高考数学热点专题测试平面解析几何含详解
2010年高考数学热点专题测试平面解析几何(含详解)
一、选择题:
1、直线4x +3y =40与圆x 2+y 2=100的位置关系是( ) (A )相交 (B )相切 (C )相离 (D )无法确定
2、经过点M (2,1)作圆C :x 2+y 2=5的切线,则切线方程是( )
(A x +y -5=0 (B x +y +5=0
(C )2x +y -5=0 (D )2x +y +5=0
3、直线y =x -1上的点到圆C :x 2+y 2+4x -2y +4=0的最近距离为( )
(A )1 (B ) (C -1 (D )-1
4、已知圆C 的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上,直线0443=++y x 与圆C 相切,则圆C 的方程为( ) A .0322
2=--+x y x B .042
2=++x y x
C .0322
2=-++x y x
D .042
2
=-+x y x
5、已知圆的方程为2
2
680x y x y +--=.设该圆过点(35),的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ,则四边形
ABCD 的面积为( )
A ..C .
D .
6、设椭圆1C 的离心率为
5
13
,焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线2C 的标准方程为( )
A .22
22143x y -=
B .22
221135x y -=
C .22
22134x y -=
D .22
2211312
x y -=
7、若点P 到直线x =-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P 的轨迹为( ) (A )圆 (B )椭圆 (C )双曲线 (D )抛物线 8、抛物线y x =2的准线方程是( )
(A )014=+x (B )014=+y (C )012=+x
(D )012=+y
9、已知点),(y x P 在圆2
2
(2)1x y -+=上运动,则代数式
y
x
的最大值是( )
(A )
33 (B )-3
3 (C (D 10、已知点P 在抛物线2
4y x =上,那么点P 到点(21)Q -,
的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为( )
(A )114??- ???
,
(B )114?? ???
,
(C )(12), (D )(1
2)-, 11、我国于07年10月24日成功发射嫦娥一号卫星,并经四次变轨飞向月球。嫦娥一号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆(地球半径忽略不计)。若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为m ,远地点到地心的距离为n ,第二次变轨后两距离分别为2m 、2n (近地点是指卫星到地面的最近距离,远地点是最远距离),
则第一次变轨前的椭圆的离心率比第二次变轨后的椭圆的离心率
A.变大
B.变小
C.不变
D.以上都有可能
12、设AB 是椭圆122
22=+b
y a x (0>>b a )的长轴,若把AB100等分,过每个分点作AB 的垂线,交椭圆的
上半部分于P 1、P 2、… 、P 99 ,F 1为椭圆的左焦点,则21111P F P F A F +++…B F P F 1991++的值是 ( ) (A )a 98 (B )a 99 (C )a 100 (D )a 101
二、填空题
13、由点(13)P ,引圆22
9x y +=的切线,则切线长等于
14、已知两圆221:210240C x y x y +-+-=,22
2:2280C x y x y +++-=,
则它们的公共弦长为______
15、在平面直角坐标系xoy 中,已知抛物线关于x 轴对称,顶点在原点O ,且过点P(2,4),则该抛物线的方程是.
16、双曲线的中心为原点O ,焦点在x 轴上,两条渐近线分别为12l l ,,经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交
12l l ,于A B ,两点.已知OA AB OB 、、成等差数列,且BF 与FA 同向.求双曲线的离心率_____
三、解答题
17、已知,圆C :01282
2
=+-+y y x ,直线l :02=++a y ax .
(1) 当a 为何值时,直线l 与圆C 相切;
(2) 当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点,且22=AB 时,求直线l 的方程.
18.已知平面区域00240x y x y ≥??≥??+-≤?
恰好被面积最小的圆222
:()()C x a y b r -+-=及其内
部所覆盖.
(Ⅰ)试求圆C 的方程.
(Ⅱ)若斜率为1的直线l 与圆C 交于不同两点,.A B 满足CA CB ⊥,求直线l 的方程.
19、若椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 过点(-3,2),离心率为33,⊙O 的圆心为原点,直径为椭圆的短轴,⊙
M 的方程为4)6()8(2
2
=-+-y x ,过⊙M 上任一点P 作⊙O 的切线PA 、PB ,切点为A 、B. (1)求椭圆的方程;
(2)若直线PA 与⊙M 的另一交点为Q ,当弦PQ 最大时,求直线PA 的直线方程; (3)求OB OA ?的最大值与最小值.
20、已知圆O :12
2
=+y x ,圆C :1)4()2(2
2
=-+-y x ,由两圆外一点),(b a P 引两圆切线PA 、PB ,切点分别为A 、B ,如右图,满足|PA |=|PB |.
(Ⅰ)求实数a 、b 间满足的等量关系; (Ⅱ)求切线长|PA |的最小值;
(Ⅲ)是否存在以P 为圆心的圆,使它与圆O 相内切
并且与圆C 相外切?若存在,求出圆P 的方程; 若不存在,说明理由.
21、已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-->>的两个焦点为:(2,0),:(2,0),(3,7)F F P -点的曲线C 上.
(Ⅰ)求双曲线C 的方程;
(Ⅱ)记O 为坐标原点,过点Q (0,2)的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ,若△OEF 的面积为22,
求直线l 的方程
B
P A
22、已知圆O :22
2x y +=交x 轴于A ,B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,
离心率为
2
的椭圆,其左焦点为F .若P 是圆O 上一点,连结PF ,过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆C 的左准线
于点Q .
(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;
(Ⅱ)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切; (Ⅲ)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明;若不是,请说明理由.
参考答案(详解)
一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A
C
D
D
B
A
D
B
A
A
C
D
1、(A )
解:圆心为(0,0),R =10,圆心到直线距离:d
=8<10。
2、(C )
解:因为,点M 在圆上,圆心C (0,0),OM k =1020--=1
2
,过点M 的切线的斜率为k =-2,切线方程为:y -1=-2(x -2),即2x +y =5 3、(D )
解:圆心(-2,1),R =1,圆心到直线距离:d
=
,最近距离为:
-1。 4、D
解:设圆心为2234
(,0),(0),2,2,(2)45
a a a a x y +>==-+= 5、B
解: 化成标准方程 2
2
(3)(4)25x y -+-=,过点(3,5)的最长弦为10,AC =
最短弦为2225146,BD =-=1
20 6.2
S AC BD =?= 6、A
解:对于椭圆1C ,13,5,a c ==曲线2C 为双曲线,5,c =4a =,3,b =标准方程为:22
22 1.43
x y -=
7、D
解:点P 到直线x =-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,即
点P 到直线x =-2的距离与它到点(2,0)的距离相等,故点P 的轨迹是抛物线,选(D )。 8、B
解:由2p =1,则p =1
2
,抛物线的开口向上,焦点在y 轴上,所以, 准线方程为:y =-1
4
,即4y +1=0,故选(B )。 9、A 解:设
y x
=00y k x -=-,则k 表示点),(y x P 与点(0,0)连线的斜率.当该直线kx -y =0与圆相切时,k 取得最大值与最小值.圆心(2,0),由
21
k +=1,解得33±
=k ,∴2
1
--x y 的最大值为33, 10、A
解:抛物线的焦点为F (1,0),作PA 垂直于准线x =-1,则 |PA |=|PF |,当A 、P 、Q 在同一条直线上时, |PF |+|PQ |=|PA |+|PQ |=|AQ |,
此时,点P 到Q 点距离与抛物线焦点距离之和取得最小值, P 点的纵坐标为-1,有1=4x ,x =14,此时P 点坐标为(1
4
,-1),故选(A )。
11、C
解:第一次变轨前离心率m n m
n m n m
n e +-=+-=2
21,第二次变轨后离心率
m
n m
n e +-=
2 ,21e e =∴。 12、D
解:由椭圆的定义知a P F P F i i 221=+(99,,2,1 =i ),
.198992)(99
121a a P F P F i i i =?=+∴∑=由题意知9921,,,P P P 关于y 轴成对称分布,
.99)(21)(99
12199
1
1a P F P F P F i i i i i =+=∴∑∑==又a B F A F 211=+ ,故所求的值为a 101.
二、填空题 13、1
解:圆心(0,0),则由勾股定理,得切线长为:(0-1)2+(0-3)2-9=1。
图
14、25
解:由两圆12C C ,方程可知公共弦方程为240x y -+=,
∴圆1C 圆心(15)-,到直线(公共弦)的距离为1104
355
d ++==.
∴弦长222(52)(35)25=?-=.
15、2
8y x =
解:设所求抛物线方程为2
y ax =,依题意2428a a =?=,故所求为2
8y x =.
16、
5 解:(1)因为OA AB OB 、
、成等差数列,所以可设OA m d =-,AB m =,OB m d =+, 画出草图,如图,由勾股定理可得:2
2
2
()()m d m m d -+=+ 得
:
14
d m
=,
tan b AOF a
∠=
,
tan tan 2AB AOB AOF OA ∠=∠=
=m m d -=43
, 由倍角公式∴2
2431b
a b a ?
=??- ?
??,解得:12b a =,则离心率e =c
a =
22
a b +=5.
三、解答题
17.解:将圆C 的方程012822=+-+y y x 配方得标准方程为4)4(2
2=-+y x ,则此圆的圆心为(0,4),
半径为2.
(1) 若直线l 与圆C 相切,则有
21
|
24|2=++a a .解得43
-=a .
(2) 解:过圆心C 作CD ⊥AB ,则根据题意和圆的性质,得
????
??
???====+++=.
221
,2,1|24|22222
AB DA AC DA CD a a CD 解得1,7--=a . ∴直线l 的方程是0147=+-y x 和02=+-y x .
18. 解:(1)由题意知此平面区域表示的是以(0,0),(4,0),(0,2)O P Q 构成的三角形及其内部,且△OPQ 是直角三角形,
所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),
所以圆C 的方程是2
2
(2)(1)5x y -+-=. (2)设直线l 的方程是:y x b =+.
因为CA CB ⊥,所以圆心C 到直线l
,
即
=
解得
:1b =-±所以直线l 的方程是
:1y x =-±.
19.解:(1)由题意得:?????==∴????
?????+===+10153314922
22222b a c b a a c b a ,所以椭圆的方程为
1101522=+y x (2)由题可知当直线PA 过圆M 的圆心(8,6)时,弦PQ 最大
因为直线PA 的斜率一定存在, 设直线PA 的方程为:y-6=k(x-8)
又因为PA 与圆O 相切,所以圆心(0,0)到直线PA 的距离为10 即
101|68|2
=+-k k 可得9
13
31==k k 或
所以直线PA 的方程为:0509130103=--=+-y x y x 或 20、解:(Ⅰ)连结PO 、PC ,∵|PA |=|PB |,|OA |=|CB |=1, ∴|PO |2=|PC |2,从而2
2
2
2
)4()2(-+-=+b a b a
化简得实数a 、b 间满足的等量关系为:052=-+b a .
(Ⅱ)由052=-+b a ,得52+-=b a
1||||||2222-+=-=b a OA PO PA 1)52(22-++-=b b 4)2(52420522+-=+-=b b b
∴当2=b 时,2||min =PA
(III )∵圆O 和圆C 的半径均为1,若存在半径为R 圆P ,与圆O 相内切 并且与圆C 相外切,则有
1||-=R PO 且 1||+=R PC
于是有:2||||=-PO PC 即 2||||+=PO PC 从而得 2)4()2(222
2
++=
-+-b a b a
两边平方,整理得)2(422b a b a +-=+ 将52=+b a 代入上式得:0122<-=+b a 故满足条件的实数a 、b 不存在,∴不存在符合题设条件的圆P .
21、 (Ⅰ)解:依题意,由a 2+b 2=4,得双曲线方程为142
222=--a
y
a x (0<a 2<4=, 将点(3,7)代入上式,得147
92
2=--a
a .解得a 2=18(舍去)或a 2=2, 故所求双曲线方程为.12
22
2=-y x (Ⅱ)解:依题意,可设直线l 的方程为y =kx +2,代入双曲线C 的方程并整理,
得(1-k 2)x 2-4kx -6=0.
∵直线I 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ,
∴???-±≠??????-?+-=?≠-,
33,10)1(64)4(,
012
22
<<,>k k k k k ∴k ∈(-1,3-)∪(1,3).
设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),则由①式得x 1+x 2=,16
,142
2
12k x x k k -=-于是 |EF |=22122
212
21))(1()()(x x k y y x x -+=
-+-
=|
1|32214)(12
2
2
212
212
k k k x x x x k
--+=-++?
?
而原点O 到直线l 的距离d =
2
12
k
+,
∴S ΔOEF =.|
1|322|1|322112
21||212
2
222
2
k k k k k k EF d --=--++=??
?
? 若S ΔOEF =22,即,0222|
1|3222
42
2=--?=--k k k k 解得k =±2, 满足②.故满足条件的直线l 有两条,其方程分别为y =22+x 和.22+-=x y
22、解:(Ⅰ)
因为2
a e =
=
,所以c=1 则b=1,即椭圆C 的标准方程为2
212
x y += (Ⅱ)因为P (1,1),所以1
2
PF k =
,所以2OQ k =-,所以直线OQ 的方程为y=-2x 又椭圆的左准线方程为x=-2,所以点Q(-2,4)
所以1PQ k =-,又1OP k =,所以1k k PQ OP -=⊥,即OP PQ ⊥, 故直线PQ 与圆O 相切
(Ⅲ)当点P 在圆O 上运动时,直线PQ 与圆O 保持相切
证明:设00(,)P x y
(0x ≠),则22
002y x =-,所以001PF y k x =
+,00
1
OQ x k y +=-, 所以直线OQ 的方程为00
1
x y x y +=- 所以点Q(-2,
00
22
x y +) 所以0
022000000000000
22(22)22(2)(2)PQ
x y y y x x x x
k x x y x y y +--+--====-+++,又00OP y k x =,
所以1k k PQ OP -=⊥,即OP PQ ⊥,故直线PQ 始终与圆O 相切
高中数学立体几何测试题及答案一)
高中数学必修2立体几何测试题及答案(一)一,选择(共80分,每小题4分) 1,三个平面可将空间分成n个部分,n的取值为() A,4;B,4,6;C,4,6,7 ;D,4,6,7,8。 2,两条不相交的空间直线a、b,必存在平面α,使得() A,a?α、b?α;B,a?α、b∥α;C,a⊥α、b⊥α;D,a?α、b⊥α。 3,若p是两条异面直线a、b外的任意一点,则() A,过点p有且只有一条直线与a、b都平行;B,过点p有且只有一条直线与a、b都垂直;C,过点p有且只有一条直线与a、b都相交;D,过点p有且只有一条直线与a、b都异面。 4,与空间不共面四点距离相等的平面有()个 A,3 ;B,5 ;C,7;D,4。 5,有空间四点共面但不共线,那么这四点中() A,必有三点共线;B,至少有三点共线;C,必有三点不共线;D,不可能有三点共线。 6,过直线外两点,作与该直线平行的平面,这样的平面可有()个 A,0;B,1;C,无数;D,涵盖上三种情况。 7,用一个平面去截一个立方体得到的截面为n边形,则() A,3≤n≤6 ;B,2≤n≤5 ;C,n=4;D,上三种情况都不对。 8,a、b为异面直线,那么() A,必然存在唯一的一个平面同时平行于a、b;B,过直线b 存在唯一的一个平面与a平行;C,必然存在唯一的一个平面同时垂直于a、b;D,过直线b 存在唯一的一个平面与a垂直。 9,a、b为异面直线,p为空间不在a、b上的一点,下列命题正确的个数是() ①过点p总可以作一条直线与a、b都垂直;②过点p总可以作一条直线与a、b都相交;③
过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行;④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直;⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。 A ,1; B ,2; C ,3; D ,4。 10,异面直线a 、b 所成的角为80°,p 为空间中的一定点,过点p 作与a 、b 所成角为40° 的直线有( )条 A ,2; B ,3; C ,4; D ,6。 11,P 是△ABC 外的一点,PA 、PB 、PC 两两互相垂直,PA=1、PB=2、PC=3,则△ABC 的 面积为( )平方单位 A ,25; B ,611; C ,27; D ,2 9。 12,空间四个排名两两相交,以其交线的个数为元素构成的集合是( ) A ,{2,3,4}; B ,{1,2,3,}; C ,{1,3,5}; D ,{1,4,6}。 13,空间四边形ABCD 的各边与对角线的长都是1,点P 在AB 上移动 ,点Q 在CD 上移 动,点P 到点Q 的最短距离是( ) A ,21; B ,22; C ,23; D ,4 3。 14,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA ⊥平面ABC ,PA=8,则P 到BC 的距离是( ) A ,45; B ,43; C ,25; D ,23。 15,已知m ,n 是两条直线,α,β是两个平面,下列命题正确的是( ) ①若m 垂直于α内的无数条直线,则m ⊥α;②若m 垂直于梯形的两腰,则m 垂直于梯形所 在的平面;③若n ∥α,m ?α,则n ∥m ;④若α∥β,m ?α,n ⊥β,则n ⊥m 。 A ,①②③; B ,②③④; C ,②④; D ,①③。 16,有一棱长为1的立方体,按任意方向正投影,其投影最大面积为( )
(整理)届高三数学总复习平面解析几何练习题目汇总
第8章 第1节 一、选择题 1.(2010·崇文区)“m =-2”是“直线(m +1)x +y -2=0与直线mx +(2m +2)y +1=0相互垂直”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m =-2时,两直线-x +y -2=0、-2x -2y +1=0相互垂直;两直线相互垂直时,m(m +1)+2m +2=0,∴m =-1或-2,故选A. 2.(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是( ) A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0 D .x +2y -1=0 [答案] A [解析] 解法1:所求直线斜率为12,过点(1,0),由点斜式得,y =12(x -1),即x -2y -1=0. 解法2:设所求直线方程为x -2y +b =0, ∵过点(1,0),∴b =-1,故选A. (理)设曲线y =ax2在点(1,a)处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a =( ) A .1 B.12 C .-12 D .-1 [答案] A [解析] y′=2ax ,在(1,a)处切线的斜率为k =2a , 因为与直线2x -y -6=0平行,所以2a =2,解得a =1. 3.点(-1,1)关于直线x -y -1=0的对称点是( ) A .(-1,1) B .(1,-1) C .(-2,2) D .(2,-2) [答案] D [解析] 一般解法:设对称点为(x ,y),则