高二数学空间向量及其运算3
人教A版高中数学选修2-1课件高二：3-1-1空间向量及其线性运算
4．理解空间向量的正交分解及其坐标的表示，掌握空间 向量的坐标运算及数量积的坐标表示，会判断两个向量平行或 垂直；掌握两个向量的夹角公式和向量长度的坐标计算公式， 并会用这些公式解决有关问题．
5．理解平面的法向量，能用向量语言表述线线、线面、 面面的垂直、平行关系．
6．能用向量方法证明有关线、面位置关系，能够用向量 方法解决线线、线面、面面的夹角及其长度问题．
向量那样，从某点
O
出
发
，
逐
一
引
向
量
→ OA1
＝
a1
，
→ A1A2
＝
a2，……An－1An＝an，于是以所得折线 OA1A2……的起点 O 为
起点，终点 An 为终点的向量O→An，就是 a1，a2，……，an 的和，
即
O→An＝O→A1＋A→1A2＋……An－1An＝a1＋a2＋……＋an. 用折线作向量的和时，有可能折线的终点恰恰重合到起点 上，这时的和向量就为零向量． 2．向量减法满足三角形法则：“同始连终、指向被减”． 即以同一点 O 作始点，作O→A＝a，O→B＝b，连结终点 A，B， 则A→B＝b－a，B→A＝a－b.
[答案] B
[分析] 给出的命题都是对向量的有关概念及加减法的理 解，解答本题应紧扣向量及其加减运算的有关概念进行．
[解析] |a|＝|b|，说明 a 与 b 模相等，但方向不确定，由 a 的相反向量 b＝－a，故|a|＝|b|，从而 B 正确．只定义加法具有 结合律，减法不具有结合律，一般的四边形不具有A→B＋A→D＝ A→C，只有平行四边形才能成立．故 A、C、D 均不正确．
[解析] B→C1＝B→C＋B→B1＝A→A1＋A→D＝b＋c， A→C1＝A→C＋C→C1＝A→B＋A→D＋C→C1＝a＋b＋c， B→D1＝A→D1－A→B＝A→D＋A→A1－A→B＝b＋c－a， C→O＝C→C1＋C→1O＝A→A1＋12C→1A1 ＝A→A1＋12(C→1D1＋C→1B1) ＝A→A1＋12(－A→B－A→D)＝c－12a－12b.
【课件】空间向量及其线性运算+课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
D
C
A
B
H
G
求证：E, F,G, H四点共面.
E
F
法三： 四边形ABCD是平行四边形，
AD BC， OE OF OG OH k.
OA OB OC OD
EH OH OE,
kOD OA
kAD 同理可得，FG kBC
简结果.
D
F
B
E
C
4.如图，已知正方体 ABCD ABCD, E, F分别是上底面 AC
和侧面CD中心.求下列各式中 x, y的值.
(1)AC xAB BC CC
B'
A'
D'
E
C'
(2)AE AA xAB yAD
Байду номын сангаас
F
(3)AF AD xAB yAA
A
D
B
C
课堂小结：
1.空间向量及其相关概念. 2.空间向量的线性运算. 3.空间向量的线性运算的运算律. 4.空间向量共线的充要条件. 5.空间向量共面的充要条件.
OH kOD, 四边形ABCD平行四边形
AC AB AD
EG OG OE kOC kOA kAC
kAB AD kOB OA OD OA
EG, EF, EH共面 E, F,G, H四点共面.
kOB kOA kOD kOA OF OE OH OE EF EH
如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC
性不一定成立.
(4)此定理可以用来证明两 直线平行或三点共线 .
如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，
则对于直线 l上任意一点 P,
「高二数学新课标专题一(空间向量及其运算)」
高二数学新课标专题一空间向量及其运算(理）一、知识概述空间向量及其运算,空间向量及其加减与数乘运算;共线向量及共面向量；空间向量基本定理,两个向量的数量积．在学习中，我们首先把平面向量及其线性运算推广到空间向量.在同学们已有了空间直线和平面平行,以及平面和平面平行的概念，这一推广对同学们来说应该不会感到太难,但我们仍要牢记,现在研究的范围已由平面扩大到空间.一个向量已是一个平移,两个不平行的向量确定的平面已不是一个平面,而是互相平行的平面集,其中我们可以通过在空间上一步步地验证运算法则和运算律,一方面通过学习空间向量复习了平面向量(高一学习的),另一方面培养了我们的空间观念.当我们把平面向量推广到空间向量后，很自然地要认识空间向量的两个最基本的子空间:共线向量和共面向量，把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间,然后由这两个定理推出空间直线和平面的向量表达式．有了这两个表达式，我们就可很方便地使用向量工具解决空间的共线和共面问题．在学习共线和共面向量定理后，我们学习空间最重要的基础定理:空间向量基本定理．这个定理是空间几何研究数量化的基础.有了这个定理空间结构变得简单明了，整个空间被三个不共面的基向量所确定．这样，空间的一个点或一个向量与实数组（ｘ，y,ｚ)建立起了一一对应关系.最后，我们学习了本节的最后一个知识点——两个向量的数量积，将平面两个向量的数量积推广到空间，建立起了向量在轴上的投影的概念，并学习了内积的几个运算性质．通过这一周的学习,同学们建立起了空间向量的概念,初步将空间向量与空间图形联系起来,并通过课堂内外的例、习题的讲解与学习，初步学会用向量知识来解决立体几何问题的方法与技巧．二、重、难点知识的归纳与剖析（一）本周学习与研究中的四个重点１、空间向量的运算及运算律空间向量加法,减法，数乘向量的意义及运算律与平面向量类似．学习过程中,我们要加强直观说理，结合式与图之间的互相转换加深理解.如：（1)首尾相接的若干向量之和等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．因此，求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量;（2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形,则它们的和为；（3）两个向量相加的平行四边形法则在空间仍成立．因此求始点相同的两个向量之和时，可考虑用平行四边形法则．2、共线向量定理和共面向量定理由于空间向量的平行（共线)的定义、共线向量定理等与平面向量完全相同,都是平面向量的相关知识向空间的推广,因此,我们可以在熟练地掌握平面向量这些知识的基础上来加深理解.其中要明确如下几点：（1）的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线；当时,也具有同样的意义；(2）运用确定平面的条件可以将空间向量问题转化为平面向量问题;(３)理解共线向量定理时,应知道该定理包含两个命题：有一点不在上;(４）空间直线的向量参数方程是空间共线向量定理的具体体现；3、空间向量基本定理空间向量基本定理与平面向量基本定理类似,区别仅在于基底中多了一个向量,从而分解结果中也多了一“项”,因此不难理解.空间向量基本定理说明了用空间三个不共面已知向量组可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．４、两个向量的数量积的计算方法及其应用.理解两个向量的数量积的定义是利用两个向量的数量积开展计算的关键，其中还要结合它的一些性质．其具体应用是思考如下几个问题：（1)如何把已知的几何条件转化为向量表示?(2）考虑一些未知的向量能否用基向量或其它已知向量表示？（３）如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论?(二)本周学习与研究中的难点应用向量解决立体几何问题是贯穿于本节学习始终的一个难点．它涉及到如何利用向量的运算法则及定律将一些线线间的关系用向量刻画，然后利用共线向量定理,共面向量定理证明多点共线，多线共面问题，最后利用向量的数量积的定义及性质来解决有关求线段长,求异面直线所成的角的计算问题.突破该难点的方法可以采用多练习去实现，从练习中悟出其中的技巧和方法.三、例题点评例1、如图中,已知点O是平行六面体ABCD-A1B１Ｃ1D1体对角线的交点，点P是任意一点，则．分析:将要证明等式的左边分解成两部分：与，第一组向量和中各向量的终点构成平行四边形AＢＣD,第二组向量和中的各向量的终点构成平行四边形A1B1C1D1，于是我们就想到了应该先证明:将以上所述结合起来就产生了本例的证明思路．解答：设E,E1分别是平行六面体的面ABCD与A1B1C１D1的中心，于是有点评：在平面向量中，我们证明过以下命题:已知点O是平行四边形ABCD对角线的交点，点Ｐ是平行四边形ＡＢCＤ所在平面上任一点，则，本例题就是将平面向量的命题推广到空间来．例2、已知空间四边形ＯABC中,Ｍ为BC中点,N为AＣ中点,Ｐ为OＡ中点,Q为OB中点，若AB=OＣ，求证:PＭ⊥QN.分析：欲证PM⊥ＱN，只要证明解答：点评：欲证用相同的几个向量表示出来，然后利用向量的数量积. 例3、如图，E是正方体ABCD-A1B１C1Ｄ1的棱Ｃ1D1中点,试求向量分析：利用数量积定义,求出，再求出所成角的余弦.解答:点评：求向量所成角,首先应将用一组基底表示出来，再利用公式.空间向量及其运算(理）检测一、选择题１、下列说法中正确的是（)A.两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同B.若非零向量与是共线向量，则Ａ、B、C、Ｄ四点共线Ｃ．若D.四边形ABCD是平行四边形的充要条件是=2、已知空间四边形ＡBCＤ，连ＡC,BＤ，设Ｍ、G分别是BＣ、CD中点,则（）A． B. C. D.３、如图中,已知空间四边形OＡＢC，其对角线为OＢ，AC,M,Ｎ分别是对边OA，BC 的中点，点G在线段ＭN上，且分所成的定比为２,现用基向量(）A. B.C.D．4、空间四边形ＡBCＤ的每边及对角线长均为，E，Ｆ，G分别是AB,BD,DC的中点,则（)Ａ． B.１C．Ｄ．５、已知空间四边形ＡBCD的各条边的长度相等,E为BC中点，那么( )Ａ.Ｂ.Ｃ． D.6、设A,B，Ｃ，D是空间不共面的四点，且满足(）Ａ.钝角三角形Ｂ．锐角三角形 C.直角三角形D．不确定7、空间四边形OABC中，OＢ=ＯＣ，∠AOＢ=∠AOC=() Ａ. B. C.D．０８、()A．Ｂ． C.D．不确定９、在下列条件中,使M与A、B、C一定共面的是( ）A．B．C． D.10、（）Ａ．B． C. D.二、综合题１1、已知点G是△ABC的重心,Ｏ是空间任一点,若12、在平行六面体AＢCＤ－EFGＨ中,，１３、已知ABＣD－A1B1Ｃ１Ｄ1为正方体,则下列命题中错误的命题为________＿_.１4、已知平行四边形ABCD,如图从平面ＡＣ外一点Ｏ引向量（１）四点E、F、G、H共面;（2）平面ＡC／/平面EＧ.15、正方体AＢCＤ－A1B１Ｃ1Ｄ1，M为ＡＡ１的中点，Ｎ为A1B１上的点,满足MN⊥MＣ,MP⊥Ｂ1C.16、如图所示,在平行六面体ABCD－A１B１C1Ｄ1中,O是Ｂ1Ｄ１的中点，求证：B1C∥平面ODC.答案一、选择题:1—10ＤADＡＤBＤＢCC2、如图3、4、5、6、同理有:ｃos∠DＢC>0，∠DCB>0, 故三角形BCD为锐角三角形．7、8、9、由共面向量定理知Ｃ正确. 1０、二、综合题１１、解:答案:31２、解:如图答案：13、解：①正确.②正确．③不正确．④不正确答案：③④1４、解：15、解:１6、解:高考解析：空间向量及其运算(理)“向量”知识逐渐成为命题热点,一般选择题,填空题重在考查空间向量的概念，解答题重在考查空间向量的运算及数量积等性质，利用向量知识解决立体几何问题.不过从课本中的例习题的形式来看，高考中对于原立体几何中关于求异面直线所成的角,异面直线间的距离,以及有关证明线线垂直,线面垂直，线线平行,线面平行等问题，一般地都可采用两种方法处理,一种用纯立体几何知识解决,这对思维能力要求较高,另一种就是用向量法解决，这样将几何问题代数化.同学们在平时训练中，对于同一题，最好采取两种方法解决，并且训练熟练．例１、（全国高考试题)如图,已知:平行六面体ABCＤ－A1B1C1Ｄ1的底面ＡBCD是菱形,且∠C1CＢ=∠C１CＤ＝∠BＣD=60°.（1）证明：Ｃ1C⊥BＤ；(2）当的值为多少时,能使A1Ｃ⊥平面C１BD？请给出证明.分析：本题考查直线与直线,直线与平面的关系，逻辑推理能力，怎样把空间垂直关系的判定转化为向量的知识是关键．解答：例2、(上海高考试题）若则下列等式不一定成立的是（) Ａ.Ｂ.C． D.分析：本题考查向量的加、减法及数乘、数量积等运算的性质,空间向量（即使是平面向量)的数量积不满足结合律．故选D.答案：Ｄ。
高二数学空间向量的坐标运算
空间向量的坐标运算一、知识回顾：1、如果空间一个基底的三个向量互相垂直 ：且长都为1 ：则这个基底叫做：常用 来表示。
2、在单位正交基底i ：j ：k 中 ：与向量OA 对应的有序实数组),,(z y x 叫做 ：其中x 叫做：y 叫做：z 叫做。
3、设),,(321a a a a = ：),,(321b b b b = ：则a +b =：-a b =：=a λ：=⋅b a：a ∥b ⇔：a ⊥b ⇔。
4、设),,(321a a a a = ：),,(321b b b b = == ：=。
5、在空间直角坐标系中 ：若),,(111z y x A ：),,(222z y x B ：则=B A d , 。
6、如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面α ：则称这个向量：向量a 叫做平面α的。
二、基础练习：1、空间直角坐标系中 ：x 轴上的点的坐标为 ：y 轴上的点的坐标为：z 轴上的点的坐标为 。
2、向量a =)3,0,2(与坐标平面平行 ：向量b =)0,3,2(与坐标平面平行。
3、若向量a =)2,3,2(- ：b =)3,5,1(- ：且b a m +与b a 23+垂直 ：则=m 。
4、已知点B 是点)4,7,3(-A 在xOz 平面上的射影 ：则=2)(OB。
5、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 共线 ：且满足18=⋅b a ：则b = 。
6、同时垂直于a =)1,2,2( ：b =)3,5,4(的单位向量为。
三、典型例题：1、已知△ABC 的三顶点)2,1,0(A ：)1,1,2(-B ：)2,1,3(-C ：求（1）△ABC 的重心坐标 ：（2）BC 边上的中线长 ：（3）∠A 的余弦值 ：（4）△ABC 的面积。
2、已知四边形ABCD 的顶点分别是)2,1,3(-A ：)1,2,1(-B ：)3,1,1(--C ：)3,5,3(-D 求证：四边形ABCD 是一个梯形。
3、如图 ：在空间直角坐标系中 ：BC=2 ：O 是BC 的中点 ：点A 的坐标是)0,21,23(：点D 在平面yOz 上 ：且∠BDC=90º：∠DCB=30º ：求（1）向量OD 的坐标 ：（2）设向量AD 和BC 的夹角为θ ：求θ。
高二数学空间向量的坐标运算知识精讲
高二数学空间向量的坐标运算【本讲主要内容】空间向量的坐标运算空间直角坐标系，空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，空间向量平行，垂直的坐标表示形式。
【知识掌握】 【知识点精析】1. 空间直角坐标系（1）单位正交基底，空间直角坐标系，右手直角坐标系（2）坐标：在空间直角坐标系O-xyz 中，对空间任一点A ，对应一个向量OA →，于是存在唯一的有序实数组x 、y 、z ，使OA xi yj zk =++，则实数组（x ，y ，z ）叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标。
2. 向量的直角坐标运算设a a a ab b b b ==()()123123，，，，，则a b a b a b a b +=+++()112233，，a b a b a b a b -=---()112233，，a b a b a b a b ⋅=++112233a b a b a b a b R //⇔===∈112233λλλλ，，，或a b a b a b 112233==a b a b a b a b ⊥⇔++=11223303. 夹角和距离公式（1）夹角公式：设a a a ab b b b ==()()123123，，，，，则cos <>=++++⋅++a b a b a b a b a a a b b b ，112233122232122232（2）距离公式：设A x y z B x y z ()()111222，，，，， 则d x x y y z z AB =-+-+-()()()122122122（3）平面的法向量：如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a ⊥α。
如果 a ⊥α，那么向量a 叫做平面α的法向量。
【解题方法指导】1. 在证明线线平行时，利用a b a b //⇔=λ即()()a a a b b b 123123，，，，=λλλ，在证明线面平行或面面平行时，需转化为线线平行问题。
空间向量及其线性运算(课件)(人教A版2019选修一)高二数学同步精品
自主学习
三．空间向量的线性运算
空 加法 间
三角形法则:a＋b＝O→A ＋A→B ＝ O→B 平行四边形法则:a＋b＝O→A ＋O→C ＝ O→B
向 量
减法
a－b＝O→A －O→C ＝C→A
的 线
当 λ>0 时，λa（λa 的长度为 a 的|λ|a 倍）＝λO→A
性 运 算
数乘 运算
＝P→Q （与 a 同向）
当堂达标
2.向量 a，b 互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是( ) A．a＝b B．a＋b 为实数 0 C．a 与 b 方向相同 D．|a|＝3
D 解析：向量 a，b 互为相反向量，则 a，b 模相等、方向相反，故选 D.
当堂达标
3.已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，A→1E＝14A→1C1，若A→E＝xA→A1＋y(A→B＋A→D)，则(
自主学习
六.共面向量 定义：平行于___同__一__个__平__面_____的向量叫做共面向量.
1.证明空间三个向量共面，常用如下方法： (1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合， 即若 a＝xb＋yc，则向量 a，b，c 共面； (2)寻找平面 α，证明这些向量与平面 α 平行.
)
A．x＝1，y＝12
B．x＝12，y＝1
C．x＝1，y＝13
D．x＝1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy＝14
D 解析：A→E＝A→A1＋A→1E＝A→A1＋14A→1C1＝A→A1＋14(A→B＋A→D)．所以 x＝1，y＝14．
当堂达标
4.如图，在长方体 ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1， 则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中： ①单位向量共有多少个？ ②试写出模为 5的所有向量． ③试写出与向量A→B相等的所有向量． ④试写出向量-A-→A′的所有相反向量．
高二数学空间向量及其运算知识精讲 试题
智才艺州攀枝花市创界学校高二数学空间向量及其运算知识精讲一.本周教学内容：第三章空间向量与立体几何 空间向量及其运算 二.教学目的1、掌握空间向量的相关概念及根本性质2、掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及它们的运算律3、掌握空间向量的直角坐标运算及相关公式 三.教学重点、难点●理解空间向量与平面向量在概念与性质及运算规那么上的区别与联络，掌握空间向量的各种概念、性质、运算规那么。
四.知识分析1、空间向量的概念及其加减与数乘运算〔1〕在空间，具有大小和方向的量叫做向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或者相等的向量。
我们规定起点与终点重合的向量叫零向量，记为0；模为1的向量称为单位向量；与a 模相等但方向相反的向量称为a 的相反向量．〔2〕空间向量的加法、减法与向量数乘运算是平面向量对应运算的推广． 〔3〕空间向量的加减与数乘运算满足如下运算律： 加法交换律：a bb a +=+加法结合律：(a b)c a (b c)++=++数乘分配律：()aa b λ+μ=λ+μ(a b)a b λ+=λ+λ2、空间向量的根本定理〔1〕假设表示向量的有向线段所在的直线平行或者重合，那么这些向量叫一共线向量或者平行向量； 〔2〕平行于同一平面的向量叫做一共面向量．空间任意两个向量总是一共面的． 〔3〕一共线向量定理：对空间任意两个向量a,b,(b0)≠,a //b 的充要条件是存在实数x ，使a xb =；推论：假设l 为经过点A 且平行于非零向量a 的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OPOA ta =+．其中向量a 叫做直线l 的方向向量。
〔4〕一共面向量定理：假设两个向量a 、b 不一共线，那么向量c 与向量a ,b 一共面的充要条件是存在唯一的一对实数x ，y ，使c xa yb =+。
推论：空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对x,y ，使AP xAB yAC =+；或者对空间任一定点O ，有OPOA xAB yAC =++；或者OP xOA yOB zOC =++〔其中x+y+z=1〕。
高二数学复习典型题型与知识点专题讲解1---空间向量及其运算(解析版)
高二数学复习典型题型与知识点专题讲解 01空间向量及其运算+空间向量基本定理+空间向量及其运算的坐标表示一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 回路法求模与夹角知识点2 共线与共面知识点3 空间向量基本定理知识点4 建系设点二、题型归类练专练一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 回路法求模与夹角例1．（2021·湖北省直辖县级单位·高二阶段练习）如图，平行六面体ABCD A B C D ''''-，其中4AB =，3AD =，3AA '=，90BAD ∠=︒，60BAA '∠=︒，60DAA '∠=︒，则AC '的长为________【详解】根据题意，''AC AC CC AB BC AA =+='++'AC AB BC AA ∴=++'根据题中的数据可知，()()()()2'22'2'2222'2?··433243cos9033cos 6043cos 6055AB BC AA AB BC AA AB BC BC AA AB AA AC AB BC AA ++=+++++=+++⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒=∴=++=名师点评：回路法求模，比如AD AB BC CD =++,则有22||()AD AB BC CD =++。
也如本例中：AC AB BC CC '=+'+，特别提醒：找向量夹角时，注意共起点才能找夹角，当两个向量不共起点时，需平移成共起点条件下找夹角.例2．（2021·重庆南开中学高二阶段练习）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60︒，则AC 与1BD 所成角的余弦值___________.【详解】 因为111,AC AB AD BD AD AB AA AD AB =+=-=+-，所以()()()()111AC BD AB AD AA AD AB AB AD AA AD AB ⋅=+⋅+-=+⋅+-，2211AB AA AB AD AA AD =⋅-+⋅+， 2222cos60222cos6024=⨯⨯-+⨯⨯+=， ()22222AC AB AD AB AB AD AD =+=+⋅+， 222222cos60212=+⨯⨯⨯+=，所以23AC =()2211BD AA AD AB =+-，222111222AA AD AB AA AD AA AB AD AB =+++⋅-⋅-⋅，222222222cos60222cos60222cos60=+++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯， 8= 所以122BD =设AC 与1BD 所成的角为θ,所以111cos cos ,2AC BD AC BD AC BD θ⋅====⋅. 名师点评：利用向量求异面直线所成角时注意：①0,a b π≤<>≤，利用公式cos ,||||a b a b a b ⋅<>=，求出的cos ,a b <>可正可负可为零；②异面直线a ，b 所成角02πθ<≤，在利用向量求异面直线所成角时注意转化cos |cos ,|a b θ=<>. 知识点2 共线与共面例1．（2021·辽宁·大连市第一中学高三期中）在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点（不包含端点），若AD mAB nAC=+，则41m n+的最小值为______． 【答案】9【详解】 D 是线段BC 上一点，B ∴，C ，D 三点共线，AD mAB nAC =+，1m n ∴+=，且0m >，0n >，∴14()()52459441n m n m n m n m n m+=++=+++=， 当且仅当4m n n m=时取等号． ∴41m n+的最小值为9．故答案为：9．练习1-1．（2021·广东深圳·高三阶段练习）如图，在ABC ∆中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB AC ，所在的直线分别交于点M N ，若AM AB λ=，,(0,0)AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为__________．【答案】1 【详解】 BP BA AP =+，PC PA AC =+，又2BP PC =，∴()2AB AP AC AP -+=-， ∴12123333AP AB AC AM AN λμ=+=+， 又P 、M 、N 三点共线， ∴12133λμ+=，∴12122()11333333μλλμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当233μλλμ=，即1233λμ==时取等，∴λμ+的最小值为1故答案为：1练习1-2．（2021·全国·高二单元测试）已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使OA λ+mOB +nOC =0，那么m n λ++的值为________.【答案】0【详解】因A ，B ，C 三点共线，则存在唯一实数k 使AB k AC =，显然0k ≠且1k ≠，否则点A ，B 重合或点B ，C 重合，则()OB OA k OC OA -=-，整理得：(1)0k OA OB kOC -+-=，令λ=k -1，m =1，n =-k ，显然实数λ，m ，n 不为0，因此，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA +m OB +n OC =0，此时λ+m +n = k -1+1+(-k )=0， 所以λ+m +n 的值为0.故答案为：0另解：由A ，B ，C 三点共线，且OA λ+mOB +nOC =0⇒mnOA OB OC λλ=--()10mn m n m n λλλλ⇒-+-=⇒+=-⇒++= 名师点评：①空间中三点,,P A B 共线⇔PA PB λ=;②空间中三点,,P A B 共线⇔对于空间中任意一点O ,(1)OP OA OB λμλμ=++=合理的利用好三点共线向量的充要条件，在解题时可以迅速得出结论。
1.3 空间向量的坐标表示及其运算(同步课件)-【优选组合】2021-2022学年高二(人教A版20
∴ || =
22 + 12 + (−3)2 = 14, || =
32 + (−2)2 + (−1)2 = 14, ⋅
= 2 × 3 + 1 × (−2) + (−3) × (−1) = 7,
∴ cos = cos＜, ＞ =
=
−4
3×2 5
=
2 5
−
15
.
12 + 22 + (−2)2 = 3, || =
探究点三 空间向量坐标运算的运用
例 [2021山东师大附中高二月考] 已知在空间直角坐标系中
,(0,2,3),(−2,1,6),(1, −1,5).
（1） 若点在直线上,且 ⊥ ,求点的坐标;
= (4,2,0), = (−1,2, −1),所以 ⋅ = −4 + 4 + 0 = 0,所以 ⊥ ,
即 ⊥ ,故B中结论正确;
易知 = − = (2,3,4) ,若 // ,则存在实数 ,使得 =
−1 = 2,
,即 ቐ 2 = 3, 此方程组无解,故 不平行于 ,故C中结论错误;
读 式.
标运算解决立体几何问题.
3.能用空间向量的坐标运算解决
平行、垂直、夹角、长度等问题.
要点一 空间向量运算的坐标表示
设 = (1 , 2 , 3 ), = (1 , 2 , 3 )，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
运算
加法
减法
数乘
数量积
坐标表示
1 1 + 2 2 + 3 3
2. 已知 = (1,1,0), = (0,1,1), = (1,0,1), = − , = + 2 − ,则 ⋅
高二数学空间向量及其运算
更让人无法忍受和胆战心惊的是，做农活就是和蚊虫们亲密接触的过程，被蚊子叮咬的同时，还往往看到不同类型的虫子，有灰色的肉虫，有带着斑点的瓢虫，有像蚂蚁一样的叫不上名字的细细碎 碎的小虫。特别是肉虫，手一旦碰到，我就起一层鸡米疙瘩，那种心里的惧怕，促使我无论如何都要跳出农家门，而当时唯一的出路也就是好好学习。一种只赢不输的赌法
学习是很重要，但那是在学校的事。一旦从学校回来，必须去地里干活。干农活深深扎根于我的思想里，以至于，结婚后把婆婆家农活干完，也常常回娘家继续干，即使搬到县城十几年了，农忙季 节偶尔还是回去帮忙。
如今农村日趋机械化，好多农活儿已经不靠手工操作了。但大多数农民还是很辛苦，很劳累。冬天的大鹏，收入是提高了，但一年四季忙，特别是听母亲说姐姐有时夜里也去地里干农活，我就心疼 得不得了。也许就是一个农村孩子吧，对农民有着特殊的情结。