圆周率π的近似值

3．

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一道最值问题的多种解法

一道最值问题的多种解法浙江省宁波市李惠利中学沈国标求变量的最值，是生产生活中最常见的数学问题．解决最值问题的方法很多，若能精选例题，通过一题多解的形式给出解决问题的方法，既能启迪学生发散性思维，又是让学生掌握数学思想方法的最佳途径．在竞赛辅导过程中，笔者研究了文[1]中的一道练习题，发现此题用作介绍有关解决最值问题的方法甚佳．例若x ，y 为实数，且x 2+xy+y 2=19，求x 2+y 2 的最值．一．代换法１．二元对称代换解：因为约束条件是关于x ，y 的对称式，所以可设x ＝a+b ，y ＝a-b 代入x 2+xy+y 2＝3a 2+b 2＝19，∴0≤b 2 ≤19 这时x 2 +y 2 ＝2(a 2 +b 2 )＝2??? ??+-22b 3b 19＝338+3 4 b 2 ∵0≤b 2 ≤19 ∴3 38 ≤x 2 +y 2 ≤38 ∴当b 2＝19，a 2 ＝0，即x ＝ 19，y ＝-19或x ＝-19，y ＝19时，x 2 +y 2 的最大值是38．当b 2 ＝0，a 2 ＝3 19 ，即x ＝y ＝ 319，或x ＝y ＝- 3 19 时，x 2+y 2 的最小值是 3 38．２．三角代换之一解：∵x 2 +xy+y 2 ＝(x+ 2y )2 +4 3 y 2 ＝19 ∴可设 ?????? ???? ??? ?θ=θ-θ=?π∈θθ=θ=+)sin 332(19y )sin 33 (cos 19x )2,0[(sin 19y 2 3cos 192y x ∴x 2 +y 2 ＝19[)sin 33(cos θ- θ2 +θ2sin 3 4 ] ＝19(θ-θ+θ2sin 3 3sin 35cos 22 ) ＝19( θ-θ-?+θ+2sin 3 322cos 13522cos 1)

圆周率500位

圆周率500位 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094 33057 27036 57595 91953 09218 61173 81932 61179 31051 18548 07446 23799 62749 56735 18857 52724 89122 79381 83011 94912 圆周率501-1000位 98336 73362 44065 66430 86021 39494 63952 24737 19070 21798 60943 70277 05392 17176 29317 67523 84674 81846 76694 05132 00056 81271 45263 56082 77857 71342 75778 96091 73637 17872 14684 40901 22495 34301 46549 58537 10507 92279 68925 89235 42019 95611 21290 21960 86403 44181 59813 62977 47713 09960 51870 72113 49999 99837 29780 49951 05973 17328 16096 31859 50244 59455 34690 83026 42522 30825 33446 85035 26193 11881 71010 00313 78387 52886 58753 32083 81420 61717 76691 47303 59825 34904 28755 46873 11595 62863 88235 37875 93751 95778 18577 80532 17122 68066 13001 92787 66111 95909 21642 01989 圆周率1001-1500位 38095 25720 10654 85863 27886 59361 53381 82796 82303 01952 03530 18529 68995 77362 25994 13891 24972 17752 83479 13151 55748 57242 45415 06959 50829 53311 68617 27855 88907 50983 81754 63746 49393 19255 06040 09277 01671 13900 98488 24012 85836 16035 63707 66010 47101 81942 95559 61989 46767 83744 94482 55379 77472 68471 04047 53464 62080 46684 25906 94912 93313 67702 89891 52104 75216 20569 66024 05803 81501 93511 25338 24300 35587 64024 74964 73263 91419 92726 04269 92279 67823 54781 63600 93417 21641 21992 45863 15030 28618 29745 55706 74983 85054 94588 58692 69956 90927 21079 75093 02955 圆周率1501-2000位 32116 53449 87202 75596 02364 80665 49911 98818 34797 75356 63698 07426 54252 78625 51818 41757 46728 90977 77279 38000 81647 06001 61452 49192 17321 72147 72350 14144 19735 68548 16136 11573 52552 13347 57418 49468 43852 33239 07394 14333 45477 62416 86251 89835 69485 56209 92192 22184 27255 02542 56887 67179 04946 01653 46680 49886 27232 79178 60857 84383 82796 79766 81454 10095 38837 86360 95068 00642 25125 20511 73929 84896 08412 84886 26945 60424 19652 85022 21066 11863 06744 27862 20391 94945 04712 37137 86960 95636 43719 17287 46776 46575 73962 41389 08658 32645 99581 33904 78027 59009

两道经典不等式的多种解法

两道经典代数不等式的多种解法长沙市明德中学邓朝发 2019年3月6日有两道道经典的代数不等式，在很多奥数资料上面都出现过，但是用到的解法过于单一，甚至于太繁琐。笔者在竞赛教学中，集学生的智慧偶得灵感，经过研究发现，此两道不等式有多种解法，而且这些解法的过程相当精妙、相当优雅、相当有韵味。高兴之余，情不自禁，特以此文分享，作初等数学学习、鼓励学生交流之用。题目：已知12123,,..,0,..1n n x x x x x x x >=，证明： 1 1(1)n i i i x n x =≥-+∑ 方法一：反证法解1：不妨假设 11(1)n i i i x n x =<-+∑ ，进一步211 (1)11n i i i x n n n x n x =->≥--+-+∑；把1x 用23,,...,n x x x 替换，可得： 1 (1)1,2,3..,)11n i i k k i x n n k n n x n x ≠->≥-=-+-+∑；取他们乘积： 11(1)1n n k k n n n x =->--+∏ 进一步：12...1n x x x <与条件矛盾！，进而原不等式成立！解2：不妨假设 =(1)i i i x y n x -+，进一步：(1)(1,2,..)1i i i n y x i n y -= =- 从而 1(1)11n i i i n y y =-=-∏，不妨假设1111(1)n n i i i i i x y n x == ≥-=∑；对n 个式子做乘积： 1 (1) n n i k y n =>-∏从而： 1 (1)11n i i i n y y =-<-∏ ，矛盾！进而原不等式成立！以上两种都是反证法，只是对结构处理不同，所以这里归结为一类方法。对于多元不等式结构的处理，不同的人处理的角度不一样，因此每一种处理方式都是解题实践经历的，自然是很重要的。

关于用割圆术推导圆周率的计算公式的方法

关于用割圆术推导圆周率的计算公式的方法周家军（家庭地址：广西陆川县良田镇冯杏村22队，邮编：537717）（目前所在地：广西柳州市，电子邮箱：zhoujiajun198204@https://www.360docs.net/doc/ba11023465.html,）摘要：圆周率的计算是有据可依的，它的计算公式在数学上可以推导出来。利用割圆术，可以推导出圆周率的计算公式。关键词：割圆术；直径分割；半径分割；圆心角。 1、绪言利用割圆术，可以推导出圆周率的计算公式。 2、用外切圆分割正多边形假设有一个圆，半径为R，圆心为O，用n根线段（直径）将其均匀分割，如图所示。将各端点连接起来，那么它就是一个有2n个偶数边的正多边形。由此可见，此圆周是正多形的外切圆。

假若组成正多边形的一个三角形为ΔAOB ，圆心角为α ,设AB=S ，正多边形的周长为L ，依题意，有： OA=OB=R 正多边形的周长L 为： L=2*n*S 圆心角α和分割圆的线段（直径）n 的关系为： n n 180 2360== α 根据三角函数，可以列出正多边形的边长S 和圆周半径R 的关系式，为： S 2=R 2+R 2-2*R*R*cos （α） )cos 1(*2*α-=R S 2.1、圆周率以正多边形的割边数n 为变量的计算形式如果分割圆的线段（直径）n 越多，圆周就被分割得越细，组成的正多边形的边就越多。那么正多边形的周长就越接近于圆周的周长，因此，依此就可推导出圆周率的计算公式，为：

) 180 cos 1(*2*2)cos 1(*22222n n R nR R nS R L -=-= == απ 2.2、圆周率以正多边形的圆心角α为变量的计算形式若以圆心角α为变量，也可得到圆周率的另一种计算公式。圆心角α值越小，分割圆的直径数n 就越多，圆就被分割得越细，组成正多边形的边就越多，正多边形的周长就越接近于圆的周长。因此，依题意有：将n= α 180 代入上式，可得： α αααπ)cos 1(*2*1802) cos 1(*2**180 *2222-= -= == R R R nS R L 3、用外切圆分割正多边形计算圆周率的另一种方式过O 点作AB 的垂线OD ，如图所示：

圆周率前200位故事

丢失的魔法钥匙一天大魔法师XX丢了自己的魔法钥匙（14），XX骑着自己养的鹦鹉（15）去寻找，没有找到，气急败坏的他狠狠的踢开了身边的球儿（92），反而不小心踢伤了自己的脚，他只好开着路虎车（65）去寻找，开过水下的珊瑚（35）路，来到了芭蕉（89）林，看到了气球（79）树下面有一位白发苍苍的神仙老头，扇着扇儿（32），坐在沙发（38）上，旁边放着一堆饲料（46），神仙爷爷笑着说：“呵呵，这不是我吃的，那是河流（26）里面乌龟的早饭。你要找的东西在遥远的四川（43）”话音未落，沙发（38）飘了起来，神仙爷爷手中的扇儿（32）变成了小鸟依偎在他肩膀上，XX抬头去看，原来是气球（79）树飞了起来。 XX驱车路过五环（50）路，看到一个恶霸（28）在一辆巴士（84）车上抢劫。XX喝了口自己炮制的功能药酒（19），之后摇身一变变成了一直大蜥蜴（71），还长着两只怪怪的鹿角（69），一下子就吓跑了贼人。XX又喝了口自己炮制的散酒（39），之后又变回了原样。XX开车继续前行，天渐渐黑了，车外也下起了雨，XX将车停靠在一个奇幻的魔法城堡，拿着自己的一把旧伞（93）下了车，走到了一个积木（75）搭建的屋子前面，XX整理一下自己的衣领（10），伸手敲敲了门，

当一个蓝精灵开门之后XX才发现这原来是一家舞吧（58）。还没有等他反应过来，蓝精灵就在他的鼻子上戴了一个大大的耳环（20），并小声告诉他“嘘，这里只允许怪兽近入，这样你就像牛魔王了，走，我带你去酒席（97）喝酒”。他们路过屋子中间的石球（49）时，有一只石狮（44）从里面钻了出来，也随着他们走了起来。这时一个长得像外星人的武警（59）走了进来，带着一个大大的耳塞（23），手里拿着黄色的令旗（07）据说他是巴黎（81）来的，去螺丝山（64）寻找一个领路人（06）将他变回人类。这时XX透过门口看到恶霸（28）开走了他的车，XX跑到门外，骑上门前的驴儿（62），越过篱笆（08）去追赶。路上XX遇到开着一辆奇瑞QQ（99）的八路军（86）战士，并说服他帮他追恶霸（28），他们追到灵山（03）时车被丝瓜（48）藤缠住了，远处传来了二胡（25）的声音，原来是位绅士（34）在演奏，他的旁边还站着一只鳄鱼（21）拿着仪器（17）在给他熬练药水。他说他的药水可以将人变回原形，哦，原来他就是那个领路人（06）。他将一个气球（79）递给了XX说道：“你历尽了千辛万苦，这里面有你寻找的东西”

常见的π值

常见的π值【一】 1π= 3.14 2π= 6.28 3π= 9.42 4π= 12.56 5π= 15.7 6π= 18.84 7π= 21.98 8π= 25.12 9π= 28.26 10π= 31.4 常见的π值【二】 12π= 37.68 13π= 40.82 14π= 43.96 15π= 47.1 16π= 50.24 17π= 53.38 18π= 56.52 19π= 59.66 20π= 62.8 24π= 75.36 25π=78.5 32π=100.48 36π=113.0445π=141.3 48π= 150.72 64π= 200.96 常见的π值【一】 1π= 3.14 2π= 6.28 3π= 9.42 4π= 12.56 5π= 15.7 6π= 18.84 7π= 21.98 8π= 25.12 9π= 28.26 10π= 31.4 常见的π值【二】 12π= 37.68 13π= 40.82 14π= 43.96 15π= 47.1 16π= 50.24 17π= 53.3818π= 56.52 19π= 59.66 20π= 62.8 24π= 75.36 25π=78.5 32π=100.48 36π=113.0445π=141.348π= 150.72 64π= 200.96 常见的π值【一】 1π= 3.14 2π= 6.28 3π= 9.42 4π= 12.56 5π= 15.7 6π= 18.84 7π= 21.98 8π= 25.12 9π= 28.26 10π= 31.4 常见的π值【二】 12π= 37.68 13π= 40.82 14π= 43.96 15π= 47.1 16π= 50.24 17π= 53.38 18π= 56.52 19π= 59.66 20π= 62.8 24π= 75.36 25π=78.5 32π=100.48 36π=113.0445π=141.348π= 150.72 64π= 200.96 常见的π值【一】 1π= 3.14 2π= 6.28 3π= 9.42 4π= 12.56 5π= 15.7 6π= 18.84 7π= 21.98 8π= 25.12 9π= 28.26 10π= 31.4 常见的π值【二】 12π= 37.68 13π= 40.82 14π= 43.96 15π= 47.1 16π= 50.24 17π= 53.38 18π= 56.52 19π= 59.66 20π= 62.8 24π= 75.36 25π=78.5 32π=100.48 36π=113.0445π=141.348π= 150.72 64π= 200.96 常见的π值【一】 1π= 3.14 2π= 6.28 3π= 9.42 4π= 12.56 5π= 15.7 6π= 18.84 7π= 21.98 8π= 25.12 9π= 28.26 10π= 31.4 常见的π值【二】 12π= 37.68 13π= 40.82 14π= 43.96 15π= 47.1 16π= 50.24 17π= 53.38 18π= 56.52 19π= 59.66 20π= 62.8 24π= 75.36 25π=78.5 32π=100.48 36π=113.0445π=141.3 48π= 150.72 64π= 200.96 常见的π值【一】 1π= 3.14 2π= 6.28 3π= 9.42 4π= 12.56 5π= 15.7 6π= 18.84 7π= 21.98 8π= 25.12 9π= 28.26 10π= 31.4 常见的π值【二】 12π= 37.68 13π= 40.82 14π= 43.96 15π= 47.1 16π= 50.24 17π= 53.38 18π= 56.52 19π= 59.66 20π= 62.8 24π= 75.36 25π=78.5 32π=100.48 36π=113.0445π=141.348π= 150.72 64π= 200.96 常见的π值【一】 1π= 3.14 2π= 6.28 3π= 9.42 4π= 12.56 5π= 15.7 6π= 18.84 7π= 21.98 8π= 25.12 9π= 28.26 10π= 31.4 常见的π值【二】 12π= 37.68 13π= 40.82 14π= 43.96 15π= 47.1 16π= 50.24 17π= 53.38 18π= 56.52 19π= 59.66 20π= 62.8 24π= 75.36 25π=78.5 32π=100.48 36π=113.0445π=141.348π= 150.72 64π= 200.96 常见的π值【一】 1π= 3.14 2π= 6.28 3π= 9.42 4π= 12.56 5π= 15.7 6π= 18.84 7π= 21.98 8π= 25.12 9π= 28.26 10π= 31.4 常见的π值【二】 12π= 37.68 13π= 40.82 14π= 43.96 15π= 47.1 16π= 50.24 17π= 53.38 18π= 56.52 19π= 59.66 20π= 62.8 24π= 75.36 25π=78.5 32π=100.48 36π=113.0445π=141.348π= 150.72 64π= 200.96

一道一元一次方程应用题的多种解法

一、行程问题行程问题地基本关系：路程速度×时间，速度，时间. ．相遇问题：速度和×相遇时间路程和例甲、乙二人分别从、两地相向而行，甲地速度是米分钟，乙地速度是米分钟，已知、两地相距米，问甲、乙二人经过多长时间能相遇？解：设甲、乙二人分钟后能相遇,则（）×, . 答：甲、乙二人钟后能相遇. ．追赶问题：速度差×追赶时间追赶距离例甲、乙二人分别从、两地同向而行，甲地速度是米分钟，乙地速度是米分钟，已知、两地相距米，问几分钟后乙能追上甲？解：设分钟后，乙能追上甲，则（）， . 答：分钟后乙能追上甲. . 航行问题：顺水速度静水速度水流速度，逆水速度静水速度水流速度. 例甲乘小船从地顺流到地用了小时，已知、两地相距千米.水流速度是千米小时，求小船在静水中地速度. 解：设小船在静水中地速度为,则有（２）×，（千米小时）. 答：小船在静水中地速度是千米小时. 二、工程问题工程问题地基本关系：①工作量工作效率×工作时间，工作效率，工作时间；②常把工作量看作单位. 例已知甲、乙二人合作一项工程，甲天独立完成，乙天独立完成，甲、乙二人合作天后，甲另有事，乙再单独做几天才能完成？解：设甲再单独做天才能完成,有（）×， . 答：乙再单独做天才能完成. 三、环行问题环行问题地基本关系：同时同地同向而行，第一次相遇：快者路程－慢者路程环行周长.同时同地背向而行，第一次相遇：甲路程乙路程环形周长. 例王丛和张兰绕环行跑道行走，跑道长米，王丛地速度是米分钟，张兰地速度是米分钟，二人如从同地同时同向而行，经过几分钟二人相遇？解：设经过分钟二人相遇，则（－）, . 答：经过分钟二人相遇. 四、数字问题数字问题地基本关系：数字和数是不同地，同一个数字在不同数位上，表示地数值不同.

圆周率计算公式

圆周率计算公式Revised on November 25, 2020

12 π= 22 π= 32 π= 42 π= 52 π= 62 π= 72 π= 82 π= 92 π= 102 π=314 112 π= 122 π= 132 π= 142 π= 152 π= 162 π= 172 π= 182 π= 192 π= 202 π=1256 212 π= 222 π= 232 π= 242 π= 252 π= 262 π= 272 π= 282 π= 292 π= 302 π=2826 312 π= 322 π= 332 π= 342 π= 352 π= 362 π= 372 π= 382 π= 392 π= 402 π=5024 412 π= 422 π= 432 π= 442 π=

452 π= 462 π= 472 π= 482 π= 492 π= 502 π=7850 512 π= 522 π= 532 π= 542 π= 552 π= 562 π= 572 π= 582 π= 592 π= 602 π=11304 612 π= 622 π= 632 π= 642 π= 652 π= 662 π= 672 π= 682 π= 692 π= 702 π=15386 712 π= 722 π= 732 π= 742 π= 752 π= 762 π= 772 π= 782 π= 792 π= 802 π= 812 π= 822 π= 832 π= 842 π= 852 π= 862 π= 872 π= 882 π=

892 π= 902 π=25434 912 π= 922 π= 932 π= 942 π= 952 π= 962 π= 972 π= 982 π= 992 π= 1002 π=31400 12~1002 12=1 22=4 32=9 42=16 52=25 62=36 72=49 82=64 92=81 102=100 112=121 122=144 132=169 142=196 152=225 162=256 172=289 182=324 192=361 202=400 212=441 222=484 232=529 242=576 252=625 262=676 272=729 282=784 292=841 302=900 312=961 322=1024 332=1089 342=1156 352=1225 362=1296 372=1396 382=1444 392=1521 402=1600 412=1681 422=1764 432=1849 442=1936 452=2025

π的常用倍数计算值

圆周率π的常用计算值 1×π=3.1426×π=81.6451×π=160.1476×π=238.64 2×π=6.2827×π=84.7852×π=163.2877×π=241.78 3×π=9.4228×π=87.9253×π=166.4278×π=244.92 4×π=12.5629×π=91.0654×π=169.5679×π=248.06 5×π=15.730×π=94.255×π=172.780×π=251.2 6×π=18.8431×π=97.3456×π=175.8481×π=254.34 7×π=21.9832×π=100.4857×π=178.9882×π=257.48 8×π=25.1233×π=103.6258×π=182.1283×π=260.62 9×π=28.2634×π=106.7659×π=185.2684×π=263.76 10×π=31.435×π=109.960×π=188.485×π=266.9 11×π=34.5436×π=113.0461×π=191.5486×π=270.04 12×π=37.6837×π=116.1862×π=194.6887×π=273.18 13×π=40.8238×π=119.3263×π=197.8288×π=276.32 14×π=43.9639×π=122.4664×π=200.9689×π=279.46 15×π=47.140×π=125.665×π=204.190×π=282.6 16×π=50.2441×π=128.7466×π=207.2491×π=285.74 17×π=53.3842×π=131.8867×π=210.3892×π=288.88 18×π=56.5243×π=135.0268×π=213.5293×π=292.02 19×π=59.6644×π=138.1669×π=216.6694×π=295.16 20×π=62.845×π=141.370×π=219.895×π=298.3 21×π=65.9446×π=144.4471×π=222.9496×π=301.44 22×π=69.0847×π=147.5872×π=226.0897×π=304.58 23×π=72.2248×π=150.7273×π=229.2298×π=307.72 24×π=75.3649×π=153.8674×π=232.3699×π=310.86 25×π=78.550×π=15775×π=235.5100×π=314

圆周率的计算方法

圆周率的计算方法古人计算圆周率，一般是用割圆法。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。Archimedes用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；Ludolph Van Ceulen用正262边形得到了35位精度。这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。下面挑选一些经典的常用公式加以介绍。除了这些经典公式外，还有很多其他公式和由这些经典公式衍生出来的公式，就不一一列举了。 ?Machin公式这个公式由英国天文学教授John Machin于1706年发现。他利用这个公式计算到了100位的圆周率。Machin公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。 Machin.c 源程序还有很多类似于Machin公式的反正切公式。在所有这些公式中，Machin公式似乎是最快的了。虽然如此，如果要计算更多的位数，比如几千万位，Machin 公式就力不从心了。下面介绍的算法，在PC机上计算大约一天时间，就可以得到圆周率的过亿位的精度。这些算法用程序实现起来比较复杂。因为计算过程中涉及两个大数的乘除运算，要用FFT(Fast Fourier Transform)算法。FFT可以将两个大数的乘除运算时间由O(n2)缩短为O(nlog(n))。关于FFT算法的具体实现和源程序，请参考Xavier Gourdon的主页 ?Ramanujan公式 1914年，印度数学家Srinivasa Ramanujan在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式，这是其中之一。这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。

圆周率π的计算方法

圆周率π的计算方法圆周率的计算方法古人计算圆周率，一般是用割圆法。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。Archimedes用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；Ludolph Van Ceulen 用正262边形得到了35位精度。这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。 1、 Machin公式这个公式由英国天文学教授John Machin于1706年发现。他利用这个公式计算到了100位的圆周率。Machin公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。用马青公式计算Pi至小数点后100位程序 program Pi_Value; {$APPTYPE CONSOLE} //将Pi计算精确小数点后100位 //Machin公式

//Pi=16arctan(1/5)-4arctan(1/239) uses SysUtils; const N=100; S=2*N+50; aNum=5; bNum=239; type Num=array [1..S] of byte; //初始化数组 procedure AZero(var arr:Num); var i:smallint; begin for i:=1 to S do arr:=0; end; //除法 procedure Division(var arr:Num;const b:smallint); var c,y,i:smallint; begin c:=0; for i:=1 to S do begin y:=arr+c*10; c:=y mod b; arr:=y div b; end; end; //加法 procedure Addition(var arr:Num;const b:Num); var i,y,c:smallint; begin c:=0; for i:=S downto 1 do

圆周率的几种计算方法

圆周率的几种计算方法姓名李至佳学号 06205013 专业基础数学摘要：本文简要的介绍了圆周率的起源及其计算方法，正是圆周率这个数的特殊性，致使从古到今许多数学家为之奉献毕生的经历来研究的精确值。因此，用什么样的方法计算使其值更加精确，这是一个很值得研究的问题。关键词：圆周率，计算方法，正多边形，连分数一、很早以前就有了从人类祖先的祖先诞生在这个地球上算起，经历了几千万年的时间。我们看见的太阳几乎总是圆的，而月亮由于地球的遮挡，有圆有缺。椭圆、抛物线，双曲线等都是很晚才发现的曲线。地球诞生之前,太阳就是圆形的。月亮大概是和地球同时诞生的. 在使用工具和火不久,人类对太阳和月亮，或者对动物和鱼类的眼睛是圆的,也就是说对圆这种形状一定感到很奇妙。远古，数刚诞生时，肯定只在1和许多个之间有区别。而且，很早以前，就只考虑1和2这两个数。以后因为1个人有2只脚和2只手，2个人就有4只脚和4只手，1头家畜有4只脚，2头家畜有8只脚，等等。不久，就知道了比例的概念。到了这个阶段人们自然关顾圆周的长度与圆的直径之间一定的比例常数。尽管圆有大有小，但对一个圆来说，其周长与直径之间的比例常数就是圆周率二、的几种计算方法有一个关于圆周率的歌谣，盛行于古代："山巅一寺一壶酒，尔乐苦煞吾，把酒吃，酒杀尔，杀不死，乐而乐。" 圆周率是圆的周长与直径之比，表示的是一个常数，符号是希腊字母。人们为了计算圆周率，公元前便开始对它进行计算。魏晋时期刘徽曾于公元263年用割圆术的方法求到3.14，这被称为"徽率"。在公元460年，祖冲之应用了刘徽的割圆术（也就是下面提到的正多边形的方法），算得圆周率为3.1415926。祖冲之所求的值，保持了1000多年的世界纪录。 1596年，荷兰数学家鲁道夫经过长期的努力和探索，把值推算到15位小数，打破了祖冲之长达1000多年的纪录，后来他本人又把这个数推进到35位。 18世纪初，圆周率达到72位。19世纪时，圆周率又求到140位、200位、500位。1873年，威廉欣克用了几十年时间，将π值算到707位。到了1946年，世界上第一台电子计算机(ENIAC)问世美国，有人在计算机上用了70个小时，算出圆周率达到2035位。1955年达到10 017位，1962年达到10万位。1973年达到100万位，1981年日本数学家把它推算到200万位。1990年美国数学家继续新的计算，将值推到新的顶点4.8亿位。经过长时间艰苦的计算，值只是个近似值，这是一个永不循环的数学计算，也是数学史上的马拉松。下面介绍几种计算的方法：（一）公元前利用正多边形计算公元前1650年，埃及人著的兰德纸草书中提出＝（4/3） 3=3.1604。但是对的第一次科学的尝试应归功于阿基米德。阿基米德计算值是采用内接和外切正多边形的方法。数学上一般把它称为计算机的古典方法。

圆周率的计算历程及意义

圆周率π的计算历程及意义李毫伟数学科学学院数学与应用数学学号:080412047 指导老师:王众杰摘要: 圆周率π这个数,从有文字记载的历史开始,就引起了人们的兴趣.作为一个非常重要的常数,圆周率π最早是出于解决有关圆的计算问题.仅凭这一点,求出它的尽量准确的近似值,就是一个极其迫切的问题了.几千年来作为数学家们的奋斗目标,古今中外的数学家为此献出了自己的智慧和劳动.回顾历史,人类对π的认识过程,反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面.π的研究在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平. 关键词: 圆周率; 几何法; 分析法; 程序 1、实验时期通过实验对π值进行估算,这是计算π的第一个阶段.这种对π值的估算基本上都是以观察或实验为根据,是基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出来 π=这个数据,最早见于有文字记载的基督教《圣经》的.在古代,实际上长期使用3 中的章节,其上取圆周率π为3.这一段描述的事大约发生在公元前950年前后.其他如巴比伦、印度、中国等也长期使用3这个粗略而简单实用的数值.在我国刘徽之前“圆径一而周三”曾广泛流传.我国第一部《周髀算经》中,就记载有“圆周三径一”这一结论.在我国,木工师傅有两句从古流传下来的口诀:叫做:“周三径一,方五斜七,”意思是说,直径为1的圆,周长大约是3,边长为5的正方形,对角线之长约为7,这正反应了人们早期对π和2这两个无理数的粗略估计.东汉时期,官方还明文规定圆周率取3为计算圆的面积的标准,后人称之为古率. 早期的人们还使用了其它的粗糙方法.如古埃及、古希腊人曾用谷粒摆在圆形上,以数粒数与方形对比的方法取得数值.或用匀重木板锯成圆形和方形以秤量对比取值……由此,得到圆周率π的稍好些的值.如古埃及人应用了约四千年的()≈2984 3.1605.在印度,公元前六世纪,曾取π≈10≈3.162.在我国东、西汉之

圆周率小数点后50位

26 43 38 32 79 50 28 84 19 71 69 39 93 75 10 14 15 92 65 35 89 79 32 38 46 26 43 38 32 79 50 28 84 19 71 69 39 93 75 10 14 15 92 65 35 89 79 32 38 46 26 43 38 32 79 50 28 84 19 71 69 39 93 75 10 14 15 92 65 35 89 79 32 38 46 26 43 38 32 79 50 28 84 19 71 69 39 93 75 10 14 15 92 65 35 89 79 32 38 46 26 43 38 32 79 50 28 84 19 71 69 39 93 75 10 14 15 92 65 35 89 79 32 38 46 26 43 38 32 79 50 28 84 19 71 69 39 93 75 10

一题几何题的多种解法

E D P C B A E D P C B A 一题几何题的多种解法易永彪浙江省苍南县新星学校 325800 从不同的角度、不同的思路去探寻题目时，往往会得到多种精妙的解法，精彩纷呈，殊途同归。这种一题多解的做法能充分调动学生思维的积极性，提高他们综合运用已学知识解答数学问题的技能技巧，锻炼学生思维的灵活性，开阔学生的思路，引导学生灵活地掌握知识的纵横联系，培养和发挥学生的创造性。现在笔者从一道几何题出发探究解法的多样性，一同体验数学的乐趣。题目：如图，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB=80°，点P 在AB 上，且∠BPC=30°，求证：AP=BC 。 1、巧用“三线合一”性质等腰三角形“三线合一”定理，在几何计算和论证过程中有着很重要的作用。这个定理虽然很普通，但平凡的背后却有奇妙的作用，若能巧妙地利用这个性质解题，将起到事半功倍的效果。分析：这道题的条件中有∠ABC=∠ACB=80°，可得AB=AC ，就可以利用“三线合一”性质，故联想到过A 作BC 边上的垂线AD 。根据“三线合一”性质，BD=CD 。本题要让我们证AP=BC ，所以就要构造出一条边的长度为1 2AP 。又知∠BPC=30°，容易想到过A 作CP 延长线的垂线AE 。利用30°所对边的直角边为斜边的一半，可得AE= 1 2 AP 。易证△AEC ≌△CDA ，∴AE=CD 。 AP=2AE ，BC=2CD ，∴AP=BC 。 2、巧作等边三角形作等边三角形可以使一些与等腰三角形有关的几何问题变简单，给人以柳暗花明之感。分析： AB=AC ，∴可以以AB 为边向外做等边△ABD ，可多制造一些相等条件，利于证明结论。 AD=AB=AC 。我们较易想到作辅助圆：以A 为圆心、AB 为半径的⊙A 。 ∵ BC BC ，∴∠BDC=12∠BAC=10°，同理∠BCD=12 ∠BAD=30°， P C B A

有关圆周率计算中的简便算法

有关圆的简便计算和简便方法吉林市龙潭区教师进修学校附属小学孙晓杰摘要：小学六年级在有关圆的计算中，圆周率与其它数量相乘属于较复杂的小数乘法，数学教师要教会学生记住最基本的∏值，还要先计算3.14以外的乘积，较复杂的含有∏的多步计算，要运用运算定律简算，就是尽量避免3.14与其它数字相乘机会；充分利用圆的对称性和重叠问题的解法对有关圆的复杂的组合图形进行旋转、平移，使其转化成较规范的简单的图形，从而使计算更加简便。关键词：记住∏值、运用定律、尽量口算、旋转平移教过小学数学的人，众所周知，关于圆周率∏的计算很麻烦，在一个数乘3.14的时候步骤繁琐，而且很容易出错。简算不是数学计算的目的，而是数学计算的需要。本人从事小学数学教学工作，20年的教学生涯，在小学六年级有关圆周率的教学中，总结出一套简便算法，现把自己的做法呈现出来与同行们分享。一、从第一次学习圆的周长计算那天起，背下来最基本的1∏到10∏∏值，即1∏＝3.14 2∏＝6.28 3∏＝9.42 4∏＝12.56 5∏＝15.7 6∏＝18.84 7∏＝21.98 8∏＝25.12 9∏＝28.26 10∏＝31.4 二、还有计算周长时一些常用的，如12∏=37.68 15∏=47.1 16∏=50.24 18∏=56.52 24∏=75.36 32∏=100.48 36∏=113.04 7.5∏=23.55 三、计算面积时，经常遇到平方数，不但前五年学过的1到10的平方数准确无误，还要把11到20的平方数倒背如流，它们分别是121、

144、169、196、225、256、289、324、361、400，还有几个特殊的平方数，如25的平方625；24的平方576；关于面积常用到的含有圆周率的数有：16∏=50.24 25∏=78.5 36∏=113.04 64∏=200.96 144∏=489.6 225∏=706.5 256∏=803.84 625∏=1962.5 还有49∏=153.86 81∏=254.34只是这两个不常用。四、由上面衍生、拓展而来的如：1/2∏=1.57 1/4∏=0.785 1/8∏=0.3925 1/16∏=0.19625 1.5∏=4.71 20∏=62.8 0.2∏=0.628 2.25∏=7.065 6.25∏=19.625 300∏=942 1.5∏=4.71诸如此类的∏值，只要在最基本的基础上，相应地移动小数点就能准确地得出结果。五、计算含有圆周率一般乘法时可以运用运算定律，如192∏可以从200∏即628中减去8∏即25.12；48∏可用40∏即125.6加上8∏即25.12，也可以从50∏即157中减去2∏即6.28;99∏可以从100∏即314中减去1∏即3.14在计算有关圆周率∏的乘法中，使用加减法来简算，避免了列乘法竖式，远比用乘法简便还准确。六、在计算单纯的圆、扇形的周长和面积还有圆柱、圆锥的体积时，要先计算圆周率∏以外的其它的数值，最后乘3.14，如计算一个半径为15的圆的周长，列式2×3.14×15，要先计算出2×15的积30，再把3∏即9.42乘10，得出积为94.2。七、在有关圆的组合图形、圆柱的表面积、圆柱和圆柱、圆柱和圆锥、圆锥和圆锥组合体的体积的计算中，大都会出现圆周率∏，如一个无盖的圆柱形铁皮水桶，底面半径是20厘米，高30厘米，做这个水桶至少用铁皮多少平方米？列式计算为：