2.2.1直线方程的概念与直线的斜率
人教新课标版数学高一B必修2学案 直线方程的概念与直线的斜率
高中数学-打印版数学人教B必修2第二章2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率1．理解直线的斜率和倾斜角的概念，了解用代数的方法探索直线斜率的过程．2．掌握过两点的直线斜率的计算公式，并能在实际问题中应用．3．能利用数形结合与分类讨论思想求直线的斜率和倾斜角．1．直线方程的概念由于函数y＝kx＋b(k≠0)或y＝b都是________方程，因此，我们也可以说，方程y＝kx ＋b的解与其图象上的点存在一一对应关系．如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是__________，那么这个方程叫做____________，这条直线叫做__________．直线的方程和方程的直线要同时满足两个条件：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上点的坐标都是这个方程的解．两个条件只要缺少一个，命题就是错误的．【做一做1－1】在平面直角坐标系中，二、四象限角平分线所在的直线的方程为__________．【做一做1－2】给出下列四个命题：①一条直线必是某个一次函数的图象；②一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象必是一条不过原点的直线；③若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，则此方程叫做这条直线的方程；④以一个二元方程的解为坐标的点都在某条直线上，则这条直线叫做此方程的直线．其中正确命题的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．32．直线的倾斜角和斜率(1)我们把直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的______．(2)两点斜率公式：已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线的斜率k＝__________(x1≠x2)．(3)倾斜角θ：x轴正向与__________所成的角叫做这条直线的倾斜角，记为θ.当直线l与x轴__________时，规定θ＝0°，故θ的取值范围是__________．(4)斜率k 与倾斜角θ的关系如图所示．当倾斜角为锐角时，倾斜角越大，斜率越大，且均为正；当倾斜角为钝角时，倾斜角越大，斜率越大，且均为负．但我们不能错误地认为倾斜角越大，斜率越大．【做一做2】过点P (1,3)和Q (0,5)的直线的斜率为( )．A ．2B ．－2C ．12D ．－12对直线斜率的全方位剖析 剖析：(1)斜率公式的适用范围．经过两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)的直线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1，其适用范围是x 1≠x 2.说明如下：①斜率公式可通过直线上任意两点的坐标表示．②斜率公式与两点的顺序无关，也就是说两点的纵、横坐标在公式中的次序可以同时调换(要一致)．③如果y 2＝y 1(x 2≠x 1)，则直线与x 轴平行或重合，k ＝0；如果x 1＝x 2，y 1≠y 2，则直线与x 轴垂直，倾斜角θ＝90°，斜率k 不存在．(2)从运动变化的观点看斜率公式．由直线上两点的坐标求这条直线的斜率k 与这两点在直线上的顺序无关，于是k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)．如果令Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝y 2－y 1，则Δx 表示变量x 的改变量，Δy 表示相应的y 的改变量，于是k ＝ΔyΔx(Δx ≠0)．(3)斜率的功能．斜率是用来反映直线倾斜程度的一个量，它与倾斜角都反映倾斜程度，但倾斜角相对直观一些，而斜率较抽象，且倾斜角θ与斜率k 有k ＝tan θ这一关系式．结合图示说明如下：如图所示，直线PQ ，直线PM ，且直线MQ 与y 轴平行，由直线斜率公式：k PQ ＝ΔyΔx ，k PM ＝Δy ′Δx， 由图易知Δy ′＞Δy ，∴k PM ＞k PQ .显然直线PM 相对于x 轴正方向比直线PQ 相对于x 轴正方向倾斜程度要大．比如某人从点P 沿直线PQ 到达点Q ，相对于从点P 沿直线PM 到达点M 来说，此人会感到沿直线PM 走比沿直线PQ 走更费劲．一般地，直线斜率为k ，若有|k |越大，反映直线相对于x 轴倾斜程度越大；反之|k |越小，反映直线相对于x 轴倾斜程度越小．若k AB ＝k AC ，此时直线AB 与直线AC 的倾斜角相同，即三点A ，B ，C 共线，因此可以利用斜率解决三点共线问题；但k AB ＝k CD 只能说明直线AB 与直线CD 倾斜角相同，不能说明A ，B ，C ，D 四点共线，因此要用斜率证明共线问题，而线段(或两条直线)必须有公共点才行．题型一 概念辨析题【例1】下列四个命题：①一条直线向上的方向与x 轴正向所成的角，叫做这条直线的倾斜角； ②直线l 的倾斜角要么是锐角，要么是钝角；③已知直线l 经过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，则直线l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1；④若直线l 的方程是ax ＋by ＋c ＝0，则直线l 的斜率k ＝－ab .其中正确命题的个数是( )．A ．3B ．2C ．1D ．0反思：斜率与倾斜角是直线中最基本的概念，正确理解斜率与倾斜角的概念是解答本题的基础，要注意直线的斜率与倾斜角的对应关系，还有斜率公式是有使用范围的，直线与x 轴垂直时斜率不存在．题型二 求直线的斜率【例2】已知直线l 经过两点A (2,－1)，B (t,4)，求直线l 的斜率． 分析：点B 的坐标中含参数t ，注意分类讨论．反思：应用斜率公式表示直线斜率时，一定注意x 1≠x 2的条件，遇到参数时要根据参数的取值进行讨论．题型三 斜率公式的综合应用【例3】求证：A (1,5)，B (0,2)，C (－1,－1)三点共线．分析：根据过同一点的两条直线，若它们的斜率相等，则两直线必重合，从而证明三点共线．反思：通过本题可归纳出：若斜率k AB ，k AC 存在，则k AB ＝k AC ⇔A ，B ，C 三点共线，当然也可以用|AB |＋|BC |＝|AC |来证，最后需指出的是当证明四点共线时，一定要注意看是否有公共点．【例4】已知直线l ：y ＝ax ＋2和两点A (1,4)，B (3,1)，当直线l 与线段AB 相交时，求实数a 的取值范围．分析：过定点的动直线与线段相交，可借助图形加以解决．反思：通过本题的解决，要掌握斜率与倾斜角之间的关系，还要注意数形结合思想的利用．【例5】已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求yx 的最大值和最小值．分析：根据yx 的几何意义，本题即是求直线y ＝－2x ＋8(2≤x ≤3)上的点与原点连线的斜率的最值．反思：利用斜率公式解决代数问题的关键是：根据题目中代数式的特征，看是否可写成y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)的形式，从而联想其几何意义(即直线的斜率)，再利用几何图形的直观性来分析解决问题．题型四 易错辨析【例6】设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转30°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )．A ．α＋30°B ．α－150°C ．150°－αD ．当0°≤α＜150°时为α＋30°，当150°≤α＜180°时为α－150°错解：∵直线l 按逆时针旋转，结合倾斜角的定义及旋转角的概念可知l 1的倾斜角为α＋30°.答案：A错因分析：没有考虑到α＋30°会越过180°，这样就不满足倾斜角的范围[0，π)了．1过点P (－2，m )和点Q (m,4)的直线的斜率为1，则m 的值为( )． A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或42若两直线l 1，l 2的倾斜角分别为α1，α2，则下列四个命题中正确的是( )． A ．若α1＜α2，则两直线的斜率k 1＜k 2 B ．若α1＝α2，则两直线的斜率k 1＝k 2 C ．若两直线的斜率k 1＜k 2，则α1＜α2 D ．若两直线的斜率k 1＝k 2，则α1＝α23若直线l 经过第二、四象限，则直线l 倾斜角α的范围是__________． 4若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0,4)共线，则a 的值等于__________．5已知点A (3,4)，在坐标轴上有一点B ，使直线AB 的斜率等于2，把直线方程写成一次函数形式，并求出点B 的坐标．答案： 基础知识·梳理1．二元一次 这个方程的解 这条直线的方程 这个方程的直线 【做一做1－1】y ＝－x【做一做1－2】A 由直线方程的定义可知③，④均不正确．又y ＝5表示一条直线，但它却不是一次函数，原因是一次函数y ＝kx ＋b 中的k ≠0，∴①也不正确．当一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)中的b ＝0时，其图象经过原点，可知②也不正确．2．(1)斜率 (2)y 2－y 1x 2－x 1 (3)直线向上的方向 平行或重合 0°≤θ＜180°【做一做2】B 典型例题·领悟【例1】C 根据倾斜角定义知，①正确；倾斜角范围为[0，π)，∴②不正确；当x 1＝x 2时，直线P 1P 2的斜率k 不存在，不能用公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1求解，∴③不正确；当b ＝0时，直线斜率不存在，∴④不正确．故选C.【例2】解：(1)当t ＝2时，直线l 与x 轴垂直， ∴直线l 的斜率不存在．(2)当t ≠2时，直线l 的斜率k ＝4－(－1)t －2＝5t －2，∴综上所述，当t ＝2时，直线l 的斜率不存在； 当t ≠2时，直线l 的斜率k ＝5t －2. 【例3】证明：利用斜率公式计算出AB 和AC 两条直线的斜率，k AB ＝5－21－0＝3，k AC ＝－1－5－1－1＝3. ∵k AB ＝k AC ，又过同一点A ， ∴A ，B ，C 三点共线．【例4】解：如图所示，直线l 过定点C (0,2)，k CB ＝1－23－0＝－13，k CA ＝4－21－0＝2，k l ＝a .当直线l 与线段AB 相交时，k CB ≤k l ≤k CA ， ∴－13≤a ≤2.【例5】解：如图，由已知，点P (x ，y )在线段AB 上运动，其中A (2,4)，B (3,2)， 而y x ＝y －0x －0，其几何意义为直线OP 的斜率．由图可知k OB ≤k OP ≤k OA ，而k OB ＝23，k OA ＝2.故所求的y x 的最大值为2，最小值为23.【例6】D 正解：要分类讨论，旋转30°后，看α＋30°是否在0°≤α＜180°范围内．若在，则l 1的倾斜角为α＋30°；若不在，则l 1的倾斜角为α＋30°－180°＝α－150°.随堂练习·巩固1．A 由斜率公式，有1＝4－mm －(－2)，得m ＋2＝4－m .∴m ＝1.2．D3．90°＜α＜180° 如图所示，直线过第二、四象限，可知直线l 的倾斜角为钝角，其范围是90°＜α＜180°.4．4由题意可得k AB＝22－a＝k AC＝2－42＝－1⇒a＝4.5．解：设所求直线方程为y＝kx＋b，∵k＝2，A(3,4)在直线上，∴4＝2×3＋b，解得b＝－2.∴直线方程为y＝2x－2.如果B在x轴上，则可设B(x0,0)，代入直线方程解得x0＝1，即B(1,0)；如果B在y轴上，则可设B(0,y0)，代入直线方程解得y0＝－2，即B(0,－2)．。
人教A版选修一2.2.1直线的点斜式方程课件
y y0
k
追问1.1：
x x0 能否直接表示直线？为什么要变形？
x x0
y y0
除点 P0 ( x0 , y0 ) 外
k
x x0
y y0 k ( x x0 )
直线l上的其他点
直线l上的任意点
直线上任意点的坐标都满足直线的方程.
知识点一 直线的点斜式方程
问题1
一、空间向量的有关概念
的图象是一条直线，你如何从直线方程的角度认识一次函数 = + ？
你能说出一次函数 = − ， = 及 = − + 图象的特点吗？
分析：一次函数的解析式与直线的斜截式方程的形式一致，对于
y=kx+b，从函数的角度看，表示的是自变量x与因变量y之间的对应
关系；从直线方程的角度看，表示的是平面直角坐标系中一条直线
解:直线l经过点0 (-2，3)，斜率k=tan 45°=1，代
入点斜式方程得：
y
P1 4
P0
− 3 = + 2.
3
2
1
-2 -1 O
画图时，只需再找出直线l上的另一点 1 1 , 1 ，
-1
1
x
例如，取1 = −1，则1 = 4，得点1 的坐标为 −1,4 ，
过0 ，1 两点的直线即为所求，如图所示.
(4)经过点D −4, −2
2
，倾斜角是 .
3
解析：(1) − −1 = 2 − 3
(2)∵ = tan 30° =
3
，∴
3
−2=
3
3
− − 2
(3)∵ = tan 0° = 0， ∴ − 3 = 0 − 0 .
直线的斜率与方程
直线的斜率与方程直线是解析几何中的基本图形之一，而直线的斜率与方程是描述直线性质的重要元素。
本文将介绍直线的斜率的概念及计算方法，并详细阐述直线的方程的几种常见形式。
一、直线的斜率直线的斜率是指直线与水平方向的夹角的正切值，也可以理解为直线在x轴上的增量与在y轴上的增量之比。
斜率的计算公式如下：斜率 m = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个点。
斜率的性质是：1. 平行于x轴的直线的斜率为0；2. 平行于y轴的直线斜率不存在（无穷大）；3. 两条直线互相垂直时，它们的斜率之积为-1。
二、直线的方程直线的方程是用来表示直线的数学表达式。
直线的方程有多种不同的形式，下面将一一介绍。
1. 斜截式方程斜截式方程是直线方程中最常见的形式，它用直线的斜率和截距来表示。
方程的形式如下：y = mx + b其中，m是直线的斜率，b是直线与y轴的交点的纵坐标。
2. 一般式方程一般式方程是直线方程中的另一种常见形式，它的一般形式如下：Ax + By + C = 0其中，A、B、C是常数，A和B不同时为0。
3. 点斜式方程点斜式方程是直线方程的一种特殊形式，它利用直线上的一个点和直线的斜率来表示。
方程的形式如下：(y - y1) = m(x - x1)其中，(x1, y1)为直线上的一个点，m为直线的斜率。
4. 两点式方程两点式方程是通过直线上两个已知点来表示直线的方程，方程的形式如下：(y - y1) / (x - x1) = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个已知点。
以上是直线方程的几种常见形式，根据不同的题目要求，我们可以选择合适的方程形式来进行求解和应用。
总结：本文介绍了直线的斜率与方程的相关概念和计算方法，并详细介绍了直线方程的几种常见形式。
了解直线的斜率和方程对于解析几何的学习和问题的求解具有重要意义。
第二章 §2.2 2.2.1 直线的点斜式方程
§2.2直线的方程2．2.1直线的点斜式方程学习目标 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题．导语给定一个点P0(x0，y0)和一个方向(斜率或倾斜角)可以确定唯一一条直线，也就是说这条直线上任意一点的坐标(x，y)与点P0(x0，y0)和斜率k之间的关系是确定的，如何表示这一关系呢？一、求直线的点斜式方程问题1给定一个点P0(x0，y0)和斜率k(或倾斜角)就能确定一条直线．怎么确定P0(x0，y0)和斜率k之间的关系？提示y－y0＝k(x－x0)知识梳理我们把方程y－y0＝k(x－x0)称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程．方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．注意点：(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式．(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y 轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0.例1已知在第一象限的△ABC中，A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求：(1)AB边所在直线的方程；(2)AC边与BC边所在直线的方程．解(1)如图所示，因为A(1,1)，B(5,1)，所以AB∥x轴，所以AB 边所在直线的方程为y ＝1.(2)因为∠A ＝60°，所以k AC ＝tan 60°＝3，所以直线AC 的方程为y －1＝3(x －1)．因为∠B ＝45°，所以k BC ＝tan 135°＝－1，所以直线BC 的方程为y －1＝－(x －5)．反思感悟 求直线的点斜式方程的步骤及注意点(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x 0，y 0)→定斜率k →写出方程y －y 0＝k (x －x 0)．(2)点斜式方程y －y 0＝k (x －x 0)可表示过点P (x 0，y 0)的所有直线，但x ＝x 0除外．跟踪训练1 求满足下列条件的直线方程：(1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y ＝33x 的倾斜角的2倍； (2)经过点P (5，－2)，且与y 轴平行；(3)过P (－2,3)，Q (5，－4)两点．解 (1)∵直线y ＝33x 的斜率为33， ∴直线y ＝33x 的倾斜角为30°. ∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为 3.∴所求直线方程为y ＋3＝3(x －2)，即3x －y －23－3＝0.(2)与y 轴平行的直线，其斜率k 不存在，不能用点斜式方程表示．但直线上点的横坐标均为5，故直线方程可记为x ＝5.(3)过P (－2,3)，Q (5，－4)两点的直线斜率k PQ ＝－4－35－(－2)＝－77＝－1. ∵直线过点P (－2,3)，∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y －3＝－(x ＋2)，即x ＋y －1＝0.二、直线的斜截式方程问题2 直线l 上给定一个点P 0(0，b )和斜率k ，求直线l 的方程．提示 y ＝kx ＋b 知识梳理1．直线l 与y 轴的交点(0，b )的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距．2．把方程y ＝kx ＋b 叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．注意点：(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况．(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x 轴上的截距和在y 轴上的截距都为0.(3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y 轴上的截距．(4)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y ＝kx ＋b 的形式，但有区别：当k ≠0时，y ＝kx ＋b 为一次函数；当k ＝0时，y ＝b ，不是一次函数．故一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)一定可看成一条直线的斜截式方程．例2 已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．解 由斜截式方程知，直线l 1的斜率k 1＝－2，又因为l ∥l 1，所以k l ＝－2.由题意知，l 2在y 轴上的截距为－2，所以直线l 在y 轴上的截距b ＝－2.由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.延伸探究 本例中若将“直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相等”改为“直线l 与l 1垂直且与l 2在y 轴上的截距互为相反数”，求l 的方程．解 ∵l 1⊥l ，直线l 1：y ＝－2x ＋3，∴l 的斜率为12. ∵l 与l 2在y 轴上的截距互为相反数，直线l 2：y ＝4x －2，∴l 在y 轴上的截距为2.∴直线l 的方程为y ＝12x ＋2. 反思感悟 求直线的斜截式方程的策略(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．(2)直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可．跟踪训练2 已知斜率为－43的直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为6，求直线l 的方程． 解 设l ：y ＝－43x ＋b ， 令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝34b . 由题意，得12·|b |·⎪⎪⎪⎪34b ＝6， ∴b 2＝16，∴b ＝±4.故直线l 的方程为y ＝－43x ±4. 三、根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直例3 已知直线l 1：y ＝－3m 8x ＋10－3m 8和l 2：6my ＝－x ＋4，问m 为何值时，l 1与l 2平行或垂直？解 当m ＝0时，l 1：4y －5＝0；l 2：x －4＝0，l 1与l 2垂直；当m ≠0时，l 2的方程可化为y ＝－16m x ＋23m. 由－3m 8＝－16m ，得m ＝±23； 由10－3m 8＝23m ，得m ＝23或m ＝83， －3m 8·⎝⎛⎭⎫－16m ＝－1无解． 故当m ＝－23时，l 1与l 2平行； 当m ＝0时，l 1与l 2垂直．反思感悟 若l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1. 跟踪训练3 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)判断直线l 1与l 2是否能平行；(2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解 (1)当a ＝1时，显然两直线不平行．当a ≠1时，将方程ax ＋2y ＋6＝0化为y ＝－a 2x －3， 将方程x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝化为y ＝11－ax －a －1. 若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则⎩⎨⎧ －a 2＝11－a ，－3≠－a －1，解得a ＝－1.故当a ＝－1时，直线l 1与l 2平行．(2)当l 1⊥l 2时，a ＋2(a －1)＝0，解得a ＝23. 即当a ＝23时，l 1⊥l 2.1．知识清单：(1)直线的点斜式方程．(2)直线的斜截式方程．2．方法归纳：待定系数法、数形结合思想．3．常见误区：求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离．1．方程y ＝k (x －2)表示( )A ．通过点(－2,0)的所有直线B ．通过点(2,0)的所有直线C ．通过点(2,0)且不垂直于x 轴的所有直线D ．通过点(2,0)且除去x 轴的所有直线答案 C解析 易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x 轴．2．已知直线l 的方程为y ＋274＝94(x －1)，则l 在y 轴上的截距为( )A ．9B ．－9 C.274 D ．－274答案 B解析 由y ＋274＝94(x －1)，得y ＝94x －9，∴l 在y 轴上的截距为－9.3．已知直线l 的倾斜角为60°，且在y 轴上的截距为－2，则此直线的方程为() A ．y ＝3x ＋2 B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝－3x －2D ．y ＝3x －2答案 D解析 ∵α＝60°，∴k ＝tan 60°＝3，∴直线l 的方程为y ＝3x －2.4．若直线y ＝kx ＋b 通过第一、三、四象限，则有( )A ．k >0，b >0B ．k >0，b <0C ．k <0，b >0D ．k <0，b <0答案 B解析 ∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k >0，b <0.课时对点练1．已知一直线经过点A (3，－2)，且与x 轴平行，则该直线的方程为( )A ．x ＝3B ．x ＝－2C ．y ＝3D ．y ＝－2答案 D解析 ∵直线与x 轴平行，∴其斜率为0，∴直线的方程为y ＝－2.2．若直线l 的倾斜角为45°，且过点(0，－1)，则直线l 的方程是( )A ．y －1＝xB ．y ＋1＝xC ．y －1＝－xD ．y ＋1＝－x答案 B解析 ∵直线l 的倾斜角为45°，∴直线l 的斜率为1，又∵直线l 过点(0，－1)，∴直线l 的方程为y ＋1＝x .3．直线y －2＝－3(x ＋1)的倾斜角及在y 轴上的截距分别为( )A ．60°，2B ．120°，2－ 3C ．60°，2－ 3D ．120°，2 答案 B解析 该直线的斜率为－3，当x ＝0时，y ＝2－3，∴其倾斜角为120°，在y 轴上的截距为2－ 3.4．过点(－1,3)且垂直于直线y ＝12x ＋32的直线方程为( ) A ．y －3＝－2(x ＋1)B ．y －3＝－2(x －1)C ．y －3＝－12(x ＋1) D ．y －3＝12(x ＋1) 答案 A解析 所求直线与已知直线垂直，因此所求直线的斜率为－2，故方程为y －3＝－2(x ＋1)．5．以A (2，－5)，B (4，－1)为端点的线段的垂直平分线方程是( )A ．y －(－3)＝2(x －3)B ．y －3＝2(x －3)C ．y －3＝－12(x －3) D ．y －(－3)＝－12(x －3) 答案 D解析 由A (2，－5)，B (4，－1)，知线段AB 的中点坐标为P (3，－3)，又由斜率公式可得k AB＝－1－(－5)4－2＝2，所以线段AB的垂直平分线的斜率为k＝－1k AB ＝－12，所以线段AB的垂直平分线的方程为y－(－3)＝－12(x－3)．6．已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有的直线恒过定点()A．(1,3) B．(－1，－3)C．(3,1) D．(－3，－1)答案 C解析直线kx－y＋1－3k＝0变形为y－1＝k(x－3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)．7．在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是．答案y＝3x－6或y＝－3x－6解析因为直线与y轴相交成30°角，所以直线的倾斜角为60°或120°，所以直线的斜率为3或－3，又因为在y轴上的截距为－6，所以直线的斜截式方程为y＝3x－6或y＝－3x－6.8．已知直线l1过点P(2,1)且与直线l2：y＝x＋1垂直，则l1的点斜式方程为．答案y－1＝－(x－2)解析直线l2的斜率k2＝1，故l1的斜率为－1，所以l1的点斜式方程为y－1＝－(x－2)．9．求满足下列条件的m的值．(1)直线l1：y＝－x＋1与直线l2：y＝(m2－2)x＋2m平行；(2)直线l1：y＝－2x＋3与直线l2：y＝(2m－1)x－5垂直．解(1)∵l1∥l2，∴两直线的斜率相等．∴m2－2＝－1且2m≠1，∴m ＝±1.(2)∵l 1⊥l 2，∴2m －1＝12， ∴m ＝34. 10．直线l 过点(2,2)，且与x 轴和直线y ＝x 围成的三角形的面积为2，求直线l 的方程． 解 当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，经检验符合题目的要求．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x －2)，令y ＝0，得x ＝2k －2k， 由三角形的面积为2，得12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2k －2k ×2＝2. 解得k ＝12. 可得直线l 的方程为y －2＝12(x －2)． 综上可知，直线l 的方程为x ＝2或y －2＝12(x －2)．11．在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与直线y ＝x ＋a 的图象(如图所示)正确的是( )答案 C解析 对于选项A ，y ＝ax 过坐标原点，且a >0，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距应该大于零且斜率为正，题中图象不符合题意；对于选项B ，y ＝ax 过坐标原点，且a >0，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距应该大于零，题中图象不符合题意；对于选项C ，y ＝ax 过坐标原点，且a <0，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距应该小于零且斜率为正，题中图象符合题意；对于选项D ，两直线均不过原点，不符合题意．12．设a ∈R ，如果直线l 1：y ＝－a 2x ＋12与直线l 2：y ＝－1a ＋1x －4a ＋1平行，那么a ＝ . 答案 －2或1解析 由l 1∥l 2，得－a 2＝－1a ＋1且12≠－4a ＋1， 解得a ＝－2或a ＝1.13．已知直线l 在y 轴上的截距等于它的斜率，则直线l 一定经过点 ．答案 (－1,0)解析 由题意可设方程为y ＝ax ＋a ，即y －0＝a (x ＋1)，由点斜式方程可知，直线过定点(－1,0)．14．将直线y ＝3(x －2)绕点(2,0)按逆时针方向旋转60°后所得直线方程是 . 答案 y ＝－3(x －2)解析 ∵直线y ＝3(x －2)的倾斜角是60°，∴按逆时针方向旋转60°后的直线的倾斜角为120°，斜率为－3，且过点(2,0)， ∴其方程为y －0＝－3(x －2)，即y ＝－3(x －2)．15．已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是 ．答案 ⎣⎡⎦⎤－2，12 解析 由已知得，直线l 恒过定点P (2,1)，如图所示．若l 与线段AB 相交，则k P A ≤k ≤k PB ，因为k P A ＝3－11－2＝－2，k PB ＝－1－1－2－2＝12，所以－2≤k ≤12. 16．已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1.(1)求证：直线l 恒过一个定点；(2)当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围．(1)证明 由y ＝kx ＋2k ＋1，得y －1＝k (x ＋2)．由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2,1)． (2)解 设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，若使当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ f (－3)≥0，f (3)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0， 解得－15≤k ≤1. 所以实数k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－15，1.。
【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.1直线方程的概念与直线的斜率课件 新人教B版必修2
3 比如点 C(－ ，－ ∈l， － ，－1)∈ ， 2 3 x＝－ ＝－ 2 不是该方程的解， 不是该方程的解， 但 ＝－1 ＝－ y＝－ 所以方程 2x＋3y＋6＝0(x∈Z)不是直线 l 的方 ＋ ＋ ＝ ∈ 不是直线 程， 的直线． 直线 l 也不是方程 2x＋3y＋6＝0(x∈Z)的直线． ＋ ＋ ＝ ∈ 的直线
2．直线的斜率 ． (1) 直 线 y ＝ kx ＋ b 被 其 上 的 任意两个不同 的点所唯一 ________________的点所唯一 确定(右图 ． 因此 ， 由这条直 确定 右图)． 因此， 右图 线上任意两点A(x1 ， y1)，B(x2 ， 线上任意两点 ， y2)的坐标可以计算出 的值， 的坐标可以计算出k的值 的坐标可以计算出 的值，
解：(1)∵m≠1，a≠0， ∵ ≠ ， ≠ ， b－mb b － ∴k＝ ＝ ＝a. a－ a－ma (2)当 m＝2 时，斜率 k 不存在； 不存在； 当 ＝ 当 m≠2 时， ≠ 1－2 － 1 k＝ . ＝ ＝ 2－m m－2 － －
斜率公式的应用
y 2－ y 1 的形式， 构造斜率公式 k＝ ＝ 的形式， 利用数形结 x 2－ x 1 合解题． 合解题．
＋ ＋ ＝ 例1 已知方程 2x＋3y＋6＝0. (1)求方程所对应直线的斜率； 求方程所对应直线的斜率； 求方程所对应直线的斜率 (2)画出这个方程所对应的直线 l； 画出这个方程所对应的直线 ； 3 (3)点( ，1)是否在直线 l 上？ 点 是否在直线 2 (4)方程 2x＋3y＋6＝0(x∈Z)是不是直线 l 的方程？ 方程 ＋ ＋ ＝ ∈ 是不是直线 的方程？ 是不是该方程的直线？ 直线 l 是不是该方程的直线？
(2)斜率的定义 斜率的定义 通常， 我们把直线y＝ ＋ 中的 系数k 中的________叫做 通常 ， 我们把直线 ＝ kx＋ b中的 系数 叫做 这条直线的斜率．垂直于x轴的直线 不存在斜率 ． ____________． 斜率反映直线的_____________． 斜率反映直线的 倾斜程度 ． 3．直线的倾斜角 ． (1)定义 定义 x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直 线的倾斜角．我们规定， 线的倾斜角．我们规定，与x轴平行或重合的直 轴平行或重合的直 线的倾斜角为________． 线的倾斜角为 零度角 ．
16课题：直线的斜率
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探究点二：确定直线方程
例2．
（1）画出方程x+2y+4=0的图象，并指出直线的斜率.
（2）已知直线l经过点(0,4)，斜率为-3，求l的方程（写成一次函数的形式）（3）已知直线l经过点(3,5)，斜率不存在，求l的方程. 并画出这条直线。
巩巩固训练：
1.如果过点P(-2,m),Q(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A 1
B 4
C 1或3
D 1或4
2.已知A(a,2),B(3,b+1),直线AB的倾斜角为0
90，则a,b的值分别为( )
A a=3,b=1
B a=2,b=2
C a=2,b=3
D a=3,b,1
R b
∈≠
3.【B、C选作】已知直线
1234
,,,
l l l l的斜率分别为
1234
,,,
k k k k，如右图所示，则( )
A
1234
k k k k
>>>> B
3412
k k k k
>>>>
C
3421
k k k k
>>>> D
4321
k k k k
>>>>
【课堂小结】
1.知识方面
2.数学思想方法
第3页共4页第4页共4页。
2.2.1直线的点斜式方程
直线就是方程的直线，方程就是直线的方程。
一、直线的点斜式方程:
方程 y y0 k ( x x0 )称为过点P0 ( x0 , y0 ) ，斜率为k的直线
l的点斜式方程，简称点斜式 （point slope form）.
适用条件：
斜率k存在、定点
y
l
P0
O
x
问题4当直线l的倾斜角为0°时，直线l的方程是什
线方程呢？ 如何建立直线的方程？
直线的方程
几何要素的
代数形式
直线的几何特征
建立直线上任意点的横坐标
x与纵坐标y所满足的关系式
直线上任意点具有什么几何特征呢？
直线上任意点
的几何特征
直线的代数表示
直线上任意点与已知点连
线的斜率等于直线的斜率
问题3
方程呢？
如何表示过已知点P0(x0,y0)和斜率 k 的直线
表示斜率存在的直线.
截距不是距离，
如何求直线在y轴的截距？ 截距可正、可零、可负,
而距离不能为负。
直线的截距是距离吗？
二、直线的斜截式方程:
方程 y kx b 由直线的斜率k与它在y轴
上的截距b确定的方程叫做直线的斜截式方
程，简称斜截式（slope intercept form）。
k是直线的斜率， b 是直线在 y 轴上的截距．
x
问题6
方程 = + 与我们学过的一次函数表达式类似．我
们知道，一次函数的图象是一条直线，你如何从直线方
程的角度认识一次函数 = + ？你能说出一次函数
= − ， = 及 = − + 图象的特点吗？
分析：一次函数的解析式与直线的斜截式方程的形式一致，
直线方程的概念与直线的斜率
2.2.1直线方程的概念与直线的斜率（预习案）一、使用说明及学法指导：预习课本74-76页，用25分钟完成本学案 二、基础知识1.直线与方程：如果以____________为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上的点的 _______都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程；这条直线叫做这个___________2.斜率：通常，我们把直线b kx y +=中的系数k 叫做这条直线的____________， 过),(),,(22111y x P y x P （其中21x x ≠）的直线斜率为k =___________________3.倾斜角：x 轴的__________与直线___________的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角。
与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为_____________.直线倾斜角的范围是________________4、斜率与倾斜角的关系：当k_______0时，直线平行于x 轴或与x 轴重合当k_______0时，直线的倾斜角为锐角，此时，k 值增大，直线的倾斜角____________ 当k_______0时，直线的倾斜角为钝角，此时，k 值增大，直线的倾斜角____________ 当k 时，直线的倾斜角为直角，即垂直于x 轴的直线的倾斜角等于___________三、预习自测1.经过)3,5(),0,2(--B A 两点的直线的斜率是_________________2.若直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角的范围是（ ）A. ），︒︒900[B. ），︒︒18090[C. ），（︒︒18090D. ），︒︒1800[3.若直线1=x 的倾斜角为α，则α（ ）A. 等于0°B.等于45°C. 等于90°D. 不存在4.点),2(2m m +-在直线012=--y x 上，则m 的值为_____________5.已知长方形ABCD 在x 轴的上方，并且A(0，0),B(5，0),C(5，3),求直线AC 和BD 的斜率直线方程的概念与直线的斜率（探究案）探究目标：1.理解直线的方程的概念 2.掌握直线斜率的定义、公式3.理解直线倾斜角的定义、范围。
2.2.1直线的点斜式方程
(2)当l1 l2时， i、若两直线的斜率都存在，则k1 k2 = 1 ii、若两直线斜率有一个不存在，则k1 0或k2 0
二、讲授新课 探究1：如图，直线l经过P0( x0 , y0 ),且斜率为k,若点P( x, y)是直线l上不同于点P0的任意 一点，试问x与y之间应满足怎样的方程
(3)求直线过定点的步骤： i、提取参数 ii、令参数的系数为0 iii、联立方程
(4)思想与方法：数形结合；化归
(2)若l1 l2 ,求直线l2方程
例5、是否存在过点(5, 4)的直线l,使它与坐标轴围成的三角形的面积是5
四、本课总结 (1)点斜式方程：y y0 k( x x0 ) 适用范围：已知点P0( x0 , y0 )及斜率k；垂直于x轴直线无法表示
(2)斜截式方程：y kx b 适用范围：已知截距及斜率；垂直于x轴直线无法表示
第一节
1、直线的斜率及斜率公式
一、复习引入
P1( x1, y1 ), P2 ( x2 , y2 )( x1
x2 ) k
y2 x2
y1 x1
2、若两直线l1, l2的斜率分别为k1, k2 ,则l1 l2或l1 l2与k1, k2之间有怎样的关系？ (1)当l1 / /l2时 i、若两直线的斜率存在，则k1 k2
探究2：若直线l的斜率为k , 且与y轴的交点为(0, b)，求直线l的方程 y b k( x 0) y kx b
我们把上式" y kx b"方程称为直线的斜截1：斜截式与点斜式方程的关系？适用范围？ 问题2：斜截式相比较点斜式有什么优点？
k
y x
y0 x0
y
y0
k(x
x0 )
人教A版选择性必修第一册2.2.1直线的点斜式方程课件
思考：方程y=kx+b与我们学过的一次函数表达式类似。我们知道， 一次函数的图像是一条直线，你如何从直线方程的角度认识一次函数 y=kx+b？你能说出一次函数y=2x-1,y=3x，及y=-x+3图像的特点吗？
y 2x 1
y 3x
y x3
注：斜截式与一次函数y=kx+b情势一样，但有区分。 当k≠0时，斜截式方程就是一次函数的表现情势。
直线上每一点的横
y
l
坐标都为x0
倾斜角为90°，斜率不存在，
P0
不满足点斜式方程,
O
x
其方程表示为x=x0
l与x轴垂直
直线y轴的方程:x=0
点斜式方程的适用范围：直线的斜率存在！
探究：直线经过特殊点P0（0，b），且斜率为k，求该直线的方程。
代入
，可得： y b k(x 0)
y kx b
3.点斜式和斜截式方程的适用范围： 直线的斜率存在！
【当堂达标】1.方程y＝k(x－2)表示( )A.通过点(－2,0)的所有直
线D.通B.通过过点点(2,(02),且0)的除所去有x轴直的线所C有.通直过线点2(．2,0过)且点不(－垂1直，于3)且x轴答垂的案直所：于有C直直线线x
－2y＋3＝0的直线方程为( )A．2x＋y－1＝0
(3)y＝－1.
题型二 直线的斜截式方程
例2. 根据条件写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率为2，在y轴上的截距 是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y 轴的交点到坐标原点的距离为3.
解 (1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为 y＝2x＋5.
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人之为学有难易乎？为之，则难者亦易矣；不为，则易者亦难矣。
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率分层导学案
主备人：李翠铃 审核人：刘瑞英
注：带有**号的题目是为学有余力的同学准备的，请同学们自己选择完成。
【学习目标】
1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程；
2. 掌握过两点的直线斜率的计算公式；
3. 体会用直线的倾斜角和斜率刻画直线倾斜程度的代数指标，也就是用“数”的大小来判定直线
“形”的倾斜程度。
【学习重点】
理解直线的倾斜角和斜率的概念。
【学习难点】
斜率的概念和两点的连线的斜率公式的推导及应用。
课前预习学案
一．直线方程的概念
1．直线的方程与方程的直线：一般地，如果以一个方程的解为坐标的点 上的点；反之，
这条直线上点的坐标都是 ，那么这个方程叫做这条直线的方程；这条直线叫做这个方程的
直线。
2．由于方程y=kx+b的图象是一条直线，因而我们以后就说直线y=kx+b。
如何理解直线方程的概念？
在直线方程的概念中，要明确方程的解与直线上点的坐标的关系，它含两重意思：
（1）以方程的解为坐标的点是否在直线上；
（2）直线上的点的坐标是否是方程的解，即坐标代入方程是否成立．
这两点都具备了，直线就是方程的直线，方程就是直线的方程．
牛刀小试：完成课本P76练习A 1．
二． 直线的斜率
1． 斜率：设直线y=kx+b上任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有k= (△x≠0，x1≠x2)．
2．通常把直线y=kx+b 中的系数 叫做这条直线的斜率；
3．垂直于x轴的直线斜率 ．
牛刀小试：完成课本P76练习A 2．
人之为学有难易乎？为之，则难者亦易矣；不为，则易者亦难矣。
三．直线的倾斜角
1．倾斜角的定义： 叫做这条直线的倾斜角；
2．规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为 ；
3．垂直于x轴的直线的倾斜角等于 ．
四. 直线的倾斜角与斜率的关系
1．斜率和倾斜角都反映了直线相对于 的倾斜程度；
2．直线的倾斜角是分两种情况定义的：
第一种是对于与x轴相交的直线，把直线向上的方向与x轴正方向所成的角叫做直线的倾斜角；
第二种是与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角；
3．直线倾斜角的范围是 ；
4．当k=0，直线平行于x轴或与x轴重合， 此时直线的倾斜角为0°；
当k>0时，直线的倾斜角为 ；k值增大，直线的倾斜角也随着 ；
当k<0时，直线的倾斜角为 ；k值增大，直线的倾斜角也随着 ．
垂直于x轴的直线的倾斜角为 ，但其斜率 ．
课内探究学案
探究1．求直线的斜率
例1． 已知点A(3，1)，点B在y轴上，且|AB|=5，求直线AB的斜率．
例2．下面选项中两点的直线不存在斜率的是（ ）
（A）(4，2)与(－4，1) （B）(0，3)与(3，0)
（C）(3，－1)与(2，－1) （D）(－2，2)与(－2，5)
探究2．求直线的倾斜角
例3． 已知直线l1的倾斜角为α1，则l1关于x轴对称的直线l2的倾
斜角α2= .
**探究3． 证明三点共线
例4．求证A(1，5)，B(0，2)，C(2，8)三点共线．
人之为学有难易乎？为之，则难者亦易矣；不为，则易者亦难矣。
【归纳总结】
本节课学习了哪些知识？
【达标检测】
1．对于下列命题
①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；
②若k是直线的斜率，则k∈R；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角.
其中正确命题的个数是（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
2．下列四个命题：
①一条直线向上的方向与x轴正向所成的角，叫做这条直线的倾斜角；
②直线l的倾斜角的取值范围是第一象限角或第二象限角；
③已知直线l经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，则直线l的斜率k=2121yyxx；
④若直线l的方程是ax+by+c=0，则直线l的斜率k=ab.
其中正确命题的个数是（ ）
（A）3个 （B）2个 （C）1个 （D）0个
3．如果过点P(－2，m)和Q(m，4)的直线的斜率等于1，那么m的值为（ ）
（A）1 （B）4 （C）1或3 （D）1或4
4．已知A(a，2)，B(3，b+1)，且直线AB的倾斜角为90°，则a，b的值为（ ）
（A）a=3, b=1 （B）a=3, b=2 （C）a=2, b=3 （D）a=3, b∈R且b≠1
课后延伸学案
1．给出下列四个命题：
①一条直线必是某个一次函数的图象；
②一次函数y=kx+b的图象必是一条不过原点的直线；
③若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，则此方程叫做这条直线的方程；
④以一个二元方程的解为坐标的点都在某条直线上，则这条直线叫做此方程的直线.
其中正确命题的个数是（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
**2．下列各组点中，在同一直线上的是（ ）
（A）(－2，3)，(－7，5)，(3，－5) （B）(3，0)，(6，4)，(－1，－3)
（C）(4，5)，(3，4)，(－2，－1) （D）(1，3)，(2，5)，(－2，3)
人之为学有难易乎？为之，则难者亦易矣；不为，则易者亦难矣。
3．若直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的范围是（ ）
（A）[0°，90°) （B）[90°，180°) （C））(90°，180°) （D））[0°，180°)
4．设点P在y轴上，点N是点M关于y轴的对称点，若直线PM的斜率为k(k≠0)，则直线PN的斜率是（ ）
（A）k （B）－k （C）1k （D）1k
5．直线l过A(－2，21()tt)，B(2，21()tt)两点，其中t≠0，则此直线的斜率为 。
**6．若点A(2，－3)，B(3，－2)，C(21，m)三点共线，则m= .
**7．已知过点P(1－a，1+a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是 .
8．直线(2a2－7a+3)x+(a2－9)y+3a2=0的斜率为1，则实数a= 。
**9．（1）当且仅当m为何值时，经过两点A(－m，6)、B(1，3m)的直线的斜率是12？
（2）当且仅当m为何值时，经过两点A(m，2)、B(－m，2m－1)的直线的倾斜角是90°？
【课后作业】
完成课本P76练习B 1．2．3．