高中数学常见题型解法归纳 二面角的求法

高中数学常见题型解法归纳 二面角的求法
【知识要点】 一、二面角的定义
平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分叫做半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面.二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做这个二面角的平面角. 二、二面角的范围
规定：二面角的两个半平面重合时，二面角为00，当两个半平面合成一个平面时，二面角为0180，因此，二面角的大小范围为000,180⎡⎤⎣⎦.
三、二面角的求法
方法一：（几何法）找→作（定义法、三垂线法、垂面法）→证（定义）→指→求（解三角形） 方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量,m n ；再代入公式cos m n m n
α•=±
（其中,m n 分别是
两个平面的法向量，α是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“±”号） 四、求二面角体现的是数学的转化的思想，就是把空间的角转化为平面的角，再利用解三角形的知识解答.
【方法讲评】
方法一 几何法
使用情景 二面角的平面角本身就存在或方便作出来.
解题步骤
找→作（定义法、三垂线法、垂面法）→证（定义）→指→求（解三角形）
【例1】如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为3的菱形，060ABC ∠=，PA ⊥面ABCD ，
且3PA =，F 在棱PA 上，且1AF =，E 在棱PD 上.
（1）若//CE 面BDF ，求:PE ED 的值； （2）求二面角B DF A --的余弦值.
（2）过点B 作BH ⊥直线DA 交DA 延长线于H ，过点H 作HI ⊥直线DF 交于I ， ∵PA ⊥面ABCD ,∴面PAD ⊥面ABCD ，∴BH ⊥面PAD ，由三垂线定理可得DI IB ⊥, ∴BIH ∠是二面角B DF A --的平面角. 由题意得3
2AH =
，339,22BH HD ==，且110
HI AF HD DF ==，∴91020HI =, ∴332030
tan 23
910BIH ∠=
⨯=
，∴二面角B DF A --的余弦值为3913. 【点评】（1）本题第2问也可以利用向量的方法解答.(2)第2小问的解答实际上是利用了几何的方法，利用三垂线定理作出二面角的平面角，再解三角形.这是几何法求二面角常用的一种方法，大家务必熟练掌握灵活运用.
【反馈检测1】如图所示，四边形ABCD 是菱形，O 是AC 与BD 的交点，SA ABCD ⊥平面.
（Ⅰ）求证：SAC SBD ⊥平面平面；
（Ⅱ）若︒=∠120DAB ，BS DS ⊥，AB=2，求二面角S BC A --的余弦值. 方法二 向量法
使用情景
二面角的平面角不易作出来.
解题步骤
建立空间直角坐标系→求出两个平面的法向量,m n →代入公式cos m n m n
α•=±
（其
中,m n 分别是两个平面的法向量，α是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面
角的大小选择“±”号）
【例2】已知四棱锥-P ABCD 的底面为直角梯形，AB DC ∥，90DAB ∠=°，PA ⊥底面ABCD ，且1
12
PA AD DC AB ===
=，M 是PB 的中点． （1） 证明：面PAD ⊥面PCD ； （2） 求AC 与PB 所成的角；
（3） 求面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦值．
【点评】由于本题的二面角的平面角不易作出，而建立空间直角坐标系和写坐标都比较方便，所以可以选用向量的方法.
【反馈检测2】如图，四边形PCBM 是直角梯形90,//,1,PCB PM BC PM ∠=︒=
2BC =，又1,120,AC ACB AB PC =∠=︒⊥，直线AM 与直线PC 所成的角为60︒.
（1）求证：PC AC ⊥；（2）求二面角M AC B --的余弦值；（3）求点B 到平面MAC 的距离.
高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第55讲：
二面角的求法
【反馈检测1答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
155
.
（Ⅱ）法一：
,SA ABCD BC ABCD SA BC ⊥⊂⊥因为面面，所以，
过A 作AF BC F ⊥于，则BC SAF ⊥面，连接SF ，则SF BC ⊥， 所以SFA ∠是二面角S BC A --的平面角.
在菱形ABCD 中，0
12060DAB CAB ∠=∠=，所以，
1
1,2
AO AB =
=33BO AB == 因为1
,=32
DS BS O DB SO DB ⊥=
是中点,222SA SO AO -=
3
3AF AB =
=225SF SA AF =+= 所以15
cos AF SFA SF ∠==
S BC A --15. 法二：
以A 为坐标原点，AB 方向为x 轴正方向，AS 方向为z 轴正方向，建立坐标系. 设SA a =,易得()2,0,0B ，()
1,3,0C ，()
1,3,0D -，()0,0,S a ，
()
1,3,DS a =-，()2,0,BS a =-，由DS BS ⊥得0=⋅BS DS ，得2a =，
【反馈检测2答案】（1）证明见解析；（2）
217；（3）221
7
. 【反馈检测2详细解析】(1),,PC BC PC AB AB BC B ⊥⊥⋂=
PC ∴⊥平面ABC ，AC ⊆平面ABC ，PC AC ∴⊥
（2）在平面ABC 内，过点C 作BC 的垂线，并建立空间直角坐标系，如图所示
设()()()31330,0,0,0,,0,1,,,0,,2222P z CP z AM z z ⎛⎫⎛⎫
∴==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
22
cos 60cos 3AM CP z AM CP AM CP
z z
⋅︒=〈⋅=
=
⋅+⋅，且0z >
21331,,12223z
z AM z ⎛⎫∴=∴=∴=- ⎪ ⎪+⎝⎭
（3）点B 到平面MAC 的距离221
7
CB n d n
⋅=
=
.。