(完整版)数理统计参考答案
习题一
1 设总体X 的样本容量5=n ,写出在下列4种情况下样本的联合概率分布. 1)),1(~p B X ; 2))(~λP X ; 3)],[~b a U X ; 4))1,(~μN X .
解 设总体的样本为12345,,,,X X X X X , 1)对总体~(1,)X B p ,
11223344555
11
1
55(1)
(,,,,)()(1)(1)i i
n
x x i i i i x x P X x X x X x X x X x P X x p p p p -==-========-=-∏∏
其中:5
1
15i
i x x ==∑
2)对总体~()X P λ
11223344555
1
1
555
1
(,,,,)()!
!
i
x
n
i i i i i x
i i P X x X x X x X x X x P X x e x e x λ
λ
λλ-==-==========
∏∏
∏
其中:5
1
15i
i x x ==∑
3)对总体~(,)X U a b
55
1151
1
,,1,...,5 (,,)()0i i i i a x b i f x x f x b a ==?≤≤=?==-???
∏∏
L ,其他
4)对总体~(,1) X N μ
()()
()2
55
55/2
22
1511
1
1 (,,)()=2exp 2i x i i i i i f x x f x x μπμ--
-===??==-- ???
∑∏L
2 为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况,现随机抽取20个集装箱检查其产品损坏的件数,记录结果为:1,1,1,1,2,0,0,1,3,1,0,0,2,4,0,3,1,4,0,2,写出样本频率分布、经验分布函数并画出图形.
解 设(=0,1,2,3,4)i i 代表各箱检查中抽到的产品损坏件数,由题意可统计出如下的样本频率分布表1.1:
经验分布函数的定义式为:
()()()
(1)10,(),,=1,2,,1,1,n k k k x x k
F x x x x k n n x x +??≤<-??≥??L ,
据此得出样本分布函数:
200,00.3,010.65,12()0.8,
230.9,341,4x x x F x x x x ?≤
?≤
≤?≤
≥?
图1.1 经验分布函数
x
()
n F x
3 某地区测量了95位男性成年人身高,得数据(单位:cm)如下:
试画出身高直方图,它是否近似服从某个正态分布密度函数的图形.
解
图1.2 数据直方图
它近似服从均值为172,方差为5.64的正态分布,即(172,5.64)N .
4 设总体X 的方差为4,均值为μ,现抽取容量为100的样本,试确定常数k ,使得满足9.0)(=<-k X P μ.
解 ()
- 5P X k P k μ?
?<=?
()()
555 P k X k μ=-<-<
因k 较大,由中心极限定理(0,1)
X N : ()
()()
-55P X k k k μ<≈Φ-Φ-
(5)(1(5))
k k =Φ--Φ
()2510.9k =Φ-=
所以:()50.95
k Φ=
查表得:5 1.65k =,0.33k ∴=.
5 从总体2
~(52,6.3)X N 中抽取容量为36的样本,求样本均值落在50.8到53.8之间的概率.
解 (
)50.853.8 1.1429 1.7143X P X P ??<<=-<
< ???
(0,1)X U N =
Q
()()
50.853.8 1.1429 1.7143(1.7143)( 1.14290.9564(10.8729)0.8293
P X P U ∴<<=-<<=Φ-Φ-=--=)
6 从总体~(20,3)X N 中分别抽取容量为10与15的两个独立的样本,求它们的均值之差的绝对值大于0.3的概率.
解 设两个独立的样本分别为:110,,X X K 与115,,Y Y K ,其对应的样本均值为:X 和Y . 由题意知:X 和Y 相互独立,且:
3~(20,)10X N ,3~(20,)15Y N
(0.3)1(0.3)P X Y P X Y ->=--≤
1P =-
~(0,0.5)~(0,1)(0.3)22(0.4243)0.6744
X Y N X Y
N P X Y -->=-Φ=Q
7 设110,,X X K 是总体~(0,4)X N 的样本,试确定C ,使得10
2
1
()0.05i i P X C =>=∑.
解 因~(0,4)i X N ,则
~(0,1)2
i
X N ,且各样本相互独立,则有: 10
12
2~(10)2i i X χ=??
???∑
所以:10
1022
1
1
(
)()144
i
i
i i C
P X
C P X ==>=>
∑∑
1021
110.0544i i c P X =??
=-≤= ???∑
1021
10.9544i i c P X =??
≤= ???∑
查卡方分位数表:c/4=18.31,则c=73.24.
8 设总体X 具有连续的分布函数()X F x ,1,,n X X K 是来自总体X 的样本,且i EX μ=,
定义随机变量:
1,
,1,2,,0,
i i i X Y i n X μμ
>==≤??
?L
试确定统计量∑=n
i i Y 1的分布.
解 由已知条件得:~(1,)i Y B p ,其中1()X p F μ=-.
因为i X 互相独立,所以i Y 也互相独立,再根据二项分布的可加性,有
1
~(,)n
i
i Y
B n p =∑,1()X p F μ=-.
9 设1,,n X X K 是来自总体X 的样本,试求2,,EX DX ES 。假设总体的分布为: 1)~(,);X B N p 2) ~();X P λ 3) ~[,];X U a b 4) ~(,1);X N μ 解 1) EX EX Np ==
(1)
DX Np p DX n n
-=
=
2(1)ES DX Np p ==-
2) EX EX λ==
DX DX n n
λ=
=
2ES DX λ==
3) 2
a b
EX EX +==
()2
12b a DX DX n n
-== ()2
2
12
b a ES
DX -==
4) EX EX μ==
1DX DX n n
=
= 21ES DX == 10 设1,,n X X K 为总体2~(,)X N μσ的样本,求
21()n i i E X X =??-????∑与21()n i i D X X =??-????
∑。 解
()2
22
12
(1)(1)(1)(1)n i i E X X E n S n ES n DX n σ=??-=-=-????????
=-=-∑ ()2224
21(1)(1)n i i n S D X X D n S D σσ=??-????-=-=??????????
∑ 又因为
2
2
2
(1)~(1)n S n χσ--,所以:()24
12(1)n i i D X X n σ=??-=-????
∑
11 设1,,n X X K 来自正态总体(0,1)N ,定义:121
1
||,||n
i
i Y X Y X n
===
∑,计算12,EY EY .
解 由题意知~(0,1/)X N n
,令:Y =,则~(0,1)Y N
()E Y X
22
||y y e
dy +∞
-
=
?22
0y ye
dy +∞
-
=
?
t e dt +∞-=
(1)=
=
1((||))E Y E X ==
211
11(||(||))()n n
i i i i E Y E X E X n n E X ===??=== ???∑∑12 设1,,n X X K 是总体~(,4)X N μ的样本,X 为样本均值,试问样本容量n 应分别取多大,才能使以下各式成立:
1)2
||0.1E X μ-≤;2)||0.1E X μ-≤;3)(||1)0.95P X μ-≤=。 解 1)
4~(,4)
~(,)X N X N n μμ∴Q
~(0,1)X U N =
2
E X μ
-2
4X E n =
24X X D E n ??=
+????
()4
100.1n
=
+≤ 所以:40n ≥
2)
~(0,1)X U N =
()E E U
=2
2
u u du +∞
--∞
=?
2
20
2u du +∞
-==?
所以:0.1E X μ-=
≤ 计算可得:225n ≥
3)
()
()111P X P X μμ-≤=-≤-≤
P ?=≤≤ ??
22??=Φ-Φ- ????
210.952??=Φ-≥ ? ???
查表可得:
0.975 1.96,15.362
u n ≥=≥ ,而n 取整数,16n ∴≥. 13 设1(,,)n X X K 和1(,,)n Y Y K 是两个样本,且有关系式:1()i i Y X a b
=-(,a b 均为常数,
0b ≠)
,试求两样本均值X 和Y 之间的关系,两样本方差2X S 和2
Y S 之间的关系. 解 因:()111
n i i Y X a n b
==-∑
111n i i X na b n =??
=- ???
∑ ()1
X a b
=
- 所以:()1
EY EX a b
=
- 即:
()
()()()2
2
21
12
221111111111=
1n
n Y
i i i i n
i X i S Y Y X a X a n n b b X X S n b b
===??=-=---??--??
??-=??-??∑∑∑
14 设15,,X X K 是总体~(0,1)X N 的样本.
1) 试确定常数11,c d ,使得2221121345()()~()c X X d X X X n χ++++,并求出n ; 2) 试确定常数2c ,使得222212345()/()~(,)c X X X X X F m n +++,并求出m 和n . 解 1)因:12~(0,2)X X N +,345~(0,3)X X X N ++
~(0,1)N
~(0,1)N 且两式相互独立
故:2
2
2
~(2)χ+
可得:112
c =
,11
3d =,2n =.
2) 因:222
1
2
~(2)X X χ+,
()2
3452~(1)3
X X X χ++,
所以:
()()
221
22
3452
~(2,1)3
X
X F X X X +++,
可得:23
,2,12
c m n =
==. 15 设(),(,)p p t n F m n 分别是t 分布和F 分布的p 分位数,求证
21/21[()](1,)p p t n F n --=.
证明 设1(1,)p F n α-=
,
则:()1(1P F p P p α≤=-?≤
≤=
-
((12(2(12
P T P T p P T p p P T ?≤-≤=-?≤=-?≤=
-
12
()p t
n -
=
故:2
112
()(1,)p p t
n F n α--==.
16 设21,X X 是来自总体)1,0(~N X 的一个样本,求常数c ,使:
1.0)()()(2212212
21=???
? ??>-+++c X X X X X X P .
解 易知12~(0,2)X X
N +~(0,1)N ; 同理12~(0,2)X X N
-~(0,1)N 又因:1212(,)0Cov X X X X +-=,所以12X X +与12X X -相互独立.
221212222
121212()(1)()()()()X X c X X P c P c X X X X X X ????+-+>=> ? ?++--????
2122
12()()1X X c P X X c ??
+=> ?--??
20.11c P c ???=>=- ? ?
??
所以:
0.9(1,1=39.91c
F c
=-) 计算得:c = 0.976.
17 设121,,,,n n X X X X +K 为总体2~(,)X N μσ的容量1n +的样本,2
,X S 为样本
1(,,)n X X K 的样本均值和样本方差,求证:
1
)~(1)T t n -;
2)211~(0,)n n X X N n
σ++-;
3)2
11~(0,
)n X X N n
σ--.
解 1)因:1()0n E X X +-=,2
11()n n D X X n
σ++-=
所以:2
11~(0,
)n n X
X N n σ++-
~(0,1)X N 又:
222
1
~(1)n S n χσ
--
X 2
21n S σ-相互独立
=~(1)t n -
2) 由1)可得:2
11~(0,
)n n X X
N n
σ++- 3) 因:1()0E X X -=,2
11()n D X X n
σ--=
所以:2
11~(0,
)n X X N n
σ-- 18 设1,,n X X K 为总体2~(,)X N μσ的样本,X 为样本均值,求n ,使得
(||0.25)0.95P X μσ-≤≥.
解
(
)
~(0,1)
0.25X U N X P X P μσ=
?∴-≤=-≤ ?Q
(210.95=Φ-≥
所以:(0.975Φ≥
查表可得:0.975 1.96u =,即62n ≥. 19 设1,,n X X K 为总体~[,]X U a b 的样本,试求: 1)(1)X 的密度函数; 2)()n X 的密度函数; 解 因:~[,]X U a b , 所以X 的密度函数为:
1
,[,]()0,[,]
x a b f x b a
x a b ?∈?
=-????, 0,(),1,x a x a F x a x b b a x b ≤?
?-?=<≤?-?
>??
由定理:1
(1)()(1())
()n f x n F x f x -=-
11
(
),[,]0,[,]n b x n x a b b a b a
x a b --?∈?=--????
1
()()(())
()n n f x n F x f x -=
11
(
),[,]0,[,]n x a n x a b b a b a
x a b --?∈?=--????
20 设15,,X X K 为总体~(12,4)X N 的样本,试求: 1)(1)(10)P X <; 2)(5)(15)P X < 解
~(12,4)12
~(0,1)2
i X N X N -∴
Q ()()(1)(1)10110P X P X <=-≥
()5
1110i
i P X
==-
≥∏
()()5
1
1110i i P X ==--≤∏
5
1121112i i X P =?-?
??=--≤- ? ????
?∏
51(1(1))=--Φ- 51(1)0.5785=-Φ=
()()5
(5)11515i i P X P X =<=<∏
51
12 1.52i i X P =-??
=< ???∏
55(1.5)0.93320.7077=Φ==
21 设11(,,,,,)m m m n X X X X ++K K 为总体2~(0,)X N σ的一个样本,试确定下列统计量的分布:
1
)1m
i
X Y =
; 2)2
122
1
m
i
i m n
i
i m n X Y m X =+=+=
∑∑;3)2
12
212311??
? ??+???
??=∑∑++==n m m i i m i i X n X m Y σσ
解 1)因为:
21
~(0,)m
i
i X
N m σ=∑
~(0,1)m
i X
N ∑,
2
22
1
~()
m n
i i m X n χσ
+=+∑
m
i X
∑与
2
2
1
m n
i i m X σ
+=+∑
相互独立,由抽样定理可得:
1~()m
i
m
i
X
X Y t n =
∑ 2)因为:
22
2
1
1
~()m
i
i X
m χσ
=∑,
222
1
1
~()
m n i i m X n χσ
+=+∑
且
22
1
1
m
i
i X
σ=∑与
221
1
m n
i i m X σ+=+∑
相互独立,
所以:
222
112
221
1
1=
~(,)1
m
m
i
i i i m n
m n
i i i m i m n X
X m F m n m X X n
σσ==++=+=+∑∑∑∑
3)因为:
2
1
~(0,)m
i
i X
N m σ=∑,
21
~(0,)m n i i m X N n σ+=+∑
所以:
2
21
2
()
~(1)m
i i X m χσ=∑,
2
212
()~(1)
m n
i i m X n χσ+=+∑
且
2
1
2
()
m
i i X m σ
=∑与
2
1
2
()m n
i i m X n σ
+=+∑相互独立,
由卡方分布可加性得:2
2
2
22
111~(2)m m n i i i i m n X X m n χσσ+==+????+ ? ?????
∑∑. 22 设总体X 服从正态分布),(2
σμN ,样本n X X X ,,,21Λ来自总体X ,2
S 是样本方
差,问样本容量n 取多大能满足95.067.32)1(22=???
?
??≤-σS n P ?
解 由抽样分布定理:
222
1
~(1)n S n χσ--,22
1
(
32.67)0.95n P S σ-≤=,
查表可得:n 121-=,n 22=.
23 从两个正态总体中分别抽取容量为20和15的两独立的样本,设总体方差相等,
22
21
,S S 分别为两样本方差,求?
??
?
??>39.22221S S P . 解 设12=20=15n n ,分别为两样本的容量,2σ为总体方差,由题意,
22222
2111222222
2(1)19(1)14=~(19)=~(14)n S S n S S χχσσσσ
--, 又因22
21,S S 分别为两独立的样本方差:2
12
2
12
22
2
2
1919=~(19,14)1414
S S F S S σσ 所以:221122222.391 2.3910.950.05S S P P S S ????
>=-≤=-= ? ?????
.
24 设总体),(~2
σμN X ,抽取容量为20的样本2021,,,X X X Λ,求概率
1)????
??
??≤-≤
∑=57.37)(85.102
20
1
2
σμi i X P ;
2)????
?
?
?
?≤-≤
∑=58.38)(65.112
20
1
2
σi i
X X
P .
解 1)因
~(0,1)i X N μ
σ
-,且各样本间相互独立,所以:
()
20
2
2
20
221
2
1~(20)i
i i i X X μμχχσσ==--??== ???
∑∑ 故:()210.8537.570.990.050.94P χ≤≤=-=
2)因:
()
20
2
2
21
2
2
19~(19)i
i X
X S χσ
σ
=-=
∑, 所以:
221911.6538.580.9950.10.895.S P σ??
≤≤=-= ???
25 设总体),80(~2
σN X ,从中抽取一容量为25的样本,试在下列两种情况下
)380(>-X P 的值:
1) 已知20=σ;
2) σ未知,但已知样本标准差2674.7=S . 解 1)
()
22
~(80,)80~(80,
)~(0,1),~(24)255
80380320/54X N X X X N N t S X P X P σσ-∴??
- ?
->=> ???
Q 314P U ?
?=-≤ ???12(0.75)1=-Φ+
220.77340.4532=-?=
2)()
80803 2.0647.2674/5X P X P ??
- ?->=> ???
()1 2.064120.97510.05P T =-≤=-?+=
26 设1,,n X X K 为总体2~(,)X N μσ的样本,2,X S 为样本均值和样本方差,当20n =时,求:
1)();4.472
P X σμ<+
2)2
2
2
(||);2
P S σ
σ-<
3)确定C ,使()0.90S P C X μ
>=-.
解 1)
2~(,)
~(0,)1 4.4724.472X N N X X P X P μσμμσσ??-?
?<+=< ? ?
????
Q
10.8413X P ??
=<=???
2)2222222
22
2P S P S σσσσσ????-<=-<-< ? ?????
222322P S σσ??=<< ???
221322S P σ??
=<< ???
2
2199.528.5S P σ??=<< ?
??
其中2
2
22
19=
~(19)S χχσ
,则
()2222
2
2199.528.529.528.50.950.050.9
S P S P P σσσχ????-<=<< ? ?????=<<=-= 3)
1== ? ?-?????
其中,(19)X T t ,则
0.9S P c P T X μ???>== ? -????
所以:
0.9(19)=1.328t =,计算得: 3.3676c =. 27 设总体X 的均值μ与方差2σ存在,若n X X X ,,,21Λ为它的一个样本,X 是样本均值,试证明对j i ≠,相关系数1
1),(--=--n X X X X r j i . 证明
cov(,)(,)i j X X X X r X X X X ----=
2
1()()i j n D X X D X X n
σ--=-=
21
ov(,)()i j i j i j C X X X X E X X X X X X X X n
σ--=---=-
所以:1
(,)1
i j r X X X X n --=--.
28. 设总体2~(,)X N μσ,从该总体中抽取简单随机样本)1(,,,221≥n X X X n Λ,X 是
它的样本均值,求统计量∑=+-+=
n
i i n i
X X X
T 1
2)2(的数学期望.
解 因2~(,)X N μσ,)1(,,,221≥n X X X n Λ为该总体的简单随机样本,令
i i n i Y X X +=+,则有2~(2,2)i Y N μσ
可得:1
12n
i i Y Y X n ===∑
()2
2
21
1
(2)(1)n
n
i n i i Y i i T X X X Y Y n S +===+-=-=-∑∑
22(1)2(1)Y ET n ES n σ=-=-
习题二
1 设总体的分布密度为:
(1),01
(;)0,
x x f x ααα+<<=???其它
1(,,)n X X L 为其样本,求参数α的矩估计量1?α和极大似然估计量2?α .现测得样本观测值
为:0.1,0.2,0.9,0.8,0.7,0.7,求参数α的估计值 .
解 计算其最大似然估计:
()()
11
1
11
(,)11ln (,)ln(1)ln n
n
n
n i i i i n
n i
i L x x x x L x x n x α
α
αααααα===??=+=+??=++∏∏∑K K
11
21
ln (,)ln 01?10.2112
ln n n i i n i
i d n L x x x d n x ααααα====+=+=--=∑∑K
其矩估计为:
()1 3.40.10.20.90.80.70.766
X =
+++++= 3077
.0121?,212)1()1(11
01
21
=--==++=++=+=?++X X X x dx x EX αααααααα
所以:12112??,11ln n
i
i X n X X αα=??
?- ?==-+-
? ??
?
∑, 12??0.3077,0.2112αα≈≈.
2 设总体X 服从区间[0, θ]上的均匀分布,即~[0,]X U θ,1(,,)n X X L 为其样本, 1)求参数θ的矩估计量1?θ和极大似然估计量2?θ;
2)现测得一组样本观测值:1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1,试分别用矩法和极大似然法求总体均值、总体方差的估计值. 解 1)矩估计量:
11
??,2 2.42
EX X X θθ=
=== 最大似然估计量:
11
11
1
(,)ln (,)0
n
n n
i n L x x n
L x x θθ
θθθ
===
=-
=∏
K K
无解 .此时,依定义可得:2
1?max i i n
X θ≤≤=
2)矩法:211??1.2,0.4722
12
EX DX θθ=
==
=
极大似然估计:222??1.1,0.40332
12
EX DX θθ====.
3 设1,...,n X X 是来自总体X 的样本,试分别求总体未知参数的矩估计量与极大似然估计量 .已知总体X 的分布密度为:
1),0(;),
00,
x
e
x f x x λλλλ->=>≤??
?未知
2)(;),
0,1,2,,0!
x
f x e x x λ
λ
λλ-=
=>L 未知
3)1,(;,)0
a x
b f x a b a b b a
≤≤=<-??
???,
其它
未知
4) 2
,0(;)0
x
x f x θθθ-<≤<+∞=??
?,
其它
θ未知
5)()/1,(;,),
00,
x e x f x x αβ
ααβββα
--≥=>????,其中参数,αβ未知
6)1
,0(;,),
,00,
x
x f x x αααβαβαββα
-≤≤=>????,其中参数,αβ未知
7
)2
2
2,0
(;),
00,0
x x f x x θ
θθ-
>=>≤??
未知
8)
22
(;)(1)(1)
,2,3,,01x f x x x θθθθ
-=--=< 解 1) 矩法估计:1 1 1?,EX X X λλ=== 最大似然估计: 1111 1 (,),ln (,)ln n i i i n n x x n n n i i i L x x e e L x x n x λ λλλλλλλ=--==∑===-∑∏K K 2 1 1 1 ?ln 0,n i n i i i d n n L x d X x λλλ===-=== ∑∑. 2) ~()X P λ 矩估计: 1 ?,EX X X λλ=== 最大似然估计: 11 (,),ln ln i x nx n n n i i i i L x x e e L n nx x x x λ λ λλλλλ--====-+-∑∏ ∏K 2 ?ln 0,d nx L n X d λλλ =-+==. 3) 矩估计:()2 ,212 b a a b EX DX -+== 联立方程: ( )2 *221?2 ?a X b X a b X b a M ?=- ?→+?=???-?=???=+?? 最大似然估计: 11 1 (,)(;)() n n i n i L x x f x b a θθ== = -∏ K ,ln ln()L n b a =-- ln 0d L n da b a ==-,无解,当1?min i i n a X ≤≤=时,使得似然函数最大, 依照定义,1?min i i n a X ≤≤=,同理可得1?max i i n a X ≤≤=. 4) 矩估计: ln EX dx x x θ θ+∞ +∞= =? ,不存在 最大似然估计: 12 2 1 11 (,),ln ln 2ln n n n n i i i i i L x x L n x x x θ θθ θ=====-∑∏ ∏K ln 0n L αθ ?==?,无解;依照定义,(1) ?X θ=. 5) 矩估计: ()/0 ()(1)(2)x t x EX e dx t e dt αβ ααβαββ +∞ +∞ ---= = +=Γ+Γ?? X αβ=+= 2 222 ()(1)2(2)(3)t EX t e dt αβααββ+∞ -= +=Γ+Γ+Γ? 22222 2122()i M X n ααββαββ=++=++== ∑ 2 2 2 22* 2111 ??i M X X X M n X βαβ=-=-==-=∑ 一、填空题(本题15分,每题3分) 1、总体得容量分别为10,15得两独立样本均值差________; 2、设为取自总体得一个样本,若已知,则=________; 3、设总体,若与均未知,为样本容量,总体均值得置信水平为得置信区间为,则得值为________; 4、设为取自总体得一个样本,对于给定得显著性水平,已知关于检验得拒绝域为2≤,则相应得备择假设为________; 5、设总体,已知,在显著性水平0、05下,检验假设,,拒绝域就是________。 1、; 2、0、01; 3、; 4、; 5、。 二、选择题(本题15分,每题3分) 1、设就是取自总体得一个样本,就是未知参数,以下函数就是统计量得为( )。 (A ) (B ) (C ) (D ) 2、设为取自总体得样本,为样本均值,,则服从自由度为得分布得统计量为( )。 (A ) (B ) (C ) (D ) 3、设就是来自总体得样本,存在, , 则( )。 (A )就是得矩估计 (B )就是得极大似然估计 (C )就是得无偏估计与相合估计 (D )作为得估计其优良性与分布有关 4、设总体相互独立,样本容量分别为,样本方差分别为,在显著性水平下,检验得拒绝域为( )。 (A ) (B ) (C ) (D ) 5、设总体,已知,未知,就是来自总体得样本观察值,已知得置信水平为0、95得置信区间为(4、71,5、69),则取显著性水平时,检验假设得结果就是( )。 (A )不能确定 (B )接受 (C )拒绝 (D )条件不足无法检验 1、B ; 2、D ; 3、C ; 4、A ; 5、B 、 三、(本题14分) 设随机变量X 得概率密度为:,其中未知 参数,就是来自得样本,求(1)得矩估计;(2)得极大似然估计。 解:(1) θθθ322)()(022 ===??∞+∞-x d x x d x f x X E , 令,得为参数得矩估计量。 (2)似然函数为:),,2,1(,022),(1212n i x x x x L i n i i n n n i i i Λ=<<==∏∏==θθθθ, , 而就是得单调减少函数,所以得极大似然估计量为。 《应用数理统计》期末考试试题 (2011-11-26上午8:30—10:30) 学院: 学号: 姓名: 注意:所有题目答案均做在答题纸上,该试卷最后随答题纸一同上交,否则成绩无效。 1、(20分)设总体X 服从正态分布(0,1)N ,12,X X 为来自总体X 的简单样本,设112212; Y X X Y X X =+=-。 (1)求二维随机变量12(,)Y Y 的联合密度()21,y y f ; (2)分别求12,Y Y 的边缘密度函数()()2121,y f y f Y Y ; (3)12,Y Y 是否独立?说明根据。 (4)叙述2χ分布的构造性定义。能否通过取适当的常数c ,使得2212()c Y Y +服从2χ分布?若可以,求出c ,并写出所服从的2χ分布的自由度。 2、(20分)设12,,,n X X X 是来自正态总体() 2~0,X N σ的简单样本,记 22221 21111??();1n n i i i i X X X n n σσ===-=-∑∑,其中11n i i X X n ==∑, (1)证明:21?σ是2 σ的渐近有效估计量; (2)证明:22?σ是2 σ的有效估计量; (3)试分别以21?σ,22?σ为基础构造2 σ的两种1α-置信区间。你认为你得到的哪个估计区间会更好一些?为什么? 3、(20分)(1)简述假设检验的一般步骤; (2)某厂生产一批产品,质量检查规定:若次品率0.05p ≤,则这批产品可以出厂,否则不能出厂。现从这批产品中抽查400件产品,发现有30件是次品,问:在显著性水平0.05α=下,这批产品能否出厂?若取显著性水平0.02α=,会得出什么结论?α是越小越好吗?对你的答案说明理由。 要求:将此问题转化成统计问题,利用所学知识给出合理的、令人信服的推断,推断过程的每一步要给出理由或公式。分位点定义如下: 若随机变量W ,对任意的()1,0∈α,有()α=≤x W P ,称x 为W 的α分位点,记作αx 。 ---------------------------------------- 说明:本试卷总计100分,全试卷共 5 页,完成答卷时间2小时。 ---------------------------------------- 一、填空题(本大题共8小题,每题4分,共32分) 1、随机事件A 、B 互不相容,且A =B ;则()P A = 2、已知,10/1)/(,5/1)(,5/2)(===B A P B P A P 则=+)(B A P 3、同时掷三枚均匀硬币,则恰有两枚正面向上的概率为 。 4、若随机变量)2.0,20(~B X ,则X 的最可能值是 。 5、若n X X X ,...,,21为来自泊松分布)(λP 的一个样本,2,S X 分别为样本均值和样本方差,则 =)(X E ,=)(2S E 。 6、样本0,5,10,-3样本均数为 ,样本方差为 。 7、2σ已知时检验假设0100:;:μμμμ≠=H H ,应构造统计量为 ,拒绝域为 。 8、考查4个3水平的因子A,B,C,D 及其交互作用A ×B 与A ×C ,则做正交实验设计时,可选用的行数最少的正交表为 。 二、单项选择题(本大题共8小题,每题4分,共32分) 1、设随机事件A 、B 互不相容,且()0,()0,P A P B >>则下列结论只有( ) 成立。 A 、A 、 B 是对立事件; B 、A 、B 互不相容; C 、A 、B 不独立; D 、 A 、 B 相互独立。 2、射击三次,事件i A 表示第i 次命中目标(i =1,2,3),下列说法正确的是( )。 A 、321A A A 表示三次都没击中目标; B 、313221A A A A A A ++表示恰有两次击中目标; C 、313221A A A A A A ++表示至多一次没击中目标;D 、321A A A 表示至少有一次没击中目标。 3、随机变量),(~2σμN X ,则随着σ的减小,)|(|σμ<-X P 应( )。 A 、单调增大; B 、单调减少; C 、保持不变; D 、增减不能确定 数理统计 一、填空题 1、设n X X X ,,21为母体X 的一个子样,如果),,(21n X X X g , 则称),,(21n X X X g 为统计量。不含任何未知参数 2、设母体 ),,(~2 N X 已知,则在求均值 的区间估计时,使用的随机变量为 n X 3、设母体X 服从修正方差为1的正态分布,根据来自母体的容量为100的子样,测得子样均值为5,则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。 025.010 1 5u 4、假设检验的统计思想是 。 小概率事件在一次试验中不会发生 5、某产品以往废品率不高于5%,今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%, 此问题的原假设为 。 0H :05.0 p 6、某地区的年降雨量),(~2 N X ,现对其年降雨量连续进行5次观察,得数据为: (单位:mm) 587 672 701 640 650 ,则2 的矩估计值为 。 1430.8 7、设两个相互独立的子样2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态母体)2,1(2 N 与 )1,2(N , 2 *2 2*1,S S 分别是两个子样的方差,令2*2222*121)(,S b a aS ,已知)4(~),20(~22 2221 ,则__________, b a 。 用 )1(~)1(22 2 * n S n ,1,5 b a 8、假设随机变量)(~n t X ,则 2 1 X 服从分布 。)1,(n F 9、假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2 X P ,则____ 。 用),1(~2 n F X 得),1(95.0n F 概率论和数理统计真题讲解 (一)单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设随机事件A与B互不相容,且P(A)>0,P(B)>0,则() A.P(B|A)=0 B.P(A|B)>0 C.P(A|B)=P(A) D.P(AB)=P(A)P(B) 『正确答案』分析:本题考察事件互不相容、相互独立及条件概率。 解析:A:,因为A与B互不相容,,P(AB)=0,正确; 显然,B,C不正确;D:A与B相互独立。 故选择A。 提示:① 注意区别两个概念:事件互不相容与事件相互独立; ② 条件概率的计算公式:P(A)>0时,。 2.设随机变量X~N(1,4),F(x)为X的分布函数,Φ(x)为标准正态分布函数,则F(3)=() A.Φ(0.5) B.Φ(0.75) C.Φ(1) D.Φ(3) 『正确答案』分析:本题考察正态分布的标准化。 解析:, 故选择C。 提示:正态分布的标准化是非常重要的方法,必须熟练掌握。 3.设随机变量X的概率密度为f(x)=则P{0≤X≤}=() 『正确答案』分析:本题考察由一维随机变量概率密度求事件概率的方法。第33页 解析:, 故选择A。 提示:概率题目经常用到“积分的区间可加性”计算积分的方法。 4.设随机变量X的概率密度为f(x)=则常数c=() A.-3 B.-1 C.- D.1 『正确答案』分析:本题考察概率密度的性质。 解析:1=,所以c=-1, 故选择B。 提示:概率密度的性质: 1.f(x)≥0; 4.在f(x)的连续点x,有F′(X)=f(x);F(x)是分布函数。课本第38页 5.设下列函数的定义域均为(-∞,+∞),则其中可作为概率密度的是() A.f(x)=-e-x B. f(x)=e-x C. f(x)= D.f(x)= 『正确答案』分析:本题考察概率密度的判定方法。 解析:① 非负性:A不正确;② 验证:B:发散; C:,正确;D:显然不正确。 故选择C。 提示:判定方法:若f(x)≥0,且满足,则f(x)是某个随机变量的概率密度。 6.设二维随机变量(X,Y)~N(μ1,μ2,),则Y ~() 『正确答案』分析:本题考察二维正态分布的表示方法。 解析:显然,选择D。 一 填空题 1 设 6 21,,,X X X 是总体 ) 1,0(~N X 的一个样本, 26542321)()(X X X X X X Y +++++=。当常数C = 1/3 时,CY 服从2χ分布。 2 设统计量)(~n t X ,则~2X F(1,n) , ~1 2 X F(n,1) 。 3 设n X X X ,,,21 是总体),(~2 σu N X 的一个样本,当常数C = 1/2(n-1) 时, ∑-=+-=1 1 212 )(n i i i X X C S 为2σ的无偏估计。 4 设)),0(~(2σεε βαN x y ++=,),,2,1)(,(n i y x i i =为观测数据。对于固定的0x , 则0x βα+~ () 2 0201,x x N x n Lxx αβσ?? ? ?- ???++ ??? ?????? ? 。 5.设总体X 服从参数为λ的泊松分布,,2,2,, 为样本,则λ的矩估计值为?λ = 。 6.设总体2 12~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本,μ、σ2 未知,则σ2的置信度为1-α的 置信区间为 ()()()()22 2212211,11n S n S n n ααχχ-??--????--???? 。 7.设X 服从二维正态),(2∑μN 分布,其中??? ? ??=∑??? ? ??=8221, 10μ 令Y =X Y Y ???? ??=???? ??202121,则Y 的分布为 ()12,02T N A A A A μ??= ??? ∑ 。 8.某试验的极差分析结果如下表(设指标越大越好): 表2 极差分析数据表 数理统计考试试卷 一、填空题(本题15分,每题3分) 1、总体得容量分别为10,15得两独立样本均值差________; 2、设为取自总体得一个样本,若已知,则=________; 3、设总体,若与均未知,为样本容量,总体均值得置信水平为得置信区间为,则得值为________; 4、设为取自总体得一个样本,对于给定得显著性水平,已知关于检验得拒绝域为2≤,则相应得 备择假设为________; 5、设总体,已知,在显著性水平0、05下,检验假设,,拒绝域就是________。 1、; 2、0、01; 3、; 4、; 5、。 二、选择题(本题15分,每题3分) 1、设就是取自总体得一个样本,就是未知参数,以下函数就是统计量得为( )。 (A) (B) (C) (D) 2、设为取自总体得样本,为样本均值,,则服从自由度为得分布得统计量为( )。 (A) (B) (C) (D) 3、设就是来自总体得样本,存在, , 则( )。 (A)就是得矩估计(B)就是得极大似然估计 (C)就是得无偏估计与相合估计(D)作为得估计其优良性与分布有关 4、设总体相互独立,样本容量分别为,样本方差分别为,在显著性水平下,检验得拒绝域为( )。 (A) (B) (C) (D) 5、设总体,已知,未知,就是来自总体得样本观察值,已知得置信水平为0、95得置信区间为(4、71,5、69),则取显著性水平时,检验假设得结果就是( )。 (A)不能确定(B)接受(C)拒绝(D)条件不足无法检验 1、B; 2、D; 3、C; 4、A; 5、B、 三、(本题14分) 设随机变量X得概率密度为:,其中未知 参数,就是来自得样本,求(1)得矩估计;(2)得极大似然估计。 解:(1) , 令,得为参数得矩估计量。 (2)似然函数为:, 而就是得单调减少函数,所以得极大似然估计量为。 四、(本题14分)设总体,且就是样本观察值,样本方差, 一.选择题(18分,每题3分) 1. 如果 1)()(>+B P A P ,则 事件A 与B 必定 ( ) )(A 独立; )(B 不独立; )(C 相容; )(D 不相容. 2. 已知人的血型为 O 、A 、B 、AB 的概率分别是; ;;。现任选4人,则4人血 型全不相同的概率为: ( ) )(A ; )(B 40024.0; )(C 0. 24; )(D 224.0. 3. 设~),(Y X ???<+=., 0, 1,/1),(22他其y x y x f π 则X 与Y 为 ( ) )(A 独立同分布的随机变量; )(B 独立不同分布的随机变量; )(C 不独立同分布的随机变量; )(D 不独立也不同分布的随机变量. 4. 某人射击直到中靶为止,已知每次射击中靶的概率为. 则射击次数的数 学期望与方差分别为 ( ) 、 )(A 4934与; )(B 16934与; )(C 4941与; (D) 9434与. 5. 设321,,X X X 是取自N (,)μ1的样本,以下μ的四个估计量中最有效的是( ) )(A 32112110351?X X X ++=μ ; )(B 32129 4 9231?X X X ++=μ ; )(C 321321 6131?X X X ++=μ ; )(D 32141254131?X X X ++=μ. 6. 检验假设222201:10,:10H H σσ≤>时,取统计量)(~10 )(22 2 12n X i n i χμχ-= ∑=,其 拒域为(1.0=α) ( ) )(A )(21.02n χχ≤;)(B )(21.02n χχ≥;)(C )(205.02n χχ≤;)(D )(2 05.02n χχ≥. 二. 填空题(15分,每题3分) 1. 已知事件A ,B 有概率4.0)(=A P ,5.0)(=B P ,条件概率3.0)|(=A B P ,则 =?)(B A P . 2. 设随机变量X 的分布律为??? ? ??-+c b a 4.01.02.043 21 ,则常数c b a ,,应满足的条件 ) 为 . 3. 已知二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ,试用),(y x F 表示概率 创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题(每空3分,共45分) 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学,求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率: ;没有任何人的生日在同一个月份的概率 ; 4、已知随机变量X 的密度函数为:, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? =≤?≥? , 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率 {0.51}P X -<<= ; 5、设随机变量X~ B(2,p)、Y~ B(1,p),若{1}5/9P X ≥=,则p = ,若X 与Y 独立,则Z=max(X,Y)的分布律: ; 6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与 Y 相互独立,则 D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y , X)= ; 7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本,则当k = 时, ~(3)Y t = ; 8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数,12,,,n X X X 为其样本, 1 1n i i X X n ==∑为样本均值,则θ的矩估计量为: 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ,计算得样本观察值10x =, 求参数a 的置信度为95%的置信区间: ; 二、 计算题(35分) 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为: 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求:1){|21|2}P X -<;2)2 Y X =的密度函数()Y y ?;3)(21)E X -; 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<=? ?其他 1) 求边缘密度函数(),()X Y x y ??; 2) 问X 与Y 是否独立?是否相关? 3) 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ?; 3、(11分)设总体X 的概率密度函数为: 1, 0(),000 x e x x x θ?θθ -?≥?=>?? X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。 1)求参数θ的极大似然估计量?θ ; 2)验证估计量?θ 是否是参数θ的无偏估计量。 2.(10分)环境保护条例,在排放的工业废水中,某有害物质不得超过0.5‰,假定有害物质含量X 服从正态分布。现在取5份水样,测定该有害物质含量,得如下数据: 0.530‰,0.542‰,0.510‰,0.495‰,0.515‰ 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(0.05α=)? 学习好资料 第一套试卷及参考答案 一、选择题 ( 40 分) 1、根据某医院对急性白血病患者构成调查所获得的资料应绘制 ( B ) A 条图B 百分 条图或圆图C 线图D 直方图 2、均数和标准差可全面描述D 资料的特征 A 所有分布形式E负偏态分布C正偏态分布D正态分布和近似正态分布 3、要评价某市一名5岁男孩的身高是否偏高或偏矮,其统计方法是( A ) A 用该市五岁男孩的身高的95%或99%正常值范围来评价 B 用身高差别的假设检 验来评价 C 用身高均数的95%或99%的可信区间来评价 D 不能作评价 4、比较身高与体重两组数据变异大小宜采用( A ) A 变异系数 B 方差 C 标准差 D 四分位间距 5、产生均数有抽样误差的根本原因是( A ) A. 个体差异 B. 群体差异 C. 样本均数不同 D. 总体均数不同 6、男性吸烟率是女性的10 倍,该指标为( A ) (A)相对比(B)构成比(C)定基比(D )率 7、统计推断的内容为( D ) A.用样本指标估计相应的总体指标 B.检验统计上的“检验假设” C. A和B均不是 D. A和B均是 8、两样本均数比较用t 检验,其目的是检验( C ) A两样本均数是否不同B两总体均数是否不同 C 两个总体均数是否相同 D 两个样本均数是否相同 9、有两个独立随机的样本,样本含量分别为n i和住,在进行成组设计资料的t 检 验时,自由度是( D ) (A) n i+ n2 (B) n i+ n2 - C) n1+ n2 +1 D) n1+ n2 -2 10、标准误反映( A ) A 抽样误差的大小 B 总体参数的波动大小 C 重复实验准确度的高低 D 数据的离散程度 11、最小二乘法是指各实测点到回归直线的(C) A垂直距离的平方和最小E垂直距离最小 C纵向距离的平方和最小D纵向距离最小 12、对含有两个随机变量的同一批资料, 既作直线回归分析, 又作直线相关分析。 令对相关系数检验的t值为t r,对回归系数检验的t值为t b, 二者之间具有什么关系?( C) A t r >t b B t r 《概率论与数理统计》期末考试试题(A) 专业、班级: 姓名: 学号: 十二总成绩 、单项选择题(每题3分共18分) 1. D 2 . A 3 . B 4 . A 5 . (1) (2)设随机变量X其概率分布为X -1 0 1 2 P 则 P{X 1.5}() (A) (B) 1 (C) 0 (D) 设事件A与A同时发生必导致事件A发生,则下列结论正确的是( (A) P (A) P(A I A2) (B) P(A) P(A i) P(A2) (C) P(A) P(A1 A2) (D) P(A) P(A i) P(A2) 设随机变量X~N( 3, 1), Y ?N(2, 1),且X 与Y相互独 7,贝y z~(). (A) N(0, 5); (B) N(0, 3); (C) N(0, 46); (D) N(0, 54). (5)设 X1X2, 未知,贝U( n (A) X i2 i 1 ,X n为正态总体N(, )是一个统计量。 (B) (C) X (D) (6)设样本X i,X2, 为H o: (A)U (C) 2)的一个简单随机样本,其中2, ,X n来自总体X ~ N( 0( 0已知) (n 1)S2 2 二、填空题(每空3分 xe x 1. P(B) 2. f(x) 0 (1) 如果P(A) 0, P(B) H1 : (B) (D) 共15分) 0, P(A B) 设随机变量X的分布函数为 F(x) 则X的密度函数f(x) 3e P(A) n (X i ) i 1 2), 2未知。统计假设 则所用统计量为( 3 . 1 4. 则P(BA) 0, 1 (1 x)e x, x 0, 0. n (X i 1 P(X 设总体X和丫相互独立,且都服从N(0,1) , X1,X2, 样本,丫1,丫2, Y9是来自总体丫的样本,则统计量 服从分布(要求给出自由度)。t(9 ) 2) )2 X9是来自总体X的 X1 U肩 武汉大学2009-2010年度上学期研究生公共课 《应用数理统计》期末考试试题 (每题25分,共计100分) (请将答案写在答题纸上) 1设X 服从),0(θ上的均匀分布,其密度函数为 ?????<<=其它0 01)(θθx x f n X X X ,,,21" 为样本, (1)求θ的矩估计量1?θ和最大似然估计量2 ?θ; (2)讨论1?θ、2?θ的无偏性,1?θ、2?θ是否为θ的无偏估计量?若不是,求使得i c ?i i c θ为θ的无偏估计量,; 1,2i =(3)讨论1?θ、2 ?θ的相合性; (4)比较11?c θ和22?c θ的有效性. 2. 假设某种产品来自甲、乙两个厂家,为考查产品性能的差异,现从甲乙两厂产品中分别抽取了8件和9件产品,测其性能指标X 得到两组数据,经对其作相应运算得 2110.190,0.006,x s == 2220.238,0.008x s == 假设测定结果服从正态分布()()2~,1,2i i X i μσ=, (1).在显著性水平0.10α=下,能否认为2212σσ=? (2).求12μμ?的置信度为90%的置信区间,并从置信区间和假设检验的关系角度分析甲乙两厂生产产品的性能指标有无显著差异。 3.设是来自正态总体的样本, 总体均值n X X X ,,,21"),(2 σμN μ和方差未知,样本均值和方差分别记为2σ2211 11,(1n n i i i i )X X S X X n n ====?∑∑? (1) 求2211 (n i i X )μσ=?∑的分布; (2)若0μ=,求212212()() X X X X +?的分布; (3)方差的置信度为12σα?的置信区间的长度记为L ,求()E L ; (4)1n X + 的分布。 4.为进行病虫害预报, 考察一只红铃虫一代产卵量Y (单位:粒)与温度x (单位:)的关系, 得到资料如下: C 0x 18 20 24 26 30 32 35 Y 7 11 21 24 66 115 325 假设Y 与x 之间有关系 bx Y ae ε+=, . ),0(~2σεN 经计算:26.43x =,ln 3.612y =,,, 7215125i i x ==∑721(ln )102.43i i y ==∑7 1ln 718.64i i i x y ==∑(1)求Y 对x 的曲线回归方程; x b e a y ???=(2)求的无偏估计; 2σ2?σ (3)对回归方程的显著性进行检验(05.0=α); (4)求当温度0x =33时,产卵量的点估计。 0Y 可能用到的数据: 0.02282z =,()()0.050.057,8 3.50,8,7 3.73F F ==,()0.0515 1.7531t =,,,,0.025(5) 2.5706t =0.05(5) 2.015t =0.025(7) 2.3646t =0.05(7) 1.8946t =,0.05(1,5) 6.61F =, 0.05(1,7) 5.59F = 概率论与数理统计试题 与答案 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】数理统计试题及答案
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