阿波罗尼斯圆

A

P

B

阿波罗尼斯圆专题

公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius ）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：

到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆． 如图，点B A ,为两定点，动点P 满足PB PA λ=，

则1=λ时，动点P 的轨迹为直线；当1≠λ时，动点P 的轨迹为圆， 后世称之为阿波罗尼斯圆．

证：设PB PA m m AB λ=>=,02）（．以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则），，（0m A -）

，（0m B ． 又设），（y x C ，则由PB PA λ=得2

2

2

2

)()(y m x y m x +-=++λ，

两边平方并化简整理得）（）（）（）（2

22222211121λλλλ-=-++--m y x m x ，

当1=λ时，0=x ，轨迹为线段AB 的垂直平分线；

当1>λ时，2

2

2

22222)1(4)11(-=-+-λλλλm y m x ，轨迹为以点)0,11(22m -+λλ为圆心，122-λλm 长为半径的圆． 【例1】设圆的半径都是1，

，过动点分别作圆

的切线

（

分别为切点）

的轨迹方程。

解：以1O ，2O 的中点O 为原点，1O ，2O 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐

标系，

则)0,2(1-O ，)0,2(2O ，由已知PN PM 2=

得222PN PM =，

因为两圆的半径都为1,所以有：)1(212

22

1-=-PO PO ，设P （x,y ），

则]1)2[(21)2(2

2

2

2

-+-=-++y x y x ， 即33)6(2

2

=+-y x ，此即P 的轨迹方程.

【例2】满足条件

面积最大值为

【例3】古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点(,0)A a -，(,0)B a ，

动点P 满足||

||

PA PB λ=（其中a 和λ是正常数，且1λ≠），则P 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”，该圆的半径为 答案：

2

2|1|

a λ

λ-

【例4】等腰△中，，若边上中线的长为6，则△面积最大值

为 .

【例5】如图，已知平面α⊥平面β，A 、B 是平面α与

平面β的交线上的两个定点，,DA CB ββ⊂⊂，且DA α⊥，CB α⊥，4AD =，8BC =，

6AB =，在平面α上有一个动点P ，使得APD BPC ∠=∠，求PAB ∆的面积的最大值．

解：将空间几何体中的线、面、角的关系转化 为平面内点P 所满足的几何条件．

DA α⊥ DA PA ∴⊥,∴在PAD Rt ∆中, AP

AP AD APD 4

tan ==

∠， 同理8

tan BC BPC BP BP

∠=

=， APD BPC ∠=∠AP BP 2=∴

在平面α上,以线段AB 的中点为原点,AB 所在的直线为x 轴,建立平面直角坐标系，则

)0,3(),0,3(B A -，设),(y x P 0)y =≠

化简得:16)5(2

2

=++y x ，2

2

16(5)16y x ∴=-+≤，||4y ∴≤，

PAB ∆的面积为1

||||3||122

PAB S y AB y ∆=⋅=≤，当且仅当5,4x y =-=±等号取得，则

PAB ∆的面积的最大值是12．

巩固练习

1. （2017杨浦一模）平面直角坐标系中，给出点(1,0)A 、(4,0)B ，若直线10

x my +-=上存在点P ，使得||2||PA PB =，则实数m 的取值范围是

【答案】(,[3,)-∞+∞

2. 平面直角坐标系中，点

，直线

，设圆的半径为1，圆心在上，若圆

上存在点，使得，求圆心的横坐标的取值范围

【答案】

3. 如图，在等腰ABC ∆中，已知AC AB =，)0,1(-B ，

AC 边的中点为)0,2(D ，点C 的轨迹所包围的图形的面积等于 ．

解：∵AD AB 2=，所以点A 的轨迹是阿波罗尼斯圆，易知其 方程为4)3(2

2

=+-y x ，

设),(y x C ，由AC 边的中点为)0,2(D 知),4(y x A --，所以C 的

轨迹方程为4)()34(2

2

=-+--y x ，即4)1(2

2=+-y x ，面积为π4．

4. 已知⊙2

2

:1O x y +=和点(4,2)M .

（1）过点M 向⊙O 引切线l ，求直线l 的方程；

（2）求以点M 为圆心，且被直线21y x =-截得的弦长为4的⊙M 的方程；

（3）设P 为（2）中⊙M 上任一点，过点P 向⊙O 引切线，切点为Q . 试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQ

PR

为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.

解：（1）设切线l 方程为)4(2-=-x k y ，易得

11

|24|2=+-k k

，解得815

k ±=

， ∴切线l

方程为824)15

y x -=

-． （2）圆心到直线12-=x y

r ，则9)5(22

2

2

=+=r ∴⊙M 的方程为9)2()4(2

2

=-+-y x

（3）假设存在这样的点),(b a R ，点P 的坐标为),(y x ，相应的定值为λ，

根据题意可得122-+=

y x PQ ，∴

λ=-+--+2

222)

()(1b y a x y x ，

即)22(12

2

2

2

2

2

2

b a by ax y x y x ++--+=-+λ （*），

又点P 在圆上∴9)2()4(2

2

=-+-y x ，即11482

2

-+=+y x y x ，代入（*）式得：

[]

)11()24()28(1248222-++-+-=-+b a y b x a y x λ

若系数对应相等，则等式恒成立，∴⎪⎩

⎪⎨⎧-=-+=-=-12)11(4)24(8

)28(2222

2b a b a λλλ，