2015年广东省深圳市高考数学二模试卷(理科)高考模拟试卷

绝密★启用前 试卷类型：A

2015年广东省深圳市高考数学二模理科试卷

2015．4

本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

1

23

4．如图1，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸， 则该墨水瓶的容积为（瓶壁厚度忽略不计） （ ） A ．π8+ B ．π48+

C ．π16+

D ．π416+

图1

正视图 侧视图

俯视图

5．若实数x ，y 满足约束条件13

11

x y x y ≤+≤⎧⎨

-≤-≤⎩,则2x y +的取值范围是 （ ）

6

7

8

910 ．11．已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，若其渐近线与抛物线2

4y x =的准线围成的三角形面积为

1，则此双曲线的离心率等于 ．

12．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知153=S ，1539=S ，则=6S ．

13．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，则“2

ab c >”是“π3

C <

” 的 条件．（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中的一种）． （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．

14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，已知直线l ：12x s y s =+⎧⎨=-

（s 为参数）与曲线C ：2

3x t =+⎧⎨15，

16

深圳市于2014年12月29日起实施小汽车限购政策．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半．政策推出后，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查，结果如下表所示：

，求

18

为△

P

A

图

4

设数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足4231-⋅-=++n n n n a S ，*N ∈n ，且42,,321+a S a 成等比数列． （1）求1a ，2a ，3a 的值； （2）求数列2n n a ⎧⎫

⎨

⎬⎩⎭

的通项公式；

20，

1k

已知函数x b ax x x f +-=ln )(，对任意的),0(∞+∈x ，满足0)1

()(=+x

f x f ， 其中b a ,为常数．

（1）若)(x f 的图像在1=x 处切线过点)5,0(-，求a 的值；

2

2015年广东省深圳市高考数学二模理科试卷

答案及评分标准

一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是

91416-解因为π

()26f =-，所以π

cos(

)13

ϕ+=-， ……………………………………………………2分 由0π<<ϕ可得

ππ4π333ϕ<+<

，所以π

π3

ϕ+=， ………………………………………3分

所以2π

3

ϕ=

． ……………………………………………………………………………………4分 故)(x f 的解析式为2π

()2cos(2)3

f x x =+

． …………………………………………………5分 （2）（法1）由（1），得)3

π

22cos()3πsin(+=+θθ，

即)π(sin 21)πsin(2+-=+θθ，01)π

sin()π(sin 22=-+++θθ， ……………………8分

即即17

（1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数； （2）在（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率； （3）用样本估计总体，在全体有购车意向的市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

解：（1）因为30至50岁的人中有意向参与摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数占总体的比例分别为：

501

=、1503= 、3006

=． ………………………………………2分 18．（本小题满分14分）

如图4，已知三棱锥O ABC -的三条侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，△ABC 为等边三角形， M 为△ABC 内部一点，点P 在OM 的延长线上，且PB PA =．

（1）证明：OB OA =；

（2）证明：平面⊥PAB 平面POC ；

（3）若::AP PO OC =，求二面角B OA P --的余弦值． 证明：（1）因为OA ，OB ，OC 两两垂直， 所以222AC OC OA =+，222BC OC OB =+．

又△ABC 为等边三角形，BC AC =， 所以=+22OC OA 22OC OB +，

而而又解PH ⊥平面OAB OC 5，OP ）同理可证OA =

在△POA 中，222

OP PA OA =+， 所以OA PA ⊥，又因为PH ⊥OA ， 所以OA ⊥平面PAH ，

所以PAH ∠为二面角B OA P --的平面角， ………………………………………………11分 在直角△PHA 中，cos AH

PAH PA

∠=

， ……………………………………………………12分

，

由(1,x y =-5PA OC =6OP OC =得222

5y z ++=

解之，得x y ==所以，(1,1,OP =1由OA ⊥，1OP ⊥n ，得⎧⎨由（2）知，平面OAB 的法向量为2(0,0,1)OC ==n ， ………………………………………13分 记二面角P OA B --的平面角为θ，由图可得θ为锐角， 所以12cos |cos ,|θ=〈〉=

=

n n ．