MATLAB上机内容及作业

无约束优化求解函数fminsearch和fminunc

求解无约束非线性优化问题的函数有fminsearch 函数、fminunc函数。函数fminsearch和fminunc功能相同，但fminunc函数可以得到目标函数在最优解处的梯度和Hessian矩阵值。

无约束优化数学模型为：

min f(X) X∈R n

求解无约束非线性优化问题的步骤为：

第一步：先编写目标函数的M文件；第二步：再在命令窗口中调用相应的优化函数。

1、fminsearch函数调用格式为

[x, fval]=fminsearch(@myfun, x0)

输出参数的含义：

x：返回最优解的设计变量的值；

fval：在最优设计变量值时，目标函数的最小值；

exitflag：返回算法终止的标志，有以下几种情况，＞0 表示算法收敛于最优解处；＝0 表示算法已经达到迭代的最大次数；＜0 表示算法不收敛。

output：返回优化算法信息的一个数据结构，有以下信息：

output.iteration 表示迭代次数

output.algorithm 表示所采用的算法

output.funcCount 表示函数评价次数

输入参数的含义：

@myfun：目标函数的M文件，在其前要加“@”，或表示为'myfun' ，myfun自己可以任意命名；

x0：在调用该优化函数时，需要先对设计变量赋一个初始值；

2、fminunc函数的调用格式

[x, fval]=fminunc (@myfun, x0)

grad：返回目标函数在最优解处的梯度信息；hessian：返回目标函数在最优解处的hessian矩阵信息。其余含义同上。

3、实例

已知某一优化问题的数学模型为：

min f(X)=3x12+2x1x2+x22X∈R n

用MA TLAB程序编写的代码为：

第一步：首先编写目标函数的.m文件，并保存为examplefsearch.m文件（先单击file菜单，后点击New 命令中的M—file，即可打开M文件编辑窗口进行代码的编辑，在英文状态下输入程序代码），代码为：function f=examplefsearch（x）

f=3*x(1)^ 2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2;

第二步：在Command窗口中调用fminsearch函数，代码为：

x0=[1;1]; %赋初值

[x,fval]=fminsearch(@examplefsearch,x0) %回车即可调用fminsearch函数，得到结果

输出最优解结果为：

x=

1.0e-0.08* -0.7914 0.2260 %分别为x1和x2的最优点的值（近似为0）

fval=

1.5722e-016 %对应最优点的最优目标函数值（近似为0）4、作业

已知几个优化问题的数学模型分别为：

（1）min f(X)=0.1935x1 x22 x32(4+6x4) X∈R4

（2）min f(X)= (x13+cos x2+log x3）/ e x1 X∈R3

（3）min f(X)=2x13+4x1x23 -10x1x2+x33X∈R3

试用MATLAB编程分别求解上述优化问题的最优解。（分别把步骤、代码、结果写在另一张纸上，作为作业交）

其中cos x2在MA TLAB应写为cos(x(2))；log x3应为log(x(3))；e x1应为exp(x(1))。

min f(X) =f T*X X∈R n

s.t. A*X≤b

Aeq* X =beq

lb≤X≤ub

上式中，f：表示目标函数中变量的系数向量，为列向量；

A：表示所有线性不等式约束的系数矩阵；

b：为所有线性不等式约束的不等式右面常数向量，为列向量；

Aeq：表示所有线性等式约束的系数矩阵；

beq：为所有线性等式约束的等式右面常数向量，为列向量；

lb和ub：分别表示为变量的上下限，为列向量。

2、linprog函数的调用格式

调用格式如下：

[x,fval]= linprog (f, A,b, Aeq,beq,lb,ub)

上式中，A、b、Aeq、beq、lb、ub、x0、options均为可选项，如果数学模型中无该项参数，则用[]代替。例如如果某一数学模型中没有等式约束，即无Aeq和beq参数，则调用的格式为：

[x,fval]= linprog (f, A,b, [],[],lb,ub)

用linprog函数求解线性规划问题时，直接在MA TLAB软件的Command窗口中调用，先将各个输入参数在Command窗口中赋值后，即可调用linprog函数。

3、实例

求使目标函数f(x)= －5 x1－ 4 x2－6 x3 取最小值时的x 的值，且满足约束条件为：x1－x2＋x3≤20

3x1＋2 x2＋4x3≤42

3x1＋2 x2≤30

x1≥0，x2≥0，x3≥0

直接在MA TLAB的Command窗口输入下列代码，即可求解，过程如下：

f=[－5; －4; －6];

A=[1, －1, 1; 3 , 2 , 4 ; 3 , 2 ,0];

b=[20 ; 42; 30];

lb=zeros(3,1);

[x,fval,exitflag,output]= linprog (f, A，b, [],[],lb,[],[])

结果输出为：

x=0.000

15.000

3.000

fval=－78.000

4、作业

用linprog函数求下列数学模型的最优解。

min f(X)= －7 x1－ 5 x2

s.t. 3x1＋x2≤90

4x1＋6 x2≤200

x1≤20

x2≤30

x1≥0，x2≥0

min f(X) =1/2*X T*H*X+f T *X X ∈R n s.t. A*X ≤b Aeq*x=beq lb ≤x ≤ub

上式中，H ：表示目标函数中变量的二次项的系数矩阵；其余参数同linprog 函数中的含义。 2、quadprog 函数的调用格式

调用格式如下： [x,fval]= quadprog (H ，f, A ，b, Aeq,beq,lb,ub)

上式中，A 、b 、Aeq 、beq 、lb 、ub 均为可选项，如果数学模型中无该项参数，则用[]代替。 例如如果某一数学模型中没有等式约束，即无Aeq 和beq 参数，则调用的格式为： [x,fval]= quadprog (H ，f, A ，b, [],[],lb,ub) 用quadprog 函数求解二次规划问题时，直接在MA TLAB 软件的Command 窗口中调用，先将各个输入参数在Command 窗口中赋值后，即可调用quadprog 函数。 3、实例 求使目标函数f(x)= 1/2 x 12＋x 22－x 1 x 2－2 x 1 －6 x 2 取最小值时的x 的值，且满足约束条件为： x 1＋x 2≤2 －x 1＋2 x 2≤2 2x 1＋x 2≤3 x 1≥0，x 2≥0 首先把目标函数写成以下形式：f(X) =1/2*X T*H*X+f T *X ，其中 f(x)= 1/2 x 12＋x 22－x 1 x 2－2 x 1 －6 x 2

=1/2（

x 12－x 1 x 2－x 2 x 1＋2x 22）－2 x 1 －6 x 2

=[]??

??????????--+????????????--212121622111,21x x x x x x T

上式中H= ??

???

?--21

11

，f= ??

????--62

直接在MA TLAB 的Command 窗口输入下列代码，即可求解，过程如下： H=[1，-1；-1，2]；

f=[－2; 6]; A=[1, 1,；－1 , 2 ；2 ,1]; b=[2 ; 2; 3]; lb=zeros(2,1); [x,fval]= quadprog (H,f, A,b, [],[],lb) 结果输出略。 4、作业 用quadprog 函数求下列数学模型的最优解。 min f(X)= x 12＋x 22－10 x 1－16 x 2 ＋89 s.t. x 1－x 2＋1≥0

x 1≥0

10－x 1≥0 x 2－1≥0 10－x 2≥0 x 2－x 1=0

四、MATLAB求解非线性优化问题的函数fmincon

1 、fmincon函数要求数学模型的形式

在MA TLAB优化工具箱中，用于求解非线性规划的函数有fmincon，要求的非线性规划的数学模型的一般形式为：

min f(X) X∈R n

s.t. A*X≤b

Aeq*x=beq

lb≤x≤ub

c(X) ≤0

ceq(X)=0

上式中，c(X)：表示约束函数中的非线性不等式约束函数；ceq(X) 约束函数中的非线性等式约束函数。其他含义同linprog函数。

2、fmincon函数的调用格式

调用格式如下：

[x,fval]= fmincon (@objfun，x0, A，b, Aeq, beq, lb, ub, @nonlcon)

上式中，objfun为目标函数的m文件函数名，自己命名，引用时前面需要加句柄@，或用单引号‘’引用；x0为给变量赋的初值；nonlcon为非线性约束的m文件函数名，自己命名，引用时前面需要加句柄@，或用单引号‘’引用；A、b、Aeq、beq、lb、ub、x0、options的含义同线性规划函数linprog。

3、上机编制程序求解过程

第一步：先编制目标函数的.m文件，并保存；

第二步：编制非线性约束的.m文件，并保存；

第三步：在MA TLAB的Command窗口输入赋予x0的初值，以及线性约束、边界约束等输入参数的值后，即可调用fmincon函数，进行求解。

4、实例

求使目标函数f(X)= （x1－3）2＋x2 2取最小值时的X 的值，且满足约束条件为：x1 2＋x2－4≤0

x2－x1≤2

x1≥0，x2≥0

该问题是非线性规划问题，其约束条件中含有非线性约束，求解过程如下：

（1）先编制目标函数的m文件，并保存为myobjfun.m，代码如下：

function f=myobjfun(x)

f=( x(1) －3）^2＋x(2)^2;

(2)编制非线性约束的.m文件，并保存为myconfun.m，代码如下：

function [c, ceq]= myconfun (x)

c =x (1) ^2＋x(2)-4;

ceq =[];

(3)在MA TLAB的Command窗口输入下列代码，即可求解：

x0=[1; 1]; A=[－1 ,1]; b=[2]; Aeq=[ ]; beq=[ ]; lb=[0; 0]; ub=[ ];

[x,fval]= fmincon (@myobjfun，x0, A,b,Aeq,beq,lb,ub, @myconfun)

结果输出略。

5、作业

用fmincon函数求下列数学模型的最优解。

min f(X)=25/（x1 x23）s.t. 30/（x1 x23）－50≤0 10－4x1 x2≥0

2≤x1≤4

0.5≤x2≤1 min 3

2

1

)

(x

x

x

x

f-

=

s.t. 72

2

2

3

2

1

≤

+

+

≤x

x

x

min f(X)=

2

1

2

1

2

2

2

1

5

2x

x

x

x

x

x-

-

-

+

s.t. 0

)1

(

2

2

1

≥

+

-

-x

x

6

3

2

2

1

≥

+

-x

x

min f(X)= x12＋x22－10 x1－16 x2＋89

s.t. x1－x2＋1≥0

10－x1≥0

x2－1≥0

10－x2≥0

x2－x1=0

作业五：设计一圆柱螺旋压缩弹簧，参数为：弹簧中径D、钢丝直径d、总圈数n。设计要求在F=700N 作用下，产生10mm 的变形量。要求弹簧压并高度≤50mm，弹簧内径≥16mm，在满足强度条件下，要求设计的弹簧具有最轻的重量。根据设计要求和弹簧的受力分析，可得到下面的数学模型

min

s.t.

试用MATLAB编程分别求解上述优化问题的最优解。

（分别把步骤、代码、结果写在另一张纸上，作为作业交）作业六：教材166页实例。

20

)

(

1

)

(

20

)

(

1

)

(

50

)

(

8

)

(

]

[

8

)

615

.0

25

.0

(

)

(

10

)

(

4

)

(

16

)

(

50

)

(

)

(

10

)

(

8

)

(

4

)

(

3

12

3

11

2

10

2

9

1

8

1

7

3

2

1

1

2

1

2

2

1

6

2

1

5

2

1

4

2

1

3

3

2

2

4

2

3

3

1

1

3

2

2

1

2

≤

-

=

≤

-

=

≤

-

=

≤

-

=

≤

-

=

≤

-

=

≤

-

+

-

-

=

≤

-

=

≤

-

=

≤

+

-

=

≤

-

=

=

-

=

=

x

x

g

x

x

g

x

x

g

x

x

g

x

x

g

x

x

g

x

Fx

x

x

x

x

x

x

x

g

x

x

x

g

x

x

x

g

x

x

x

g

x

x

x

g

Gx

n

x

Fx

x

g

x

x

x

X

f

τ

π

λ

ρπ

上式中，x1表示弹簧中径D，x2表示钢丝直径d，x3表示总圈数n。

其中：第一个约束为弹簧的变形量要求；

第二个约束为弹簧的压并高度要求；

第三个约束为弹簧的内径要求；

第四、五个约束为弹簧的旋绕比要求；

第六个约束为弹簧的强度要求；

第七到第十二个约束为弹簧的尺寸要求

（即边界约束要求）；

其中未知参数的取值为：

材料剪切模量G=81000N/mm2；

弹簧支承圈数n0=1.75；

弹簧终端类型系数λ=0.5；

弹簧中径D和钢丝直径d的取值优先选用第一系列，有D：8，9，10，12，16，20，25，30，35，40，45，50；d：1，1.2，1.6，2，2.5，3，3.5，4，4.5，5，6，8，10，12，16，20