证明：过点P 作KG//BC ，如图9（2）

∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ⊥BC ，DC ⊥BC

∴AB ⊥KG ，DC ⊥KG ， ∴在Rt △PAK 中，PA 2=AK 2+PK 2

同理，PC 2=CG 2+PG 2 ；PB 2= BK 2+ PK 2，PD 2=+DG 2+PG 2

PA 2+PC 2= AK 2+PK 2+ CG 2+PG 2， ，PB 2+ PD 2= BK 2+ PK 2 +DG 2+PG 2

AB ⊥KG ，DC ⊥KG ，AD ⊥AB ，可证得四边形ADGK 是矩形，

∴AK=DG ，同理CG=BK ，

∴AK 2=DG 2，CG 2=BK 2 ∴PA 2+PC 2=PB 2+PD 2

（3）∵点B 的坐标为（1，1），点D 的坐标为（5，3） ∴BC=4，AB=2 ∴ABCD S 矩形=4×2=8 作直线HI 垂直BC 于点I ，交AD 于点H ①当点P 在直线AD 与BC 之间时

42

1

=?=+??HI BC S S PBC

PAD 即x+y=4，因而y 与x 的函数关系式为y=4-x ②当点P 在直线AD 上方时，42

1

=?=

-??HI BC S S PAD PBC 即y -x =4，因而y 与x 的函数关系式为y=4+x

图8

B ＇ E

D ＇

A

B

C

D G F

图9（3）

图9（1） M

N

Q

A B C

D

P

图9（2）

③当点P 在直线BC 下方时， 42

1

=?=

-??HI BC S S PBC PAD 即x - y =4，因而y 与x 的函数关系式为y=x-4

2012年全国初中数学竞赛试卷答案（福建赛区） 一、选择题（每小题7分，共35分）

1．如果实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，那么代数式22

()a a b c a b c -++-++可以化简为（ C ）

A ．2c a -

B ．22a b -

C ．a -

D ．a

解：由实数a ，b ，c 在数轴上的位置可知0b a c <<<，且b c >，所以22

()()()()a a b c a b c a a b c a b c a -++-++=-+++--+=-

2．在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式22

22x y x y +≤+的整数点坐标()x y ，的个数为（ B ）A ．10 B ．9 C ．7 D ．5

解：由题设2222x y x y +≤+，得22

0(1)(1)2x y ≤-+-≤．因为x ，y 均为整数，所以有

22(1)0(1)0x y ?-=??-=??，22(1)0(1)1x y ?-=??-=??，22(1)1(1)0x y ?-=??-=??，2

2

(1)1

(1)1

x y ?-=??-=?? 解得11x y =??=?，12x y =??=?，10x y =??=?，01x y =??=?

，21x y =??=?，00x y =??=?，02x y =??=?，20x y =??=?，22x y =??=?,以上共计9对()x y ，

3．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．30ADC ∠=?，AD = 3，BD = 5，则

CD 的长为（ B ）A ．23 B ．4 C ．52 D ．4.5 解：如图，以CD 为边作等边△CDE ，连接AE ．由于AC = BC ，CD = CE ，

BCD BCA ACD DCE ACD ACE ∠=∠+∠=∠+∠=∠．

所以 △BCD ≌△ACE ， BD = AE ．又因为30ADC ∠=?，所以90ADE ∠=?．

在Rt △ADE 中，53AE AD ==，，于是DE =2

2

4AE AD -=，所以CD = DE = 4．

4．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ D ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

解：设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元，x y ，均为非负整数． 由题设可得 2(2)2()

x n y y n x n +=-??+=-?．消去x 得，(27)4y n y -=+，(27)1515

212727y n y y -+==+--．

因为

15

27

y -为正整数，所以27y -的值分别为1，3，5，15．y 的值只能为4，5，6，11．

从而n 的值分别为8，3，2，1．所以 x 的值分别为14，7，6，7．

5．黑板上写有11

1

123

100

，　，　，，　共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去

a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ C ）A ．2012

B ．101

C ．100

D ．99

解：因为1(1)(1)a b ab a b +++=++，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变． 设经过99次操作后黑板上剩下的数为x ，则111

1(11)(1)(1)...(

1)23100

x +=+++??+， 解得，1101x +=，100x =．

二、填空题（每小题7分，共35分）

6．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次操作．如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 719x <≤ ．

解：前四次操作的结果分别为

32x -，3(32)298x x --=-，3(98)22726x x --=-，

3(2726)28180x x --=-．由已知得，2726487

8180487

x x -≤??

->?．解得719x <≤． 容易验证，当719x <≤，32487x -≤，98487x -≤，故x 的取值范围是719x <≤．

7．如图，⊙O 的半径为20，A 是⊙O 上一点．以OA 为对角线作矩形OBAC ，且12OC =．延长BC ，

与⊙O 分别交于D E ，两点，则CE BD -的值等于 28

5 ．

解：如图，设DE 的中点为M ，连接OM ，则OM DE ⊥．

因为22201216OB -=，所以161248

205

OB OC OM BC ??===

， 223664

55

CM OC OM BM =-==

，． CE BD EM CM DM BM -=---（）（）

643655BM CM =-=-28

5

=． 8．如果关于x 的方程2

2393042x kx k k ++-+=的两个实数根分别为1x ，2x ，那么20122

20111x x 的值为

32

- ．

解：根据题意，关于x 的方程有22

394(3)042

k k k ?=--+≥，由此得2

(3)0k -≤．

又2(3)0k -≥，所以2

(3)0k -= ，3k =．

此时方程为2

9304x x ++=，解得1232x x ==-．故2011120122212

3

x x x ==-

9．2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一

场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分．比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为 8 ．

解：设平局数为a ，胜（负）局数为b ，由题设知 23130a b +=．由此得043b ≤≤．

又(1)(2)

2

m m a b +++=

，所以22(1)(2)a b m m +=++．

于是0130(1)(2)43b m m ≤=-++≤，87(1)(2)130m m ≤++≤． 由此得8m =或9m =．

当8m =时，40b =，5a =；当9m =时，20b =，35a =，55

22

a b a +>=．不合题设．故8m =．

10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，AD DC =．分别延长BA ，CD ，交点为E ．作

BF EC ⊥，并与EC 的延长线交于点F ．若AE AO =，6BC =，则CF 的长为 22

3 ．

解：如图，连接AC ，BD ，OD ． 由AB 是⊙O 的直径知90BCA BDA ∠=∠=?． 依题设90BFC ∠=?，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，

所以BCF BAD ∠=∠．所以Rt BCF Rt BAD △∽△，因此 BC BA

CF AD

=． 因为OD 是⊙O 的半径，AD CD =，

所以OD 垂直平分AC ，OD BC ∥，于是

2DE OE

DC OB

==． 因此223DE CD AD CE AD ===，

．由AED CEB △∽△，知DE EC AE BE ?=?． 因为322BA AE BE BA ==，，所以 3

2322

BA AD AD BA ?=?，22BA AD =．

故32

22

AD CF BC BA =

?==

． 三、解答题（每题20分，共80分）

11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，8AO =，AB AC =，4

sin 5

ABC ∠=

．CD 与y 轴交于点E ，且COE ADE S S =△△．已知经过B ，C ，E 三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式．

解：因为sin ∠ABC =4

5

AO AB =，8AO =，所以AB = 10．

由勾股定理，得

2

62BO AB AO =-=．易知ABO ACO △≌△， 因此 CO = BO = 6． 于是(08)A -，，(60)B ，，(60)C -，． 设点D 的坐标为()m n ，．由COE ADE S S =△△，得CDB AOB S S =△△．

所以 1122BC n AO BO ?=?，11

12()8622n ?-=??．解得 4n =-．

因此D 为AB 的中点，点 D 的坐标为(34)-，．因此CD ，AO 分别为AB ，BC 的两条中线，

点E 为△A BC 的重心，所以点E 的坐标为8

(0)3

-，．

设经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为(6)(6)y a x x =-+．将点E 的坐标代入，解得a

=272

． 故经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为228273

y x =-． 12．如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，AC 的中点I 是△ABD 的内心． 求证：（1）OI 是△IBD 的外接圆的切线；（2）2AB AD BD +=．

解：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知

CID IAD IDA ∠=∠+∠，CDI CDB BDI BAC IDA IAD IDA ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠． 所以CID CDI ∠=∠， CI = CD ．

同理，CI = CB ．故点C 是△IBD 的外心．连接OA ，OC ，因为I 是AC 的中点，

且OA = OC ，所以OI ⊥AC ，即OI ⊥CI ．故OI 是△IBD 外接圆的切线． （2）如图，过点I 作IE ⊥AD 于点E ，设OC 与BD 交于点F ．

由BC CD =，知OC ⊥BD ．

因为∠CBF =∠IAE ，BC = CI = AI ，所以Rt BCF Rt AIE △≌△．所以BF = AE ． 又因为I 是△ABD 的内心，所以22AB AD BD AE BD BD BF BD +-=+-==． 故2AB AD BD +=．

13．已知整数a ，b 满足：a b -是素数，且ab 是完全平方数．当2012a ≥时，求a 的最小值．

【解答1】设a b m -=（m 是素数），2

ab n =（n 是正整数）．

因为 2

2

()4()a b ab a b +-=-，所以 2

2

2

(2)4a m n m --=，2

(22)(22)a m n a m n m -+--=． 因为22a m n -+与22a m n --都是正整数，且2222a m n a m n -+>--（m 为素数)， 所以 2

22a m n m -+=，221a m n --=．

解得2(1)4m a +=， 214m n -=． 于是2

14m b a m -=-=（）．又2012a ≥，即

2

(1)20124

m +≥． 又因为m 是素数，解得89m ≥． 此时，2

(891)4

a +≥=2025． 当2025a =时，89m =，1936

b =，

1980n =．因此，a 的最小值为2025．

【解答2】设a b m -=（m 是素数），2

ab n =（n 是非负整数）。

由于201221006=?，20133671=?，201421007=?，20155403=?，201621008=?， 因此，2012，2013，2014，2015，2016都不是质数。 5分 由于201744??=??

，且2017不能被2，3，4，…，44整除，

因此，2017是质数。………… 10分

（1）当0n =，即0b =时，由2012a ≥以及a b -是素数知，a 的最小值为2017。………… 15分

（2）当0n >时，1b ≥，201212013a ≥+=，

由于2013，2014，2015，2016都不是质数，而2017是质数。 当2017a =时，6b =，ab 不是完全平方数。所以，此时2017a >。 由（！）、（2）可知，a 的最小值为2017。 …………… 20分 14．将23n ，　，　，（2n ≥）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a b c ，，（可以相同）使得

b a

c =，求n 的最小值．

解：当16

21n =-时，把23n ，　，　，分成如下两个数组：{}88162322121+-，　，　，　，　，　和

{}8

4521-，

　，　，　． 在数组{}8

8

16

2322121+-，　，　，　，　，　中，由于3

882

163

2221<>-（，），所以其中不存在数a b c ，，，使

得b

a c =．

在数组{}

84521-，　，　，　中，由于48421>-，所以其中不存在数a b c ，，，使得b

a c =． 所以，16

2n ≥．

下面证明当162n =时，满足题设条件．不妨设2在第一组，若2

24=也在第一组，则结论已经成立．故不

妨设224=在第二组． 同理可设48

42=在第一组，82

16(2)2=在第二组．

此时考虑数8．如果8在第一组，我们取8

282a b c ===，

，，此时b

a c =；如果8在第二组，我们取16482a

b

c ===，，，此时b a c =．综上，162n =满足题设条件．所以，n 的最小值为162．

注：也可以通过考虑2，4，16，256，65536的分组情况得到n 最小值为65536．

2012年全国初中数学竞赛试题

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.

1．如果，a 22+-=那么a

++

+3121

1的值为（ ）．

（A ）2- （B ）2 （C ）2 （D ）22

2．在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式22y x +≤2x+2y 的整数点坐标（x , y ）的个数为（ ）（A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）7 3．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）． （A ）1 （B ）

21

4

a - （C ）12 （D ）14

4．如果关于x 的方程02=--q px x （p 、q 是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数

是（ ）．（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8

5．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则0123p p p p ，，，中最大的是（ ）．

（A ）0p （B ）1p （C ）2p （D ）3p 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6．如果a 、b 、c 是正数，且满足9=++c b a ，9

10

111=

+++++a c c b b a ，那么 b a c

a c

b b a a +++++的值为 . 7．如图，正方形ABCD 的边长为

E ，

F 分别是AB ，BC 的中

点，AF 与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 .

8．如果关于x 的方程x 2+kx +4

3k 2－3k +92= 0的两个实数根分别为