二重积分对称性定理的证明及应用
二重积分积分的对称性
积分的对称性:二重积分二重积分主要是看积分函数的奇偶性，如果积分区域关于X 轴对称考察被积分函数Y 的奇偶，如果为奇函数，这为0，偶函数这是其积分限一半的2倍。
如果积分区域关于y 轴对称考察被积分函数x 的奇偶.
三重积分也有奇偶性，但是有差别，要看积分区域对平面的对称性，即 xoy xoz yoz
计算确定的区域是由其中1,≤+=⎰⎰+Y X D d I D y x σ
此题便不可根据区域面积是否对称来做！ 积分区域D 被积函数),(y x f
1.D 关于X 轴对称，f 关于y 的奇=0；若f 关于y 是偶=2f 。
相反，则反！
2.D 关于原点对称，f 关于x,y 为奇函数=0；为偶=2f 。
积分对称性定理
关于积分对称性定理1、定积分：设 f ( x) 在 a,a 上连续，则2、 二重积分：若函数f(x,y)在平面闭区域D 上连续，则(1) 如果积分区域D 关于x 轴对称，f(x,y)为y 的奇(或偶)函数, 即 f(x, y) f(x, y)(或 f(x, y) f (x, y))，则二重积分0,f x,y 为y 的奇函数f x, y dxdy2 f x, y dxdy, f x,y 为y 的偶函数DD 1其中：D i 为D 满足y 0上半平面区域。
(2) 如果积分区域D 关于y 轴对称，f(x,y)为x 的奇(或偶)函数， 即 f x, y f x, y (或 f x, y f x, y )，则二重积分0, f x, y 为x 的奇函数,fx,ydxdy 2 f x,ydxdy, f x, y 为)的偶函数.DD 2其中：D 2为D 满足x 0的右半平面区域。
(3) 如果积分区域D 关于原点对称，f(x,y)为x,y 的奇(或偶)函a -ax dx0,a2 f x dx,0 x 为X 的奇函数, X 为X 的偶数，即卩f ( x, y) f (x,y)(或 f ( x, y) f(x,y))则二重积分0, f x,y为x,y的奇函数f x,ydx：y2 f xydxy，f x,y 为Xy的偶函数DD2其中：D1为D在y 0上半平面的部分区域。
(4)如果积分区域D关于直线y x对称,则二重积分f x, ydxdy f y,x dxdy .(二重积分的轮换对称性)D D(5)如果积分区域D关于直线y x对称,则有0, 当f( y, x) f(x,y)时f(x,y)dxdy 2 f(x,y)dxdy 当仁y, x) f(x,y)时D D利用上述性质定理化简二重积分计算时，应注意的是(1)(2)(3)中应同时具有积分域D对称及被积函数fx,y具有奇偶性两个特性。
3、三重积分：(1)若f X, y,z为闭区域上的连续函数，空间有界闭区域关于xoy坐标面对称，1为位于xoy坐标面上侧z 0的部分区域，贝卩有0, f x, y, z为z的奇函数f儿y，zcXdydz 2 f x,y,zdxdydz, f x,y,z 为z的偶函数1注：f (x, y,z)是z的奇函数：f(x, y z) f (x,y,z)f (x, y,z)是z的偶函数：f(x,y z) f(x, y,z)同样，对于空间闭区域关于xoz, yoz坐标面对称也有类似的性质。
对称性在二重积分计算中的应用
㊀㊀㊀１２５㊀㊀对称性在二重积分计算中的应用对称性在二重积分计算中的应用Һ陈楚申１㊀廖小莲２㊀（１．湖南工业大学数学与应用数学专业１８０２班，湖南㊀株洲㊀４１２０００；２．湖南人文科技学院数学与金融学院，湖南㊀娄底㊀４１７０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ‘数学分析“是所有高校数学与应用数学专业的一门重要的基础课，二重积分是‘数学分析“的内容之一，解二重积分的常见方法是在直角坐标系或极坐标系下根据积分区域的类型将其转化为定积分后进行计算，但遇到比较复杂的积分计算或证明时，常规方法解题有局限性．我们如果能灵活运用积分区域和被积函数的对称性，那么许多积分的解题过程可以得到简化．本文着重讨论了对称性在二重积分计算中的应用，并借助实例分五种情况进行了讨论，指出了对称性解题的优点及应该注意的条件．ʌ关键词ɔ二重积分；对称性；应用ʌ基金项目ɔ湖南省普通高校教学改革研究项目（编号：湘教通 ２０１９ ２９１号Ｎｏ９２０）１㊀引㊀言二重积分是二元函数在平面区域上的积分，在‘数学分析“中占据着重要的地位，对我们学习诸如‘概率论与数理统计“等后续课程至关重要，其在几何㊁力学等多方面都有着广泛的应用．因此，灵活掌握二重积分的计算是十分必要的．我们知道，二重积分的计算是通过将该二重积分转化为定积分而实现的，但这个转化过程既要受积分区域的类型又要受被积函数的特点的约束．在直角坐标系下，我们将积分区域分为Ｘ－型区域和Ｙ－型区域，或者将区域的划分转化为Ｘ－型区域与Ｙ－型区域的和，然后再将二重积分化为先对ｙ后对ｘ和先对ｘ后对ｙ的累次积分．有时我们利用二重积分的变量变换公式，可使得被积函数简单化或积分区域简单化．除此之外，用极坐标来计算二重积分也是常见的办法．但是，有些二重积分，单纯用这些方法来计算，计算量会很大且容易出错．我们如果能够充分利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性，有时就可达到事半功倍的效果．因此，本文对对称性在二重积分计算中的应用进行较详细的探讨，并辅以实例来分析二重积分的具体计算过程．２㊀文献综述积分学是‘数学分析“课程中的重要内容，而二重积分是积分学的重要组成部分，是学习曲线积分㊁三重积分问题的基础．许多学者对二重积分的计算的问题进行了研究，并给出了一些好的计算方法和计算技巧．张云艳在文献［１］中举例说明了积分区城的轮换对称性在积分计算中的应用，指出我们在某些复杂的积分计算过程中，若能注意并充分利用积分区域轮换对称性或被积函数的奇偶对称性，往往可以简化计算过程，提高解题的效率．马志辉在文献［２］中对对称性在积分中的应用进行了研究，文章首先阐述了对称性在多元函数积分下的性质，并借助实例对对称性在积分中的应用进行了研究，主要考虑了两种情况：一是当且仅当积分区域和被积函数都具有对称性时，我们可以利用对称性简化积分的计算，二是当积分区域和被积函数具有轮换对称性时，我们也可以利用对称性简化二重积分的计算．葛淑梅在文献［３］中通过由类比一元连续函数在对称区间上定积分的计算方法，导出二元连续函数在对称区域上二重积分的计算方法，使得对称区域上难于计算的二重积分得以简化．在原被积函数不具备奇偶性计算困难的情况下，利用积分对积分区域的可加性，将其转换为几个容易计算的二重积分来计算．景慧丽㊁屈娜在文献［４］中介绍了二重积分的计算具有较大的开放性，针对一道二重积分的题目存在许多计算方法，并且对每种方法的使用技巧及使用范围进行了说明，这可以培养学生的思维发散性．刘红梅在文献［５］中对二重积分的求解进行了研究，通过证明和推导指出二重积分在区域对称以及函数奇偶下有简便算法，并通过具体的实例进行求解进一步证明，巧妙利用二重积分的对称性质能极大地简化二重积分问题，提高求解的效率．３㊀对称性在二重积分计算中的应用利用对称性计算二重积分∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，既要考虑积分区域的对称性，又要考虑被积函数ｆ（ｘ，ｙ）关于某一自变量ｘ或ｙ的奇偶性，而且还要将被积函数的奇偶性与积分区域的对称性相结合进行考虑．我们如果能充分利用对称性来考虑二重积分问题，那么很多时候可以简化计算．３．１㊀平面区域Ｄ是关于ｙ轴对称的情形引理１㊀若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上连续，且平面区域Ｄ关于ｙ轴对称，则有如下结论：（１）当被积函数ｆ（ｘ，ｙ）关于自变量ｘ为奇函数时，即ｆ（－ｘ，ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ），则二重积分∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝０；（２）当被积函数ｆ（ｘ，ｙ）关于自变量ｘ为偶函数时，即ｆ（－ｘ，ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ），则二重积分∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，其中Ｄ１是平面区域Ｄ的右半部分，即Ｄ１＝（ｘ，ｙ）ɪＤ｜ｘȡ０{}．例１㊀计算二重积分∬Ｄｘｓｉｎ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ，其中Ｄ＝（ｘ，ｙ）ｘ２＋ｙ２ɤ２ｙ{}．解㊀因为积分域Ｄ关于ｙ轴对称，被积函数ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｓｉｎ（ｘ２＋ｙ２）是关于ｘ的奇函数，所以由对称性得∬Ｄｘｓｉｎ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＝０．３．２㊀平面区域Ｄ是关于ｘ轴对称的情形引理２㊀若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上连续，且平面区域Ｄ关于ｘ轴对称，则有如下结论：（１）当被积函数ｆ（ｘ，ｙ）关于自变量ｙ为奇函数时，即ｆ（ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ），则二重积分∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝０；（２）当被积函数ｆ（ｘ，ｙ）关于自变量ｙ为偶函数时，即ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ），则二重积分∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝２∬Ｄ２ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，其中Ｄ２是平面区域Ｄ的上半部分，即Ｄ２＝｛（ｘ，ｙ）ɪＤ｜ｙȡ０｝．㊀㊀㊀㊀㊀１２６㊀例２㊀计算二重积分∬Ｄ(ｘｙ２＋ｘｙｅｘ２＋ｙ２２)ｄｘｄｙ，其中Ｄ是由直线ｘ＝１，ｙ＝ｘ与ｙ＝－ｘ所围区域．解㊀由积分对区域的可加性，有∬Ｄｘｙ２＋ｘｙｅｘ２＋ｙ２２()ｄｘｄｙ＝∬Ｄｘｙ２ｄｘｄｙ＋∬Ｄｘｙｅｘ２＋ｙ２２ｄｘｄｙ．设区域Ｄ：０ɤｘɤ１，－ｘɤｙɤｘ，{区域Ｄ１：０ɤｘɤ１，０ɤｙɤｘ，{则区域Ｄ是关于ｘ轴对称的区域，且函数ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｙ２是关于ｙ的偶函数，函数ｇ（ｘ，ｙ）＝ｘｙｅｘ２＋ｙ２２是关于ｙ的奇函数，因此，由上面的引理知，∬Ｄｘｙ２ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｘｙ２ｄｘｄｙ，∬Ｄｘｙｅｘ２＋ｙ２２ｄｘｄｙ＝０，所以原二重积分∬Ｄ(ｘｙ２＋ｘｙｅｘ２＋ｙ２２)ｄｘｄｙ＝∬Ｄ１２ｘｙ２ｄｘｄｙ＝ʏ１０ｄｘʏｘ０２ｘｙ２ｄｙ＝２１５．３．３㊀平面区域Ｄ是关于ｙ轴以及ｘ轴均对称的情形引理３㊀若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上连续，且平面区域Ｄ关于ｙ轴以及ｘ轴均对称，则如果ｆ（ｘ，ｙ）关于变量ｘ，ｙ都是偶函数，即ｆ（－ｘ，ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ），且ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ），则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝４∬Ｄ３ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，其中Ｄ３是平面区域Ｄ在第一象限的部分，即Ｄ３＝（ｘ，ｙ）ɪＤ｜ｘȡ０，ｙȡ０{}．例３㊀计算二重积分：∬Ｄ（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ，其中区域Ｄ的范围是ｘ＋ｙɤ１．解㊀区域Ｄ是关于两坐标轴都对称的区域，同时被积函数ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ＋ｙ关于变量ｘ，ｙ都是偶函数，由引理３知∬Ｄ（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ，其中Ｄ１为区域Ｄ中的第一象限所在的部分且Ｄ１是关于直线ｙ＝ｘ对称的，所以∬Ｄ（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４ʏ１０ｄｘʏ１－ｘ０（ｘ＋ｙ）ｄｙ＝４３．其中Ｄ１是平面区域Ｄ在第一象限的部分，即Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）ɪＤ｜ｘȡ０，ｙȡ０｝．３．４㊀平面区域Ｄ是关于原点对称的情形引理４㊀若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上连续，且平面区域Ｄ关于原点对称，则：（１）如果ｆ（ｘ，ｙ）关于变量ｘ为奇函数而关于ｙ是偶函数（或者ｆ（ｘ，ｙ）关于变量ｘ为偶函数而关于ｙ是奇函数），则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＋∬Ｄ１ｆ（－ｘ，－ｙ）ｄσ＝０；（２）如果ｆ（ｘ，ｙ）关于变量ｘ，ｙ都是偶函数（或者ｆ（ｘ，ｙ）关于变量ｘ，ｙ都是奇函数），则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，其中Ｄ１为原点一侧的部分．例４㊀计算二重积分：Ｉ＝∬Ｄｘｙｄσ，其中平面区域Ｄ是由方程（ｘ２＋ｙ２）２＝２ｘｙ所确定的区域．解㊀因为区域Ｄ是关于原点对称的，且被积函数ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｙ关于变量ｘ为奇函数，关于变量ｙ也为奇函数，所以由引理４，有：Ｉ＝２∬Ｄ１ｘｙｄσ，其中Ｄ１为平面区域Ｄ的第一象限部分．下面利用极坐标计算此二重积分，得Ｉ＝２∬Ｄ１ｘｙｄσ＝２ʏπ２０ｃｏｓθｓｉｎθｄθʏｓｉｎ２θ０γ２ｄγ．（计算略）３．５㊀平面区域Ｄ具有轮换对称性的情形引理５㊀若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上连续，则：（１）如果积分区域Ｄ关于ｘ，ｙ具有轮换对称性，则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝∬Ｄｆ（ｙ，ｘ）ｄｘｄｙ＝１２∬Ｄ（ｆ（ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｘ））ｄｘｄｙ．（２）如果区域Ｄ关于直线ｙ＝ｘ对称，则：①如果被积函数满足ｆ（ｘ，ｙ）＝ｆ（ｙ，ｘ），则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ．②如果被积函数满足ｆ（ｘ，ｙ）＝－ｆ（ｙ，ｘ），则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０．其中Ｄ１为Ｄ位于直线ｙ＝ｘ上半部分的区域．例５㊀计算二重积分Ｉ＝∬Ｄｘ２－ｙ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ，其中区域Ｄ＝（ｘ，ｙ）丨ｘ＋ｙɤ１{}．解㊀因为在积分区域中ｘ与ｙ互换不影响积分结果，所以该积分具有轮换对称性，由引理５，我们可得：∬Ｄｘ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ＝∬Ｄｙ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ所以Ｉ＝∬Ｄｘ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ－∬Ｄｙ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ＝∬Ｄｘ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ－∬Ｄｘ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ＝０．小结：该题巧用了积分区域的轮换性简化了计算，解题十分容易，但如果用常规方法求解，计算量很大．二重积分是‘数学分析“中积分学的重要内容之一，是学习后续课程的基础．二重积分计算的方法灵活，常常是借助直角坐标系或极坐标系，将二重积分化为定积分进行计算，但遇到比较复杂的积分计算或证明时，常规方法解题有局限性．对于被积函数或者积分区域具有某种对称性的积分计算问题，我们如果能灵活运用对称性，那么许多积分的解题过程可以化繁为简㊁化难为易，提高解题效率．ʌ参考文献ɔ［１］张云艳．轮换对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．毕节师范高等专科学校学报，２００２（０３）：９０－９２．［２］马志辉．对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．高等数学研究，２０１７（０１）：１０２－１０５．［３］葛淑梅．对称区域上二重积分的简化计算方法［Ｊ］．焦作大学学报，２０１８（０１）：１０１－１０３．［４］景慧丽，屈娜．一个二重积分的计算方法探讨［Ｊ］．商丘职业技术学院学报，２０１８（０１）：７４－７６．［５］刘红梅．二重积分计算巧用对称性简化求解［Ｊ］．普洱学院学报，２０１８（０６）：４５－４７．。
积分区域关于原点对称二重积分
积分区域关于原点对称二重积分（实用版）目录1.引言2.积分区域关于原点对称的定义3.二重积分的性质4.积分区域关于原点对称的二重积分的计算方法5.应用实例6.结论正文1.引言在数学中，积分是一种重要的计算工具，它能够帮助我们求解各种函数的性质。
在积分中，有一种特殊的积分形式，即二重积分。
二重积分是对一个函数在另一个函数上的积分，它的积分区域是关于原点对称的。
2.积分区域关于原点对称的定义积分区域关于原点对称，是指一个函数的积分区域在原点处对称。
也就是说，如果将积分区域围绕原点进行折叠，那么折叠前后的积分区域是完全重合的。
3.二重积分的性质二重积分具有以下几个性质：（1）线性性质：如果 f(x,y) 和 g(x,y) 是两个可积函数，那么 (f+g)(x,y) 的二重积分等于 f(x,y) 的二重积分与 g(x,y) 的二重积分的和。
（2）连续性质：如果 f(x,y) 是可积函数，那么对 f(x,y) 进行任意分割，每一部分的二重积分之和等于 f(x,y) 的二重积分。
4.积分区域关于原点对称的二重积分的计算方法对于积分区域关于原点对称的二重积分，我们可以通过以下几个步骤进行计算：（1）确定积分区域：首先，我们需要确定积分区域的形状和大小，以便进行积分计算。
（2）确定被积函数：其次，我们需要确定被积函数的形式，以便进行积分计算。
（3）进行积分计算：根据积分区域的形状和大小，以及被积函数的形式，我们可以使用相应的积分公式进行积分计算。
5.应用实例假设我们要求解一个二重积分：∫∫(x^2+y^2)dydx，其中积分区域是单位圆。
由于积分区域是关于原点对称的，我们可以将其分为两个部分，分别对 x 和y 进行积分，然后再将结果相乘。
具体计算如下：（1）确定积分区域：积分区域为单位圆，半径为 1。
（2）确定被积函数：被积函数为 f(x,y)=x^2+y^2。
（3）进行积分计算：根据积分区域的形状和大小，我们可以使用极坐标系进行积分计算。
二重积分和三重积分的对称性及奇偶性
补充：利用对称性化简三重积分计算
使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标面的对称性； ２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴 的 奇偶性．
一般地，当积分区域Ω 关于 xoz 平面对称，且 被积函数 f ( x , y , z ) 是关于 y 的奇函数，则三重积分 为零，若被积函数 f ( x , y , z ) 是关于 y 的偶函数，则 三重积分为Ω 在 xoz 平面上方的半个闭区域的三重 积分的两倍.
0, f ( x , − y ) = − f ( x , y ) = 2 f ( x , y )dxdy , f ( x ,− y ) = f ( x , y ), ∫∫ D2 其中 D2 = {( x , y ) | ( x , y ) ∈ D, y ≥ 0}).
(3) 如果 D 关于原点对称, 则
2被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴一般地当积分区域?关于xoy平面对称且被积函数是关于z的奇函数则三重积分为零若被积函数是关于z的偶函数则三重积分为?在xoy平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍
利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算 利用被积函数的奇偶性及积分区域 D 的对称性, 常常使二重积分的计算简化许多, 避免出现繁琐 的计算. 但在使用该方法时,要同时兼顾到被积函 数 f ( x , y ) 的奇偶性 和积分区域 D 的对称性两方 面, 常用结论如下: (1) 如果区域 D关于y 轴对称, 则有
(a ) 当 f ( − x , y ) = − f ( x , y ) 时(( x , y ) ∈ D ),
∫∫ f ( x , y )dxdy = 0;
D
(b ) 当 f ( − x , y ) = f ( x , y ) 时 (( x , y ) ∈ D ),
二重积分的对称性
二重积分的对称性
对称性计算二重积分：当被积函数integrand是奇函数时，在对称于原点的区域内积
分为0。
被积函数或被积函数的一部分是否关於某个坐标对称，积分区间是否对称，如果
可以就可以用对称性，只用积分一半再乘以2。
性质须知：
1、被内积函数提供更多不定积分内积出的函数，虽然看看可以探讨原函数的奇偶性，但是探讨分数函数回去奇偶性时，考量的仅仅就是被内积函数。
2、有界性：设函数f（x）在区间x上有定义，如果存在m\ue0，对于一切属于区间x 上的x，恒有|f（x）|≤m，则称f（x）在区间x上有界，否则称f（x）在区间上无界。
3、单调性：设立函数f（x）的定义域为d，区间i涵盖于d。
如果对于区间上任一两点x1及x2，当x1\ucx2时，恒存有f（x1）\ucf（x2），则表示函数f（x）在区间i上
就是单调递减的。
二重积分计算中对称性的应用
在定积分计算 中， 以根据被积 函数和积分区 可 间的特点用对称性定理计算 ， 二重积分是积 分学 中
当， ， 为 （ ｙ 关于ｙ 奇函 ） 的 数
二元 函数 ， 且它在区域 Ｄ上有连续的偏导数， １ 若 （） 区域Ｄ关于坐标轴 轴对称 ， 对于 Ｖ（ ， ，）∈Ｄ， ， 如果
均有 ， ， ，） 称 ＝ 一， ）＝ ，， ，
收稿 日期 ：０ ８— ２—１ ２０ ０ ３
（ ）若区域Ｄ为关于原点对称， 中Ｄ 为 Ｄ中 ３ 其 ，
理进行推广 ， 并归纳 出利用平 面区域对称性计算二
重积分 ， 引导学生积极思考 ， 激发学生的学习兴趣 ，
数， 可类似于（ ）定义 ；３ 若区域 Ｄ关于坐标原点 １ （）
对称， 对于 Ｖ（ ， ，）∈Ｄ， ， 如果均有 一 一， ＝ ， ， ）
，
同时利用这些知识可简化二重 积分 的计算 ， 化繁 为
Ｎ ． （ｕ ｏ２ ） ｏ ２ Ｓ ｍＮ ． ８
Ｊ ．０８ ｕｎ ２ ０
二重积分计算中对称性的应用
徐年 方
（ 淮安市广播 电视大学信息工程系， 江苏 淮安 ２３０ ） ２０ １ 摘 要： 本文将定积分计算中的对称性定理进行推广， 并归纳出利用平面区域对称性计算二重积分． 关 键词 ： 二重积 分 ； 函数 ； 函数 ； 称 区间 ； 奇 偶 对 对称 区域 中图分类号．６ ２ Ｃ ４ ， 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： ７ — ９４ ２０ ）２ ０９ — ３ １ １ ３７ （０ ８ ０ — ００ ０ ６
二重积分计算中奇偶性、对称性的应用
二重积分计算中奇偶性、对称性的应用
计算二重积分是一个重要的任务，也是很多人必须学习的课程，其实在不同的概念中，计算二重积分的奇偶性和对称性都可以有用的应用。
一般来说，计算二重积分的奇偶性主要指在“扰动”求和后，整体系统会像奇数时刻上的神社，在“正常”求和后，整体系统会像偶数时刻上的神社一样互不影响。
因此，通过对比计算“完全”求和后结果，可以有效节约时间，实现“快速计算”。
而计算二重积分的对称性则表示，使用求和后结果需要满足系统某些规律，比如解变量的对称性或者周期性。
因此，根据实际的计算要求，以满足以上条件的方式求和，可以更有效的进行计算，同时也减少了计算误差。
可以看出，计算二重积分的奇偶性和对称性确实是一种好的解决方案，能有效的提高计算效率，特别是在计算大量复杂数据时，是一种良好的技术手段。
它不仅可以加快计算速度，还可以提高计算误差，是学习一种计算数据的有效方法。
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目 录 摘 要…………………………………………………………………………………...…1
关键词…………………………………………………………………………………..……..1
Abstract ………………………………………………………………………………..…1
Keywords………………………………………………………………………………….1
前言………………………………………………………………………………………...1
1．预备知识……………………………………………………………………………….1
2．二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用…………………….…2 2.1 积分区域D关于坐标轴对称………………………………………………………….2 2.2 积分区域D关于坐标区域内任意直线对称…………………………………….….5 2.3 积分区域D关于坐标原点对称………………………………………………….……9 2.4 积分区域D关于坐标区域内任意一点对称…………………………………...……11 2.5 积分区域D同时关于坐标轴和坐标原点对称………………………………..…….12 结束语…………………………………………………………………………………….12
参考文献……………………………………………………………………………...….13 1
二重积分对称性定理的证明及应用 摘 要：本文归纳利用对称性来计算二重积分的方法，给出了二重积分对称性定理的证明并举出了相应例题． 关键词：对称性；积分区城；被积函数
The Application of Symmetry in Double Integral Calculating Abstract：It is introduced in the thesis some ways of how to calculate double integral with the application of symmetry. It is also put forward in it how to simplify the calculating methods with symmetry. Keywords：Symmetry; Integral region; Integrated function 前言
利用对称性计算二重积分，不但可以使计算简化，有时还可以避免错误．在一般情况下，必须是积分区域D具有对称性，而且被积函数对于区域D也具有对称性，才能利用对称性来计算．在特殊情况下，虽然积分区域D没有对称性，或者关于对称区域D被积函数没有对称性，但经过技巧性的处理，化为能用对称性来简化计算的积分．这些都是很值得我们探讨的问题． 1 预备知识
对于二重积分(,)Dfxydxdy的计算，我们总是将其化为二次定积分来完成的，而在
定积分的计算中，若遇到对称区间，则有下面非常简洁的结论： 当()fx在区间上为连续的奇函数时，()0aafxdx．
当()fx在区间上为连续的偶函数时，0()2()aaafxdxfxdx． 这个结论，常可简化计算奇、偶函数在对称于原点的区间上的定积分． 在计算二重积分时，若积分区域具有某种对称性，是否也有相应的结论呢？回答是肯定的．下面，我们将此结论类似地推广到二重积分． 2 二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用 2
定理11 若二重积分(,)Dfxydxdy满足 (1) 区域D可分为对称的两部分1D和2D，对称点P1D，P2D； (2) 被积函数在对称点的值()fP与()fP相同或互为相反数； 则
1()()(,)2(,)()()DDfPfPfxydxdyfxydxdyfPfP 0 , , ．
其中P的坐标根据D的对称性的类型而确定． 2.1 积分区域D关于坐标轴对称 2.1.1 积分域D关于ｘ轴对称，(,)fxy为D上的连续函数 定理2 如果积分域D关于x轴对称，(,)fxy为y的奇偶函数，则二重积分
1(,)(,)(,)2(,)(,)(,)DDfxyfxyfxydxdyfxydxdyfxyfxy 0 ， ， ，
其中1D为D在x轴的上半平面部分．
证明 12(,)(,)(,)DDDfxydxdyfxydxdyfxydxdy (1)
若区域D对称于x轴(图1)，对任意(,)Pxy1D，其对称点(,)Pxy2D 1D0(),yxaxb，2D
()0,xyaxb，令 3
xxyt
，
则2D变换为xot坐标面上的10()Dtxaxb，，且雅可比行列式 (,)(,)xyxt10
101．
故
2(,)Dfxydxdy1(,)1Dfxtdxdt•1(,)Dfxydxdy
11
(,),(,)(,)(,),(,)(,)DDfxydxdyfxyfxyfxydxdyfxyfxy
，
于是，代入（1）式得：
1(,)(,)(,)2(,)(,)(,)DDfxyfxyfxydxdyfxydxdyfxyfxy 0 , , ．
例1 计算22ln(1)Dyxydxdy，其中区域D：221,0xyx 解 (,)fxy22ln(1)yxy是关于y的奇函数且D关于x轴对称， 所以 22ln(1)Dyxydxdy
0
．
例2 计算22sin()Dxydxdy，其中区域D：224,0xyx 解 因为(,)fxy22sin()xy是关于y的偶函数，且D关于x轴对称， 所以 22sin()Dxydxdy
2222
40.02sin()xyxyxydxdy
222240.02sin()xyxyxydxdy
222
002sindrr
采用极坐标 4
(1cos4)2 2.1.2 积分域D关于y轴对称，(,)fxy为D上的连续函数 定理3 如果积分域D关于y轴对称，(,)fxy为x的奇偶函数，则二重积分
1(,)(,)(,)2(,)(,)(,)DDfxyfxyfxydxdyfxydxdyfxyfxy 0 ， ， ，
其中1D为D在y轴的右半平面部分．
证明 若区域D对称于y轴(图2)，对任意(,)Pxy1D，对称点(,)Pxy2D，类似定理2的证明可得
1(,)(,)(,)2(,)(,)(,)DDfxyfxyfxydxdyfxydxdyfxyfxy 0 , , ．
例3 计算232()Dxxydxdy，其中D：224,0xyy 解 32(,)fxyxxy， 3232(,)()(,)fxyxxyxxyfxy，
且区域D关于y轴对称，所以 32()Dxxydxdy
0．
例4 计算2Dxydxdy，其中区域D：11,01xy 5
解 2(,)fxyxy是关于x的偶函数，且区域D关于y轴对称， 所以 2Dxydxdy
112002dyxydx112
002ydyxdx
1
3．
2.2 积分区域D关于坐标区域内任意直线对称 将积分区域D关于坐标轴对称的情况推广到积分区域D关于坐标区域内任意直线对称，则有下面定理： 定理4 如果积分域D关于直线yaxb对称，则二重积分
1222222
2()(1)()(,)(.)11(,)2()(1)()2(,)(,)(.)11DDayaxbayaxbfxaxbfxyaafxydxdyayaxbayaxbfxydxdyfxaxbfxyaa 0 ,
, 其中1D为D在以直线yaxb为轴的右半平面部分
图3 证明 若区域D对称于直线yaxb，不妨设0a，即倾斜角为锐角． 首先，平移坐标轴，得坐标系xoy,如(图3) bxxayy
，
即