高三数学二轮复习精选试题汇编：微积分基本定理_(有答案)
高中数学 1.6 微积分基本定理同步练习 新人教A版选修2-2
选修2-2 1.6 微积分基本定理一、选择题1．下列积分正确嘚是( )[答案] AA.214B.54 C.338D.218[答案] A[解析] ⎠⎛2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4dx ＝⎠⎛2－2x 2dx ＋⎠⎛2－21x 4dx＝13x 3|2－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x －3| 2－2 ＝13(x 3－x －3)| 2－2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫8－18－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－8＋18＝214.故应选A.3.⎠⎛1－1|x|dx 等于( )A.⎠⎛1－1xdxB.⎠⎛1－1dxC.⎠⎛0－1(－x)dx ＋⎠⎜⎛01xdxD.⎠⎛0－1xdx ＋⎠⎜⎛01(－x)dx[答案] C[解析] ∵|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x≥0)－x (x<0)∴⎠⎛1－1|x|dx ＝⎠⎛0－1|x|dx ＋⎠⎜⎛01|x|dx＝⎠⎛0－1(－x)dx ＋⎠⎜⎛01xdx ，故应选C.4．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (0≤x<1)2－x (1≤x≤2)，则⎠⎜⎛02f(x)dx 等于( )A.34B.45C.56D ．不存在[答案] C[解析] ⎠⎜⎛02f(x)dx ＝⎠⎜⎛01x 2dx ＋⎠⎜⎛12(2－x)dx取F 1(x)＝13x 3，F 2(x)＝2x －12x 2， 则F′1(x)＝x 2，F′2(x)＝2－x∴⎠⎜⎛02f(x)dx ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝13－0＋2×2－12×22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2×1－12×12＝56.故应选C.5.⎠⎜⎛ab f′(3x)dx＝( )A ．f(b)－f(a)B ．f(3b)－f(3a)C.13[f(3b)－f(3a)] D ．3[f(3b)－f(3a)][答案] C[解析] ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤13f(3x)′＝f′(3x)∴取F(x)＝13f(3x)，则⎠⎜⎛ab f′(3x)dx＝F(b)－F(a)＝13[f(3b)－f(3a)]．故应选C. 6.⎠⎜⎛03|x 2－4|dx ＝( )A.213B.223 C.233D.253[答案] C[解析] ⎠⎜⎛03|x 2－4|dx ＝⎠⎜⎛02(4－x 2)dx ＋⎠⎜⎛23(x 2－4)dx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －13x 3| 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x | 32＝233.A ．－32B ．－12C.12D.32[答案] D[解析] ∵1－2sin 2θ2＝cosθ8．函数F(x)＝⎠⎜⎛0x costdt 嘚导数是( )A ．cosxB ．sinxC ．－cosxD ．－sinx[答案] A[解析] F(x)＝⎠⎜⎛0x costdt ＝sint| x 0＝sinx －sin0＝sinx.所以F′(x)＝cosx ，故应选A.9．若⎠⎜⎛0k (2x －3x 2)dx ＝0，则k ＝( )A ．0B ．1C ．0或1D ．以上都不对[答案] C[解析] ⎠⎜⎛0k (2x －3x 2)dx ＝(x 2－x 3)| k 0＝k 2－k 3＝0，∴k＝0或1.10．函数F(x)＝⎠⎜⎛0x t(t －4)dt 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值 [答案] B[解析] F(x)＝⎠⎜⎛x (t 2－4t)dt ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2| x 0＝13x 3－2x 2(－1≤x≤5)．F′(x)＝x 2－4x ，由F′(x)＝0得x ＝0或x ＝4，列表如下：x (－1,0) 0 (0,4) 4 (4,5) F′(x) ＋0 －0 ＋F(x)极大值极小值可见极大值F(0)＝0，极小值F(4)＝－323.又F(－1)＝－73，F(5)＝－253∴最大值为0，最小值为－323.二、填空题 11．计算定积分： ①⎠⎛1－1x 2dx ＝________②⎠⎜⎛23⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －2x 2dx ＝________ ③⎠⎜⎛02|x 2－1|dx ＝________④⎠⎛0－π2|sinx|dx ＝________[答案] 23；436；2；1[解析] ①⎠⎛1－1x 2dx ＝13x 3|1－1＝23. ②⎠⎜⎛23⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －2x 2dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x | 32＝436.③⎠⎜⎛02|x 2－1|dx ＝⎠⎜⎛01(1－x 2)dx ＋⎠⎜⎛12(x 2－1)dx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x | 21＝2.[答案] 1＋π213．(2010·陕西理，13)从如图所示嘚长方形区域内任取一个点M(x ，y)，则点M 取自阴影部分嘚概率为________．[答案] 13[解析] 长方形嘚面积为S 1＝3，S 阴＝⎠⎜⎛13x 2dx ＝x 3|10＝1，则P ＝S 1S 阴＝13.14．已知f(x)＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f(x)dx ＝2f(a)成立，则a ＝________.[答案] －1或13[解析] 由已知F(x)＝x 3＋x 2＋x ，F(1)＝3，F(－1)＝－1， ∴⎠⎛1－1f(x)dx ＝F(1)－F(－1)＝4，∴2f(a)＝4，∴f(a)＝2.即3a 2＋2a ＋1＝2.解得a ＝－1或13.三、解答题15．计算下列定积分： (1)⎠⎜⎛052xdx ；(2)⎠⎜⎛01(x 2－2x)dx ；(3)⎠⎜⎛02(4－2x)(4－x 2)dx ；(4)⎠⎜⎛12x 2＋2x －3x dx. [解析] (1)⎠⎜⎛052xdx ＝x 2| 50＝25－0＝25.(2)⎠⎜⎛01(x 2－2x)dx ＝⎠⎜⎛01x 2dx －⎠⎜⎛012xdx＝13x 3|10－x 2|1＝13－1＝－23. (3)⎠⎜⎛02(4－2x)(4－x 2)dx ＝⎠⎜⎛02(16－8x －4x 2＋2x 3)dx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16x －4x 2－43x 3＋12x 4| 20＝32－16－323＋8＝403.(4)⎠⎜⎛12x 2＋2x －3x dx ＝⎠⎜⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2－3x dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x －3lnx | 21＝72－3ln2.16．计算下列定积分：[解析] (1)取F(x)＝12sin2x ，则F′(x)＝cos2x＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－32＝14(2－3)．(2)取F(x)＝x 22＋lnx ＋2x ，则F′(x)＝x ＋1x＋2.∴⎠⎜⎛23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x 2dx ＝⎠⎜⎛23⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2dx ＝F(3)－F(2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫92＋ln3＋6－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4＋ln2＋4 ＝92＋ln 32. (3)取F(x)＝32x 2－cosx ，则F′(x)＝3x ＋sinx17．计算下列定积分： (1)⎠⎛0－4|x ＋2|dx ；(2)已知f(x)＝，求⎠⎛3－1f(x)dx 嘚值．[解析] (1)∵f(x)＝|x ＋2|＝∴⎠⎛0－4|x ＋2|dx ＝－⎠⎜⎛－4－2(x ＋2)dx ＋⎠⎛0－2(x ＋2)dx＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x | －2－4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x | 0－2 ＝2＋2＝4.(2)∵f(x)＝∴⎠⎛3－1f(x)dx ＝⎠⎛0－1f(x)dx ＋⎠⎜⎛01f(x)dx ＋⎠⎜⎛12f(x)dx ＋⎠⎜⎛23f(x)dx ＝⎠⎜⎛01(1－x)dx ＋⎠⎜⎛12(x －1)dx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x | 21 ＝12＋12＝1. 18．(1)已知f(a)＝⎠⎜⎛01(2ax 2－a 2x)dx ，求f(a)嘚最大值；(2)已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，⎠⎜⎛01f(x)dx ＝－2，求a ，b ，c 嘚值．[解析] (1)取F(x)＝23ax 3－12a 2x 2则F′(x)＝2ax 2－a 2x ∴f(a)＝⎠⎜⎛01(2ax 2－a 2x)dx＝F(1)－F(0)＝23a －12a 2＝－12⎝⎛⎭⎪⎫a －232＋29∴当a ＝23时，f(a)有最大值29.(2)∵f(－1)＝2，∴a－b ＋c ＝2① 又∵f′(x)＝2ax ＋b ，∴f′(0)＝b ＝0② 而⎠⎜⎛01f(x)dx ＝⎠⎜⎛01(ax 2＋bx ＋c)dx取F(x)＝13ax 3＋12bx 2＋cx 则F′(x)＝ax 2＋bx ＋c∴⎠⎜⎛01f(x)dx ＝F(1)－F(0)＝13a ＋12b ＋c ＝－2③ 解①②③得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.。
高三数学微积分基础练习题集与答案
高三数学微积分基础练习题集与答案注：本练习题集共包含20道微积分基础题目，每道题后面附有详细的解答和答案。
希望能对高三学生复习微积分有所帮助。
1. 题目：计算函数f(x) = 2x^3 - 3x^2在区间[-1, 2]上的定积分。
解答：首先，我们计算f(x)的原函数F(x)。
F(x) = ∫(2x^3 - 3x^2)dx = 1/2x^4 - x^3 + C根据定积分的性质，f(x)在区间[a, b]上的定积分可以写成原函数F(x)在点b和点a处的函数值之差，即：∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)代入a = -1，b = 2，得到：∫[-1, 2](2x^3 - 3x^2)dx = F(2) - F(-1) = (1/2 * 2^4 - 2^3) - (1/2 * (-1)^4 - (-1)^3)= 8 - 7/2= 9/2所以，函数f(x) = 2x^3 - 3x^2在区间[-1, 2]上的定积分为9/2。
2. 题目：计算函数f(x) = e^x在区间[0, ln2]上的定积分。
解答：由于e^x的原函数为e^x，即F(x) = e^x，根据定积分的性质，我们有：∫[0, ln2]e^xdx = F(ln2) - F(0) = e^(ln2) - e^0= 2 - 1= 1所以，函数f(x) = e^x在区间[0, ln2]上的定积分为1。
3. 题目：计算函数f(x) = sin(x)在区间[0, π]上的定积分。
解答：sin(x)的原函数为-cos(x)，即F(x) = -cos(x)。
根据定积分的性质，我们有：∫[0, π]sin(x)dx = F(π) - F(0) = (-cos(π)) - (-cos(0))= -(-1) - (-1)= 2所以，函数f(x) = sin(x)在区间[0, π]上的定积分为2。
4. 题目：计算函数f(x) = x/x^2 + 3在区间[1, 3]上的定积分。
高中微积分试题及答案
高中微积分试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^5答案：B2. 函数f(x) = 2x + 3的导数是？A. 2B. 3C. 2x + 3D. 6x + 9答案：A3. 函数f(x) = x^2的不定积分是？A. 2xB. x^2 + CC. 2x^2 + CD. x^3 + C答案：D4. 曲线y = x^2从x = 0到x = 1的定积分是？A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：C5. 函数f(x) = sin(x)的原函数是？A. cos(x) + CB. -cos(x) + CC. sin(x) + CD. -sin(x) + C答案：A二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的导数是______。
答案：6x - 27. 函数f(x) = e^x的不定积分是______。
答案：e^x + C8. 曲线y = ln(x)从x = 1到x = e的定积分是______。
答案：19. 函数f(x) = cos(x)的导数是______。
答案：-sin(x)10. 曲线y = x^3从x = -1到x = 1的定积分是______。
答案：2/4 = 1/2三、解答题（每题10分，共40分）11. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的二阶导数。
答案：首先求一阶导数：f'(x) = 3x^2 - 6x + 2然后求二阶导数：f''(x) = 6x - 612. 计算定积分∫(0 to 1) (x^2 - 2x + 1) dx。
答案：∫(x^2 - 2x + 1) dx = (1/3)x^3 - x^2 + x从0到1计算：[(1/3)(1)^3 - (1)^2 + (1)] - [(1/3)(0)^3 - (0)^2 + (0)] = 1/3 - 1 + 1 = 1/313. 求函数f(x) = 2x/(x^2 + 1)的原函数。
高三数学专题复习-定积分与微积分基本定理专练
15 定积分与微积分基本定理1．如图，在矩形OABC 内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为( )A ．e 3B ．43e- C ．33e- D ．13e - 2．如图，在半径为π的圆内，有一条以圆心为中心，以2π为周期的曲线sin()2y x πωϕ=+，若在圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．1πB ．21πC ．22πD ．无法确定3．如图，在矩形中的曲线是，的一部分，点，，，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．4．曲线与直线围成的平面图形的面积为（ ） A ．B ．C ．D ．5．下图是函数与函数在第一象限的图象，则阴影部分的面积是（ ）A．B．C．D．6．如图所示，点，是曲线上一点，向矩形内随机投一点，则该点落在图中阴影内的概率为（）A．B．C．D．7．已知，则多项式的展开式中的系数为（）A．-56 B．-15 C．15 D．568．已知为常数，，则的展开式中的常数项是（）A．B．C．D．9．在二项式的展开式中，其常数项是15.如下图所示，阴影部分是由曲线和圆及轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（）A．B．C．D．10．直线与曲线在第一象限围成的封闭图形面积为，则展开式中，的系数为（）A．20 B．-20 C．5 D．-511．如图，在直角坐标系中，过坐标原点作曲线的切线，切点为，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，向矩形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（）A．B．C．D．12．函数为奇函数，则( )A．B．C．D．13．如图，正方形的四个顶点，及抛物线和,若将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）A ．B ．C ．D ．14．二次函数的图象如图所示，则定积分（ ）A ．B ．C ．2D ．315．过坐标原点O 作曲线:C xy e =的切线l ，则曲线C 、直线l 与y 轴所围成的封闭图形的面积为______16．若04sin n xdx π=⎰,2nx ⎛⎝的展开式中常数项为________．17．已知实数x ，y 满足不等式组222x y x t x y +⎧⎪⎨⎪--⎩………其中02sin t xdx π=⎰，则22x y +的最大值是_____．18．设20|sin |n x dx π=⎰在，则12(1)nx x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为______．19．若26cos n xdx π=⎰，则212nx x x⎛⎫⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中，含2x 项的系数为__________． 20．如图所示，阴影部分由函数图像与轴围成，向正方形中投掷一点，该点落在阴影区域的概率为__________．21．若，则的展开式中常数项为______．22．直线与抛物线围成的封闭图形的面积为______．23．设，则的展开式中的常数项为_____.（用数字填写）24．设，，为自然对数的底数，若，则的最小值是______。
高中数学 专题1.6 微积分基本定理练习(含解析)新人教A版选修2-2(2021年整理)
微积分基本定理(时间：25分，满分50分）班级 姓名 得分1。
ʃ1，0(e x ＋2x ）d x 等于（ ）A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1【答案】 C【解析】 ʃ错误!(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2）|错误!＝(e 1＋12)－（e 0＋02)＝e.2．sin 2错误!d x 等于（ ）A.错误!B.错误!－1C ．2D 。
错误! 【答案】 D3。
若ʃ错误!（2x ＋k )d x ＝2，则k ＝（ ）A 。
1B 。
2 C.3 D.4【答案】 A【解析】 ∵ʃ1，0(2x ＋k ）d x ＝(x 2＋kx )|错误!＝1＋k ＝2,∴k ＝1。
4．已知，若成立，则a = . A.或 B 。
C. D 。
0【答案】 A【解析】取，则,， 所以，所以，所以。
即，解得或.5．等于( ）20⎰()2321f x x x =++()()112f xd x f a -=⎰1-13131-()32F x x x x =++()13F =()11F -=-()()()11114f x F d xF ---==⎰()24f a =()2f a =23212a a ++=1a =-1311x dx -⎰A 。
B. C 。
D 。
【答案】C【解析】|x ｜＝∴＝，选C 。
6．由直线x ＝0、x ＝1、y ＝0和曲线y ＝x 2＋2x 围成的图形的面积为（ ）．【答案】A＝n （n ＋1)(2n ＋1)＋ ＝＋＝，∴所求面积S ＝. 7．设f （x )是一次函数，且ʃ1，0f (x )d x ＝5，ʃ错误!xf （x )d x ＝错误!，则f (x )的解析式为________．【答案】 f (x )＝4x ＋3 【解析】 ∵f （x ）是一次函数，设f （x )＝ax ＋b (a ≠0），则ʃ错误!f （x )d x ＝ʃ错误!（ax ＋b )d x ＝ʃ错误!ax d x ＋ʃ错误!b d x ＝错误!a ＋b ＝5，ʃ错误!xf （x )d x ＝ʃ错误!x （ax ＋b ）d x ＝ʃ错误!(ax 2）d x ＋ʃ错误!bx d x ＝错误!a ＋错误!b ＝错误!。
高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理模拟题及详解
一、教高二学科数学学目标：年级定积分计算内容标题编稿教马利军师1.理解定积分根本概念并能利用定积分几何意义解决一些简单积分计算问题.2.理解微积分根本定理，并会用定积分公式解决简单函数定积分问题.二、知识要点分析1.定积分概念：函数在区间［a，b］上定积分表示为：2.定积分几何意义：〔1〕当函数f〔x〕在区间[a，b]上恒为正时，定积分几何意义是：y=f〔x〕与x=a，x=b及x轴围成曲边梯形面积，在一般情形下.几何意义是介于x轴、函数f〔x〕图象、以及直线x=a，x=b之间各局部面积代数与，在x轴上方面积取正号，x轴下方面积取负号.在图〔1〕中：，在图〔2〕中：，在图〔3〕中：表示函数y=f〔x〕图象及直线x=a，x=b、x轴围成面积代数与.注：函数y=f〔x〕图象与x轴及直线x=a，x=b围成面积不一定等于，仅当在区间[a，b]上f〔x〕恒正时，其面积才等于.3.定积分性质，〔设函数f〔x〕，g〔x〕在区间［a，b］上可积〕〔1〕〔2〕，〔k为常数〕〔3〕〔4〕假设在区间［a，b］上，推论：〔1〕假设在区间［a，b］上，〔2〕〔3〕假设f〔x〕是偶函数，那么，假设f 〔x〕是奇函数，那么4.微积分根本定理：一般地，假设注：〔1〕假设那么F〔x〕叫函数f〔x〕在区间［a，b］上一个原函数，根据导数定义知：F〔x〕+C也是f〔x〕原函数，求定积分关键是求f〔x〕原函数，可以利用根本初等函数求导公式与导数四那么运算法那么从反方向求F〔x〕.〔2〕求导运算与求原函数运算互为逆运算.【典型例题】知识点一：定积分几何意义例1．根据推断：求直线x=0，x=，y=0与正弦曲线y=sinx所围成曲边梯形面积以下结论正确是〔〕A．面积为0B．曲边梯形在x轴上方面积大于在x轴下方面积C．曲边梯形在x轴上方面积小于在x轴下方面积D．曲边梯形在x轴上方面积等于在x轴下方面积题意分析：此题考察定积分几何意义，注意与y=sinx及直线x=a，x=b与x轴围成面积区别.思路分析：作出函数y=sinx在区间[0，]内图象及积分几何意义及函数对称性可判断.解：对于〔A〕：由于直线x=0，x=，y=0与正弦曲线y=sinx 所围成曲边梯形面积为正可判断A错.对于〔B〕，〔C〕根据y=sinx在[0，]内关于〔对称知两个答案都是错误.根据函数y=sinx图象及定积分几何意义可知：答案〔D〕是正确.解题后思考：此题主要考察定积分几何意义，表达了数与形结合思想应用，易错点是混淆函数y=sinx与x轴、直线x=0，x=围成面积等于.例2．利用定积分几何意义，说明以下等式合理性〔1〕〔2〕.题意分析：此题主要考察定积分几何意义：在区间[0，1]上函数y=2x，及y=恒为正时，定积分表示函数y=2x图象与x=0，x=1围成图形面积，表示函数y=图象与x=0，x=1围成图形面积.思路分析：分别作出函数y=2x及y=图象，求此图象与直线x=0，x=1围成面积.解：〔1〕在同一坐标系中画出函数y=2x图象及直线x=0，x=1〔如图〕，它们围成图形是直角三角形.其面积=.由于在区间[0，1]内f〔x〕恒为正，故.〔2〕由，故函数y〔图象如下图，所以函数y与直线x=0，x=1围成图形面积是圆面积四分之一，又y在区间［0，1］上恒为正.解题后思考：此题主要考察利用定积分几何意义来验证函数y=2x 及函数y=在区间［0，1］上定积分值，表达了数与形结合思想应用，易错点是画函数图象不准确造成错误结果.例3．利用定积分几何意义求值.题意分析：此题考察定积分几何意义，值是函数图象与直线x=0，x=4所围成图形面积.思路分析：首先把区间［0，4］分割为［0，1］，［1，3］，［3，4］，在每个区间上讨论x－1，x－3符号，把函数化为分段函数，再根据定积分几何意义求值.解：函数化为由于函数在区间［0，1］，［1，3］，［3，4］都恒为正.设函数y=－2x+4图象与直线x=0，x=1围成面积为S1函数y=2图象与直线x=1，x=3围成面积是S2函数y=2x－4图象与直线x=3，x=4围成面积是S3由图知：S1=S3=S2=由定积分几何意义知：=解题后思考：此题考察知识点是定积分几何意义，利用其几何意义求定积分值，表达了等价转化数学思想〔把区间［0，4］分割，把函数y=|x －1|+|x －3|化成分段函数〕、数与形结合思想应用.易错点是：区间［0，4］分割不当及画函数图象不准确，造成错误结果.当被积函数含有绝对值时，常采用分割区间把函数化为分段函数方法求定积分值.小结：此题主要考察定积分几何意义，要分清在区间［a ，b ］上f 〔x 〕恒为正时，f 〔x 〕在区间[a ，b]上定积分值才等于函数图象与直线x=a ，x=b 围成面积.在画函数图象时注意x 取值区间.当被积函数含有绝对值时，恰当分割区间把函数画为分段函数再求定积分值.高中数学高考总复习定积分与微积分根本定理习题及详解 一、选择题1．(2021·山东日照模考)a ＝⎠⎜⎛02x d x ，b ＝⎠⎜⎛02e xd x ，c ＝⎠⎜⎛02sin x d x ，那么a 、b 、c 大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b2．(2021·山东理，7)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成封闭图形面积为( )A.112B.14C.13D.712(2021·湖南师大附中)设点P 在曲线y ＝x 2上从原点到A (2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x 2及直线x ＝2所围成面积分别记作S 1，S 2.如下图，当S 1＝S 2时，点P 坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43，169B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫45，169 C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43，157 D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫45，137 3．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0与曲线y ＝x 3所围成图形面积为( )A ．4 B.43C.185D ．64．(2021·湖南省考试院调研)⎠⎛1－1(sin x ＋1)d x 值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos15．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成图形面积是( )A ．2π B．3π C.3π2D ．π6．函数F (x )＝⎠⎜⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( ) A ．有最大值0，无最小值 B ．有最大值0与最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值7．等差数列{a n }前n 项与S n ＝2n 2＋n ，函数f (x )＝⎠⎜⎛1x 1t d t ，假设f (x )<a 3，那么x 取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫36，＋∞B ．(0，e 21) C ．(e －11，e ) D ．(0，e 11)8．(2021·福建厦门一中)如下图，在一个长为π，宽为2矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如下图阴影局部，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能)，那么所投点落在阴影局部概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π49．(2021·吉林质检)函数f (x )＝错误!图象与x 轴所围成图形面积S 为( )A.32B ．1 C ．4 D.1210．(2021·沈阳二十中)设函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过xg (x )＝－x3，f (x )在区间(0,2)上零点个数记为m ，f (x )与g (x )图象交点个数记为n ，那么⎠⎜⎛m n g (x )d x 值是( ) A ．－52B ．－43C ．－54D ．－7611．(2021·江苏盐城调研)甲、乙两人进展一项游戏比赛，比赛规那么如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c (b 、c 可以相等)，假设关于x 方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根，那么甲获胜，否那么乙获胜，那么在一场比赛中甲获胜概率为( )A.13B.23C.12D.3412．(2021·吉林省调研)正方形四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，曲线y ＝x 2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，那么质点落在区域M 内概率是( )A.12B.14C.13D.25 二、填空题13．(2021·芜湖十二中)函数f (x )＝3x2＋2x ＋1，假设⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，那么a ＝________.14．a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ，那么二项式(a x －1x)6展开式中含x 2项系数是________．15．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成平面图形面积为________．16．(2021·安徽合肥质检)抛物线y 2＝ax (a >0)与直线x ＝1围成封闭图形面积为43，假设直线l 与抛物线相切且平行于直线2x －y ＋6＝0，那么l 方程为______．17．(2021·福建福州市)函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)图象如下图，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围成区域(图中阴影局部)面积为112，那么a值为________．三、解答题18．如下图，在区间[0,1]上给定曲线y＝x2，试在此区间内确定t值，使图中阴影局部面积S1＋S2最小．。
最全面高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
定积分与微积分基本定理习题一、选择题 2 e x dx ， c ＝ 01． a ＝2xdx ， b ＝2sinxdx ，则 0a 、b 、c 的大小关系是 ()A ．a<c<bB ． a<b<c y ＝x 2， y ＝ x 3 围成的封闭图形面积为 C ． c<b<aD ．c<a<b( )2．由曲线 练习、设点 P 在曲线 y ＝ x 2 上从原点到 OP ，直线 y ＝x 2A(2,4)移动，如果把由直线 及直线 x ＝ 2 所围成的面积分别记作S 1，S 2.如图所示， 当 S 1＝ S 2 时，点 P 的坐标是 ( )4 16 94 16 94 15 74 13 7， 3 ， 5 ，，A.B.C. D. 3 5 y ＝ x 3所围成的图形的面积为 ()3．由三条直线 x ＝ 0、 x ＝ 2、 y ＝ 0 和曲线 4B.318 A ．4 D ． 6C. 51－ 1(sin x ＋1)dx 的值为 ()4． A ．0B ．2C ． 2＋ 2cos1D ． 2－ 2cos15．曲线 y ＝ co sx (0≤ x ≤2π)与直线 y ＝ 1 所围成的图形面积是 ( )3πA ．2πB ． 3πD ． π C. 26．函数 F(x)＝ x t(t － 4)dt 0在[－ 1,5] 上()323 A ．有最大值 0，无最小值 B ．有最大值 0 和最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值C ．有最小值－ 1S n ＝ 2n 2＋ n ，函数 f(x)＝ x7．已知等差数列 { a n } 的前 n 项和 dt ，若 f(x)< a 3，则 x 的取值范围是 ( )t13－ 1121)11B ．(0， e ，e) D ．(0， e ，＋∞ C ． (e A. )68．如图所示，在一个长为 π，宽为 2 的矩形 OABC 内，曲线 y ＝ sin x (0≤ x ≤ π与) x 轴围成如图所示的阴影部分， 向矩形 OABC 内随机投一点 (该点落在矩形 OABC 内任何一点是等可能的 )，则所投的点落在阴影部 分的概率是 ()π D.41A. π2 B.π3 C.πx ＋2 －2≤ x<0的图象与 x 轴所围成的图形面积 S 为( )9．函数 f(x)＝π 2cosx 0≤x ≤ 23 A. 210．设函数 1D.2B ． 1C ． 4f( x)＝ x －[ x]，其中 [x] 表示不超过 x 的最大整数，如 [－ 1.2] ＝－ 2， [1.2] ＝ 1， [1] ＝ 1.又函数 xg(x)＝－ 3，f (x)在区间 (0,2)上零点的个数记为 m ，f (x)与 g(x)的图象交点的个数记为n ，则ng(x)dx 的值是 ( m)5A ．－ 24 B ．－ 35 C ．－ 47D ．－ 611．甲、乙两人进行一项游戏比赛， 比赛规则如下： 甲从区间 [0,1] 上随机等可能地抽取一个实数记为 b ，c(b 、c 可以相等 )，若关于 x 的方程 x 2＋ 2bx ＋ c ＝ 0 有实根，乙从区间 [0,1] 上随机等可能地抽取一个实数记为则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为()1A. 32 B.31 23 4C. D. O(0,0)， A(1,0)， B(1,1) ，C(0,1)，曲线 y ＝ x 2(x ≥ 0)与 x 轴，直线 12．已知正方形四个顶点分别为 x ＝ 1构成区域 M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是 ()1A. 2二、填空题1 B.41 32 5C. D. f(x)＝ 3x 2＋2x ＋ 1，若 1 －1f(x)dx ＝ 2f(a)成立，则 a ＝ .13．已知函数 π14．已知 a ＝∫ 20(sinx ＋ cosx)dx ，则二项式 1 6的展开式中含 x 2 项的系数是．(a x － ) x y 2＝2x 与直线 y ＝ 4－x 围成的平面图形的面积为 ．15．抛物线 4y 2＝ax(a>0)与直线 x ＝1 围成的封闭图形的面积为 ，若直线 l 与抛物线相切且平行于直线 16．抛物线 32x － y ＋ 6＝ 0，则 l 的方程为 ．f(x)＝－ x 3＋ ax 2＋ bx(a ， b ∈ R)的图象如图所示，它与 x 轴在原点处相切，且x 轴与函数17．已知函数 图象所围成区域 (图中阴影部分 )的面积为1，则 a 的值为 ．12 三、解答题y ＝ x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S 1＋18．如图所示，在区间 S 2 最小．[0,1] 上给定曲线1 2 2＝ 2， b ＝ x x 2＝ e 2－ 1>2， c ＝ 2＝1－ 2 2 2 1、 [答案 ] D[ 解析 a ＝ xdx ＝ x e dx ＝ e |0 sinxdx ＝－ cosx|0 ] |0 2cos2∈(1,2)，∴ c<a<b.1 A. 121 B.41 3 7 12C. D. y ＝ x2y ＝ x 3得交点为 (0,0)， (1,1)． 2、 [ 答案 ] A[ 解析 ] 由1 31 1 12.1(x 2－x 3)dx ＝ 0x 3－ x 410 ＝ ∴ S ＝ 4 t 36P(t ， t 2)(0 ≤ t ≤ 2)，则直线 OP ： y ＝ tx ，∴ S 1 ＝ t (tx － x 2 )dx ＝2(x 2 t练习； [ 答案 ] A[ 解析 ] 设 ； S 2＝ 3 4，16 3 9 －tx)dx ＝ 8 － 2t ＋t ，若 4，∴ P 3S 1＝ S 2，则 t ＝ . 3 6 x44S ＝ 2x 3dx ＝ 02＝4.3、 [ 答案 ] A[ 解析 ] 0 1＝(－ cos1＋ 1)－ (－ cos(－ 1)－1)＝ 2. 4、 [ 答案 ] B[ 解析 ]1(sinx ＋ 1)dx ＝ (－ cosx ＋ x)|－ 1 如右图，S ＝ ∫ 02π(1－ co sx )d x ＝ (x － sin x)|02π＝ 2π. F ′(x) ＝ x(x － 4)，令 F ′ (x)＝ 0，得 x 1＝ 0， x 2 5、[ 答案 ] 6、 [ 答案 ] A[ 解析 ] B[ 解析 ] ＝ 4， ∵ F(－ 1)＝－ 7， F(0) ＝ 0，F(4) ＝－ 32， F(5) ＝－ 253 .∴最大值为 0，最小值为3 3 －323. 1 x＝ lnx ， a ln x<11 得，0<x<e 11. x 7、 [ 答案 ] D ； [解析 ]f(x)＝ dt ＝ lnt|1 3＝ S 3－ S 2＝ 21－ 10＝ 11，由 t1由题意得 S ＝ πsin x d x8、[ 答案 ] A[ 解析 ] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积． SS 矩形OABC2 1 π. π＝－ co sx|0 ＝－(cos π－ cos0)＝ 2，再根据几何概型的算法易知所求概率 P ＝＝ ＝2πππ 202cosxdx ＝ 2＋ 2＝ 4. － 2f(x)dx ＝ 0－ 2(x ＋ 2)dx ＋ ∫ 9、 [ 答案 ] C[ 解析 ] 面积 S ＝ ∫ 210、 [ 答案 ] A[ 解析 ] 由题意可得，当 0<x<1 时， [ x] ＝ 0，f(x)＝ x ，当 1≤x<2 时， [x] ＝1，f(x)＝ x － 1， 所以当 x ∈ (0,2)时，函数 f(x)有一个零点，由函数 f( x)与 g( x)的图象可知两个函数有 4 个交点，所以 m ＝1，n 2－ x3－x 5 24＝－ ＝4，则ng(x)dx ＝m4 dx ＝ .1 6 1x 2＋2bx ＋ c ＝0 有实根的充要条件为 1b 2dbΔ＝ 4b 2－ 4c ≥ 0，即 b 2≥c ， 11、 [ 答案 ] A ； [解析 ] 方程 131× 1 由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为 p ＝＝ . 12、 [答案 ] C ；1 13M 的面积为 S ＝ 1x 2dx ＝ 0x 3|01＝ ，故所求 [解析 ] 如图，正方形面积 1，区域 3 概率 p ＝ 1. 313、 [ 答案 ] － 1 或 11－1f(x)dx ＝ 1－ 1(3x 2＋2x ＋ 1)dx ＝ (x 3＋ x 2 ； [ 解析 ]∵ 31－ 1f(x)dx ＝ 2f(a)，∴ 6a 2＋ 4a ＋ 2＝ 4，∴ a ＝－ 1 或 1 ＋x)|－ 11＝ 4， .3π π π π－ cos 14、 [答案 ] － 192；[ 解析 ] 由已知得 a ＝ ∫ (sinx ＋ cosx)dx ＝(－ cosx ＋ sinx)| 0＝ (sin )－ (sin00 2 2 2 2 1－ － x －)6的展开式中第xr 1＝(－1) r r × 26 r ×x3 r ，令 3－ r ＝ 2 得， r ＝1，故其 －cos0) ＝2，(2 r ＋ 1 项是 T ＋ ×C 6 系数为 (－ 1)1× C 6 × 2 ＝－ 192.1 5y 2＝2x y ＝ 4－ xy 2解得两交点 A(2,2)、 B(8，－ 4)，选 作为积分变量 x ＝ 、 x ＝ 4 2 y 15、 [答案 ] 18[解析 ] 由方程组－y2 2 32－4[(4 － y)－ y y － y 2＝ 18. ∴ S ＝ 2 ]dy ＝ (4y － 2 6)|－423，∴ a ＝ 1， 1 16、 [答案 ] 16x － 8y ＋1＝ 0[ 解析 ] 由题意知axdx ＝ 0设 l ： y ＝ 2x ＋b 代入 y 2＝ x 中，消去 y 得， 4x 2＋ (4b －1) x ＋ b 2 ＝0，由 Δ＝0 得， b ＝ 1，8 ∴ l 方程为 16x － 8y ＋ 1＝ 0. 17、 [答案 ] － 1f ′ (x)＝－ 3x 2＋2ax ＋ b ，∵ f ′ (0) ＝ 0，∴ b ＝ 0，∴ f(x) ＝－ x 3＋ ax 2，令 f(x) ＝0，得 x ＝0 或 x ＝ [解析 ] 1 112(－ x 3＋ ax 2)dx ＝ aa 4＝ ，∴ a ＝－ 1. a(a<0) ．S 阴影 ＝－12 2由题意得 S 1＝t ·t 2－t x 2dx ＝ t 3，18、 [解析 ] 32 1 4 1 S 2＝1x 2dx －t 2(1－ t) ＝ tt 3－ t 2＋ ，所以 t 3－ t 2＋ S ＝ S 1＋ S 2＝ (0≤ t ≤ 1)． 3 3 3 31 t － ，令 S ′(t)＝0，得 t ＝ 1又 S ′ (t)＝ 4t 2－ 2t ＝4t 或 t ＝0. 2 2 因为当 0< t<1 12 时， S ′( t)<0；当 <t ≤ 1 时， S ′ (t)>0.2 10， 1 t ＝ 1 1 所以 S(t)在区间 上单调递减，在区间， 1 上单调递增．所以，当 时， S m in ＝ . 222 4。
微积分二试题及答案
微积分二试题及答案一、单项选择题（每题3分，共15分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1的导数为（）。
A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. 3x^2-6D. 3x^2+6答案：A2. 曲线y=x^2+2x+1在x=1处的切线斜率为（）。
A. 4B. 2C. 3D. 5答案：C3. 函数y=e^x的不定积分为（）。
A. e^x+CB. xe^x+CC. e^x-x+CD. e^x-x^2+C答案：A4. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx的值为（）。
A. 1/3B. 1/2C. 1/4D. 1/6答案：B5. 函数y=ln(x)的导数为（）。
A. 1/xC. xD. -x答案：A二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数f(x)=x^2-4x+3的极小值点为______。
答案：27. 曲线y=x^3-3x^2+2在x=1处的切线方程为y-1=______（x-1）。
答案：08. 函数y=x^2+2x+1的不定积分为______。
答案：1/3x^3+x^2+x+C9. 计算定积分∫(1 to 2) (x^2-2x+1) dx的值为______。
10. 函数y=e^(-x)的导数为______。
答案：-e^(-x)三、计算题（每题10分，共40分）11. 计算函数f(x)=x^2-4x+3的极值。
解：首先求导数f'(x)=2x-4，令f'(x)=0，解得x=2。
当x<2时，f'(x)<0，函数单调递减；当x>2时，f'(x)>0，函数单调递增。
因此，x=2为极小值点，极小值为f(2)=-1。
12. 求曲线y=x^3-3x^2+2在x=1处的切线方程。
解：首先求导数y'=3x^2-6x，代入x=1得到切线斜率k=-3。
切点为(1,2)，因此切线方程为y-2=-3(x-1)，即y=-3x+5。
13. 计算定积分∫(0 to 1) (x^2-2x+1) dx。
高中数学选修2-2单元配套练习试题1.6微积分基本定理及参考答案解析
1.6微积分基本定理姓名:___________班级:______________________一、选择题1.10(e2)xx dx +⎰等于( )A.1B.e 1-C.eD.e+1 2.π23012sin 2d θθ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰的值为( )A.2-12- C.12D.2 3.若()1200xmx dx +=⎰,则实数m 的值为( )A.13-B.23- C.1- D.2- 4.若()02023kx x dx -=⎰,则k 等于( )A.0B.1C.0或1D.不确定 5.若2211s d x x =⎰,2211s d x x=⎰,231s e d x x =⎰则s 1,s 2,s 3的大小关系为( )A.s 1＜s 2＜s 3B.s 2＜s 1＜s 3C.s 2＜s 3＜s 1D.s 3＜s 2＜s 1 6.()3baf x dx '⎰＝( )A.f(b)－f(a)B.f(3b)－f(3a)C.13[f(3b)－f(3a)] D.3[f(3b)－f(3a)] 7.设()()()201,212,x x f x x x ⎧≤<⎪=⎨-≤≤⎪⎩则()20f x dx ⎰等于( )A.34 B.45 C.56D.不存在 8.若函数()f x ,()g x 满足11()()d 0f x g x x -=⎰,则称(),()f x g x 为区间[]1,1-上的一组正交函数,给出三组函数:①11()sin,()cos 22f x xg x x ==; ②()1,g()1f x x x x =+=-;③2(),g()f x x x x ==.其中为区间[]1,1-上的正交函数的组数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题9.已知f(x)＝3x 2＋2x ＋1,若()()112f x dx f a -=⎰成立,则a ＝_______.10.设2lg ,0,()3,0,ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰若((1))1f f =,则a =_____________. 11.π24π42cos tan 2x x dx -⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰_____________.三、解答题12.计算下列定积分: (1)502xdx ⎰;(2)()1202xx dx -⎰;(3)()()220424x x dx --⎰; (4)22123x x dx x+-⎰. 13.计算:πsin cos x x dx -⎰.14.(1)已知()()02122f a axa x dx =-⎰,求f(a)的最大值.(2)已知f(x)＝ax 2+bx+c(a≠0),且()1f -＝2,f′(0)＝0,()1=2f x dx -⎰,求a,b,c 的值.参考答案1.C 【解析】被积函数2e e 2(),x x x x c y c y =+=++的原函数为为常数1121200(e 2)(e )1)(e 0) e.xx x dx x ∴+=++-+=⎰｜＝(e考点:定积分的计算. 2.D【解析】因为212sin cos 2θθ-=,所以πππ23330012sin cos sin 22d d θθθθθ⎛⎫-===⎪⎝⎭⎰⎰. 考点:定积分的计算. 3.B 【解析】()1232100111103232x mx dx x mx m ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭⎰,故实数m 的值为23-. 考点:定积分的计算.4.B 【解析】()()223230023kk dx x xx k x k =-=--=⎰,所以k ＝1或k ＝0(舍去).考点:定积分的计算. 5.B 【解析】因为s 132331117|(21)3333x ==-=<;s 221ln |ln 2ln1ln 21x ==-=<;s 3221e |e e 3x ==->,所以s 2＜s 1＜s 3.考点:定积分的计算. 6.C【解析】∵()()1333f x f x '⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦,∴取F(x)＝13f(3x),则()3baf x dx '⎰＝F(b)－F(a)＝13[f(3b)－f(3a)].故选C.考点:导数与定积分的关系. 【答案】C 【解析】()()2122012f x dx x dx x dx =+-⎰⎰⎰,取F 1(x)＝13x 3,F 2(x)＝2x －12x 2, 则F′1(x)＝x 2,F′2(x)＝2－x∴()2f x dx ⎰＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝13－0＋2×2－12×22－212112⎛⎫⨯-⨯ ⎪⎝⎭＝56.故选C.考点:分段函数定积分的计算.8.C【解析】对于①,1111111111(sin cos )(sin )cos |02222x x dx x dx x ---⋅==-=⎰⎰,则)(x f 、)(x g 为区间]1,1[-上的正交函数;对于②,1123111114(1)(1)(1)()|033x x dx x dx x x ---+-=-=-=-≠⎰⎰,则)(x f 、)(x g 不为区间]1,1[-上的正交函数;对于③,1341111()|04x dx x --==⎰,则)(x f 、)(x g 为区间]1,1[-上的正交函数.所以满足条件的正交函数有2组.考点:定积分的计算. 【答案】－1或13【解析】取F(x)＝x 3＋x 2＋x,则F(1)＝3,F(－1)＝－1, ∴()11f x dx -⎰＝F(1)－F(－1)＝4,∴2f(a)＝4,∴f(a)＝2. 即3a 2＋2a ＋1＝2,解得a ＝－1或13. 考点:定积分的计算. 10.1【解析】因为10x =>,所以(1)lg10f ==,又因为x≤0时,23()3af x x t dt x a =+=+⎰,所以3(0)f a =,所以31a =,1a =.考点:分段函数定积分的计算.11.π2+【解析】因为函数y ＝tanx 为奇函数,y ＝2cos 22x为偶函数,故ππππ2224444πππ04442cos tan 2cos tan 22cos 0222x x x x dx dx xdx dx ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰()π4021cos x dx =+⎰＝2(x+sinx)π40＝π2+考点:定积分的计算. 12.(1)25 (2)23-(3)403(4)73ln 22- 【解析】(1)52xdx ⎰＝x 250＝25－0＝25.(2)()122xx dx -⎰＝120x dx ⎰－12xdx ⎰＝13x 310－x 210＝13－1＝23-. (3)()()22424x x dx --⎰＝20(⎰16－8x －4x 2＋2x 3)dx ＝(2342041164)32x x x x --+ ＝32－16－323＋8＝403.(4)22123x x dx x +-⎰＝213(2)x x+-⎰dx＝221123ln 2x x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭＝73ln 22-.考点:定积分的计算.13.【解析】()()πππ4π04sin cos cos sin sin cos x x dx x x dx x x dx -+--=⎰⎰⎰()()))ππ40π4sin cos cos sin 11x x x x +--=+=+=考点:定积分的计算.14.(1)29(2)a ＝6,b ＝0,4c =- 【解析】(1)取()3222132F x ax a x =-,则()222F x ax a x '=-,所以()()()22120221()12221032239f a ax F F a a a a x dx ⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭=+-⎰,所以当23a =时,()f a 有最大值29. (2)因为()1f -＝2, 所以2a b c -+=,① 又因为()2f x ax b '=+, 所以()00f b '==,② 而()()211=x dx ax f bx c dx ++⎰⎰,取()321132F x ax bx cx =++, 则()2F x ax bx c '=++,所以()()()11110232x dx F f F a b c -=++==-⎰,③ 由①②③解得a ＝6,b ＝0,4c =-.考点:导数、定积分的计算.。
【高二】微积分基本定理综合测试题(有答案)
【高二】微积分基本定理综合测试题（有答案）选修2-21.6微积分基本定理我1．下列积分正确的是( )[答：]aa.214b.54c、 338d、 218[答案] a【分析】2-2x2+1x4dx=2-2x2dx+2-21x4dx＝13x32－2＋－13x－32－2＝13（x3－x－3）2－2＝138－18－13－8＋18＝214.因此3.1－1xdx等于( )a、 1－1xdxb。
1－1dxc.0－1(－x)dx＋01xdxd.0－1xdx＋01(－x)dx[答：]C[解析] ∵x＝x (x≥0)－x (x<0)∴1－1xdx＝0－1xdx＋01xdx＝0－1(－x)dx＋01xdx，故应选c.4.设f（x）=X2（0）≤ x<1）2-x（1）≤ 十、≤ 2），那么02F（x）DX等于（）a.34b.45c、 56d。
不在场[答案] c[分析]02F（x）DX=01x2dx+12（2-x）DX取f1(x)＝13x3，f2(x)＝2x－12x2，那么f′1（x）=X2，f′2（x）=2-x∴02f(x)dx＝f1(1)－f1(0)＋f2(2)－f2(1)＝13－0＋2 × 2-12 × 22-2 × 1-12 × 12＝56. 因此，C5.abf′(3x)dx＝( )a、 f（b）－f（a）b.f（3b）－f（3a）c.13[f(3b)－f(3a)]d．3[f(3b)－f(3a)][答：]C[解析] ∵13f(3x)′＝f′(3x)如果f（x）=13F（3x），那么abf′(3x)dx＝f(b)－f(a)＝13[f(3b)－f(3a)]．故应选c.6.03x2－4dx＝( )a.213b.223c、 233d、 253[答案] c[分析]03x2－4DX=02（4－x2）DX+23（x2－4）DX ＝4x－13x320＋13x3－4x32＝233.a、－32b.－12c.12d.32[答：]d[解析] ∵1－2sin2θ2＝cosθ8.函数f（x）=0xcostdt的导数为（）a．cosxb．sinxc、－cosxd.－sinx[答案] a[分析]f（x）=0xcostdt=sintx0=SiNx－sin0=SiNx所以f′(x)＝cosx，故应选a.9.如果0k（2x－3x2）DX=0，则k=（）a．0b．1c、 0或1D。
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微积分基本定理
一、选择题
1. 若'0()3fx，则000()(3)limhfxhfxhh（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
2. 11lim1xxx= （ ）
A．不存在 B．1 C．0 D．2
3. 若，f′( x0) =－3，则hhxfhxfh)3()(lim000=（ ）
4. 11lim100xxx的值是
A.不存在 B.0 C.2 D.10
5. 设初等函数fx在区间,ab有定义，则fx在,ab上一定
A．可导 B．可微
C．可积 D．不连续
6. 下列积分为零的是
A．0dx B．1311dxx
C．1221tanxxdx D．33sincosxxdxx
二、填空题
7. 若函数xfxfxxxfx2)1()1(lim,1)(03则= .
8.已知函数12xy在区间x1,1 上的平均变化率是
三、解答题
9. 若fx为连续的奇函数，判别0xftdt的奇偶性
答案
一、选择题
2
1. D 详细分析： '0000000()(3)()(3)lim4lim4()124hhfxhfxhfxhfxhfxhh
2. D
3. D
4. D
5.C解：初等函数在定义区间内必连续，连续必可积。
6. D解：sinxx为奇函数，cosx为偶函数
sincosxx
为奇函数，故
3
3
sin0cosxxdxx
选D
二、填空题
7. 详细分析: 易知()fx为奇函数, 所以00(1)(1)1(1)(1)limlim22xxfxfffxxx
/
1
(1)12f
.
8. 2+x
9. 解：令0,,xFxftdtx
00
xxtuFxftdtfudu
00
xx
ffuduftdtFx为奇函数
故0xftdt为偶函数
同理：若fx为连续偶函数，则0xftdt为奇函数