高中数学学案：《第15课时等比数列的应用》必修五

合集下载

人教版高中数学必修五学案 §2.4 等比数列(一)

§2.4 等比数列(一)学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念并会简单应用(重点)；2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式，了解其推导过程(重、难点).知识点1等比数列的定义及通项公式【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等比数列的公比可以为任意实数.()(2)若一个数列从第2项开始每一项与前一项的比是常数，则这个数列是等比数列.()(3)常数列既是等差数列又是等比数列.()提示(1)公比不可以为0.(2)应为同一个常数.(3)0数列除外.答案(1)×(2)×(3)×知识点2等比中项的概念如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G＝±ab.【预习评价】1.已知等比数列{a n}中，a1＝1，a3＝9，则a2＝________.解析∵a3＝a1·q2.∴9＝q 2，∴q ＝±3，∴a 2＝a 1q ＝±3.答案 ±32.3与27的等比中项是________.解析由于G 2＝3×27＝81，故G ＝±9.答案 ±9题型一等比数列通项公式的应用【例1】在等比数列{a n }中，(1)已知a 3＝9，a 6＝243，求a 5；(2)已知a 1＝98，a n ＝13，q ＝23，求n .解 (1)法一由a 3＝9，a 6＝243，得a 1q 2＝9，a 1q 5＝243.∴q 3＝2439＝27，∴q ＝3.∴a 1＝1.∴a 5＝a 1q 4＝1×34＝81.法二 ∵a 6＝a 3q 3，∴q 3＝a 6a 3＝2439＝27，∴q ＝3. ∴a 5＝a 3q 2＝9×32＝81.(2)∵a 1＝98，q ＝23，a n ＝13，∴13＝98×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝827＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233. ∴n －1＝3，∴n ＝4.规律方法等比数列的通项公式及变形的应用1.在已知等比数列的首项和公比的前提下，利用通项公式a n＝a1q n－1(a1q≠0)可求出等比数列中的任意一项.2.在已知等比数列中任意两项的前提下，利用a n＝a m q n－m(q≠0)也可求出等比数列中的任意一项.【训练1】在等比数列{a n}中.(1)已知a n＝128，a1＝4，q＝2，求n；(2)已知a n＝625，n＝4，q＝5，求a1；(3)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式.解(1)∵a n＝a1·q n－1，∴4·2n－1＝128，∴2n－1＝32，∴n－1＝5，n＝6.(2)a1＝a nq n－1＝62554－1＝5，故a1＝5.(3)a3＝a1·q2，即8＝2q2，∴q2＝4，∴q＝±2.当q＝2时，a n＝a1q n－1＝2·2n－1＝2n，当q＝－2时，a n＝a1q n－1＝2(－2)n－1＝(－1)n－12n，∴数列{a n}的公比为2或－2，对应的通项公式分别为a n＝2n或a n＝(－1)n－12n.题型二等比中项及其应用【例2】已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项. 解设该等比数列的公比为q，首项为a1，∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝168，a 1q －a 1q 4＝42，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ＋q 2）＝168，a 1q （1－q 3）＝42.∵1－q 3＝(1－q )(1＋q ＋q 2).上述两式相除，得q (1－q )＝14⇒q ＝12.∴a 1＝42q －q 4＝4212－⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝96. 若G 是a 5，a 7的等比中项，则应有G 2＝a 5·a 7＝a 1q 4·a 1q 6＝a 21q 10＝962·⎝ ⎛⎭⎪⎫1210＝9. ∴a 5，a 7的等比中项是±3.规律方法 (1)首项a 1和q 是构成等差数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法.(2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项.【训练2】已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，求a 2－a 1b 2的值. 解 ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1，∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2.若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2，∴b 2＜0.∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12.【例3】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N *).(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列.(1)解由S 1＝13(a 1－1)，得a 1＝13(a 1－1)， ∴a 1＝－12.又S 2＝13(a 2－1)，即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14.(2)证明当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12.又a 1＝－12，所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列.【迁移1】已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，b n ＝a n ＋1(n ∈N *).(1)求证：{b n }是等比数列；(2)求{a n }的通项公式.(1)证明令a n ＋1＋k ＝2(a n ＋k )，即a n ＋1＝2a n ＋k ，与a n ＋1＝2a n ＋1比较得k ＝1.又a 1＋1＝2，b n ＝a n ＋1，故数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列.(2)解法一由(1)知，a n ＋1＝2·2n －1，∴a n ＝2n －1.法二 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＝2a n －1＋1(n ≥2).∴a n ＋1－a n ＝2(a n －a n －1).∴{a n ＋1－a n }为等比数列，其中首项为a 2－a 1＝2a 1＋1－a 1＝a 1＋1＝2，公比q ＝2.则a n ＋1－a n ＝2·2n －1＝2n .∴2a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝2n －1.【迁移2】已知数列{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，求a n . 解令a n ＋1－A ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n －A ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，则a n ＋1＝13a n ＋A 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1. 由已知条件知A 3＝1，得A ＝3，所以a n ＋1－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n －3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 又a 1－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝－23≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n －3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 是首项为－23，公比为13的等比数列. 于是a n －3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝－23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1，故a n ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n . 规律方法判断一个数列是否是等比数列的常用方法(1)定义法：若数列{a n }满足a n ＋1a n ＝q (q 为常数且不为零)或a n a n －1＝q (n ≥2，q 为常数且不为零)，则数列{a n }是等比数列.(2)通项公式法：若数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1(a 1≠0，q ≠0)，则数列{a n }是等比数列.(3)等比中项法：若a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *且a n ≠0)，则数列{a n }为等比数列.(4)构造法：在条件中出现a n ＋1＝ka n ＋b 关系时，往往构造数列，方法是把a n ＋1＋x ＝k (a n ＋x )与a n ＋1＝ka n ＋b 对照，求出x 即可.课堂达标1.在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝64，则a 3等于( )A.16B.16或－16C.32D.32或－32 解析由a 4＝a 1q 3，得q 3＝8，即q ＝2，所以a 3＝a 4q ＝32.答案 C2.已知a 是1，2的等差中项，b 是－1，－16的等比中项，则ab 等于( )A.6B.－6C.±6D.±12解析 ∵a ＝1＋22＝32，b 2＝(－1)(－16)＝16，b ＝±4，∴ab ＝±6.答案 C3.45和80的等比中项为________.解析设45和80的等比中项为G ，则G 2＝45×80，∴G ＝±60.答案－60或604.已知数列{a n }是等比数列，且a 1＝18，a 4＝－1，则数列{a n }的公比q 为________.解析 q 3＝a 4a 1＝－8，所以q ＝－2. 答案－25.已知a n ＝2n ＋3n ，判断数列{a n }是不是等比数列？解不是等比数列.∵a 1＝21＋31＝5，a 2＝22＋32＝13，a 3＝23＋33＝35，∴a 1a 3≠a 22，∴数列{a n }不是等比数列.课堂小结1.等比数列的判断或证明(1)利用定义：a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数). (2)利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *).2.两个同号的实数a 、b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab )，而不是一个(ab )，这是容易忽视的地方.3.等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1共涉及a 1，q ，n ，a n 四个量，已知其中三个量可求得第四个量.。

等比数列的性质学案高中数学必修五苏教版 Word版

第2课时等比数列的性质1．掌握等比数列的性质，能应用其性质解题．(重点) 2．了解等比数列与指数函数的关系．(重点)[基础·初探]教材整理1 等比数列与指数函数的关系阅读教材P 53，完成下列问题．如果数列{a n }是等比数列，则a n ＝a 1q n －1(a 1≠0，q ≠0)，故q ≠1时点(n ，a n )均在函数y ＝a 1q x －1的图象上．若等比数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋p ，则p ＝ . 【解析】结合等比数列{a n }的图象特点，可知p ＝0. 【答案】 0教材整理2 等比数列的性质阅读教材P 54第12题，P 55第14题，第16题，完成下列问题．等比数列的性质(1)如果m ＋n ＝k ＋l ，则有a m ·a n ＝a k ·a l . (2)如果m ＋n ＝2k ，则有a m ·a n ＝a 2k .(3)在等比数列{a n }中，每隔k 项(k ∈N *)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．(4)如果{a n }，{b n }均为等比数列，且公比分别为q 1，q 2，那么数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n ，{|a n |}仍是等比数列，且公比分别为1q 1，q 1q 2，q 2q 1，|q 1|.(5)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·a n＝a2·a n－1＝a k·a n－k＋1＝….1．在等比数列{a n}中，若a5＝1，则a2·a8＝.【解析】a2·a8＝a25＝1.【答案】 12．在等比数列{a n}中，a1a2＝3，a5a6＝27，则a3a4＝.【解析】∵a1a2，a3a4，a5a6成等比数列，∴(a3a4)2＝(a1a2)·(a5a6)＝3×27＝81，∴a3a4＝±9.【答案】±9[小组合作型]n(1)若a3a5a7a9a11＝243，求a29a11的值；(2)若a n>0，且a3a6＝32，求log2a1＋log2a2＋…＋log2a8的值．【精彩点拨】利用等比数列的性质，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则a m·a n＝a p·a q＝a2k求解．【自主解答】(1)∵a3，a5，a7，a9，a11成等比数列，∴a3a5a7a9a11＝a57＝243＝35，∴a7＝3.又a29a11＝a7·a11a11＝a7，∴a29a11＝3.(2)log2a1＋log2a2＋…＋log2a8＝log2a1·a2·…·a8＝log2(a1·a8)4＝log 2(a 3a 6)4＝log 2324＝log 2220＝20.等比数列中的项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列，有关等比数列的计算问题，应充分发挥项的“下标”的“指引”作用，以使运算简便.[再练一题]1．(1)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3·a 9＝4，a 6·a 10＋a 3·a 5＝41，求a 4＋a 8的值；(2)在等比数列{a n }中，a 5，a 9是方程7x 2－18x ＋7＝0的两个根，求a 7. 【解】 (1)∵{a n }为等比数列，且3＋9＝4＋8,6＋10＝2×8,3＋5＝2×4，∴a 3·a 9＝a 4·a 8＝4，a 6·a 10＝a 28，a 3·a 5＝a 24， ∴a 6·a 10＋a 3·a 5＝a 28＋a 24＝41，又a 4·a 8＝4， ∴(a 4＋a 8)2＝41＋2×4＝49，且a n >0， ∴a 4＋a 8＝7.(2)∴a 5，a 9是方程7x 2－18x ＋7＝0的两个根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 9＝187，a 5·a 9＝1，∴a 5>0，a 9>0.又∵a 27＝a 5·a 9＝1，且a 7＝a 5·q 2>0，∴a 7＝1.第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．【精彩点拨】解答此类题目主要是利用性质和已知巧设，再构造方程或方程组求解．【自主解答】法一：设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，(a ＋d )2a ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋(a ＋d )2a ＝16，a ＋(a ＋d )＝12，解得⎩⎨⎧ a ＝4，d ＝4或⎩⎨⎧a ＝9，d ＝－6.∴当a ＝4，d ＝4时，所求四个数为0,4,8,16；当a ＝9，d ＝－6时，所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法二：设这四个数依次为2a q －a ，aq ，a ，aq (a ≠0)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a q －a ＋aq ＝16，aq ＋a ＝12，解得⎩⎨⎧q ＝2，a ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝13，a ＝3.∴当q ＝2，a ＝8时，所求四个数为0,4,8,16；当q ＝13，a ＝3时，所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.灵活设项求解等比数列的技巧1．三数成等比数列，一般可设为aq ，a ，aq .2．四数成等比数列，一般可设为a q 3，aq ，aq ，aq 3或a ，aq ，aq 2，aq 3. 3．五数成等比数列，一般可设为a q 2，aq ，a ，aq ，aq 2.[再练一题]2．三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数.【导学号：92862052】【解】设三个数依次为aq ，a ，aq ， ∵a q ·a ·aq ＝512，∴a ＝8.∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a q －2＋(aq －2)＝2a ， ∴2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12， ∴这三个数为4,8,16或16,8,4.[探究共研型]n 2n 【提示】 {log 2a n }是等差数列，由log 2a n ＋1－log 2a n ＝log 2a n ＋1a n 可知．探究2 若{a n }是等差数列，则{2a n }是什么数列？【提示】 {2a n }是等比数列，由可知．设{a n }是公差大于0的等差数列，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n，已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18，(1)求证：数列{b n }是等比数列； (2)求等差数列{a n }的通项a n .【精彩点拨】 (1)证明b n ＋1b n 为同一常数；(2)先求b n ，由b n 求a n .【自主解答】 (1)证明：设{a n }的公差为d (d ＞0)，为常数，且＞0，∴{b n }为以为首项，公比为的等比数列．(2)∵b 1b 2b 3＝18，∴b 32＝18，∴b 2＝12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋b 3＝178，b 1b 3＝14，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝18，b 3＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2，b 3＝18.∵q ＝∈(0,1)，∴b 1＞b 3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2，b 3＝18，∴，∴a n ＝2n －3，(n ∈N *)．等差数列与等比数列的转化1．若数列{a n }为等差数列，则数列{m a n}(m >0，m ≠1)为等比数列． 2．若数列{a n }为等比数列，且a n >0，则数列{log b a n }(b >0，b ≠1)为等差数列．[再练一题]3．已知{x n }为各项不为1的正项等比数列，{y n }满足y n ·log x n a ＝2(a ＞0且a ≠1)，设y 4＝17，y 7＝11.则数列{y n }的前多少项的和最大？最大值是多少？【解】 y n ＝2log x n a ＝2log a x n ，且{x n }为等比数列，∵y n －1＋y n ＋1＝2log a x n －1＋2log a x n ＋1＝2log a (x n －1·x n ＋1)＝2log a x 2n ＝4log a x n ＝2y n ，n ≥2，n ∈N *，∴{y n }为等差数列．又y 4＝17，y 7＝11＝y 4＋3d ，∴d ＝－2， ∴y n ＝y 4－2(n －4)＝25－2n (n ∈N *)．由y n ≥0，知n ≤12.故{y n }的前12项和最大，其最大值为12×（23＋1）2＝144.1．对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是．①a1，a3，a9成等比数列；②a2，a3，a6成等比数列；③a2，a4，a8成等比数列；④a3，a6，a9成等比数列．【解析】∵3＋9＝2×6，∴a26＝a3·a9，∴a3，a6，a9成等比数列．【答案】④2．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝.【解析】∵{a n}成等比数列，∴a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9也成等比数列，∴(a4a5a6)2＝(a1a2a3)·(a7a8a9)＝50，∴a4a5a6＝±52，又a n>0，∴a4a5a6＝5 2.【答案】5 23．在等比数列{a n}中，已知a1＋a2＝324，a3＋a4＝36，则a5＋a6＝.【导学号：92862053】【解析】∵{a n}为等比数列，∴a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6成等比数列，∴a5＋a6＝362324＝4.【答案】 44．等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝.【解析】因为数列{a n}为等比数列，所以a5a6＝a4a7.又∵a5a6＋a4a7＝18，∴a5a6＝a1a10＝a4a7＝a3a8＝a2a9＝9，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2a3…a10)＝log395＝log3310＝10.【答案】105．已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数．【解】依题意可设这四个数分别为：(4－d )24，4－d,4,4＋d ，则由前三个数和为19，可列方程得，(4－d )24＋4－d ＋4＝19，整理得，d 2－12d －28＝0，解得d ＝－2或d ＝14. ∴这四个数分别为：25，－10,4,18或9,6,4,2.。

人教A版高中数学必修五 2.4 等比数列学案

2.4 等比数列-----学案一、学习目标1．理解等比数列的定义．(重点)2．掌握等比数列的通项公式及其应用．(重点、难点)3．熟练掌握等比数列的判定方法．(易错点)二、自主学习教材整理1 等比数列的定义阅读教材P 48～P 49倒数第一行，完成下列问题．1．等比数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(q ≠0)．(2)符号语言：a n ＋1a n＝q (q 为常数，q ≠0，n ∈N *)． 2．等比中项(1)前提：三个数a ，G ，b 成等比数列．(2)结论：G 叫做a ，b 的等比中项．(3)满足的关系式：G 2＝ab .做一做判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)常数列一定是等比数列．( )(2)存在一个数列既是等差数列，又是等比数列．( )(3)等比数列中的项可以为零．( )(4)若a ，b ，c 三个数满足b 2＝ac ，则a ，b ，c 一定能构成等比数列．( )【解析】 (1)×.因为各项均为0的常数列不是等比数列．(2)√.因为任何一个各项不为0的常数列既是等差数列，又是等比数列．(3)×.因为等比数列的各项与公比均不能为0.(4)×.因为等比数列各项不能为0；若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ，但是反之不成立，比如：a ＝0，b ＝0，c ＝1，则a ，b ，c 就不是等比数列．【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×教材整理2 等比数列的通项公式阅读教材P 49倒数第1行～P 51例3，完成下列问题．1．等比数列的通项公式一般地，对于等比数列{a n }的第n 项a n ，有公式a n ＝a 1q n －1.这就是等比数列{a n }的通项公式，其中a 1为首项，q 为公比．2．等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为a n ＝a 1q ·q n ，而y ＝a 1q ·q x (q ≠1)是一个不为0的常数a 1q与指数函数q x 的乘积，从图象上看，表示数列a 1q ·q n 中的各项的点是函数y ＝a 1q·q x 的图象上的孤立点．三、合作探究探究1：等比数列的判断与证明例1. (1)下列数列是等比数列的是( )A ．2,2，－2，－2,2,2，－2，－2，…B ．－1,1，－1,1，－1，…C ．0,2,4,6,8,10，…D ．a 1，a 2，a 3，a 4，…(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2－a n ，求证：数列{a n }是等比数列.【精彩点拨】 (1)利用等比数列的定义判定．(2)先利用S n 与a n 的关系，探求a n ，然后利用等比数列的定义判定．【自主解答】 (1)A.从第2项起，每一项与前一项的比不是同一常数，故不选A.B ．由等比数列定义知该数列为等比数列．C ．等比数列各项均不为0，故该数列不是等比数列．D ．当a ＝0时，该数列不是等比数列；当a ≠0时，该数列为等比数列．【答案】 B(2)证明：∵S n ＝2－a n ，∴S n ＋1＝2－a n ＋1，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(2－a n ＋1)－(2－a n )＝a n －a n ＋1，∴a n ＋1＝12a n .又∵S 1＝2－a 1，∴a 1＝1≠0.又由a n ＋1＝12a n 知a n ≠0，∴a n ＋1a n ＝12，∴{a n }是等比数列．归纳总结：判断一个数列{a n }是等比数列的方法：(1)定义法：若数列{a n }满足a n ＋1a n ＝q (q 为常数且不为零)或a n a n －1＝q (n ≥2，q 为常数且不为零)，则数列{a n }是等比数列．(2)等比中项法：对于数列{a n }，若a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2且a n ≠0，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1(a 1≠0，q ≠0)，则数列{a n }是等比数列．探究2：等比中项例2.(1)等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项是( ) A ．±4 B ．4 C ．±14 D.14(2)已知b 是a ，c 的等比中项，求证：ab ＋bc 是a 2＋b 2与b 2＋c 2的等比中项．【精彩点拨】 (1)用定义求等比中项．(2)证明(ab ＋bc )2＝(a 2＋b 2)(b 2＋c 2)即可．【自主解答】 (1)由a n ＝18·2n －1＝2n －4知，a 4＝1，a 8＝24，所以a 4与a 8的等比中项为±4. 【答案】 A(2)证明：b 是a ，c 的等比中项，则b 2＝ac ，且a ，b ，c 均不为零，又(a 2＋b 2)(b 2＋c 2)＝a 2b 2＋a 2c 2＋b 4＋b 2c 2＝a 2b 2＋2a 2c 2＋b 2c 2，(ab ＋bc )2＝a 2b 2＋2ab 2c ＋b 2c 2＝a 2b 2＋2a 2c 2＋b 2c 2，所以(ab ＋bc )2＝(a 2＋b 2)·(b 2＋c 2)，即ab ＋bc 是a 2＋b 2与b 2＋c 2的等比中项．归纳总结：等比中项应用的三点注意：(1)由等比中项的定义可知G a ＝b G⇒G 2＝ab ⇒G ＝±ab ，所以只有a ，b 同号时，a ，b 的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．(3)a ，G ，b 成等比数列等价于G 2＝ab (ab >0)．探究3：等比数列的通项公式探究1 类比归纳等差数列通项公式的方法，你能归纳出首项为a 1，公比为q 的等比数列{a n }的通项公式吗？【提示】由等比数列的定义可知：a 2＝a 1q ，a 3＝a 2q ＝a 1q 2，a 4＝a 3q ＝a 1q 3，a 5＝a 4q ＝a 1q 4…由此归纳等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1.探究2 由等比数列的定义式a n ＋1a n＝q (q ≠0)你能用累乘法求出用首项a 1，公比q 表示的通项公式吗？能用等比数列中任意一项a m 及公比q 表示a n 吗？【提示】由a n ＋1a n ＝q ，知a 2a 1＝q ，a 3a 2＝q ，a 4a 3＝q ，…，a n a n －1＝q ，将以上各式两边分别相乘可得a n a 1＝q n －1，则a n ＝a 1q n －1；由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1q n －1，a m ＝a 1q m －1两式相比得a n a m ＝q n －m ，则a n ＝a m ·q n －m ，事实上该式为等比数列通项公式的推广．例3. (1)在等比数列{a n }中，已知a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n ；(2)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n .【精彩点拨】 (1)先由a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，列出方程组，求出a 1，q ，然后再由a n ＝1解出n .(2)根据条件求出基本量a 1，q ，再求通项公式．【自主解答】 (1)法一：因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18， ①a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9， ②由②①得q ＝12，从而a 1＝32.又a n ＝1，所以32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝1，即26－n ＝20，所以n ＝6. 法二：因为a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18，得a 1＝32.由a n ＝a 1q n －1＝1，得n ＝6.(2)由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1⇒2q 2－5q ＋2＝0⇒q ＝2或12，由a 25＝a 10＝a 1q 9>0⇒a 1>0，又数列{a n }递增，所以q ＝2.a 25＝a 10>0⇒(a 1q 4)2＝a 1q 9⇒a 1＝q ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .归纳总结：1．等比数列的通项公式涉及4个量a 1，a n ，n ，q ，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．2．关于a 1和q 的求法通常有以下两种方法：(1)根据已知条件，建立关于a 1，q 的方程组，求出a 1，q 后再求a n ，这是常规方法．(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q 后，再求a 1，最后求a n ，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．四、学以致用1．已知数列{a n }是首项为2，公差为－1的等差数列，令b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ，求证数列{b n }是等比数列，并求其通项公式．【证明】由已知得，a n ＝2＋(n －1)×(－1)＝3－n ，故b n ＋1b n ＝⎝⎛⎭⎫123－n ＋⎝⎛⎭⎫123－n ＝⎝⎛⎭⎫123－(n ＋1)－3＋n ＝⎝⎛⎭⎫12－1＝2，∴数列{b n }是等比数列．∵b 1＝⎝⎛⎭⎫123－1＝14，∴b n ＝⎝⎛⎭⎫14×2n －1＝2n －3. 2．设等差数列{a n }的公差d 不为0，a 1＝9d ，若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k 等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 ∵a n ＝(n ＋8)d ，又∵a 2k ＝a 1·a 2k ，∴[(k ＋8)d ]2＝9d ·(2k ＋8)d ，解得k ＝－2(舍去)，k ＝4.【答案】 B3．在等比数列{a n }中，(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a 5；(2)若a 4＝2，a 7＝8，求a n .【解】 (1)∵a 5＝a 1q 4，而a 1＝5，q ＝a 2a 1＝－3，∴a 5＝405.(2)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2， ①a 1q 6＝8， ②由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2，于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝22n －53. 五、自主小测1．在等比数列{a n }中，若a 1＜0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于( ) A.32 B.23C ．－23 D.23或－232．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )A ．b ＝3，ac ＝9B ．b ＝－3，ac ＝9C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝－3，ac ＝－93．在等比数列{a n }中，若a 3＝3，a 4＝6，则a 5＝________.4．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________.5．(1)若等比数列{a n }的首项a 1＝98，末项a n ＝13，公比q ＝23，求项数n ； (2)若等比数列{a n }中，a n ＋4＝a 4，求公比q .参考答案1.【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝18，a 1q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝27，q ＝23或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－27，q ＝－23.又a 1＜0，因此q ＝－23. 【答案】 C2.【解析】因为b 2＝(－1)×(－9)＝9，且b 与首项－1同号，所以b ＝－3，且a ，c 必同号．所以ac ＝b 2＝9.【答案】 B3.【解析】由q ＝a 4a 3＝63＝2，所以a 5＝a 4q ＝12. 【答案】 124.【解析】由已知可知(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，解得a ＝5，所以a 1＝4，a 2＝6，所以q ＝a 2a 1＝64＝32，所以a n ＝4×⎝⎛⎭⎫32n －1. 【答案】 4×⎝⎛⎭⎫32n －1 5.【解】 (1)由a n ＝a 1·q n －1，得13＝98⎝⎛⎭⎫23n －1，即⎝⎛⎭⎫23n －1＝⎝⎛⎭⎫233，得n ＝4. (2)∵a n ＋4＝a 4q (n ＋4)－4＝a 4q n ，又a n ＋4＝a 4，∴q n ＝1，∴当n 为偶数时，q ＝±1；当n 为奇数时，q ＝1.。

高中数学人教A版必修5课件：2.4.2等比数列的性质及应用(34张)

【课标要求】1.掌握等比数列的几个基本性质，能够运用这些性质解决等比数列中的有关问题.2.能够综合运用等比数列的性质和通项公式解决等比数列中的计算问题.3.能够运用已学的等比数列知识解决一些实际应用问题．自主学习基础认识|新知预习|等比数列常见性质若{a n}是等比数列，公比是q，则(1)a n＝a1q n－1＝a2q n－2＝…＝a m q n－m(n>m)；(2)对称性：a1a n＝a2a n－1＝a3a n－2＝…＝a m a n－m＋1(n>m)；(3)若k＋l＝m＋n＝2p(k，l，m，n，p∈N*)，则a k·a l＝a m·a n ＝a2p；(4)若m ，p ，n (m ，n ，p ∈N *)成等差数列，则a m ，a p ，a n 成等比数列；(5)数列{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }都是等比数列，且公比分别是q ，1q ，q 2.(6)若{b n }是公比为p 的等比数列，则{a n b n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 也都是等比数列，公比分别为pq 和q p .|化解疑难|等差数列与等比数列的联系与区别|自我尝试|1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当q >1时，{a n }为递增数列．( ) (2)当q ＝1时，{a n }为常数列．( ) (3){a n }是等比数列，若m ＋n ＝p ，则a m ·a n ＝a p .( ) (4)若等比数列{a n }的公比是q ，则a n ＝a m q m －n (m ，n ∈N *)．( )×√××2．公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a10＝()A．16 B．32C．64 D．128解析：由等比数列的性质，知a27＝a3a11＝16，又数列{a n}的各项都是正数，所以a7＝4，a10＝a7×q3＝4×23＝32.答案：B3．将公比为q的等比数列{a n}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，…，此数列是()A．公比为q的等比数列B．公比为q2的等比数列C．公比为q3的等比数列D．不一定是等比数列解析：由于a n a n＋1a n－1a n＝a na n－1×a n＋1a n＝q·q＝q2，n≥2且n∈N*，∴{a n a n＋1}是以q2为公比的等比数列．故选B. 答案：B4．(北京人大附中月考)在等比数列{a n}中，a4＝7，a6＝21，则a8的值为()A．35 B．63C．21 3 D．±21 3解析：∵{a n}是等比数列，∴a4，a6，a8是等比数列，∴a26＝a4·a8，即a8＝2127＝63.答案：B13 122 5．已知{a n}为等比数列，a2＝2，a6＝162，则a10＝________.解析：法一：因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝a 1q ＝2，a 6＝a 1q 5＝162，所以q 4＝81，所以a 10＝a 1q 9＝a 1q ·q 8＝2×812＝13 122.法二：因为q 4＝a 6a 2＝1622＝81，所以a 10＝a 6q 4＝162×81＝13 122.法三：因为{a n }为等比数列，所以a 2·a 10＝a 26，a 10＝a 26a 2＝16222＝13 122.答案：13 122课堂探究互动讲练类型一等比数列的性质[例1]已知数列{a n}是等比数列，(1)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{a n}的通项公式；(2)若a2a6a10＝1，求a3·a9的值．【解析】(1)∵a 22＝a 1a 3，代入已知，得a 32＝8，∴a 2＝2. 设前三项为2q ，2,2q ，则有2q ＋2＋2q ＝7.整理得，2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12. ∴a n ＝2n －1或a n ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝23－n .(2)法一由等比数列的性质，有a2a10＝a3a9＝a26，由a2·a6·a10＝1，得a36＝1，∴a6＝1，∴a3a9＝a26＝1.法二由等比数列通项公式，得a2a6a10＝(a1q)(a1q5)(a1q9)＝a31·q15＝(a1q5)3＝1，∴a1q5＝1，∴a3a9＝(a1q2)(a1q8)＝(a1q5)2＝1.方法归纳,等比数列常用性质(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q .特例：若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则a m ·a n ＝a 2p .(2)a n a m＝q n －m (m ，n ∈N *)． (3)在等比数列{a n }中，每隔k 项取出一项，取出的项，按原来顺序组成新数列，该数列仍然是等比数列．(4)数列{a n }为等比数列，则数列{λa n }(λ为不等于0的常数)⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 仍然成等比数列．跟踪训练1(1)(揭阳检测)已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1·a9＝16，则a2·a5·a8的值为()A．16B．32C．48 D．64(2)已知等比数列{a n}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项公式a n＝________.解析：(1)由等比数列的性质可得a1·a9＝a25＝16，因为a n>0，所以a5＝4，所以a2·a5·a8＝a35＝64.(2)由已知得a10a3＝a1q9a1q2＝q7＝128＝27，故q＝2.所以a n＝a1q n－1＝a1q2·q n－3＝a3·q n－3＝3×2n－3. 答案：(1)D(2)3×2n－3类型二等比数列的设法与求解[例2] 已知四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积是－80，则这四个数为________．【思路点拨】根据等比数列的定义可以依次设三个数为a ，aq ，aq 2或为a q ，a ，aq ，然后根据给出的条件列出方程，解方程组，便可得出结论．1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8【解析】由题意设此四个数分别为b q ，b ，bq ，a ，则b 3＝－8，解得b ＝－2，q 与a 可通过解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2bq ＝a ＋b ，ab 2q ＝－80求出，即为⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝10，b ＝－2，q ＝－2或⎩⎨⎧a ＝－8，b ＝－2，q ＝52，所以此四个数为1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8.方法归纳等比数列的“对称设项”方法(1)当项数n为奇数时，先设中间一个数为a，再以公比为q向两边对称地依次设项即可，如三个数成等比数列，可设为aq，a，aq；(2)当项数n为偶数且公比大于0时，先设中间两个数为a q和aq，再以公比为q2向两边对称地依次设项即可，如四个数成等比数列，可设为aq3，aq，aq，aq3，六个数成等比数列可设为aq5，aq3，aq，aq，aq3，aq5.跟踪训练 2 已知三个数成等比数列，其积为1，第2项与第3项之和为－32，则这三个数依次为________．解析：设这三个数分别为a q ，a ，aq .则⎩⎨⎧a 3＝1，a ＋aq ＝－32，解得a ＝1，q ＝－52，所以这三个数依次为－25，1，－52.－25，1，－52类型三等比数列与等差数列的综合问题[例3]已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，且a2＝3,4S2＝S4.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求证：数列{2a n}是等比数列；(3)求使得S n＋2>2S n成立的n的集合．【解析】 (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝3，×(2a 1＋d )＝4a 1＋6d . 解得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1.(2)依题意，得2a n 2a n －1＝22n －122n －3＝4，所以数列{2a n }是首项为2，公比为4的等比数列．(3)由a 1＝1，d ＝2，a n ＝2n －1，得S n ＝n 2，所以S n ＋2>2S n ⇒(n ＋2)2>2n 2⇒(n －2)2<8.所以n ＝1,2,3,4，故n 的集合为{1,2,3,4}．方法归纳求解等差、等比数列综合的问题的技巧(1)理清各数列的基本特征量，明确两个数列间各量的关系．(2)发挥两个数列的基本量a1，d或b1，q的作用，并用好方程这一工具．(3)结合题设条件对求出的量进行必要的检验．跟踪训练3等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项，试求数列{b n}的通项公式．解析：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2，a n ＝a 1q n －1＝2n . (2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32. 设数列{b n }的公差为d ，首项为b 1，则有⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32.解得⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝－16，d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28.|素养提升|1．等比数列的“子数列”的特性若数列{a n}是公比为q的等比数列，则(1){a n}去掉前几项后余下的项仍组成公比为q的等比数列．(2)奇数项数列{a2n－1}是公比为q2的等比数列；偶数项数列{a2n}是公比为q2的等比数列．(3)若{k n}成等差数列且公差为d，则{ak n}是公比为q d的等比数列，也就是说等比数列中项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列．2．等比数列的单调性易误点(1)易误认为数列{a n}的公比q>1时，为递增数列，公比q<1时，为递减数列．(2)当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，等比数列{a n}是递增数列．当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，等比数列{a n}是递减数列．|巩固提升|1．对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列解析：由a3＝a1q2，a6＝a1q5，a9＝a1q8得，a3·a9＝a26≠0，因此a3，a6，a9一定成等比数列．故选D.答案：D2．数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10·b 11＝2，则a 21＝( )A ．20B ．512C ．1 013D ．1 024解析：∵b n＝a n＋1a n，且b10·b11＝2，又{b n}是等比数列，∴b1·b20＝b2·b19＝…＝b10·b11＝2，则a2a1·a3a2·a4a3…a21a20＝b1b2b3…b20＝210，即a21a1＝1 024，从而a21＝1 024a1＝1 024. 答案：D3．在等比数列{a n}中，已知a1>0,8a2－a5＝0，则数列{a n}为________数列．(填“递增”“递减”)解析：由8a2－a5＝0，可知a5a2＝q3＝8，解得q＝2.又a1>0，所以数列{a n}为递增数列．答案：递增。

高中数学必修5新教学案：2.4等比数列(1)

1 2.4 等比数列（学案）（第1课时）

【知识要点】 1．等比数列的定义； 2．等比数列的通项公式；【学习要求】 1．明确等比数列的定义；

2．掌握等比数列的通项公式，会解决知道na，1a，q，n中的三个，求另一个的问题. 3．会用定义来判断一个数列是否为等比数列.

【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 48 页～第51 页） 1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫等比数列，这个数列叫等比数列，这个常数叫等比数列的 .

2.na .

3.na mnq或ma nmq 4.如果a、G、b三个数满足abG2且0,ba.则G为a与b的 . 【基础练习】 1．试判断下列数列是否为等比数列.

⑴32nna，*Nn；

⑵nnna2， *Nn； ⑶1na ， *Nn. 【典型例题】例1 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.

变式训练1：在等比数列na中,8,1842aa，求qa与1. 2

例2 已知数列na的前n项和*;1,012NnaaSnn，试判断na是否为等比数列，为什么？

变式训练2：已知数列na的前n项和为131,nnnaSS *Nn. ⑴求21,aa； ⑵求证：数列na是等比数列.

1.已知na是公比为q的的等比数列，则这个数列的通项公式为（）. （A）23nnqaa（B）13nnqaa （C）33nnqaa （D）43nnqaa 2.如果9,,,,1cba成等比数列，那么（）. （A）9,3acb （B）9,3acb （C）9,3acb （D）9,3acb 3.已知数列,1,1,2aaaaa是等比数列，则实数a的取值范围是（）. （A）1a （B）01aa或（C）0a （D）01aa且 4.等比数列na中，45,106431aaaa，则数列na的通项公式为（）. 3

高中数学 2.4等比数列学案新人教A版必修5

第二章数列2．4 等比数列（第1课时）学习目标1．掌握等比数列的定义，理解等比中项的概念； 2．掌握等比数列的通项公式及推导思路；3．能根据等比数列的定义判断或证明一个数列为等比数列．要点精讲1．如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(0)q ≠． 2．在数列{}n a 中，若对任意n N *∈，有1nn a q a -=(0,1)q n ≠>，则称数列{}n a 为等比数列；在数列{}n a 中，若对任意n N *∈，有11n n n na aa a +-=(1)n >，则数列{}n a 为等比数列． 3．由三个数,,a Gb 组成的等比数列可以看成最简单的等比数列．这时，G 叫做a 与b 的等比中项．G 为a 与b 的等比中项⇔,,a G b 组成等比数列⇔2(0,0)G ab ab G =>≠4．设等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则通项公式11n n a a q -=．公式推导方法为归纳法．对于任意,n m N *∈，有n m n m a a q -=．范例分析例1．在等比数列{}n a 中，（1）218a =，48a =，求1a 与q ；（2）5115a a -=，426a a -=，求3a ；例2．已知1是2a 与2b 的等比中项，又是1a 与1b 的等差中项，求22a ba b ++的值．例3．正项等比数列{}n a 与等差数列{}n b 满足7711,b a b a ==且71a a ≠，则4a ，4b 的大小关系为（）A ．4a 4b =B ．4a 4b >C ．4a 4b <D ．不确定例4．在等差数列}{n a 中，公差0d ≠，且2a 是1a 和4a 的等比中项，已知1a ，3a ，123,,,n k k k k a a a a 成等比数列，求数列123,,,,n k k k k ⋅⋅⋅的通项n k ．规律总结1．可以把等比数列{}n a 的问题归结为两个基本量1a 和q 的问题； 2．判定一个数列是不是等比数列，就是看1nn a a -(1)n >是不是一个与n 无关的常数． 3．等比数列与指数函数的关系：等比数列{}n a 的通项公式111(0)n n a a q a q -=≠，它的图象是分布在曲线1(0xa y q q q=⋅>且1)q ≠上的一些孤立的点．当10,1a q >>时，等比数列{}n a 是递增数列；当10,01a q <<<时，等比数列{}n a 是递增数列；当10,01a q ><<时，等比数列{}n a 是递减数列；当10,1a q <>时，等比数列{}n a 是递增数列；当0q <时，等比数列{}n a 是摆动数列；当1q =时，等比数列{}n a 是常数数列基础训练一、选择题1．在数列{}n a 中，对任意n N *∈，都有120n n a a +-=，则123422a a a a ++等于（）A ．14 B ．13 C ．12D ．1 2．已知等差数列{}n a 的公差为2，若431,,a a a 成等比数列，则2a =（）A ．4-B ．6-C ．8-D ．10-3．已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（） A ．2- B ．1 C ．2 D ．34．在△ABC 中，tan A 是以4-为第3项，4为第7项的等差数列的公差，tan B 是以31为第3项，9为第6项的等比数列的公比，则该三角形为 ( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形5．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d = 若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（）A ．2B ．4C ．6D ．8 二、填空题6．在等比数列{}n a 中，对任意n N *∈，都有12n n n a a a ++=+，则公比q =___ 。

高中数学课时作业15 等比数列前n项和的性质及应用新

课时作业15 等比数列前n 项和的性质及应用时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( ) A ．2 B ．4 C.152D.172解析：S 4＝a 11－241－2＝15a 1，a 2＝a 1q ＝2a 1，∴S 4a 2＝152. 答案：C2．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152B.314C.334D.172解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 11－q 31－q＝7，解得a 1＝4，q ＝12，所以S 5＝4×1－1251－12＝314. 答案：B3．一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为( ) A ．180 B ．108 C ．75D ．63解析：由题意S 7，S 14－S 7，S 21－S 14组成等比数列48,12,3，即S 21－S 14＝3，∴S 21＝63. 答案：D4．在公比为整数的等比数列{a n }中，已知a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，那么a 5＋a 6＋a 7＋a 8等于( )A ．480B ．493C ．495D ．498解析：已知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，由等比数列的通项公式得⎩⎪⎨⎪⎧a 11＋q3＝18，a 1q ＋q2＝12，⇒2q 3－3q 2－3q ＋2＝0⇒(q ＋1)(2q 2－5q ＋2)＝0⇒q ＝－1或q ＝2或q ＝12.∵q ＝－1，q ＝12均与已知矛盾，∴q ＝2.a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝q 4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＝24(18＋12)＝480.答案：A5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n－1，则此数列奇数项的前n 项的和是( ) A.13(2n ＋1－1) B.13(2n ＋1－2) C.13(22n－1) D.13(22n－2) 解析：由题易知，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，公比q ＝2.∴奇数项的前n 项和为S ′＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝a 1[1－q 2n]1－q2＝1×1－4n1－4＝13(22n－1)．答案：C6．一个等比数列共有3m 项，若前2m 项和为15，后2m 项之和为60，则中间m 项的和为( )A ．12B ．16C ．20D ．32解析：由已知S 2m ＝15，S 3m －S m ＝60，又(S 2m －S m )2＝S m (S 3m －S 2m )，解得S m ＝3，∴S 2m －S m ＝15－3＝12. 答案：A二、填空题(每小题8分，共计24分)7．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q ＝________. 解析：由3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2两式相减得，3(S 3－S 2)＝a 4－a 3，∴3a 3＝a 4－a 3，∴4a 3＝a 4，∴q ＝a 4a 3＝4.答案：48．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________．解析：显然q ≠1，∴91－q 31－q＝1－q 61－q，∴1＋q 3＝9， ∴q ＝2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，前5项和T 5＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.答案：31169．在等比数列中，S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则 S 20＝______. 解析：由S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，得S 10＝10，S 30＝130.再由S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列，得S 10(S 30－S 20)＝(S 20－S 10)2， ∴10(130－S 20)＝(S 20－10)2.整理得S 220－10S 20－1200＝0，解得S 20＝40，或S 20＝－30(舍去)．答案：40三、解答题(共计40分)10．(10分)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n .解：(1)依题意有a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)，由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0. 又q ≠0，从而q ＝－12.(2)由已知可得a 1－a 1(－12)2＝3，解得a 1＝4.从而S n ＝4[1－－12n]1－－12＝83[1－(－12)n]． 11．(15分)(2012·山东卷)在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m∈N*，将数列{a n}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为b m，求数列{b m}的前m项和S m.解：(1)因为{a n}是一个等差数列，所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，所以a4＝28.设数列{a n}的公差为d，则5d＝a9－a4＝73－28＝45，故d＝9.由a4＝a1＋3d得28＝a1＋3×9，即a1＝1，所以a n＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*)．(2)对m∈N*，若9m＜a n＜92m，则9m＋8＜9n＜92m＋8，因此9m－1＋1≤n≤92m－1，故得b m＝92m－1－9m－1.于是S m＝b1＋b2＋b3＋…＋b m＝(9＋93＋…＋92m－1)－(1＋9＋…＋9m－1)＝9×1－81m1－81－1－9m1－9＝92m＋1－10×9m＋180.12．(15分)给出下面的数表序列：其中表n(n＝1,2,3…)有n行，表中每一个数“两脚”的两数都是此数的2倍，记表n中所有的数之和为a n，例如a2＝5，a3＝17，a4＝49，试求：(1)a5；(2)数列{a n}的通项a n.解：(1)a5＝129，(2)依题意，a n＝1＋2×2＋3×22＋4×23＋…＋n×2n－1①由①×2得，2a n＝1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋…＋n×2n②将①－②得－a n＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋2n－1－n×2n＝11－2n1－2－n×2n＝2n－1－n×2n所以a n＝(n－1)×2n＋1.。

[最新]人教版数学必修五学案：2.4等比数列(一)

精品精品资料精品精品资料2.4等比数列（一）【学习目标】理解等比数列的概念；掌握等比数列的通项公式；理解等比数列模型应用．【自主学习】1、等比数列的定义:_______________________________________________________________________________________________________________________________.（1）符号语言：｛n a ｝成等比数列________________. （N n ,q ≠0）（2）数列｛n a ｝为等比数列，则n a ____0．（3）q= 1时，{a n }为_____________数列.（4）既是等差数列又是等比数列的数列是____________________数列. 2.等比数列的通项公式： .3.等比中项： .【自主检测】已知四个等比数列分别是：①1, 2, 4, 8, …②1,21，41，81，…③1,20 ,202 ,203 ,…④10000×1.0198,10000×1.01982,10000×1.01983 10000×1.01984, …它们的公比分别为： __ . 它们的通项公式分别为： .【典型例题】例1.类比等差数列通项公式的推导，请推导等比数列的通项公式. 例2.某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的84％.这种物质的半衰期为多长(精确到1年)? 例3.一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第2项.【课堂检测】1．公差不为0的等差数列{a n }中，a 2，a 3，a 6依次成等比数列，则公比等于（）A. 12B.13C.2D.32.一个等比数列的第2项是10，第4项是40，求它的第1项与第4项.3．（1）已知等比数列x，－34，y，－2716，8132，…，求x，y.（2）已知数列{a n}为等比数列，a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求a4的值.【总结提升】熟练掌握等比数列的通项公式是解决问题的关键。

高中数学 2.4等比数列学案1 新人教A版必修5

2.4《等比数列》学案
一、预习问题：
1、等比数列的概念：一般的，，那么这个数
列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母q 表示。

2、若()为常数q n q a a n n ,21
≥=-，则称数列{}n a 为，q 为，且≠q 。

3、若b G a ,,成等比数列，则；其中G 叫做a 与b 的。

此时a 与b （填同号或异号）。

4、等比数列的通项公式为：。

5、首项为正数的等比数列的公比1=q 时，数列为数列；当0<q 时，数列为数列；当10<<q 时，数列为数列；当1>q 时，数列为数列。

6、判断正误：
①1，2，4，8，16是等比数列；（） ②数列 ,8
1,41,21,
1是公比为2的等比数列；（） ③若c b b a =，则c b a ,,成等比数列；（） ④若()
*1N n n a a n n ∈=+，则数列{}n a 成等比数列；（） 7、思考：如何证明一个数列是等比数列。

二、实战操作：
例1、判断下列数列{}n a 是否为等比数列：
（1）()()*1,31N n a n n n ∈-=-；（2）()*3,2N n a n n ∈-=-；
（3）*,2N n n a n n ∈⨯= （4）*,1N n a n ∈-=
例2、（1）求12+与12-的等比中项；
（2）等比数列{}n a 中，若0>n a ，252645342=++a a a a a a ，求53a a +。

例3、已知等比数列{}n a ，若8,7321321==++a a a a a a ，求数列{}n a 的通向公式。

高中数学必修五-等比数列

等比数列知识集结知识元等比数列的通项公式知识讲解1．等比数列的通项公式【知识点的认识】1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．2．等比数列的通项公式设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则它的通项a n＝a1•q n﹣13．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．G2＝a•b（ab≠0）4．等比数列的常用性质（1）通项公式的推广：a n＝a m•q n﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{a n}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则a k•a l＝a m•a n（3）若{a n}，{b n}（项数相同）是等比数列，则{λa n}（λ≠0），{a}，{a n•b n}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{a n}是递增数列；或⇔{a n}是递减数列；q＝1⇔{a n}是常数列；q＜0⇔{a n}是摆动数列．例题精讲等比数列的通项公式例1.若公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=64，则a6等于（）A．1B．2C．4D．8例2.已知等比数列{a n}前9项的积为512，且a8=32，则a2=（）A．B．C．D．例3.在公比q为整数的等比数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项和，若a1∙a4=32，a2+a3=12，则下列说法错误的是（）A．q=2B．数列{S n+2}是等比数列C．S8=510D．数列{lga n}是公差为2的等差数列等比数列的性质知识讲解1．等比数列的性质【等比数列】（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1时，a n为常数列．等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第n项的通项公式，a n＝a1q n﹣1，这里a1为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，S n＝，表示的是前面n项的和．③若m+n＝q+p，且都为正整数，那么有a m•a n＝a p•a q．例：2，x，y，z，18成等比数列，则y＝．解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，则18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案为：6．本题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．【等比数列的性质】（1）通项公式的推广：a n＝a m•q n﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{a n}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则a k•a l＝a m•a n（3）若{a n}，{b n}（项数相同）是等比数列，则{λa n}（λ≠0），{a}，{a n•b n}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{a n}是递增数列；或⇔{a n}是递减数列；q＝1⇔{a n}是常数列；q＜0⇔{a n}是摆动数列．例题精讲等比数列的性质例1.已知等比数列{a n}中a5=1，若+++=5，则a2+a4+a6+a8=（）A．4B．5C．16D．25例2.等比数列{a n}的各项均为正数，且a4a6+a3a7=18，则log3a1+log3a2+log3a3++log3a9=（）A．12B．10C．9D．2+log35例3.已知数列{a n}为等比数列，且a2a3a4=-a72=-64，则tan=（）A．B．C．D．当堂练习单选题练习1.已知等比数列{a n}的首项为1，且a6+a4=2（a3+a1），则a1a2a3…a7=（）A．16B．64C．128D．256练习2.在等比数列{a n}中，a1=1，=8，则a6的值为（）A．4B．8C．16D．32练习3.等比数列{a n}的各项均为正数，已知向量=（a4，a5），=（a7，a6），且∙=4，则log2a1+log2a2+…+log2a10=（）A．12B．10C．5D．2+log25练习4.已知等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，则=（）A．2B．4C．8D．16练习5.设{a n}（n∈N*）是各项为正数的等比数列，q是其公比，K n是其前n项的积，且K5<K6，K6=K7>K8，则下列结论错误的是（）A．0<q<1B．a7=1C．K9>K5D．K6与K7均为K n的最大值填空题练习1.已知数列{a n}的前n项和S n=3n-1，则首项a1=___，通项公式a n=________．练习2.已知等比数列a1，a2，a3，a4满足a1∈（0，1），a3∈（1，2），a4∈（2，4），则a6的取值范围为__．练习3.在等比数列{a n}中，已知a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a8+a9+a10=_____．练习4.在等比数列{a n}中，a4，a8是关于x的方程x2+10x+4=0的两个实根，则a2a6a10=____．练习5.已知等比数列{a n}的首项为1，且a6+a4=2（a3+a1），则a1a2a3…a7=_____．练习6.已知无穷等比数列{a n}满足：对任意的n∈N*，sin a n=1，则数列{a n}公比q的取值集合为______________．解答题练习1.'（1）在等差数列{a n}中，已知a1=3，d=4，a n=59，求n；（2）在等比数列{a n}中，已知，求a1与q．'练习2.'已知等差数列{a n}中，a2+a3=14，a4-a1=6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a1，b3=a3，若b6=a m，求实数m的值．'练习3.'已知数列{a n}满足：a1=1，a2=a（a>0）．数列{b n}满足b n=a n a n+1（n∈N*）．（1）若{a n}是等差数列，且b3=12，求a的值及{a n}的通项公式；（2）当{b n}是公比为a-1的等比数列时，{a n}能否为等比数列？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．'。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

1
【学习目标】
1、能运用等比数列的有关知识解决一些与数列相关的实际应用问题；
2、理解分期付款中的有关规定，掌握分期付款中的有关计算．能运用等差、等比数列的有
关知识解决一些与数列相关的实际应用问题。
【学习重点】进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式。
【预习内容】
预习教材第52-53页内容，回答下列问题：
（1）在实际问题中我们会遇到大量的实际问题，除了书本上介绍的，你还能说出几个在实
际应用中的等比数列模型吗？

（2）注意在实际应用中通项和求和的区别，想象看，那些实际问题是研究数列的通项的，
而那些问题又是研究数列的和的

（3）试着研究下面这道问题，为下节课热热身：
①、某厂去年的产值记为1，计划在今后的五年内每年的产值比上一年增长10%，则从今年
起到第五年，这个厂的总产值为多少？
②、问题：从今年起的五年内这个厂的逐年产值有什么特征？利用什么公式求总产值？

【新知应用】
例1、水土流失是我国西部开发中最突出的生态问题．全国9100万亩的坡耕地需要退耕还
林，其中西部地区占70%。国家确定2000年西部地区退耕土地面积为515万亩，以后每
年退耕土地面积递增12%，那么从2000年起到2005年底，西部地区退耕还林的面积共有
多少万亩（精确到万亩）？

思考：到哪一年底，西部地区基本解决退耕还林问题？
例2、某人从2004年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元用于购房，贷款的月利率为
3.375‰，并按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月开始归还。如果10
年还

清，那么每月应还贷多少元？
2

例3、某厂为试制新产品，需增加某些设备。若购置这些设备，需一次付款25万元；若租
赁这些设备，每年初付租金3.3万元。已知一年期存款的年利率为2.55%，试讨论哪种方
案更好（设备寿命为10年）。

第15课时等比数列的应用作业
班级___________ 姓名____________
1、回答我国古代用诗歌形式提出的一个数列问题：
远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，
共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？

2、已知一个项数是偶数的等比数列的首项为1，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，
求这个数列的公比和项数。

3、数列{an}中，Sn＝1＋kan(k≠0，k≠1)
(1)证明数列{an}为等比数列；（2）求通项an；(3)当k＝－1时，求和a12＋a22＋…＋an2。
3

4、某人自己创业，向银行贷款，有两种方案。甲方案：一次性贷款10万元，第一年可获利
1万元，以后每年比上一年增加30%的利润。乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万
元，以后每年都比上一年增加利润0.5万元。两种方案使用期都是10年，到期一次性还本
付息。若银行贷款利率均按年息10%的复利计算，试比较两种方案的优劣。

5、资料表明：2000年我国工业废弃垃圾达87.410t，每吨占地21m。环保部门每回收处
理1t废旧物资，相当于消灭4t工业废弃垃圾。如果某环保部门2002年共回收处理了410t废
旧物资，且以后每年的回收量递增20%。（1）2010年能回收多少吨废旧物资？（2）从2002
年到2010年底，可节约土地多少平方米（精确到12m）

6、某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1
万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万
元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息. 若
银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？

（取665.575.1,786.133.1,629.105.1101010）

7、某鱼场2000年初养的鱼，到第二年初重量增长率为200%，以后每年的重量增长率都是
前一年增长率的一半，由于某种原因，每年损失预计重量的10%，那么，到哪一年的年初
鱼的重量开始减少？
4